Geometrische Figur und Kategorie:Deutsch: Unterschied zwischen den Seiten

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Eine '''Geometrische Figur''' ist ein Begriff aus der [[Geometrie]], der uneinheitlich verwendet wird und häufig undefiniert bleibt. Oft versteht man darunter bestimmte Teilmengen der [[Ebene (Mathematik)|Ebene]] oder des dreidimensionalen [[Raum (Physik)|Raums]]. Manchmal sind nur Figuren gemeint, die aus einfachen Teilen wie [[Gerade]]n und [[Kreis (Geometrie)|Kreisen]] zusammengesetzt sind, manchmal sind auch komplizierte Teilmengen wie [[Fraktale]] eingeschlossen. Der Begriff wird sowohl in der [[Euklidische Geometrie|euklidischen Geometrie]] wie auch in der [[Nichteuklidische Geometrie|nichteuklidischen Geometrie]] verwendet.
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[[Kategorie:Einzelsprache]]
== Definition und Abgrenzung ==
[[Kategorie:Germanische Sprachen]]
[[Datei:ABC Line 1.svg|mini|Beispiel für eine nicht eindeutig als Teilmenge darstellbare geometrische Figur: Eine Strecke <math>AC</math> zusammen mit einem daraufliegenden Punkt <math>B</math>]]
[[Kategorie:Westgermanische Sprachen]]
In der Geometrie werden [[Raum (Mathematik)|Räume]], wie die [[2D|zweidimensionale]] Ebene oder der [[3D|dreidimensionale]] Raum, als [[Punktmenge]]n aufgefasst. Eine geometrische Figur ist dann eine [[Teilmenge]] eines solchen Raums, also eine Menge von [[Punkt (Geometrie)|Punkten]].
[[Kategorie:Deutsch|!]]
 
[[Kategorie:Mittelstufe]]
Nicht von dieser Definition als Teilmenge abgedeckt werden weitergehende Strukturierungen wie z.&nbsp;B. ein [[geordnetes Paar]] von Punkten, weil für zwei Punkte <math>A,B</math> die Mengen <math>\{A,B\}</math> und <math>\{B,A\}</math> gleich sind.
[[Kategorie:Oberstufe]]
 
Ein anderes Beispiel: Eine Strecke <math>AC</math> zusammen mit einem Punkt <math>B</math> auf <math>AC</math>. Zwei verschiedene Auswahlen für <math>B</math> führen auf dieselbe Teilmenge der Ebene, nämlich die Strecke <math>AC</math>, sind also als Figuren im oben definierten Sinn identisch.
 
== Überblick und Beispiele ==
=== Ebene geometrische Figuren ===
Neben einzelnen [[Punkt (Geometrie)|Punkten]] in der Ebene und der ganzen Ebene selbst sind die einfachsten Figuren die [[Gerade]]n. In der [[Affine Geometrie|affinen Geometrie]] bezeichnet man Punkte und Geraden als [[Affiner Unterraum|affine Unterräume]] und ordnet ihnen eine [[Dimension (Mathematik)|Dimension]] zu. Punkte sind dann nulldimensionale und Geraden eindimensionale Unterräume der zweidimensionalen affinen Ebene. Eine wichtige Rolle spielen in der Geometrie auch gewisse Teilmengen von Geraden, nämlich die [[Strecke (Geometrie)|Strecken]] zwischen zwei Punkten und die [[Halbgerade]]n.
 
[[Datei:Geometria 02.svg|mini|Beispiele für ebene geometrische Figuren: [[Fünfeck]], [[Viereck]], [[Dreieck]] und [[Kreis]]]]
Die Figurenklasse der [[Polygon]]e erhält man, indem man mindestens drei Punkte durch Strecken verbindet. Bereits die einfachsten Polygone, die [[Dreieck]]e, ermöglichen reichhaltige geometrische Definitionen und Sätze (vgl. auch [[Dreiecksgeometrie]], [[Trigonometrie]]). Dreiecke spielen auch deshalb eine wichtige Rolle, weil sich Polygone mit mehr als drei Ecken, also [[Viereck]]e, [[Fünfeck]]e, [[Sechseck]]e usw., stets in Dreiecke zerlegen lassen.
 
