Cassinische Kurve und Meridian (Geographie): Unterschied zwischen den Seiten

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[[Bild:Cassini.png|thumb|400px|Cassinische Kurven]]
#WEITERLEITUNG [[Koordinatensystem#Geographisches Koordinatensystem]]
Die '''Cassinische Kurve''' ist eine [[Kurve (Mathematik)|mathematische Kurve]] 4. Ordnung, die mathematisch definiert ist als der Ort aller Punkte in der Ebene, für die das Produkt ihrer Abstände von zwei gegebenen Punkten (c,0) und (-c,0) konstant gleich a<sup>2</sup> ist. Sie ist benannt nach dem französischen [[Astronom]] und [[Mathematiker]] italienischer Herkunft [[Wikipedia:Giovanni Domenico Cassini|Giovanni Domenico Cassini]], der diese Kurve [[Wikipedia:1680|1680]] als Alternative zu den von [[Johannes Kepler]] formulierten [[Ellipse (Mathematik)|elliptischen]] [[Planet]]enbahnen vorgeschlagen hat, die er, ebenso wie [[Isaac Newton]]s [[Gravitationstheorie]], entschieden abgelehnt hatte.
 
[[Datei:Cassini-k-def.svg|250px|mini|Definition der Cassinischen Kurve]]
In [[Kartesische Koordinaten|kartesischen Koordinaten]] wird die Cassinische Kurve durch folgende Gleichung beschrieben:
 
<math>(x^2+y^2)^2-2c^2(x^2-y^2)=a^4-c^4\qquad a,c\in\mathbb{R}^+_0</math>
 
In [[Polarkoordinaten]] lautet die Gleichung entsprechend:
 
<math>r^2=c^2\cos(2\varphi)\pm\sqrt{c^4\cos^2(2\varphi)+(a^4-c^4)}\qquad a,c\in\mathbb{R}^+_0.</math>
 
[[Datei:Lemniskate bernoulli2.svg|mini|Lemniskate von Bernoulli]]
Ein Spezialfall der Cassinischen Kurve für c = a ist die [[Lemniskate#Lemniskate von Bernoulli|Lemniskate von Bernoulli]].
 
:<math>(x^2 + y^2)^2 = 2a^2 (x^2 - y^2)</math>
 
In Polarkoordinaten:
 
:<math>r^2 = 2a^2 \cos 2\phi</math>
 
<div style="margin-left:20px">
"Es handelt sich nun darum, ob es irgendwo in der Realität etwas
gibt, was uns nötigt, in solchen Kurven real zu denken. Das ist dasjenige,
was ich als Frage aufwerfen möchte. Dazu aber möchte ich,
noch bevor ich übergehe zur Charakteristik dessen, was etwa in der
Wirklichkeit dem entsprechen könnte, etwas einfügen, was Ihnen
vielleicht den Übergang zu der Wirklichkeit von diesen abstrakten
Vorstellungen erleichtern kann. Das ist das Folgende. Sie können
auch noch ein anderes Problem in der theoretischen Astronomie, in
der theoretischen Physik stellen. Sie können nämlich das Problem
stellen: Nehmen wir an, hier wäre eine Lichtquelle in A und diese
Lichtquelle in A beleuchte einen Punkt M (Fig. 10). Dieser Punkt M
würde mit Bezug auf die Stärke seines Leuchtglanzes in B beobachtet.
Also, man beobachtet von B aus irgendwie mit den entsprechenden
optischen Instrumenten den Leuchtglanz des Punktes M, der
von A beleuchtet ist. Wir würden ja selbstverständlich die Stärke
dieses Leuchtglanzes verschieden sehen, je nachdem B von M entfernt
ist. Aber es gibt eine Bahn, die dieser Punkt M beschreiben
kann, die so verläuft, daß, wenn er von A beleuchtet ist, er in B
immer mit derselben Glanzstärke strahlt. Es gibt eine solche Bahn.
 
[[Datei:GA323_175.gif|center|300px|Figur 10]]
 
Wir können also fragen: Welches muß die Bahn eines Punktes sein,
der von einem fixen Punkte A beleuchtet wird, damit er in einem
anderen fixen Punkte B im Glanz immer dieselbe Stärke hat? Und
diese Kurve, in der ein solcher Punkt sich bewegt, das ist die Cassinische
Kurve! Sie sehen daraus, daß hier sich hineinstellt in ein
Raumverhältnis, in eine komplizierte Kurve dasjenige, was nun
schon in das Qualitative hinüberfällt. Die Qualität, die wir ja schon
im Leuchtglanz sehen, in der Stärke des Glanzes sehen müssen, diese
Qualität wird hier abhängig von dem Figuralen in den Raumverhältnissen.
 
Nun, ich wollte dieses nur anführen, damit Sie sehen, daß allerdings
eine Art Weg hinüberführt aus dem figural-geometrisch zu
Erfassenden in das Qualitative." {{Lit|{{G|323|174f}}}}
</div>
 
== Literatur ==
* Rudolf Steiner: ''Das Verhältnis der verschiedenen naturwissenschaftlichen Gebiete zur Astronomie'', [[GA 323]] (1997), ISBN 3-7274-3230-6 {{Vorträge|323}}
 
{{GA}}
 
[[Kategorie:Mathematik]]
[[Kategorie:Geometrie]]
[[Kategorie:Astronomie]]

Aktuelle Version vom 10. Februar 2020, 15:36 Uhr

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