Menge und Funktion (Mathematik): Unterschied zwischen den Seiten

Version vom 23. August 2019, 00:06 Uhr

Polynomfunktion mit mehreren Nullstellen

Als Funktion (von lat. functio „Tätigkeit, Verrichtung“) oder Abbildung wird in der Mathematik eine Relation zwischen zwei Mengen bezeichnet, bei der jedem Element der Definitionsmenge $D$ (Funktionsargument, unabhängige Variable, $x$ -Wert) genau ein Element der Zielmenge bzw. des Wertevorrats $Z$ (Funktionswert, abhängige Variable, $y$ -Wert) zugeordnet wird:

f\colon \,D\to Z,\;x\mapsto y

, oder äquivalent:

f\colon \,{\begin{cases}D\to Z\\x\mapsto y\end{cases}}

Eine geometrische Abbildung wird in der Abbildungsgeometrie als eine Abbildung definiert, bei der bestimmte Eigenschaften geometrischer Objekte, beispielsweise Längen und/oder Winkel, unverändert (invariant) bleiben.

Grundlagen

Eine Funktion kann etwa durch eine Funktionsgleichung mit zugehöriger Definitionsmenge oder durch eine eindeutige Zuordnungsvorschrift angegeben werden, z.B.:

f(x)=x^{2},\qquad x\in \mathbb {N}

oder

x\mapsto x^{2},\qquad x\in \mathbb {N}

Ein Element $x_{0}$ der Definitionsmenge heißt Nullstelle, wenn gilt: $f\left(x_{0}\right)=0$ .

Graphisch können Funktionen in einem zweidimensionalen Koordinatensystem veranschaulicht werden, wobei auf der horizontalen $x$ -Achse die Funktionsargumente und auf der $y$ -Achse die zugehörigen Funktionswerte eingezeichnet sind. Die nebenstehende Grafik zeigt etwa die Funktionsgraphen einiger Potenzfunktionen:

f\colon x\mapsto ax^{r}\qquad a,x,r\in \mathbb {R}

Identische Abbildung

Eine Funktion über einer Menge $M$ , die genau ihr Argument zurückgibt, ist eine identische Abbildung:

\operatorname {id} _{M}(x)=x

Glatte Funktion

Eine glatte Funktion ist stetig und unendlich oft differenzierbar.

Konstante Funktion

Eine konstante Funktion (von lat. constans „feststehend“) nimmt für alle Argumente stets denselben Funktionswert an, d.h. eine Funktion $f$ ist genau dann konstant, wenn für alle $x,y\in A$ gilt: $f(x)=f(y)$ .

Lineare Funktion

Eine lineare Funktion enthält die Unbekannte(n) nur in der ersten Potenz; in ihrer einfachsten Form lautet daher ihre Funktionsgleichung mit den konstanten Parametern $a,b$ :

f(x)=a\cdot x+b

Ihr Funktionsgraph ist eine Gerade, deren Steigung gleich $a$ ist.

Indikatorfunktion

Eine Indikatorfunktion oder charakteristische Funktion kann nur nur ein oder zwei Funktionswerte annehmen. Damit können komplexe Menge mathematisch exakt erfasst werden. Ein Beispiel ist die nach dem deutschen Mathematiker Peter Gustav Lejeune Dirichlet benannte Dirichlet-Funktion, die die charakteristische Funktion der rationalen Zahlen ist:

D\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} ,\quad x\mapsto D(x)={\begin{cases}1,&{\mbox{wenn }}x{\mbox{ rational,}}\\0,&{\mbox{wenn }}x{\mbox{ irrational.}}\end{cases}}

Komplexwertige Funktion

Eine komplexwertige Funktion hat eine Zielmenge $Z$ aus dem Bereich der komplexen Zahlen $\mathbb {C}$ , wobei die Definitionsmenge $D$ nicht allgemein festgelegt ist und beispielsweise auch auf den Bereich der reellen Zahlen eingeschränkt sein kann. Das ist etwa bei der Eulerschen Formel der Fall:

f(x)=\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \,x}=\cos \left(x\right)+\mathrm {i} \,\sin \left(x\right),\qquad x\in \mathbb {R} ,\,f(x)\in \mathbb {C}

Demgegenüber wird der Begriff komplexe Funktion nicht in eindeutiger Weise verwendet, sondern teilweise synonym zur komplexwertigen Funkton, teilweise so, dass auch die Definitionsmenge $D$ dem Bereich der komplexen Zahlen angehört.