Durch zusätzliche Bedingungen an Abstände und Winkel lassen sich häufig betrachtete Spezialfälle von Polygonen definieren. Bei den [[Regelmäßiges Vieleck|regelmäßigen Vielecken]] sind alle Seiten gleich lang und zudem alle Winkel zwischen aneinandergrenzenden Seiten gleich. Bei drei Ecken ergeben sich [[Gleichseitiges Dreieck|gleichseitige Dreiecke]], bei vier Ecken [[Quadrat (Geometrie)|Quadrate]]. Überschlagene regelmäßige Polygone, wie etwa das [[Pentagramm]], werden auch [[Stern (Geometrie)|Sterne]] genannt. Weitere spezielle Typen von Dreiecken sind die [[Gleichschenkliges Dreieck|gleichschenkligen]] mit zwei gleich langen Seiten und die [[Rechtwinkliges Dreieck|rechtwinkligen]] mit einem [[Rechter Winkel|rechten Winkel]]. Ein Viereck mit vier gleichen (und dann notwendig rechten) Winkeln wird [[Rechteck]] genannt, ein Viereck mit vier gleich langen Seiten [[Raute]]. Ein [[Parallelogramm]] ist ein Viereck, bei dem die jeweils gegenüberliegenden Seiten [[Parallel (Geometrie)|parallel]] sind.
 
Ebenfalls mit Hilfe des Abstandsbegriffs lassen sich [[Kreis]]e definieren, nämlich als Menge aller Punkte, die von einem vorgegeben Punkt einen festen Abstand haben. Da in der klassischen Geometrie [[Konstruktion mit Zirkel und Lineal|Konstruktionen mit Zirkel und Lineal]] eine große Bedeutung zukommt, zählen Kreise neben den Geraden zu den grundlegenden Figuren bei geometrischen Problemen. Wie der Kreis lassen sich auch die übrigen [[Kegelschnitt]]e, nämlich [[Ellipse]]n, [[Parabel (Mathematik)|Parabeln]] und [[Hyperbel (Mathematik)|Hyperbeln]], durch elementargeometrische Abstandsbedingungen definieren. So ist beispielsweise die Ellipse die Menge aller Punkte, für die die Summe der Abstände zu zwei gegebenen Punkten gleich ist.
 
Die Kegelschnitte lassen sich in [[Koordinatensystem|Koordinaten]] durch [[polynom]]iale Gleichungen zweiten Grades beschreiben: Sie sind sogenannte [[Quadrik]]en. Beispiele für [[Kurve (Mathematik)|Kurven]], die durch Gleichungen höheren Grades definiert werden, sind das [[Kartesisches Blatt|kartesische Blatt]] oder die [[Cassinische Kurve|cassinischen Kurven]]. Alternativ lassen sich Kurven auch mittels [[Parameterdarstellung|Parameter]] als [[Weg (Mathematik)|Wege]] beschreiben. Diese Darstellungsform kann zum Beispiel verwendet werden, um verschieden Arten von [[Spirale]]n oder [[Zykloide]]n zu untersuchen. Letztere entstehen geometrisch durch Abrollen von Kreisen auf Geraden oder anderen Kreisen.
 
=== Räumliche geometrische Figuren ===
[[Datei:Vector-valued function.png|mini|Räumliche Kurven (hier eine [[Helix]]) sind ebenfalls räumliche geometrische Figuren]]
Wie in der Ebene sind auch im dreidimensionalen euklidischen Raum die affinen Unterräume (Punkte, Geraden und Ebenen) zusammen mit Strecken und Halbgeraden die einfachsten geometrischen Figuren. Als Teilmengen von Ebenen im Raum lassen sich alle ebenen Figuren auch als Figuren im Raum auffassen. Strecken können auch zu geschlossenen oder offenen räumlichen [[Polygonzug (Mathematik)|Polygonzügen]] zusammengesetzt werden. Allgemein kann man auch Kurven im dreidimensionalen Raum betrachten, wie beispielsweise die [[Helix]] oder [[Knotentheorie|Knoten]].
 
