Planetengeist und Koordinatensystem: Unterschied zwischen den Seiten

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Der '''Planetengeist''' ist die führende [[Geistige Wesen|geistige Wesenheit]] eines [[Planet]]en, gleichsam das [[Ich]], die [[Individualität]] des Planeten, so wie die Gemeinschaft der [[Geister der Umlaufzeiten]] den [[Astralleib]] des Planeten bildet. Der Planetengeist der [[Erde (Planet)|Erde]] ist der [[Erdgeist]], der seinen Sitz in der neunten Schicht des [[Erdinneres|Erdinneren]] hat, die identisch mit der [[Eishölle]] aus [[Dante]]s [[Göttliche Komödie|Göttlicher Komödie]] und zugleich der Quellort aller [[Schwarze Magie|schwarzmagischer Kräfte]] ist. Hier ist auch das [[Erdgehirn]] lokalisiert, das in engem Zusammenhang mit dem [[mensch]]lichen [[Gehirn]] steht.
[[Datei:Curvilinear.svg|mini|hochkant=1.5|<span style="color:blue">'''Krummlinige'''</span>, <span style="color:red">'''affine'''</span> und '''Kartesische''' Koordinaten]]


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Ein '''Koordinatensystem''' wird in der [[Mathematik]] verwendet, um die Position in einem [[Geometrie|geometrischen]] [[Dimension (Mathematik)|n-dimensionalen]] [[Raum]] mittels eines [[n-Tupel]]s von [[Zahl]]en, den '''Koordinaten''', eindeutig zu kennzeichnen. Für n = 2 hat man es mit einer [[Ebene (Mathematik)|Ebene]] bzw. mit einer gekrümmten [[Fläche (Mathematik)|Fläche]] zu tun. Linien, auf denen bis auf jeweils eine alle anderen Koordinaten konstant sind, werden als '''Koordinatenlinien''' bezeichnet. Dabei wird grundsätzlich zwischen ''geradlinigen'' (''affinen'') und ''krummlinigen Koordinatensystemen'' unterschieden. Stehen die Koordinatenlinien überdies in jedem Punkt senkrecht aufeinander, so handelt es sich um ein ''orthogonales Koordinatensystem''. Zur besseren Orientierung werden meist auch die durch den '''Koordinatenursprung''' (den '''Nullpunkt''') verlaufenden '''Koordinatenachsen''' eingezeichnet.
"So wie wir beim Menschen
also sagen: hinter seinem astralischen Leib ist sein Ich, so
sprechen wir davon, daß hinter all dem, was wir die Gesamtheit
der Geister der Umlaufszeiten nennen, verborgen ist der Geist des
Planeten selbst, der Planetengeist. Während die Geister der Umlaufszeiten
die Naturgeister der Elemente dirigieren, um auf dem
Erdenplaneten rhythmischen Wechsel, Wiederholungen in der Zeit,
Abwechselung im Raum hervorzurufen, hat der Geist der Erde eine
andere Aufgabe. Dieser Geist der Erde hat die Aufgabe, die Erde
selber in Wechselbeziehung zu bringen zu den übrigen Himmelskörpern
der Umgebung, sie so zu dirigieren und zu lenken, daß sie
im Laufe der Zeiten in die richtigen Stellungen kommt zu den
anderen Himmelskörpern. Dieser Geist der Erde ist gleichsam der
große Sinnesapparat der Erde, durch den die Erde, der Erdenplanet,
in das richtige Verhältnis zu der Umwelt kommt.


Wenn ich also die Aufeinanderfolge jener geistigen Wesenheiten,
== Kartesisches Koordinatensystem ==
mit denen wir es zunächst auf unserer Erde zu tun haben und zu
denen wir den Weg finden können durch eine allmähliche okkulte
Entwicklung, zusammenfassen soll, so muß ich sagen: Wir haben
als den äußersten Schleier die Sinnenwelt mit aller ihrer Mannigfaltigkeit,
mit demjenigen, was wir ausgebreitet sehen für unsere
Sinne, was wir mit dem Verstand des Menschen begreifen können.
Wir haben dann hinter der Sinneswelt liegen die Welt der Naturgeister.
Hinter der Welt der Naturgeister haben wir liegen die Welt
der Geister der Umlaufszeiten und dahinter den Planetengeist." {{Lit|{{G|136|44}}}}
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[[Datei:GA_136_45.gif|center|500px|Die geistigen Wesenheiten eines Planeten]]
Das bekannte und im zwei- und dreidimensionalen Raum am häufigsten verwendete, nach [[René Descartes]] benannte '''kartesische Koordinatensystem''' ist ein geradliniges othogonales Koordinatensytem mit zwei bzw. drei senkrecht aufeinander stehenden Koordinatenachsen. In der Regel handelt es sich dabei um ein rechtshändiges Koordinatensystem, bei dem die horizontale x-Achse auch als '''Abszissenachse''' (von [[Latein|lat.]] ''linea abscissa'' „abgeschnittene Linie“) und die vertikale y-Achse als '''Ordinatenachse''' (von [[Latein|lat.]] ''linea ordinata'' „geordnete Linie“) bezeichnet wird.


