Konvergenz

Aus AnthroWiki
Version vom 18. Februar 2020, 09:27 Uhr von imported>Odyssee (→‎Grenzwert einer Folge)
(Unterschied) ← Nächstältere Version | Aktuelle Version (Unterschied) | Nächstjüngere Version → (Unterschied)

Konvergenz (von lat. convergere „sich annähern, zusammenlaufen“) bedeutet in der Mathematik, dass eine unendliche Folge oder eine Funktion (Mathematik) einem bestimmten Grenzwert oder Limes beliebig nahe kommt. Existiert ein solcher Grenzwert nicht, spricht man von Divergenz (von lat. divergere „auseinanderlaufen, auseinanderstreben“).

Grenzwert einer Folge

Grenzwert der Funktion an der Stelle .

Die Folge konvergiert gegen den Grenzwert 0, d.h.:

Definition

Eine präzise Definition des Grenzwerts erlaubt die von Karl Weierstraß Ende des 19. Jahrhunderts im Rahmen seiner Epsilontik eingeführte Epsilon-Umgebung:

Eine Zahl heißt Grenzwert einer Folge , wenn es zu jeder (beliebig kleinen) Zahl eine natürliche Zahl gibt, sodass für alle gilt:

Grenzwert einer Funktion

Der Grenzwert einer Funktion lässt sich nach der Methode von Weierstraß ähnlich definieren (siehe Zeichnung):

Der Grenzwert der Funktion an der Stelle exisiert genau dann, wenn es zu jedem ein gibt, sodass für alle mit auch gilt.

Absolut konvergente Reihe

Eine reellwertige oder komplexwertige Reihe heißt absolut konvergent, wenn die Reihe der Absolutbeträge konvergiert:

Siehe auch

Literatur