Funktion (Mathematik): Unterschied zwischen den Versionen

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:<math>\operatorname{id}_M(x) = x</math>
:<math>\operatorname{id}_M(x) = x</math>


== Fixpunkt ==
== Fixelement ==


Ein [[Punkt]] <math>x \in X</math> heißt '''Fixpunkt''' einer Funktion <math>f \colon X \to X</math>, wenn er durch diese auf sich selbst abgebildet wird und folglich gilt:
Ein '''Fixelement''' <math>x</math> ist ganz allgemein ein [[Element (Mathematik)|Element]] der [[Definitionsmenge]] <math>X</math>, das durch eine gegebene Abbildung <math>f \colon X \to X</math> auf sich selbst abgebildet wird, dass also für <math>x \in X</math> gilt:


:<math>f(x) = x</math>
:<math>f(x) = x</math>
Ein [[Punkt]], der auf sich selbst abgebildet wird, heißt '''Fixpunkt'''. Eine [[Gerade]], die auf sich selbst abgebildet wird, nennt man '''Fixgerade'''. Bei dieser muss es sich nicht notwendigerweise um eine '''Fixpunktgerade''' handeln, bei der zugleich auch alle Punkte auf sich selbst abgebildet werden, diese also Fixpunkte sind. Analog verhält es sich bei einer '''Fixebene''', wie sie etwa bei einer [[Ebenenspiegelung]] auftritt. Das Prinzip läss sich auf beliegbige [[Dimension (Mathematik)|Dimensionen]] erweitern.


== Glatte Funktion ==
== Glatte Funktion ==

Version vom 24. August 2019, 08:26 Uhr

Graphen einiger Potenzfunktionen
Polynomfunktion mit mehreren Nullstellen

Als Funktion (von lat. functio „Tätigkeit, Verrichtung“) oder Abbildung wird in der Mathematik eine Relation zwischen zwei Mengen bezeichnet, bei der jedem Element der Definitionsmenge (Funktionsargument, unabhängige Variable, -Wert) genau ein Element der Zielmenge bzw. des Wertevorrats (Funktionswert, abhängige Variable, -Wert) zugeordnet wird:

,   oder äquivalent:  

Grundlagen

Eine Funktion kann etwa durch eine Funktionsgleichung mit zugehöriger Definitionsmenge oder durch eine eindeutige Zuordnungsvorschrift angegeben werden, z.B.:

oder

Ein Element der Definitionsmenge heißt Nullstelle, wenn gilt: .

Graphisch können Funktionen in einem zweidimensionalen Koordinatensystem veranschaulicht werden, wobei auf der horizontalen -Achse die Funktionsargumente und auf der -Achse die zugehörigen Funktionswerte eingezeichnet sind. Die nebenstehende Grafik zeigt etwa die Funktionsgraphen einiger Potenzfunktionen:

Identische Abbildung

Eine Funktion über einer Menge , die genau ihr Argument zurückgibt, ist eine identische Abbildung:

Fixelement

Ein Fixelement ist ganz allgemein ein Element der Definitionsmenge , das durch eine gegebene Abbildung auf sich selbst abgebildet wird, dass also für gilt:

Ein Punkt, der auf sich selbst abgebildet wird, heißt Fixpunkt. Eine Gerade, die auf sich selbst abgebildet wird, nennt man Fixgerade. Bei dieser muss es sich nicht notwendigerweise um eine Fixpunktgerade handeln, bei der zugleich auch alle Punkte auf sich selbst abgebildet werden, diese also Fixpunkte sind. Analog verhält es sich bei einer Fixebene, wie sie etwa bei einer Ebenenspiegelung auftritt. Das Prinzip läss sich auf beliegbige Dimensionen erweitern.

Glatte Funktion

Eine glatte Funktion ist stetig und unendlich oft differenzierbar.

Konstante Funktion

Eine konstante Funktion (von lat. constans „feststehend“) nimmt für alle Argumente stets denselben Funktionswert an, d.h. eine Funktion ist genau dann konstant, wenn für alle gilt: .

Lineare Funktion

Eine lineare Funktion enthält die Unbekannte(n) nur in der ersten Potenz; in ihrer einfachsten Form lautet daher ihre Funktionsgleichung mit den konstanten Parametern :

Ihr Funktionsgraph ist eine Gerade, deren Steigung gleich ist.

Indikatorfunktion

Eine Indikatorfunktion oder charakteristische Funktion kann nur nur ein oder zwei Funktionswerte annehmen. Damit können komplexe Menge mathematisch exakt erfasst werden. Ein Beispiel ist die nach dem deutschen Mathematiker Peter Gustav Lejeune Dirichlet benannte Dirichlet-Funktion, die die charakteristische Funktion der rationalen Zahlen ist:

Komplexwertige Funktion

Eine komplexwertige Funktion hat eine Zielmenge aus dem Bereich der komplexen Zahlen , wobei die Definitionsmenge nicht allgemein festgelegt ist und beispielsweise auch auf den Bereich der reellen Zahlen eingeschränkt sein kann. Das ist etwa bei der Eulerschen Formel der Fall:

Demgegenüber wird der Begriff komplexe Funktion nicht in eindeutiger Weise verwendet, sondern teilweise synonym zur komplexwertigen Funkton, teilweise so, dass auch die Definitionsmenge dem Bereich der komplexen Zahlen angehört.

Siehe auch