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"Die neunte und letzte Schicht ist sozusagen der Wohnsitz des
Datei:Koordinaten xy ohne Netz.svg|Zwei Koordinatenachsen:<br />''y'' über ''x'' mit Skalenteilung (gemäß [[Wikipedia:DIN 461|DIN 461]])
Planetengeistes. Sie zeigt zwei eigentümliche Erscheinungen. Man
Datei:Koordinaten xy mit Netz.svg|Zwei Koordinatenachsen:<br />''y'' über ''x'' mit Koordinaten&shy;netz (gemäß DIN 461)
könnte sie mit einem Menschen vergleichen, denn sie besitzt ein
Datei:3D coordinate system.svg|Drei Koordinatenachsen:<br />Mit drei Ebenen, die jeweils zwei Achsen enthalten
Organ, das einem Gehirn ähnelt. Ein anderes Organ gleicht einem
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Herzen. Auch der Planetengeist ist Veränderungen unterworfen, die
mit der Entwickelung der Menschen in engem Zusammenhange
stehen." {{Lit|{{G|97|282}}}}
</div>


== Der Mensch als künftiger Planetengeist ==
== Polarkoordinatensystem ==


Durch seine [[Sprache]], durch die [[Wort]]e, schafft der [[Mensch]] die Grundlage späterer [[Planet]]en und aus den [[Erfahrung]] mit der Außenwelt erwirbt er sich die [[Fähigkeit]]en, später selbst ein Planetengeist zu werden.
Im [[zweidimensional]]en '''Polarkoordinatensystem''' oder '''Kreiskoordinatensystem''' wird jeder [[Punkt]] einer gegebenen [[Ebene (Mathematik)|Ebene]] durch den Abstand von einem vorgegebenen festen Punkt - die ''Radialkoordinate'' <math>r</math> - und den Winkel zu einer festen Richtung - die ''Winkelkoordinate'' <math>\phi</math> beschrieben.


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[[Datei:Ebene polarkoordinaten.PNG|mini|center|500px|Ebene Polarkoordinaten und ihre Transformation in kartesische Koordinaten]]
"Was der Mensch auf dem physischen Plan erlebt, ist das Skelett
seines Schaffens, die Grundlagen für die folgenden Entwickelungsperioden.
Durch die Berührung mit der Außenwelt bilden sich in ihm
die Fähigkeiten, nach denen sich später die planetarische Tätigkeit
einrichtet, nachdem der Mensch selbst ein Planetengeist geworden
sein wird.


In unseren Worten schaffen wir die Grundlage für den späteren
== Kugelkoordinatensystem ==
Planeten. Was wir heute sprechen, wird dort wirklich als Grundlage
da sein, so wie die Felsen und Gesteine die Grundlage der Erde bilden.
Die Erfahrungen werden auf einem Gebiete involviert, damit sie
auf einem anderen Gebiete evolviert werden können. Eine Individualität
ist so weit göttlich, als sie wieder ausatmen kann, was sie aufgenommen
hat." {{Lit|{{G|93a|104f}}}}
</div>


== Literatur ==
Das '''Kugelkoordinatensystem''' erweitert das Polarkoordinatensystem auf den [[dreidimensional]]en [[Euklidischer Raum|euklidischen Raum]], weshalb es auch als '''räumliches Polarkoordinatensystem''' bezeichnet wird. Jeder Punkt des Raumes wird dabei durch die die ''Radialkoordinate'' <math>r</math>, den '''Polarwinkel''' <math>\theta</math> oder <math>\vartheta</math> und den '''Azimutwinkel''' <math>\varphi</math> oder <math>\phi</math> eindeutig beschrieben.


#Rudolf Steiner: ''Grundelemente der Esoterik'', [[GA 93a]] (1987), ISBN 3-7274-0935-5 {{Vorträge|093a}}
[[Datei:Kugelkoord-def.svg|300px|center|Kugelkoordinaten <math>r,\theta,\varphi </math> eines Punktes im Kugelkoordinatensytem]]
#Rudolf Steiner: ''Das christliche Mysterium'', [[GA 97]] (1998), ISBN 3-7274-0970-3 {{Vorträge|097}}
#Rudolf Steiner: ''Die geistigen Wesenheiten in den Himmelskörpern und Naturreichen'', [[GA 136]] (1996), ISBN 3-7274-1361-1 {{Vorträge|136}}


{{GA}}
== Koordinatentransformation ==


[[Kategorie:Geistige Wesen]] [[Kategorie:Kosmos]]
Durch eine geeignete '''Koordinatentransformation''', meist durch durch [[Drehung]] (Rotation), [[Skalar (Mathematik)|Skalierung]] (Veränderung des Maßstabs), [[Scherung (Geometrie)|Scherung]] und [[Parallelverschiebung|Verschiebung]] (Translation) und ihre Kombinationen, können die Koordinaten eines Koordinatensystems in die eines anderen Koordinatensystems transformiert, d.h. umgewandelt werden.
 