Siehe auch

Funktion (Mathematik) - Artikel in der deutschen Wikipedia

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-[[Datei:Example of a set.svg|mini|Eine Menge von Polygonen]]
+[[Datei:Potenzfkt.svg|mini|Graphen einiger Potenzfunktionen]]
+[[Datei:NičlePolinoma.gif|mini|[[Polynomfunktion]] mit mehreren Nullstellen]]
-Die '''Menge''' (von {{mhd|''manic''}} „viel“) ist heute eines der grundlegendsten Konzepte der [[Mathematik]]. Sie fasst eine endliche oder unendliche [[Anzahl]] beliebiger, wohlunterschiedener '''Elemente''' zu einer Gesamtheit zusammen, wobei es sich bei den Elementen ebenfalls um Mengen (Elementmengen) handeln kann. Der Mengenbegriff umfasst also nicht nur Mengen von einzelnen Elementen, sondern auch ''Mengen von Mengen''. Besteht die Menge aus genau zwei Mengen, spricht man von einer '''Paarmenge'''. Mengen werden häufig auch durch entsprechende [[Mengendiagramm]]e grafisch veranschaulicht.
+Als '''Funktion''' (von [[lat.]] ''functio'' „Tätigkeit, Verrichtung“) oder '''Abbildung''' wird in der [[Mathematik]] eine [[Relation]] zwischen zwei [[Menge]]n bezeichnet, bei der jedem Element der [[Definitionsmenge]] <math>D</math> (Funktionsargument, unabhängige Variable, <math>x</math>-Wert) genau ein Element der '''Zielmenge''' bzw. des '''Wertevorrats''' <math>Z</math> (Funktionswert, abhängige Variable, <math>y</math>-Wert) zugeordnet wird:
-== Grundlagen ==
+:<math>f\colon\, D\to Z,\; x\mapsto y</math>, &nbsp; oder äquivalent: &nbsp; <math>f\colon\, \begin{cases} D\to Z \\ x\mapsto y\end{cases}</math>
-Die '''Mengenlehre''' wurde in der Zeit von 1874 bis 1897 von [[Georg Cantor]] (1845-1918) begründet. Er definierte den [[Begriff]] „Menge“ wie folgt:
+Eine [[geometrische Abbildung]] wird in der [[Abbildungsgeometrie]] als eine Abbildung definiert, bei der bestimmte Eigenschaften geometrischer Objekte, beispielsweise [[Länge]]n und/oder [[Winkel]], unverändert (invariant) bleiben.
-{{Zitat|Unter einer „Menge“ verstehen wir jede Zusammenfassung M von bestimmten wohlunterschiedenen Objekten m unserer Anschauung oder unseres Denkens (welche die „Elemente“ von M genannt werden) zu einem Ganzen.|Georg Cantor<ref>Georg Cantor: ''Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre.'' In: ''[[Wikipedia:Mathematische Annalen|Mathematische Annalen]]'' 46 (1895), S. 481. [http://gdz.sub.uni-goettingen.de/dms/load/img/?PPN=PPN237853094&DMDID=DMDLOG_0069&LOGID=LOG_0069&PHYSID=PHYS_0295 Online].</ref>}}
+== Grundlagen ==
-Vereinbarungsgemäß werden die Elemente einer Menge entweder explizit oder durch eine geeignete Definition innerhalb geschwungener Klammern angegeben, z.B. für die abzählbar unendliche Menge der [[Natürliche Zahl|natürlichen Zahlen]] <math>\mathbb{N} = \{1; 2; 3; \ldots\}</math>. Eine Menge, die keine Elemente enthält, wird als [[leere Menge]] <math>\emptyset</math> oder auch <math>\{\}</math> bezeichnet. Wird bei einer Menge auch die Reihenfolge der Elemente berücksichtigt, spricht man von einer [[Folge (Mathematik)|Folge]].
-=== Grundmenge ===
-[[Datei:Set subsetAofB.svg|mini||''A'' ist eine (echte) '''Teilmenge''' von ''B''.]]
-Die '''Grundmenge''', die auch als '''Universum''' <math>U</math> bezeichnet wird, umfasst die Menge aller im gegebenen Zusammenhang betrachteten Elemente und ist damit die Basis für alle weiteren Überlegungen.
-=== Teilmenge ===
