Fibonacci-Folge: Unterschied zwischen den Versionen

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* Video: [https://www.br.de/fernsehen/ard-alpha/sendungen/mathematik-zum-anfassen/mathematik-zum-anfassen-fibonacci-zahlen100.html Die Fibonacci-Zahlen] (aus der Fernsehsendung ''Mathematik zum Anfassen'' des Senders BR-alpha) von Albrecht Beutelspacher
* Video: [https://www.br.de/fernsehen/ard-alpha/sendungen/mathematik-zum-anfassen/mathematik-zum-anfassen-fibonacci-zahlen100.html Die Fibonacci-Zahlen] (aus der Fernsehsendung ''Mathematik zum Anfassen'' des Senders BR-alpha) von Albrecht Beutelspacher
* [http://milan.milanovic.org/math/ Fibonacci Numbers and the Pascal Triangle] (englisch, deutsch, serbisch)
* [http://milan.milanovic.org/math/ Fibonacci Numbers and the Pascal Triangle] (englisch, deutsch, serbisch)
* {{TIBAV |19898 |Linktext=Die Fibonacci-Folge |Herausgeber=PHHD |Jahr=2012 |DOI=10.5446/19898}}


== Einzelnachweise ==
== Einzelnachweise ==

Version vom 28. September 2018, 18:51 Uhr

Kachelmuster aus Quadraten, deren Kantenlängen der Fibonacci-Folge entsprechen

Die Fibonacci-Folge ist die unendliche Folge von natürlichen Zahlen, die (ursprünglich) mit zweimal der Zahl 1 beginnt oder (häufig, in moderner Schreibweise) zusätzlich mit einer führenden Zahl 0 versehen ist.[1] Im Anschluss ergibt jeweils die Summe zweier aufeinanderfolgender Zahlen die unmittelbar danach folgende Zahl:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, …
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, …

Die darin enthaltenen Zahlen heißen Fibonacci-Zahlen. Benannt ist die Folge nach Leonardo Fibonacci, der damit im Jahr 1202 das Wachstum einer Kaninchenpopulation beschrieb. Die Folge war aber schon in der Antike sowohl den Griechen als auch den Indern bekannt.[2]

Weitere Untersuchungen zeigten, dass die Fibonacci-Folge auch noch zahlreiche andere Wachstumsvorgänge der Pflanzen beschreibt. Es scheint, als sei sie eine Art Wachstumsmuster in der Natur.[3]

Die Fibonacci-Zahlen weisen einige bemerkenswerte mathematische Besonderheiten auf:

  • Aufgrund der Beziehung zur vorherigen und zur folgenden Zahl scheint Wachstum in der Natur einem Additionsgesetz zu folgen.
  • Die Fibonacci-Folge steht in einem unmittelbaren Zusammenhang zum Goldenen Schnitt. Je weiter man in der Folge fortschreitet, desto mehr nähert sich der Quotient aufeinanderfolgender Zahlen dem Goldenen Schnitt (1,618033…) an (beispielsweise 13:8=1,6250; 21:13≈1,6154; 34:21≈1,6190; 55:34≈1,6176; etc).
  • Diese Annäherung ist alternierend, d. h. die Quotienten sind abwechselnd kleiner und größer als der Goldene Schnitt.[3]

Definition der Fibonacci-Folge

Die Fibonacci-Folge ist durch das rekursive Bildungsgesetz

  für

mit den Anfangswerten

definiert. Das bedeutet in Worten:

  • Für die beiden ersten Zahlen wird der Wert eins vorgegeben.
  • Jede weitere Zahl ist die Summe ihrer beiden Vorgänger in der Folge.

Daraus ergibt sich:

n fn n fn n fn n fn n fn
1 1 11 89 21 10 946 31 1 346 269 41 165 580 141
2 1 12 144 22 17 711 32 2 178 309 42 267 914 296
3 2 13 233 23 28 657 33 3 524 578 43 433 494 437
4 3 14 377 24 46 368 34 5 702 887 44 701 408 733
5 5 15 610 25 75 025 35 9 227 465 45 1 134 903 170
6 8 16 987 26 121 393 36 14 930 352 46 1 836 311 903
7 13 17 1 597 27 196 418 37 24 157 817 47 2 971 215 073
8 21 18 2 584 28 317 811 38 39 088 169 48 4 807 526 976
9 34 19 4 181 29 514 229 39 63 245 986 49 7 778 742 049
10 55 20 6 765 30 832 040 40 102 334 155 50 12 586 269 025

Aus der Forderung, dass die Rekursion

auch für ganze Zahlen gelten soll, erhält man eine eindeutige Fortsetzung auf den Index 0 und auf negative Indizes. Es gilt:

für alle

Die so erweiterte Fibonacci-Folge lautet dann

Darüber hinaus ist eine Verallgemeinerung der Fibonacci-Zahlen auf komplexe Zahlen, proendliche Zahlen[4] und auf Vektorräume möglich.

