Koordinatensystem und Linie: Unterschied zwischen den Seiten

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[[Datei:Koordinaten-1d2d.svg|mini|hochkant=1.2|Zahlenstrahl (oben), ebene kartesische Koordinaten (unten)]]
Eine '''Linie''' (von [[lat.]] ''linea'' „Strich, Richtschnur, Kante“) ist in der [[Geometrie]] eine gedachte oder gezeichnete gerade oder gekrümmte Verbindung zwischen zwei [[Punkt]]en. [[Mathematik|Mathematisch]] handelt es sich um ein als [[Kurve (Mathematik)|Kurve]] bezeichnetes [[eindimensional]]es [[Objekt]].
{{Schachbrett|Z8=--/--/--/--/--/--/--/--/|Beschreibung= Die Felder des Schachbretts werden mit einem Zahlen-Buchstaben-Paar bezeichnet.}}
 
Ein '''Koordinatensystem''' dient dazu, [[Punkt (Geometrie)|Punkte]] mit Hilfe von Zahlen, den '''Koordinaten''', in eindeutiger Weise zu beschreiben. Die einfachsten Beispiele sind ein [[Zahlenstrahl]] und [[kartesische Koordinaten]] in der [[Euklidische Ebene|Ebene]]. Im ersten Fall wird einem Punkt einer Gerade eine [[reelle Zahl]] zugeordnet. Im zweiten Fall wird ein Punkt in der Ebene durch zwei reelle Zahlen beschrieben.
 
Bei [[Volumen|räumlichen]] Gebilden sind drei Koordinaten erforderlich, bei [[Raum (Physik)|raum]]-[[zeit]]lichen Gebilden vier.
 
Der Begriff ''Koordinate'' – in der Bedeutung „Lageangabe“ – wurde im 18. Jahrhundert aus dem Wort ''[[Ordinate]]'' (Senkrechte) gebildet.<ref>Etymologie nach ''Kluge Etymologisches Wörterbuch der deutschen Sprache'', 24. Auflage, 2002.</ref>
 
Koordinaten werden in verschiedenen Bereichen der [[Mathematik]] und [[Physik]] unterschiedlich bezeichnet. So heißen die Koordinaten eines Elements ([[Vektor]]s) eines endlichdimensionalen [[Vektorraum]]s seine Komponenten, die Koordinaten in einem [[Mengenprodukt|Produkt von Mengen]] sind die [[Projektion_(Mengenlehre)|Projektion]]en auf einen der Faktoren.
Oft gibt es zahlreiche Möglichkeiten, ein Koordinatensystem einzuführen. Beim Beispiel des Zahlenstrahls hat man beliebig viele Möglichkeiten einen Punkt auszuwählen, dem die Koordinate 0 zugeordnet werden soll. In der Ebene ist die Situation sogar noch komplizierter. Selbst nach Wahl eines Punktes, der die Koordinate <math>(0,0)</math> erhält, lässt sich jedes (verschiedene) Paar von Zahlenstrahlen durch diesen Punkt als [[Koordinatenachse]]n wählen.
 
Je nach Beschaffenheit der Menge, auf der man ein Koordinatensystem wählen möchte benötigt man auch mehr als ein oder zwei Koordinaten. Die [[geordnete Menge]] der Koordinaten wird meist als ein [[n-Tupel]] bezeichnet. Der Punkt des Zahlenstrahls mit der Koordinate 0 und der Punkt der Ebene mit den Koordinaten <math>(0,0)</math> beziehungsweise der ausgezeichnete Punkt einer Menge, dessen Koordinaten alle 0 sind, wird als '''Koordinatenursprung''' (kurz: ''Ursprung'') bezeichnet.
 
Neben den weit verbreiteten kartesischen (rechtwinkligen) Koordinaten gibt es auch andere Arten, Koordinatensysteme zu definieren. Möchte man beispielsweise auf der [[Kreis]]fläche Koordinaten einführen, so würden sich [[Polarkoordinaten]] anbieten. Der Kreismittelpunkt wäre dann der Ursprung und jeder Punkt der Kreisfläche würde durch Angabe der Entfernung vom Mittelpunkt und eines Winkels eindeutig beschrieben. In diesem Fall lässt sich im Vergleich zu den kartesischen Koordinaten nur eine der beiden Koordinaten als Länge interpretieren.
Ein anderes Beispiel ist das eines [[Schachbrett]]es. Hier wird eine Kombination aus Buchstaben und [[Natürliche Zahl|natürlichen Zahlen]] genutzt, um die Felder des Brettes zu benennen.
 