-Cantor prägte auch den Begriff der '''Teilmenge''' oder ''Untermenge''. <math>A</math> ist eine '''Untermenge''' (Teilmenge) von <math>B</math> und <math>B</math> ist eine '''Obermenge''' von <math>A</math>, wenn jedes Element von <math>A</math> auch in <math>B</math> enthalten ist:
-::<math>A \subseteq B \Longleftrightarrow B \supseteq A: \forall x \in A\colon x \in B</math>
-Enthält <math>B</math> zudem weitere Elemente, die nicht in <math>A</math> enthalten sind, so ist <math>A</math> eine '''echte Teilmenge''' von <math>B</math> und <math>B</math> ist eine '''echte Obermenge''' von <math>A</math>.
-[[#Disjunkte Mengen|Paarweise disjunkte]] Teilmengen einer Menge werden als [[#Partition|Partionen]] bezeichnet (siehe unten).
-=== Schnittmenge ===
-[[Datei:Venn0001.svg|mini|Schnittmenge <math>A \cap B </math>]]
-Die '''Schnittmenge''' oder '''Durchschnittsmenge''' <math>\bigcap U</math> einer nichtleeren Menge von Mengen <math>U</math> ist die Menge aller Elemente, die in jeder Elementmenge von <math>U</math> enthalten sind. So gilt etwa für die aus den beiden Mengen <math>A</math> und <math>B</math> bestehende Paarmenge <math>U\,=\{A,B\}</math>:
-:<math>\bigcap U := \bigcap_{a\in U} a = \{x \mid \forall a\in U : x\in a\} </math>
-=== Vereinigungsmenge ===
-[[Datei:Venn0111.svg|mini|Vereinigungsmenge <math>A \cup B </math>]]
-Die '''Vereinigungsmenge''' <math>\bigcup U</math> einer nichtleeren Menge von Mengen <math>U</math> ist die Menge aller Elemente, die in mindestens einer Elementmenge von <math>U</math> enthalten sind, z.B.:
-:<math> \bigcup \, \{A,B\} = \{ x \mid \left( x \in {A} \right) \lor \left( x \in {B} \right) \} =: {A}\cup{B} </math>
-=== Potenzmenge ===
+Eine Funktion kann etwa durch eine '''Funktionsgleichung''' mit zugehöriger Definitionsmenge oder durch eine eindeutige '''Zuordnungsvorschrift''' angegeben werden, z.B.:
-Als '''Potenzmenge''' <math>\mathcal P(X)</math> wird die Menge aller Teilmengen <math>U</math> einer gegebenen Grundmenge <math>X</math> bezeichnet:
+:<math>f(x) = x^2, \qquad x \in \mathbb{N}</math>
-:<math>\mathcal P(X) := \{ U \mid U \subseteq X \}</math>
+oder
-=== Differenzmenge und Komplementärmenge ===
+:<math>x \mapsto x^2, \qquad x \in \mathbb{N}</math>
-[[Datei:absolute complement.svg|thumb|Das absolute Komplement A<sup>C</sup> von A in U]]
-Die '''Differenzmenge''' zweier Mengen <math>A</math> und <math>B</math> ist die Menge aller Elemente, die in <math>A</math>, aber nicht in <math>B</math> enthalten sind, d.h.:
-::<math>A \setminus B := \{ x \mid \left( x\in A \right) \land \left( x\not\in B \right) \}</math>
+Ein Element <math>x_0</math> der Definitionsmenge heißt '''Nullstelle''', wenn gilt: <math>f\left(x_0\right)=0</math>.
-Gilt dabei <math>B \subseteq A</math>, so wird die Differenzmenge auch als '''Komplementärmenge''' von <math>B</math> in <math>A</math> oder kurz als '''Komplement''' bezeichnet. Dabei wird zwischen einem '''relativem Komplement''' bezüglich beliebiger Teilmengen und einem '''absoluten Komplement''' bezüglich der Grundmenge <math>U</math> unterschieden.
+[[Grafik|Graphisch]] können Funktionen in einem zweidimensionalen [[Koordinatensystem]] veranschaulicht werden, wobei auf der horizontalen <math>x</math>-Achse die Funktionsargumente und auf der <math>y</math>-Achse die zugehörigen Funktionswerte eingezeichnet sind. Die nebenstehende Grafik zeigt etwa die '''Funktionsgraphen''' einiger [[Potenzfunktion]]en:
-=== Mächtigkeit ===
+:<math>f\colon x \mapsto a x^r \qquad a,x,r \in \mathbb{R}</math>
-Die [[Mächtigkeit (Mathematik)|Mächtigkeit]] oder ''Kardinalität'' einer Menge wird durch die [[Kardinalzahl]] angegeben. Für endliche Menge ist sie gleich der [[Anzahl]] ihrer Elemente. Unendliche Mengen können unterschiedliche Mächtigkeiten haben, die durch den [[Hebräisches Alphabet|hebräischen Buchstaben]] <math>\aleph</math> und einen Index bezeichnet werden. Für die abzählbar unendliche Menge der [[Natürliche Zahl|natürlichen Zahlen]], die unter den unendlichen Mengen die geringste Mächtigkeit haben, schreibt man entsprechend <math>\aleph_0</math>. Die ''überabzählbare'' unendliche Menge der [[Reelle Zahl|reellen Zahlen]] hat unter Annahme der [[Kontinuumshypothese]]<ref>Die Kontinuumshypothese besagt, dass es keine Menge gibt, deren Mächtigkeit zwischen der Mächtigkeit der natürlichen Zahlen und der Mächtigkeit der reellen Zahlen liegt. Diese Hypothese hat sich aber als ''[[unentscheidbar]]'' erwiesen.</ref> die Mächtigkeit <math>\aleph_1</math>, andernfalls gilt zumindest <math>\aleph_1 \le \left\vert\mathbb{R}\right\vert</math>.
+== Identische Abbildung ==
-== Punktmenge ==
+Eine Funktion über einer [[Menge]] <math>M</math>, die genau ihr Argument zurückgibt, ist eine '''identische Abbildung''':
-In der [[Geometrie]] werden verschieden dimensionale [[Raum (Mathematik)|Räume]], wie die [[eindimensional]]e [[Linie]], die [[2D|zweidimensionale]] Ebene oder der [[3D|dreidimensionale]] Raum, traditionell als '''Punktmengen''' bezeichnet.
+:<math>\operatorname{id}_M(x) = x</math>
-== Offene Menge und abgeschlossene Menge ==
+== Glatte Funktion ==
-Eine '''offene Menge''' enthält keine Randelemente. Die Elemente einer offenen Menge <math>U</math> sind daher nur von Elementen dieser Menge und von keinen äußeren Elementen umgeben, d.h.:
+Eine '''glatte Funktion''' ist [[Stetigkeit (Mathematik)|stetig]] und unendlich oft differenzierbar.
-:<math>\forall x \in U</math> gibt es eine reelle Zahl <math>\varepsilon > 0</math>, sodass jeder Punkt <math>y</math> des <math>n</math>-dimensionalen [[euklidischer Raum|euklidischen Raums]] <math>\mathbb R^n</math>, dessen [[Abstand]] zu <math>x</math> kleiner ist als <math>\varepsilon</math>, in <math>U</math> liegt.
+== Konstante Funktion ==
-Andernfalls handelt es sich um eine '''abgeschlossene Menge'''.
+Eine '''konstante Funktion''' (von {{laS|''constans''}} „feststehend“) nimmt für alle Argumente stets denselben Funktionswert an, d.h. eine Funktion <math>f</math> ist genau dann ''konstant'', wenn für alle <math>x,y \in A</math> gilt: <math>f(x)=f(y)</math>.
-== Disjunkte Mengen ==
+== Lineare Funktion ==
-[[Datei:Disjunkte Mengen.svg|miniatur|Zwei disjunkte Mengen]]
-Zwei Mengen <math>A</math> und <math>B</math> heißen '''disjunkt''', wenn sie kein gemeinsames Element besitzen, d.h. wenn ihre Schnittmenge leer ist:
+Eine '''lineare Funktion''' enthält die [[Unbekannte]](n) nur in der ersten [[Potenz (Mathematik)|Potenz]]; in ihrer einfachsten Form lautet daher ihre Funktionsgleichung mit den [[konstante]]n [[Parameter]]n <math>a, b</math>:
-: <math>A\cap B=\emptyset</math>
+:<math>f(x) = a \cdot x + b</math>
