Viereck und Kategorie:Arbeitsmarkt: Unterschied zwischen den Seiten

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[[Datei:Six Quadrilaterals.svg|mini|Einige Typen von Vierecken]]
Ein '''Viereck''' (auch ''Tetragon, Quadrangel'' oder ''Quadrilateral'') ist eine [[Figur (Geometrie)|Figur]] der ebenen [[Geometrie]], nämlich ein [[Vieleck]] mit vier Ecken und vier Seiten.
In der Mathematik definiert man (ebene) Vierecke als [[Polygon]]e mit vier ''Ecken'', und (daher auch) vier ''Kanten'' (oder Seiten). Analog zu [[Dreieck]]en ist auch eine Verallgemeinerung des Vierecksbegriffes auf [[nichteuklidische Geometrie]]n (''gekrümmte'' Vierecke) möglich. In der [[Projektive Geometrie|projektiven Geometrie]] spielen [[Fano-Axiom#Vollständiges Viereck|vollständige Vierecke]] und die dazu dualen [[Satz von Gauß über das vollständige Vierseit|vollständigen Vierseite]] eine wichtige Rolle. In der [[Endliche Geometrie|endlichen Geometrie]] werden [[Inzidenz (Geometrie)|Inzidenzeigenschaften]] des Vierecks zur Definition des Begriffs „[[Verallgemeinertes Viereck]]“ verwendet.


Das [[Regelmäßiges Polygon|regelmäßige]] (oder reguläre) Viereck ist das [[Quadrat (Geometrie)|Quadrat]] (auch ''Geviert'').
[[Kategorie:Arbeitsmarkt|!]]
 
[[Kategorie:Arbeitswelt]]
Ein Viereck hat zwei [[Diagonale (Geometrie)|Diagonalen]].
Liegen beide Diagonalen innerhalb des Vierecks, so ist das Viereck [[Konvexe Menge|konvex]] (''konvexes Viereck''),
liegt genau eine Diagonale außerhalb, so hat das Viereck eine [[konkav]]e Ecke (''nicht-konvexes Viereck''). Überhaupt ist das Viereck des "erste" Vieleck, das konkav sein kann.
Bei einem ''überschlagenen'' (auch: ''verschränkten'') Viereck liegen beide Diagonalen außerhalb des Vierecks (als Beispiel siehe verschränktes [[Trapez (Geometrie)|Trapez]]).
Überschlagene Vierecke sind verallgemeinerte [[Polygon]]e und werden normalerweise nicht zu den (normalen oder „echten“) Vierecken gerechnet. Gleiches gilt für ''entartete'' Vierecke, bei denen zwei oder mehr Eckpunkte zusammenfallen oder mehr als zwei Eckpunkte auf einer Geraden liegen.
* Die [[Winkelsumme|Summe der Innenwinkel]] in einem Viereck beträgt 360 [[Grad (Winkel)|Grad]] bzw. ''2π''.
 
== Spezielle Vierecke ==
[[Datei:Viereck-Hierarchie.png|mini|hochkant=1.5|Hierarchie der Vierecke]]
[[Datei:Mengendiagramm konvexer Vierecke ohne Tangentenvierecke.svg|mini|hochkant=1.5|Mengendiagramm ohne Tangentenvierecke]]
[[Datei:Mengendiagramm konvexer Vierecke ohne Drachenvierecke.svg|mini|hochkant=1.5|Mengendiagramm ohne Drachenvierecke]]
Ein [[Trapez (Geometrie)|Trapez]] ist ein Viereck mit mindestens zwei parallelen Seiten. Sind je zwei einander gegenüberliegende Seiten [[Parallel (Geometrie)|parallel]], spricht man vom [[Parallelogramm]]. Ein Viereck, welches vier gleich große (Innen-)Winkel (90°, siehe [[rechter Winkel]]) hat, ist ein [[Rechteck]]. Beim [[Drachenviereck]] (Deltoid) stehen die Diagonalen senkrecht aufeinander, und eine Diagonale wird durch die andere halbiert. Dies ist gleichbedeutend damit, dass es zwei Paare benachbarter Seiten gibt, die jeweils gleich lang sind. Bei vier gleich langen Seiten spricht man von einer [[Raute]] (Rhombus). Ein [[Quadrat (Geometrie)|Quadrat]] hat vier gleich lange Seiten und auch vier gleich große (Innen-)Winkel (90°). Bei einem [[Sehnenviereck]] sind die vier Seiten Sehnen des [[Umkreis]]es. Sind die vier Seiten Tangenten eines [[Inkreis]]es, so spricht man von einem [[Tangentenviereck]].
 