In vielen Situationen ist es unmöglich, hinreichend sinnvolle und bequeme globale Koordinaten auf der gesamten Menge einzuführen. Zum Beispiel können die Punkte einer [[Kugel]]oberfläche, anders als die einer Ebene, nicht in eine kontinuierliche Eins-zu-Eins-Korrespondenz mit Zahlenpaaren gebracht werden. Daher wurde das Konzept der [[Lokale Koordinaten|lokalen Koordinaten]] eingeführt. Dies ist zum Beispiel die Situation in der Theorie der [[Mannigfaltigkeit]]en.
 
== Gebräuchliche Koordinatensysteme ==
 
===Zahlengerade===
{{Hauptartikel|Zahlengerade}}
 
Das einfachste Beispiel eines Koordinatensystems ist die Identifikation von Punkten auf einer Gerade mit der reellen Zahlengerade. In diesem System wird ein beliebiger Punkt ''O'' (der ''Ursprung'') auf einer gegebenen Geraden gewählt. Die Koordinate eines Punktes ''P'' ist definiert als der vorzeichenbehaftete Abstand von ''O'' zu ''P'', wobei der vorzeichenbehaftete Abstand als positiv oder negativ angenommen wird, je nachdem, auf welcher Seite der Linie ''P'' liegt. Jeder Punkt erhält eine eindeutige Koordinate und jede reelle Zahl ist die Koordinate eines eindeutigen Punktes.<ref>{{Literatur |Autor=James B. Stewart, Lothar Redlin, Saleem Watson |Titel=College Algebra |Herausgeber=[[Brooks Cole]] |Jahr=2008 |Auflage= 5. |Seiten=13–19 |ISBN=978-0-495-56521-5}}</ref>
[[Datei:Number-line.svg|center|Die Zahlenlinie]]
 
===Kartesisches Koordinatensystem===
[[Datei:Rectangular coordinates.svg|thumb|Das kartesische Koordinatensystem im dreidimensionalen Raum]]
[[Datei:Cartesian coordinate system handedness.svg|mini|Links- und rechtshändiges (rechts) dreidimensionales Koordinatensystem]]
 
{{Hauptartikel|Kartesisches Koordinatensystem}}
 
Eines der bekanntesten Beispiele für ein Koordinatensystem ist das kartesische Koordinatensystem. In der Ebene werden zwei [[Senkrechte]] gewählt und die Koordinaten eines Punktes als die vorzeichenbehafteten Abstände zu den Geraden aufgefasst. In drei Dimensionen wählt man drei zueinander [[Orthogonalität|orthogonale]] Ebenen und die drei Koordinaten eines Punktes sind die vorzeichenbehafteten Abstände zu jeder der Ebenen. Dies kann verallgemeinert werden, um ''n''-Koordinaten für jeden Punkt im ''n''-dimensionalen euklidischen Raum zu erzeugen.
 
Es ist nach dem [[Latinisierung|latinisierten]] Namen ''Cartesius'' des französischen Mathematikers [[René Descartes]] benannt, der das Konzept der „kartesischen Koordinaten“ bekannt gemacht hat.<ref>{{Literatur |Titel=Kartesische Koordinaten |Autor= |Hrsg=Guido Walz |Sammelwerk=Lexikon der Mathematik |Auflage=1 |Verlag=Spektrum Akademischer Verlag |Ort=Mannheim/Heidelberg |Datum=2000 |ISBN=3-8274-0439-8}}</ref> Je nach Anordnung der Koordinatenachsen kann das dreidimensionale Koordinatensystem ein [[Rechtssystem (Mathematik)|Rechts-]] oder ein Linkssystem sein.
 