[[Datei:SolidShapes.png|mini|Beispiele für räumliche geometrische Figuren: [[Kugel]], [[Pyramide (Geometrie)|Pyramide]], [[Würfel (Geometrie)|Würfel]], [[Torus]], [[Hohlzylinder]], [[Kreiszylinder]], [[Kegel (Geometrie)|Kegel]] und ein [[Knotentheorie|verknoteter]] Torus]]
Den zweidimensionalen Polygonen entsprechen im Raum die [[Polyeder]], das sind [[Körper (Geometrie)|geometrische Körper]], die nur von ebenen Seitenflächen begrenzt sind. Die am meisten regelmäßigen Polyeder sind die [[Platonischer Körper|platonischen Körper]], die dadurch charakterisiert sind, dass alle ihre Seitenflächen [[Kongruenz (Geometrie)|kongruente]] regelmäßige Vielecke sind. Bereits den Mathematikern im antiken Griechenland war bekannt, dass es genau fünf platonische Körper gibt: [[Tetraeder]], [[Würfel (Geometrie)|Würfel]], [[Oktaeder]], [[Ikosaeder]] und [[Dodekaeder]]. Eine weitere Klasse regelmäßiger Polyeder mit hoher [[Symmetrie (Geometrie)|Symmetrie]] sind die [[Archimedischer Körper|archimedischen Körper]], wie beispielsweise das [[Kuboktaeder]]. Die vollständige Klassifizierungen aller streng [[Konvexe Menge|konvexen]] Körper mit ausschließlich regelmäßigen Vielecken als Seitenflächen gelang erst im 20. Jahrhundert mit den [[Johnson-Körper]]n.
 
Weitere häufig betrachtete Arten von Polyedern sind die [[Pyramide (Geometrie)|Pyramiden]] und die [[Prisma (Geometrie)|Prismen]]. Ein gerades Prisma mit einem Rechteck als Grundseite heißt [[Quader]]. Ein schiefes Prisma mit einem Parallelogramm als Grundseite wird [[Parallelepiped]] oder Spat genannt.
 
Verallgemeinerungen von Pyramiden und Prismen auf nicht-polygonale Grundseiten sind [[Kegel (Geometrie)|Kegel]] und [[Zylinder (Geometrie)|Zylinder]]. Der gerade Kreiskegel und der gerade Kreiszylinder sind Beispiele für eine weitere wichtige Figurenklasse, die [[Rotationskörper]]. Zu ihnen gehört auch der [[Torus]], der durch Rotation eines Kreises um eine in der Kreisebene gelegene Achse entsteht.
 
Das dreidimensionale Analogon des Kreises, also die Menge aller Punkte im Raum, die von einem gegebenen Punkt den gleichen Abstand haben, ist die [[Kugel]]. Sie lässt sich ebenfalls als Rotationskörper erzeugen, nämlich durch Rotation eines Kreises um einen Durchmesser. Die Kugel ist der wichtigste Fall einer Quadrik im dreidimensionalen Raum. Weitere Quadriken sind die [[Ellipsoid]]e, [[Paraboloid]]e und [[Hyperboloid]]e, die auch ''Flächen zweiter Ordnung'' genannt werden. Die geometrischen Eigenschaften, insbesondere die [[Krümmung]]s&shy;eigenschaften, allgemeiner [[Fläche (Mathematik)|Flächen]] werden im mathematischen Teilgebiet der (elementaren) [[Differentialgeometrie]] untersucht. Dabei können Flächen als Lösungsmenge von Gleichungen oder durch Parameterdarstellungen angegeben werden.
{{Siehe auch|Körper (Geometrie)}}
 
=== Nichteuklidische geometrische Figuren ===
[[Datei:spherical triangle 3d.png|mini|[[Kugeldreieck]] als Beispiel für eine nichteuklidische geometrische Figur]]
{{Hauptartikel|Nichteuklidische Geometrie}}
In den ''nichteuklidischen Geometrien'', die Spezialisierungen der [[Absolute Geometrie|absoluten Geometrie]] sind, in denen das [[Parallelenaxiom]] aber ''nicht'' gilt, besitzen die geometrischen Figuren teilweise andere Eigenschaften. So beträgt die Innenwinkelsumme eines [[Kugeldreieck]]s mehr als 180° und es kann auch drei rechte Winkel enthalten. Ein „Quadrat“ auf einer Kugeloberfläche wird durch vier gleich lange Abschnitte von Großkreisen definiert. Seine Winkelsumme ist auch immer größer als 360°.
[[Datei:Square on sphere.svg|mini|Ein „Quadrat“ auf einer Kugeloberfläche mit vier Winkeln von jeweils 120°.]]
 