Zwischen den einzelnen Vierecktypen gelten diverse Mengenrelationen,
insbesondere die in der Grafik dargestellten Teilmengenbeziehungen, wie zum Beispiel:
 
* Quadrate ⊂ Rechtecke ⊂ Parallelogramme ⊂ Trapeze ⊂ konvexe Vierecke
(Dabei steht jeweils der Begriff ''X'' synonym für ''Menge aller X'')
 
Ferner gelten auch noch folgende Beziehungen:
* Quadrate = Rechtecke ∩ Rauten
* Quadrate = Drachenvierecke ∩ gleichschenklige Trapeze
* Rechtecke = Sehnenvierecke ∩ Parallelogramme
* Rauten = Drachenvierecke ∩ Trapeze
* Rauten = Tangentenvierecke ∩ Parallelogramme
* Gleichschenklige Trapeze = Sehnenvierecke ∩ Trapeze
 
== Klassifikation ==
Die ebenen Vierecke werden nach verschiedenen Gesichtspunkten eingeteilt:
 
* nach Eigenschaften des Inneren:
** konvex
** nicht konvex
 
* nach [[Symmetrie (Geometrie)|Symmetrie-Eigenschaften]]:
** eine Diagonale ist [[Symmetrieachse]]: [[Deltoid]] (Drachenviereck)
** beide Diagonalen sind Symmetrieachsen: [[Raute]] (Rhombus)
** die Mittelsenkrechte einer Seite ist eine Symmetrieachse: [[gleichschenkliges Trapez]]
** die Mittelsenkrechten zweier Seiten sind Symmetrieachsen: [[Rechteck]]
** vier Symmetrieachsen: [[Quadrat (Geometrie)|Quadrat]]
** zweizählige Symmetrie (punktsymmetrisch): [[Parallelogramm]]
** vierzählige Symmetrie: [[Quadrat (Geometrie)|Quadrat]]
 
* nach der Länge der Seiten:
** zwei Paare gleich langer gegenüberliegender Seiten: [[Parallelogramm]]
** zwei Paare gleich langer benachbarter Seiten: [[Deltoid]] (Drachenviereck)
** gleichseitiges Viereck: [[Raute]] (Rhombus)
** die Summe der Längen gegenüberliegender Seiten ist gleich: [[Tangentenviereck]]
 
* nach der Größe der Winkel:
** zwei Paare gleich großer gegenüberliegender Winkel: [[Parallelogramm]]
** zwei Paare gleich großer benachbarter Winkel: [[Trapez (Geometrie)#Gleichschenkliges und symmetrisches Trapez|gleichschenkliges Trapez]]
** gleichwinkeliges Viereck: [[Rechteck]]
** die Summe gegenüberliegender Winkel ergibt 180°: [[Sehnenviereck]]
 
* nach der Lage der Seiten:
** ein Paar paralleler Seiten: [[Trapez (Geometrie)|Trapez]]
** zwei Paar paralleler Seiten: [[Parallelogramm]]
** die Seiten berühren denselben Kreis (den Inkreis): [[Tangentenviereck]]
 
* nach der Lage der Ecken:
** die Ecken liegen auf einem Kreis (dem Umkreis): [[Sehnenviereck]]
 
== Formeln ==
[[Datei:Tetragon measures.svg|mini|hochkant=1.5|Bezeichnungen am Viereck]]
:<math>\alpha+\beta+\gamma+\delta=360^\circ</math>
:<math>\theta = 90^\circ \Longleftrightarrow a^2+c^2 = b^2+d^2</math>
Die Vierecksfläche A lässt sich ermitteln aus
:<math>A=\frac{1}{2} e f \sin \theta</math>
:<math>A=\frac{1}{4}\left(b^2+d^2-a^2-c^2\right) \tan \theta</math>
:<math>A=\frac{1}{4}\sqrt{4e^2f^2-\left(b^2+d^2-a^2-c^2\right)^2}</math>
:<math>A=\frac{1}{2}\sqrt{|\vec e|^2 |\vec f|^2 - (\vec e \cdot \vec f)^2}</math>
:<math>A=\frac{1}{2} (a d \sin \alpha +b c \sin \gamma) = \frac{1}{2} (a b \sin \beta + c d \sin \delta) </math>
Sind die Koordinaten der Eckpunkte gegeben, so erhält man mit der [[Gaußsche Trapezformel|gaußschen Trapezformel]] den einfachen Ausdruck
: <math>\mathrm A=\frac{1}{2} \left| (y_{A}-y_{C})\cdot(x_{D}-x_{B}) + (y_{B}-y_{D})\cdot(x_{A}-x_{C})\right|</math>.
 
Ein konvexes Viereck kann durch fünf voneinander unabhängige Bestimmungsstücke wie
* Winkel an den Ecken ([[Innenwinkel]]),
* Länge der Seiten,
* Länge der Diagonalen,
* Umfang oder
* Flächeninhalt
beschrieben werden. Ein Beispiel nicht unabhängiger Größen sind die vier Innenwinkel, weil sich der vierte Innenwinkel aus den drei anderen und der Innenwinkelsumme von 360° berechnen lässt. Sind auch nichtkonvexe Vierecke zugelassen, gibt es mehrdeutige Kombinationen, z.&nbsp;B. „vier Seiten und ein Innenwinkel“, da die dem gegebenen Winkel gegenüberliegende Ecke konvex oder konkav sein kann.
 