=== Affines Koordinatensystem ===
[[Datei:Koordinaten-aff-2d.svg|mini|links|affine Koordinaten]]
 
{{WikipediaDE|Affine Koordinaten|Affine Koordinaten}}
 
Wählt man in der euklidischen Ebene drei nicht auf einer Gerade liegende Punkte <math>P_0,P_1,P_2</math> aus, so sind die beiden Vektoren <math>\overrightarrow{P_0P_1},\overrightarrow{P_0P_2}</math> linear unabhängig. Mit dem Punkt <math>P_0</math> als Ursprung lässt sich der [[Ortsvektor]] <math>\overrightarrow{P_0P}</math> eines beliebigen Punktes <math>P</math> so schreiben:
:<math>\overrightarrow{P_0P}=u\overrightarrow{P_0P_1}+v\overrightarrow{P_0P_2}</math>
und dem Punkt <math>P</math> das Zahlenpaar <math>(u,v)_a</math>
als ''affine Koordinaten''<ref>Bronstein, Semendjajew: Taschenbuch der Mathematik, Teubner-Verlag, Leipzig, 1979, ISBN 3 87144 492 8, S. 606</ref> bezüglich den ''Basispunkten'' <math>P_0,P_1,P_2</math> zuordnen.
 
Bilden die Vektoren <math>\overrightarrow{P_0P_1} , \overrightarrow{P_0P_2} </math> eine [[Orthonormalbasis]], so ergeben sich die zuvor genannten kartesischen Koordinaten. In diesem Fall sind für einen Punkt <math>(u_0,v_0)_a</math> die Punktmengen <math>u=u_0</math> und <math>v=v_0</math> Geraden, die sich orthogonal schneiden. Sind die Basisvektoren nicht orthogonal (siehe Bild), spricht man von [[Schiefwinklige Koordinaten|schiefwinkligen Koordinaten]].
 
Entsprechend sind affine Koordinaten für ''höhere Dimensionen'' erklärt. Koordinaten auf diese Weise zu definieren ist für jeden n-dimensionalen [[Affine Räume|affinen Raum]] über einem Körper möglich, ist also nicht auf einen euklidischen Raum beschränkt.
 
=== Polarkoordinaten ===
[[Datei:Kreis-orthog-traj.svg|mini|Polarkoordinaten]]
{{Hauptartikel|Polarkoordinaten}}
 
Ein weiteres häufig genutztes Koordinatensystem ist das der Polarkoordinaten. Dieses kann nur in der Ebene eingeführt werden. Für den dreidimensionalen Raum gibt es mit den Kugel- und den Zylinderkoordinaten zwei unterschiedliche Verallgemeinerungen. Im Gegensatz zu den zuvor genannten Systemen sind dieses Koordinatensystem und seine zwei Verallgemeinerungen keine Spezialfälle affiner Koordinatensysteme.
 
Für die Definition dieses Koordinatensystems wird ein Punkt als Pol und ein Strahl von diesem Punkt wird als Polachse gewählt. Für einen gegebenen Winkel <math>\phi</math> gibt es eine einzige Linie durch den Pol, deren Winkel mit der Polachse <math>\phi</math> ist (gemessen gegen den Uhrzeigersinn von der Achse zur Linie). Dann gibt es einen einzigen Punkt auf dieser Linie, dessen Abstand vom Ursprung den Wert <math>r</math> ist. Für ein gegebenes Koordinatenpaar <math>(r, \phi)</math> gibt es einen einzigen Punkt, aber jeder Punkt wird durch viele Koordinatenpaare dargestellt. Zum Beispiel sind <math>(r, \phi)</math> und <math>(r, \phi + 2 \pi)</math> Polarkoordinaten für denselben Punkt. Der Pol wird durch <math>(0, \phi)</math> für einen beliebigen Wert von <math>\phi</math> dargestellt.
 
=== Kugel- und Zylinderkoordinaten ===
[[Datei:Cylindrical Coordinates.svg|mini|hochkant=0.7|Zylinderkoordinaten]]
[[Datei:Kugelkoord-def.svg|hochkant=0.7|mini|Kugelkoordinaten]]
{{Hauptartikel|Kugelkoordinaten|Zylinderkoordinaten}}
 
Es gibt zwei übliche Methoden zur Erweiterung der Polarkoordinaten für den dreidimensionalen Raum.
 
Bei zylindrischen Koordinatensystem wird eine z-Koordinate mit der gleichen Bedeutung wie bei kartesischen Koordinaten zu den Polarkoordinaten <math>(r, \phi)</math> hinzugefügt, was ein Tripel <math>(r, \phi, z)</math> ergibt.
 