== Generalisierte Koordinaten ==
 
'''Verallgemeinerte''' bzw. '''generalisierte Koordinaten''', meist durch das Formelzeichen <math>q</math> gekennzeichnet, dienen in der [[Physik]] dazu, den [[Raum|räumlichen]] Zustand eines [[System]]s möglichst einfach eindeutig zu beschreiben. So kann etwa die Lage eines [[Mathematisches Pendel|mathematischen Pendels]] allein durch den Auslenkwinkel <math>\phi</math> als generalisierte Koordinate eindeutig angegeben werden.
 
== Siehe auch ==
* {{WikipediaDE|Koordinatensystem}}
* {{WikipediaDE|Kartesisches Koordinatensystem}}
 
[[Kategorie:Mathematik]]
[[Kategorie:Geometrie]]

Version vom 26. Januar 2020, 17:48 Uhr

Krummlinige, affine und Kartesische Koordinaten

Ein Koordinatensystem wird in der Mathematik verwendet, um die Position in einem geometrischen n-dimensionalen Raum mittels eines n-Tupels von Zahlen, den Koordinaten, eindeutig zu kennzeichnen. Für n = 2 hat man es mit einer Ebene bzw. mit einer gekrümmten Fläche zu tun. Linien, auf denen bis auf jeweils eine alle anderen Koordinaten konstant sind, werden als Koordinatenlinien bezeichnet. Dabei wird grundsätzlich zwischen geradlinigen (affinen) und krummlinigen Koordinatensystemen unterschieden. Stehen die Koordinatenlinien überdies in jedem Punkt senkrecht aufeinander, so handelt es sich um ein orthogonales Koordinatensystem. Zur besseren Orientierung werden meist auch die durch den Koordinatenursprung (den Nullpunkt) verlaufenden Koordinatenachsen eingezeichnet.

Kartesisches Koordinatensystem

Das bekannte und im zwei- und dreidimensionalen Raum am häufigsten verwendete, nach René Descartes benannte kartesische Koordinatensystem ist ein geradliniges othogonales Koordinatensytem mit zwei bzw. drei senkrecht aufeinander stehenden Koordinatenachsen. In der Regel handelt es sich dabei um ein rechtshändiges Koordinatensystem, bei dem die horizontale x-Achse auch als Abszissenachse (von lat. linea abscissa „abgeschnittene Linie“) und die vertikale y-Achse als Ordinatenachse (von lat. linea ordinata „geordnete Linie“) bezeichnet wird.

  • Zwei Koordinatenachsen: y über x mit Skalenteilung (gemäß DIN 461)

    Zwei Koordinatenachsen:
    y über x mit Skalenteilung (gemäß DIN 461)

  • Zwei Koordinatenachsen: y über x mit Koordinaten­netz (gemäß DIN 461)

    Zwei Koordinatenachsen:
    y über x mit Koordinaten­netz (gemäß DIN 461)

  • Drei Koordinatenachsen: Mit drei Ebenen, die jeweils zwei Achsen enthalten

    Drei Koordinatenachsen:
    Mit drei Ebenen, die jeweils zwei Achsen enthalten

Polarkoordinatensystem

Im zweidimensionalen Polarkoordinatensystem oder Kreiskoordinatensystem wird jeder Punkt einer gegebenen Ebene durch den Abstand von einem vorgegebenen festen Punkt - die Radialkoordinate - und den Winkel zu einer festen Richtung - die Winkelkoordinate beschrieben.

Ebene Polarkoordinaten und ihre Transformation in kartesische Koordinaten

Kugelkoordinatensystem

Das Kugelkoordinatensystem erweitert das Polarkoordinatensystem auf den dreidimensionalen euklidischen Raum, weshalb es auch als räumliches Polarkoordinatensystem bezeichnet wird. Jeder Punkt des Raumes wird dabei durch die die Radialkoordinate , den Polarwinkel oder und den Azimutwinkel oder eindeutig beschrieben.

Kugelkoordinaten '"`UNIQ--postMath-00000008-QINU`"' eines Punktes im Kugelkoordinatensytem
Kugelkoordinaten eines Punktes im Kugelkoordinatensytem

Koordinatentransformation

Durch eine geeignete Koordinatentransformation, meist durch durch Drehung (Rotation), Skalierung (Veränderung des Maßstabs), Scherung und Verschiebung (Translation) und ihre Kombinationen, können die Koordinaten eines Koordinatensystems in die eines anderen Koordinatensystems transformiert, d.h. umgewandelt werden.

Generalisierte Koordinaten

Verallgemeinerte bzw. generalisierte Koordinaten, meist durch das Formelzeichen gekennzeichnet, dienen in der Physik dazu, den räumlichen Zustand eines Systems möglichst einfach eindeutig zu beschreiben. So kann etwa die Lage eines mathematischen Pendels allein durch den Auslenkwinkel als generalisierte Koordinate eindeutig angegeben werden.

Siehe auch

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