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Klassengesellschaft und Doppelpendel: Unterschied zwischen den Seiten
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Das '''Doppelpendel''' ist ein beliebtes Modell zur Demonstration von [[Chaosforschung|chaotischen]] Prozessen. Es ist zugleich eines der einfachsten [[Nichtlineare_Dynamik|nichtlinearen Dynamischen Systeme]], welches chaotisches Verhalten zeigt. An die Masse <math>m_1</math> eines [[Pendel]]s mit der Länge <math>L_1</math> wird ein weiteres Pendel der Länge <math>L_2</math> mit Masse <math>m_2</math> gehängt. Die Herleitung der Bewegungsgleichung zum Berechnen der Bewegung des Doppelpendels lässt sich vereinfachen, wenn man starre, masselose Pendelstangen und Reibungsfreiheit annimmt. | |||
Ein Merkmal eines chaotischen Systems ist, dass es Anfangsbedingungen <math>x_i</math> gibt, sodass ein weiteres Experiment mit nahezu identischen Anfangsbedingungen <math>x_i+\Delta x</math>, die sich nur um eine infinitesimale Störung <math>\Delta x</math> unterscheiden, nach kurzer Zeit ein anderes Verhalten zeigt. Diese sensible Abhängigkeit lässt sich durch Berechnen von [[Ljapunow-Exponent|Ljapunow-Exponenten]] der [[Trajektorie (Physik)|Trajektorien]] charakterisieren. | |||
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Die | Die Bewegungsgleichungen für die [[generalisierte Koordinate|generalisierten Koordinaten]] <math display="inline">{\theta_{1}}</math> und <math display="inline">{\theta_{2}}</math> stellen ein nichtlineares System von zwei gekoppelten [[Differentialgleichungen]] dar, welches analytisch nicht lösbar ist. Es kann bei vier bekannten [[Anfangswertproblem|Anfangswerten]] (<math>\theta_1, \theta_2, \dot{\theta_1}, \dot{\theta_2} </math>) mit [[Liste_numerischer_Verfahren#Numerik_gewöhnlicher_Differentialgleichungen|numerischen Verfahren]] gelöst werden. Hierbei werden also die anfänglichen Auslenkungen (z. B. ''30°'' und ''30°'') und die anfänglichen [[Winkelgeschwindigkeit|Geschwindigkeiten]] (z. B. <math display="inline">0 \mathrm\frac{rad}{s}</math> und <math display="inline">0 \mathrm\frac{rad}{s}</math>) eingegeben und damit dann die Evolution des Pendels berechnet. | ||
Mittels [[Trigonometrie]] können die Winkel <math>\theta_{1}</math> und <math>\theta_{2}</math> in die kartesischen Koordinaten <math>(x_1, y_1, x_2, y_2)</math> der Massenpunkte überführt werden. | |||
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Eine [[Kirchenglocke]] mit Klöppel bildet ein Doppelpendel. | |||
== Auswertung des chaotischen Verhaltens == | |||
Zur Betrachtung des chaotischen Verhaltens des Doppelpendels gibt es eine Reihe von Möglichkeiten. Oft kann mittels einfachster Berechnungen eine Aussage über chaotisches Verhalten getroffen werden. Beispiele sind der maximale [[Ljapunow-Exponent]] (MLE) oder [[Bifurkation (Mathematik)|Bifurkationsdiagramme]]. | |||
== Siehe auch == | == Siehe auch == | ||
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* {{WikipediaDE| | * {{WikipediaDE|Magnetisches Pendel}} | ||
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* [ | *[http://www.mathstat.dal.ca/~selinger/lagrange/doublependulum.html Java-Doppelpendel (englisch)] | ||
*[http://blog.tinowagner.com/2008/04/02/doppelpendel/ Doppelpendel-Simulation in Java und Python (deutsch)] | |||
*[http://www.tm-aktuell.de/TM5/Doppelpendel/doppelpendel_grenzen.html Doppelpendel - Grenzen der Simulation] zeigt, dass die Bewegung stets nur für eine kurze Zeitspanne simuliert werden kann | |||
*[http://scienceworld.wolfram.com/physics/DoublePendulum.html Herleitung der Differentialgleichungen zur Beschreibung des Doppelpendels (englisch)] | |||
== | == Einzelnachweise == | ||
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Version vom 9. August 2018, 03:21 Uhr
Das Doppelpendel ist ein beliebtes Modell zur Demonstration von chaotischen Prozessen. Es ist zugleich eines der einfachsten nichtlinearen Dynamischen Systeme, welches chaotisches Verhalten zeigt. An die Masse eines Pendels mit der Länge wird ein weiteres Pendel der Länge mit Masse gehängt. Die Herleitung der Bewegungsgleichung zum Berechnen der Bewegung des Doppelpendels lässt sich vereinfachen, wenn man starre, masselose Pendelstangen und Reibungsfreiheit annimmt.
Ein Merkmal eines chaotischen Systems ist, dass es Anfangsbedingungen gibt, sodass ein weiteres Experiment mit nahezu identischen Anfangsbedingungen , die sich nur um eine infinitesimale Störung unterscheiden, nach kurzer Zeit ein anderes Verhalten zeigt. Diese sensible Abhängigkeit lässt sich durch Berechnen von Ljapunow-Exponenten der Trajektorien charakterisieren.
Lösung der Bewegungsgleichungen
Die Bewegungsgleichungen für die generalisierten Koordinaten und stellen ein nichtlineares System von zwei gekoppelten Differentialgleichungen dar, welches analytisch nicht lösbar ist. Es kann bei vier bekannten Anfangswerten () mit numerischen Verfahren gelöst werden. Hierbei werden also die anfänglichen Auslenkungen (z. B. 30° und 30°) und die anfänglichen Geschwindigkeiten (z. B. und ) eingegeben und damit dann die Evolution des Pendels berechnet.
Mittels Trigonometrie können die Winkel und in die kartesischen Koordinaten der Massenpunkte überführt werden.
Anwendungen
Eine Kirchenglocke mit Klöppel bildet ein Doppelpendel.
Auswertung des chaotischen Verhaltens
Zur Betrachtung des chaotischen Verhaltens des Doppelpendels gibt es eine Reihe von Möglichkeiten. Oft kann mittels einfachster Berechnungen eine Aussage über chaotisches Verhalten getroffen werden. Beispiele sind der maximale Ljapunow-Exponent (MLE) oder Bifurkationsdiagramme.
Siehe auch
- Doppelpendel - Artikel in der deutschen Wikipedia
- Magnetisches Pendel - Artikel in der deutschen Wikipedia
- Multipendel - Artikel in der deutschen Wikipedia
- KAM-Theorem - Artikel in der deutschen Wikipedia
- Kirchenglocke - Artikel in der deutschen Wikipedia
Weblinks
- Java-Doppelpendel (englisch)
- Doppelpendel-Simulation in Java und Python (deutsch)
- Doppelpendel - Grenzen der Simulation zeigt, dass die Bewegung stets nur für eine kurze Zeitspanne simuliert werden kann
- Herleitung der Differentialgleichungen zur Beschreibung des Doppelpendels (englisch)