Bei Kugelkoordinaten oder räumlichen Polarkoordinaten wird ein Punkt im dreidimensionalen Raum durch seinen Abstand vom Ursprung und durch zwei Winkel angegeben. Ein bekanntes Beispiel eines Kugelkoordinatensystems ist das [[geographische Koordinaten|System der Geographischen Koordinaten]] mit deren Hilfe die [[Erde]] in [[Längengrad|Längen-]] und [[Breitengrad|Breitengrade]] unterteilt wird. Die dritte Koordinate also der Abstand vom Erdmittelpunkt ist bei diesem System nicht relevant.
 
=== Elliptische Koordinaten ===
{{Hauptartikel|Elliptische Koordinaten}}
 
Elliptische Koordinaten verwenden sich senkrecht schneidende Systeme von [[Konfokale Kegelschnitte|konfokalen Ellipsen]] und Hyperbeln. Diese Koordinaten sind für die Brennpunkte und die Punkte dazwischen nicht definiert.
 
Den (ebenen) elliptischen Koordinaten entsprechen die [[Konfokale Kegelschnitte|Ellipsoid-Koordinaten]]. Das hier verwendete orthogonale Flächensystem besteht aus konfokalen Ellipsoiden, einschaligen und zweischaligen Hyperboloiden.
 
Weiterhin gibt es noch die [[ellipsoidische Koordinaten]], die zur Beschreibung von Punkten eines Rotations-Ellipsoids (Erde) verwendet werden.
 
== Parameterdarstellung ==
{{Hauptartikel|Parameterdarstellung}}
 
Parameterdarstellungen von Flächen kann man als Koordinatensysteme dieser Flächen ansehen. Z. B. die Parameterdarstellung einer Ebene, die übliche Parameterdarstellung einer Kugeloberfläche mit geographischer Länge und Breite oder die Paramerdarstellung eines [[Ellipsoid|Ellipsoids]].
 
== Lokales Koordinatensystem ==
[[Datei:Kugelkoord-lokale-Basis-s.svg|mini|hochkant=0.9|Kugelkoordinaten mit zugehöriger lokaler Basis <math>\mathbf{e}_r,\mathbf{e}_\theta,\mathbf{e}_\varphi</math>]]
 
Ein lokales Koordinatensystem oder auch (Koordinaten-)Karte<ref>{{Literatur |Titel=Komplexe Mannigfaltigkeit |Autor= |Hrsg=Guido Walz |Sammelwerk=Lexikon der Mathematik |Auflage=1 |Verlag=Spektrum Akademischer Verlag |Ort=Mannheim/Heidelberg |Datum=2000 |ISBN=3-8274-0439-8}}</ref> ist ein Koordinatensystem für eine Teilmenge eines geometrischen Objekts.
Das Konzept der Koordinatenkarten ist zentral für die Theorie der [[Mannigfaltigkeit]]en. Eine Mannigfaltigkeit ist ein geometrisches Objekt, so dass für jeden Punkt ein lokales Koordinatensystem existiert, das mit den benachbarten Koordinatensystemen verträglich ist. Genauer gesagt ist eine Koordinatenkarte ein [[Homöomorphismus]] von einer offenen Teilmenge eines Raumes zu einer [[Offene Teilmenge|offenen Teilmenge]] von <math>\R^n</math>. Oft ist es nicht möglich, ein einziges konsistentes Koordinatensystem für einen ganzen Raum bereitzustellen. In diesem Fall wird eine Sammlung von Koordinatenkarten zu einem [[Atlas (Mathematik)|Atlas]] zusammengesetzt, der den ganzen Raum abdeckt.<ref>John M. Lee: ''Introduction to Smooth Manifolds'' (= ''Graduate Texts in Mathematics'' 218). Springer-Verlag, New York NY u. a. 2003, ISBN 0-387-95448-1, S. 4ff.</ref>
 
Sind beispielsweise <math>(u,v)_c</math> krummlinige orthogonale Koordinaten (Polarkoordinaten, elliptische Koordinaten,...) auf der Ebene und bestimmt man an einem Punkt <math>P_0=(u_0,v_0)_c</math> die [[Tangentenrichtung]]en der Kurven <math>v=v_0</math> und <math>u=u_0</math> und normiert diese, so erhält man ''lokale Basisvektoren'', die man für ein lokales Koordinatensystem verwenden kann. Bei Polarkoordinaten zeigt der eine Vektor in Radiusrichtung und der andere in Richtung der Tangente des Kreises durch <math>P_0</math>. Hier kann man sich das lokale System durch Verschiebung und geeigneter Drehung aus dem globalen System entstanden denken.
 
