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| Als '''Lichtkegel''' eines [[Ereignis#Ereignis in der Relativitätstheorie|Ereignisses]] <math>E</math> bezeichnet man in der [[Relativitätstheorie]] die Menge aller Ereignisse <math>E'</math>, die sich mit [[Lichtgeschwindigkeit]] <math>c</math> auf <math>E</math> auswirken oder von <math>E</math> mit Lichtgeschwindigkeit beeinflusst werden können.
| | #WEITERLEITUNG [[Interferenz (Physik)]] |
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| [[Datei:World line-de.svg|250px|mini|rechts|Lichtkegel in einer [[Raumzeit]] mit zwei Raumdimensionen, Vorwärtskegel in positiver Zeitrichtung.<br />Der Beobachter eines Ereignisses <math>E</math> befindet sich im Schnittpunkt von Vergangenheits- und Zukunfts-Kegel ([[Gegenwart#Physik|Gegenwart]]).]]
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| Der Lichtkegel ist ein [[Doppelkegel]] im [[4D#Physikalisch verbreitetes Verständnis|vierdimensionalen]] [[Minkowski-Raum]]. Er besteht aus
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| * dem Rückwärtslichtkegel, der genau die Ereignisse <math>E'</math> enthält, die vor <math>E</math> stattgefunden haben ([[Vergangenheit#Physik|Vergangenheit]], <math>t' < t</math>) und <math>E</math> mit Lichtgeschwindigkeit bewirkt haben können (siehe [[Lokalität (Physik)#Lokalität in der speziellen Relativitätstheorie|Lokalität]] und [[Kausalität #Relativitätstheorie|Kausalität]]), und
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| * dem Vorwärtslichtkegel, das sind die Ereignisse <math>E',</math> die später als <math>E</math> stattfinden ([[Zukunft #Physik|Zukunft]], <math>t' > t</math>) und von <math>E</math> mit Lichtgeschwindigkeit verursacht worden sein können.
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| == Definition ==
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| Seien
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| * <math>(t, x, y, z)</math> die [[Inertialsystem|Orts- und Zeitkoordinaten]] von <math>E</math>,
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| * <math>(t', x', y', z')</math> die Koordinaten von <math>E'</math>,
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| * <math>(t'-t, x'-x, y'-y, z'-z)</math> die Komponenten des [[Weltlinie|Differenzvektors]] <math>E' - E</math>,
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| * <math>\mathrm ds^2 := c^2 \cdot \mathrm dt^2 - \mathrm dx^2 - \mathrm dy^2 - \mathrm dz^2</math> das Quadrat des differentiellen Abstands in der flachen [[Raumzeit]], der für alle Beobachter identisch ist. Die hier verwendete [[Signatur (Lineare Algebra)|Signatur]] ist <math>(+,-,-,-)</math>. Für eine Signatur <math>(-,+,+,+)</math> gelten für <math>\mathrm d s^2</math> analoge Definitionen mit umgekehrtem Vorzeichen.
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| === {{Anker|lichtartig}} Lichtartiger Differenzvektor ===
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| Wenn der Differenzvektor '''lichtartig''' ist:
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| <math>\begin{matrix} && \mathrm ds^2 &= 0\\
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| \Leftrightarrow && c^2 \, (t'-t)^2 - (x'-x)^2 - (y'-y)^2 - (z'-z)^2 &= 0\\
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| \Leftrightarrow && \left( \frac{x'-x}{t'-t} \right)^2 + \left( \frac{y'-y}{t'-t} \right)^2 + \left( \frac{z'-z}{t'-t} \right)^2 &= c^2\\
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| \Leftrightarrow && v_x^2 + v_y^2 + v_z^2 &= c^2,
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| \end{matrix}</math>
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| dann liegt <math>E'</math> in der [[Spezielle Relativitätstheorie|speziellen Relativitätstheorie]] ''auf'' dem Lichtkegel von <math>E.</math> Genau die Ereignisse auf dem Rückwärts- bzw. Vergangenheits-Lichtkegel sind aktuell für einen Beobachter [[Sichtbares Universum|sichtbar]], der sich in <math>E</math> aufhält (ohne Berücksichtigung der [[Expansion des Universums]]).
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| === {{Anker|zeitartig}} Zeitartiger Differenzvektor ===
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| Ist der Differenzvektor '''zeitartig:'''
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| <math>\begin{matrix} && \mathrm ds^2 &> 0\\
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| \Leftrightarrow && c^2 \, (t'-t)^2 - (x'-x)^2 - (y'-y)^2 - (z'-z)^2 &> 0\\
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| \Leftrightarrow && v_x^2 + v_y^2 + v_z^2 &< c^2,
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| \end{matrix}</math>
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| so liegt <math>E'</math> ''im Inneren'' des Rückwärts- oder Vorwärtslichtkegels von <math>E</math>, je nachdem, ob es vor oder nach <math>E</math> stattgefunden hat. Dann kann es sich bei <math>E'</math> um die Ursache oder um die Auswirkung von <math>E</math> handeln, die sich langsamer als Licht auswirkt. Ereignisse innerhalb des Rückwärts- bzw. Vergangenheits-Lichtkegels waren früher für einen Beobachter sichtbar, der sich an derselben Stelle im Raum aufhielt wie <math>E</math> (ohne Berücksichtigung der Expansion des Universums).
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| === {{Anker|raumartig}} Raumartiger Differenzvektor ===
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| Ist der Differenzvektor '''raumartig:'''
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| <math>\begin{matrix} && \mathrm ds^2 &< 0\\
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| \Leftrightarrow && c^2 \, (t'-t)^2 - (x'-x)^2 - (y'-y)^2 - (z'-z)^2 &< 0\\
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| \Leftrightarrow && v_x^2 + v_y^2 + v_z^2 &> c^2,
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| \end{matrix}</math>
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| so liegt <math>E'</math> ''außerhalb'' des Rückwärts- oder Vorwärtslichtkegels. Bei den Ereignissen kann es sich nicht um Ursache und Wirkung handeln, denn dann müsste sich eine Ursache mit [[Überlichtgeschwindigkeit]] auswirken. Ereignisse außerhalb des Rückwärts- bzw. Vergangenheits-Lichtkegels von <math>E</math> und vor <math>E</math> sind für einen Beobachter, der sich in <math>E</math> aufhält, (noch) nicht sichtbar (d. h. sie liegen hinter dem [[Ereignishorizont]], ohne Berücksichtigung der Expansion des Universums).
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| == Siehe auch ==
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| * {{WikipediaDE|Lichtkegel}}
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| == Literatur ==
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| * [[w:Richard Courant|Richard Courant]], [[David Hilbert]]: ''Methoden der mathematischen Physik.'' Band 2. Zweite Auflage. Springer Verlag, Berlin 1968 (''Heidelberger Taschenbücher'' 31, {{ISSN|0073-1684}}).
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| == Weblinks ==
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| {{Wiktionary|Lichtkegel}}
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| * Norbert Dragon: [http://www.itp.uni-hannover.de/~dragon/stonehenge/relativ.pdf ''Geometrie der Relativitätstheorie.''] (PDF; 2,5 MB).
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| [[Kategorie:Relativitätstheorie]]
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| [[Kategorie:Differentialgeometrie]]
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| {{Wikipedia}}
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