Eigenschaften

Beziehungen zwischen den Folgegliedern

Identitäten:

  • mit der Lucas-Folge , insbesondere:
  • (Identität von Catalan)
  • (Identität von Cassini, Spezialfall der Catalan-Identität)
  • (Identität von d’Ocagne)

Teilbarkeit:

  • Je zwei benachbarte Fibonaccizahlen sind teilerfremd, d. h. .
  • Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle m\mid n\Rightarrow f_m\mid f_n} ; für gilt auch die Umkehrung. Insbesondere kann für Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n>4} nur dann eine Primzahl sein, wenn eine Primzahl ist.
  • (Genau jede dritte Fibonacci-Zahl ist durch 2 teilbar.)
  • Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 3 \mid f_n \Leftrightarrow 4 \mid n} (Genau jede vierte Fibonacci-Zahl ist durch 3 teilbar.)
  • (Genau jede sechste Fibonacci-Zahl ist durch 4 teilbar.)
  • (Genau jede fünfte Fibonacci-Zahl ist durch 5 teilbar.)
  • (Genau jede achte Fibonacci-Zahl ist durch 7 teilbar.)
  • (Genau jede zwölfte Fibonacci-Zahl ist durch 16 teilbar.)[5]
Für die Teilbarkeit durch Primzahlen gilt unter Verwendung des Jacobi-Symbols:
  • Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle p \mid f_{p+1} \Leftrightarrow \left(\frac{5}{p}\right)=-1} [6]

Reihen:

Es gibt noch zahlreiche weitere derartige Formeln.

Verwandtschaft mit dem Goldenen Schnitt

Wie von Johannes Kepler festgestellt wurde, nähert sich der Quotient zweier aufeinander folgender Fibonacci-Zahlen dem Goldenen Schnitt Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Phi} an. Dies folgt unmittelbar aus der Näherungsformel für große

Diese Quotienten zweier aufeinanderfolgender Fibonacci-Zahlen haben eine bemerkenswerte Kettenbruchdarstellung:

Da diese Quotienten im Grenzwert gegen den goldenen Schnitt konvergieren, lässt sich dieser als der unendliche Kettenbruch

darstellen.

Die Zahl ist irrational. Das bedeutet, dass sie sich nicht durch ein Verhältnis zweier ganzer Zahlen darstellen lässt. Am besten lässt sich durch Quotienten zweier aufeinanderfolgender Fibonacci-Zahlen approximieren. Dies gilt auch für verallgemeinerte Fibonaccifolgen, bei denen und beliebige natürliche Zahlen annehmen.

Zeckendorf-Theorem

Das nach Edouard Zeckendorf benannte Zeckendorf-Theorem besagt, dass jede natürliche Zahl eindeutig als Summe voneinander verschiedener, nicht direkt aufeinanderfolgender Fibonacci-Zahlen geschrieben werden kann. Das heißt, es gibt für jedes eine eindeutige Darstellung der Form

mit und für alle .

Die entstehende Folge von Nullen und Einsen wird Zeckendorf-Sequenz genannt. Da aufeinanderfolgende Fibonacci-Zahlen ausgeschlossen sind, können keine zwei Einsen in einer Zeckendorf-Sequenz unmittelbar hintereinander stehen.

Allgemeiner ist die verwandte Aussage, dass sich jede ganze Zahl z eindeutig als Summe verschiedener, nicht direkt aufeinanderfolgender negaFibonacci-Zahlen ( mit ) darstellen lässt:

mit und für alle .

So wäre zum Beispiel als Binärsequenz 1001 darstellbar.[7]

Zu weiteren Themen siehe auch

Siehe auch

Literatur

  • John H. Conway, Richard K. Guy: The Book of Numbers. Copernicus NY 1996, ISBN 0-387-97993-X.
  • Richard A. Dunlap: The Golden Ratio and Fibonacci Numbers. 2. Auflage. World Scientific, Singapur, 1999, ISBN 981-02-3264-0.
  • Huberta Lausch: Fibonacci und die Folge(n). Oldenbourg 2010, ISBN 978-3-486-58910-8.
  • Paulo Ribenboim: The New Book of Prime Number Records. Springer-Verlag 1996, ISBN 0-387-94457-5.
  • The Fibonacci Quarterly. Seit 1963 vierteljährlich erscheinende Zeitschrift, die sich der Fibonacci- und verwandten Folgen widmet.

Weblinks

Commons: Fibonacci numbers - Weitere Bilder oder Audiodateien zum Thema

Einzelnachweise

  1. Folge A000045 in OEIS
  2. Parmanand Singh: The So-called Fibonacci numbers in ancient and medieval India. In: Historia Mathematica. 12, Nr. 3, 1985, S. 229–244. doi:10.1016/0315-0860(85)90021-7.
  3. 3,0 3,1 Ruben Stelzner (in Zusammenarbeit mit Wolfgang Schad): Der Goldene Schnitt. Das Mysterium der Schönheit. In: golden-section.eu. Abgerufen am 26. Oktober 2015.
  4. Hendrik Lenstra: Profinite Fibonacci numbers. (PDF)
  5. Nicolai N. Vorobiev: Fibonacci Numbers. Birkhäuser, Basel 2002. ISBN 3-7643-6135-2. S. 59, Online-Version.
  6. PDF. Bei: sternenreise.com.
  7.  Donald E. Knuth: The Art Of Computer Programming Vol. IV.


Dieser Artikel basiert (teilweise) auf dem Artikel Fibonacci-Folge aus der freien Enzyklopädie Wikipedia und steht unter der Lizenz Creative Commons Attribution/Share Alike. In Wikipedia ist eine Liste der Autoren verfügbar.