Im Raum bestimmt man die [[Tangentenvektor]]en an die durch einen Punkt <math>P_0=(u_0,v_0,w_0)_c</math> gehenden Kurven <math>(u,v_0,w_0)_c</math>, <math>(u_0,v,w_0)_c</math> und <math>(u_0,v_0,w)_c</math> und normiert sie.
 
== Koordinatentransformationen ==
{{Hauptartikel|Koordinatentransformation}}
Für das Umrechnen von Koordinaten eines Systems in die Koordinaten eines anderen Systems gibt es die Koordinatentransformationen.
 
== Homogene Koordinaten in der Ebene ==
Die euklidische Ebene lässt sich auch mit [[homogene Koordinaten|homogenen Koordinaten]] beschreiben. Dabei werden einem Punkt <math>P=(x,y)</math> drei homogene Koordinaten <math>(x_1:x_2:x_3)</math> so zugeordnet, dass auch <math>P=(cx_1:cx_2:cx_3)</math> für alle <math>c\ne 0</math> gilt. Eine Standardzuordnung ist <math>P=(x:y:1)</math>. Setzt man <math>P=(x:y:1-x-y)</math> erhält man [[baryzentrische Koordinaten]]. Der große Vorteil homogener Koordinaten ist, dass Punkte der Ferngerade einfach zu beschreiben sind: Im Standardfall durch die Gleichung <math>x_3=0</math>, im baryzentrischen Fall durch die Gleichung <math>x_1+x_2+x_3=0</math>. Die bei affinen Koordinaten nötigen Grenzwert-Überlegungen werden im Standardfall zum einfachen Setzen von <math>x_3=0</math>.
 
In der [[Dreiecksgeometrie]] werden auch [[trilineare Koordinaten]] verwendet.
 
== Weitere Koordinatensysteme ==
Einige nur in Fachgebieten (z.&nbsp;B. [[Geodäsie]], [[Kartografie]], [[Geographie]], [[Fernerkundung]], [[Astronomie]], [[Amateurfunkdienst|Amateurfunk]]) gebräuchliche Koordinatensysteme sind:
* [[Inertialsystem]]
* [[Geographische Koordinaten|Geographisches Koordinatensystem]]
* [[Soldner-Koordinatensystem]]
* [[Gauß-Krüger-Koordinatensystem]]
* [[UTM-Koordinatensystem]]
** [[UTM-Referenzsystem]] auch MGRS
* [[Astronomische Koordinatensysteme]] wie das [[Ekliptikales Koordinatensystem|ekliptikale]] oder [[Galaktisches Koordinatensystem|galaktische]]
* [[Parallele Koordinaten]]
* Bewegte Koordinatensysteme
* Rotierende Koordinatensysteme
* [[Fahrzeugkoordinatensystem]]
* [[Weltkoordinatensystem]]
* [[QTH-Locator]] (Amateurfunk)
* [[Marinequadrat]]e und [[Jagdgradnetzmeldeverfahren|Gradnetze]] (aus dem Zweiten Weltkrieg)


== Siehe auch ==
== Siehe auch ==
* {{WikipediaDE|Koordinatensystem}}
== Weblinks ==
{{Wiktionary|Koordinate}}
{{Wiktionary|Koordinatensystem}}
* [https://www.mathe-online.at/mathint/zeich/i.html Einfache und verständliche Erklärung] (hpts. durch Abbildungen)
* {{MathWorld |id=CoordinateSystem |title=Coordinate System}}
== Einzelnachweise ==
<references/>


{{Normdaten|TYP=s|GND=4165251-4}}
{{Wiktionary|Linie}}


[[Kategorie:Mathematik]]
[[Kategorie:Geometrie]] [[Kategorie:Zweiheit]]
[[Kategorie:Geometrie]]
[[Kategorie:Analysis]]
{{Wikipedia}}

Version vom 2. Mai 2019, 18:23 Uhr

Eine Linie (von lat. linea „Strich, Richtschnur, Kante“) ist in der Geometrie eine gedachte oder gezeichnete gerade oder gekrümmte Verbindung zwischen zwei Punkten. Mathematisch handelt es sich um ein als Kurve bezeichnetes eindimensionales Objekt.

Siehe auch

 Wiktionary: Linie – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen
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