Vielecke im [[Hyperbolischer Raum|hyperbolischen Raum]] bzw. der [[hyperbolische Ebene|hyperbolischen Ebene]] besitzen eine Winkelsumme kleiner als in der euklidischen Geometrie.
 
=== Fraktale geometrische Figuren ===
[[Datei:Mandelbrot 2010.png|mini|[[Mandelbrotmenge]] als Beispiel für eine fraktale geometrische Figur in der Ebene]]
{{Hauptartikel|Fraktal}}
* Die [[Koch-Kurve]] wird durch die unendliche Iteration erzeugt, die mit einer einzelnen Strecke beginnt. Diese wird durch eine aus vier Strecken zusammengesetzte Figur ersetzt. Jeder der kleineren Streckenteile wird wieder durch eine verkleinerte Kopie dieser Figur ersetzt. Wird dieser Prozess unendlich fortgeführt, entsteht schließlich die Koch-Kurve.
* Nach einem ähnlichen Prinzip entsteht auch die [[Gosper-Kurve]]. Hier wird aber immer durch eine siebenseitige Figur ersetzt.
* Die [[Drachenkurve]] beschreibt die Form, die man erhält, wenn man einen langen Papierstreifen immer in die gleiche Richtung in der Mitte faltet und dann beim Auseinanderfalten jeden Knick zu einem rechten Winkel macht. Man kann sie auch wie die Koch-Kurve durch wiederholtes Ersetzen erzeugen.
* Um das [[Sierpinski-Dreieck]] zu erhalten, startet man mit einem gleichseitigen Dreieck und teilt es durch die Verbindungen der Seitenmittelpunkte in vier kleinere gleichseitige Dreiecke. Man entfernt das mittlere Dreieck und verfährt mit den anderen drei Dreiecken genau so wie mit dem Ausgangsdreieck.
* Der [[Menger-Schwamm]] wird fast so wie das Sierpinski-Dreieck konstruiert, es wird statt eines Dreiecks aber ein Würfel in 27 kleinere Würfel geteilt, von denen die sechs mittleren Würfel der Seiten und der zentrale Würfel entfernt werden. Mit den 20 verbleibenden Würfeln wird genau so verfahren.
* Bei der [[Mandelbrot-Menge]] wird eine rekursive Folge für viele Schritte berechnet. Geht der Wert (der [[komplexe Zahl|komplexen Zahl]]) nicht gegen unendlich (für praktische Berechnungen wird eine endliche Schranke gewählt), so gehört diese komplexe Zahl zu dem Fraktal.
 
== Siehe auch ==
* {{WikipediaDE|Kategorie:Geometrische Figur}}
* {{WikipediaDE|Geometrische Figur}}
* {{WikipediaDE|Unmögliche Figur}}
 
== Literatur ==
* {{Literatur
  |Autor=Henri Bacry
  |Titel=Group theory and constellations
  |Auflage=
  |Verlag=Editions Publibook
  |Ort=
  |Datum=2004
  |ISBN=2-7483-0305-9}}
* {{Literatur
  |Autor=Michael Henle
  |Titel=Modern geometries
  |Auflage=2.
  |Verlag=Prentice Hall
  |Ort=
  |Datum=2001
  |ISBN=0-13-032313-6}}
* {{Literatur
  |Autor=Mark Solomonovich
  |Titel=Euclidean Geometry: A First Course
  |Auflage=
  |Verlag=iUniverse
  |Ort=
  |Datum=2010
  |ISBN=1-4401-5348-5}}
 
{{Normdaten|TYP=s|GND=4139878-6}}
 
[[Kategorie:Geometrische Figur|!]]
[[Kategorie:Geometrie]]
 
{{Wikipedia}}

Version vom 20. Januar 2020, 00:10 Uhr

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