-So sind beispielsweise die Mengen <math>A = \{1, 7, 12\}</math> und <math>B = \{3, 5, 9\}</math> ''disjunkt'', da sie kein gemeinsames Element haben. Die Mengen <math>A = \{1, 7, 12\}</math> und <math>B = \{3, 7, 9\}</math> sind hingegen ''nicht disjunkt'', da sie das Element <math>7</math> gemeinsam haben.
+Ihr Funktionsgraph ist eine Gerade, deren '''Steigung''' gleich <math>a</math> ist.
-Mehrere Mengen sind '''paarweise disjunkt''', wenn beliebige Paare von ihnen disjunkt sind.
+== Indikatorfunktion ==
-=== Partition ===
+Eine '''Indikatorfunktion''' oder '''charakteristische Funktion''' kann nur nur ein oder zwei Funktionswerte annehmen. Damit können komplexe Menge mathematisch exakt erfasst werden. Ein Beispiel ist die nach dem deutschen Mathematiker [[Wikipedia:Peter Gustav Lejeune Dirichlet|Peter Gustav Lejeune Dirichlet]] benannte '''Dirichlet-Funktion''', die die ''charakteristische Funktion'' der [[Rationale Zahlen|rationalen Zahlen]] ist:
-Als '''Partition''' <math>P</math> einer Menge <math>M</math> wird deren '''Zerlegung''' in paarweise disjunkte [[Leere Menge|nichtleere]] Teilmengen bezeichnet.
+:<math>D\colon \mathbb R\to\mathbb R,\quad x\mapsto D(x)=\begin{cases} 1, & \mbox{wenn }x\mbox{ rational,} \\ 0, & \mbox{wenn }x\mbox{ irrational.} \end{cases}</math>
-Gegeben sei beispielsweise die Menge <math>M = \{1, 2, 3 , 4, 5, 6, 7, 8, 9 \}</math>; dann ist <math>P = \{ \{ 1, 5, 9 \}, \{ 2, 3 \}, \{4, 6, 7 \}, \{8\} \}</math> eine Partition der Menge <math>M</math>.
+== Komplexwertige Funktion ==
-Die Anzahl der möglichen Partitionen einer Menge <math>M_n</math> mit <math>n</math> Elementen wird durch die nach dem Mathematiker und [[Science-Fiction]]-Autor [[w:Eric Temple Bell|Eric Temple Bell]] (Pseudonym: [[w:John Taine|John Taine]]; 1883-1960) benannte '''Bellsche Zahl''' (auch: '''Bellzahl''' oder '''Exponentialzahl''') <math>B_n</math> angegeben. Die [[leere Menge]] hat dabei definitionsgemäß genaue eine Partition, welche die leere Menge selbst ist; daher ist <math>B_0 = 1</math>. Für die Bellschen Zahlen gilt folgende [[Rekursion]]sformel:
+Eine '''komplexwertige Funktion''' hat eine Zielmenge <math>Z</math> aus dem Bereich der [[Komplexe Zahlen|komplexen Zahlen]] <math>\mathbb C</math>, wobei die Definitionsmenge <math>D</math> nicht allgemein festgelegt ist und beispielsweise auch auf den Bereich der [[Reelle Zahlen|reellen Zahlen]] eingeschränkt sein kann. Das ist etwa bei der [[Eulersche Formel|Eulerschen Formel]] der Fall:
-:<math>B_{n+1} = \sum_{k=0}^{n}{{n \choose k}B_k} = \sum_{k=0}^{n} \frac{n!}{k! \cdot (n-k)!} \cdot B_k </math>
+:<math>f(x) = \mathrm{e}^{\mathrm{i}\,x} = \cos\left(x \right) + \mathrm{i}\,\sin\left( x\right), \qquad x\in\mathbb R,\, f(x)\in\mathbb C</math>
-Für die Bellschen Zahlen, beginnend mit <math>B_0</math>, ergibt sich daher die rasch anwachsende [[Folge (Mathematik)|Zahlenfolge]] : <math>1, 1, 2, 5, 15, 52, 203, 877, 4140, 21147, 115975, 678570, \ldots</math>
+Demgegenüber wird der Begriff '''komplexe Funktion''' nicht in eindeutiger Weise verwendet, sondern teilweise synonym zur ''komplexwertigen Funkton'', teilweise so, dass auch die Definitionsmenge <math>D</math> dem Bereich der komplexen Zahlen angehört.
 == Siehe auch ==
+* {{WikipediaDE|Funktion (Mathematik)}}
-* [[Mengenlehre]]
+[[Kategorie:Mathematische Funktion|!]]
-* {{WikipediaDE|Menge (Mathematik)}}
+[[Kategorie:Kurve (Mathematik)]]
-== Einzelnachweise ==
-<references />
-[[Kategorie:Mengenlehre]]

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