Wenn ein spezielles Viereck vorliegt, reichen weniger Größen aus, um seine Form zu beschreiben:
* vier bei einem Tangentenviereck, Sehnenviereck oder Trapez,
* drei bei einem Parallelogramm, Deltoid, rechtwinkligen Trapez oder gleichschenkligen Trapez,
* zwei bei einer Raute oder einem Rechteck.
* eine bei einem Quadrat.
 
== Schwerpunkt ==
[[Datei:01-Viereck, Schwerpunkt.svg|mini|hochkant=1.3|Schwerpunkt im Viereck<br>
Die gepunkteten Linien, der Punkt <math>H</math> und die Schwerpunkte <math>S_3</math> und <math>S_4</math> sind für die alternative Lösung nicht erforderlich, sie dienen lediglich der Verdeutlichung, z. B. der Parallelität der Halbgeraden zur Diagonalen.<br>Animation siehe [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:01-Viereck,_Schwerpunkt.gif hier]]]
Bei punktsymmetrischen Vierecken (Parallelogrammen) ist der [[Geometrischer Schwerpunkt|Schwerpunkt]] das Symmetriezentrum, also der Diagonalenschnittpunkt.
 
Im Allgemeinen muss man unterscheiden zwischen dem [[Eckenschwerpunkt]] (alle Masse sitzt in den Ecken, jede Ecke hat die gleiche Masse) und dem Flächenschwerpunkt (die Masse ist gleichmäßig über die Fläche des Vierecks verteilt.) Beim Dreieck stimmen diese beiden Schwerpunkte überein. Daneben gibt es noch den Kantenschwerpunkt (die Masse ist gleichmäßig auf die Kanten verteilt, die Masse jeder Kante ist proportional zu ihrer Länge). Der Kantenschwerpunkt wird jedoch selten betrachtet. Er stimmt auch beim Dreieck nicht mit dem Flächen- und Eckenschwerpunkt überein, sondern entspricht dort dem [[Inkreismittelpunkt]] des [[Mittendreieck]]s.<ref>Hartmut Wellstein: {{ Webarchiv |url=http://www.uni-flensburg.de/mathe/zero/veranst/elemgeom/schwerpunkte/schwerpunkte.html#1.3 |wayback=20100815045633 | text=Website der Universität Flensburg, Elementargeometrie, Schwerpunkte des Dreiecks, Kapitel 1.3.2, Stand 28.01.2001}} abgerufen am 28. September 2017</ref>
 
Den Flächenschwerpunkt eines Vierecks kann man wie folgt konstruieren:
Man zerlegt das Viereck durch eine Diagonale in zwei Dreiecke und bestimmt jeweils deren Schwerpunkt als Schnittpunkt der [[Seitenhalbierende]]n. Diese beiden Punkte verbindet man durch eine Gerade. Dasselbe wiederholt man, indem man das Viereck durch die andere Diagonale teilt. Der Schnittpunkt der beiden [[Verbindungsgerade]]n ist der Schwerpunkt des Vierecks.<ref name=Walser>{{Internetquelle |autor=Hans Walser |url=http://www.walser-h-m.ch/hans/Vortraege/Vortrag81/Schwerpunkt.htm |titel=4 Schwerpunkte beim Viereck, 4.2 Flächenschwerpunkt Abb. 14 |werk=Schwerpunkt Forum für Begabtenförderung 22. bis 24. März 2012, TU Berlin|hrsg=Hans Walser Universität Basel |zugriff=2017-09-28}}</ref>
 
Begründung: Die Gerade durch die beiden Dreiecksschwerpunkte ist eine Schwerlinie beider Dreiecke und damit auch des Vierecks. Also muss der Schwerpunkt auf dieser Geraden liegen.
 
Den Eckenschwerpunkt erhält man, indem man die Mittelpunkte gegenüberliegender Seiten verbindet. Der Schnittpunkt der beiden Verbindungslinien ist der Eckenschwerpunkt.<ref name=Walser /> Ist ein kartesisches Koordinatensystem gegeben, so kann man die Koordinaten des Eckenschwerpunkts <math>S(x_S|y_S)</math> aus den Koordinaten der Ecken <math>A(x_A|y_A), B(x_B|y_B), C(x_C|y_C), D(x_D|y_D)</math> berechnen:
 
: <math>x_S = \tfrac14 (x_A + x_B + x_C + x_D); \quad y_S = \tfrac14 (y_A + y_B + y_C + y_D)</math>
 
Die nebenstehende Darstellung, konstruiert ähnlich wie oben beschrieben, beinhaltet auch eine alternative Vorgehensweise. Dazu sind in zwei sich kreuzenden Dreiecken deren Schwerpunkte <math>S_1</math> und <math>S_2</math> zu ermitteln. Abschließend wird eine [[Halbgerade]] ab <math>S_1</math> parallel zur [[Diagonale]] <math>\overline{BD}</math> und eine Halbgerade ab <math>S_2</math> parallel zur Diagonale <math>\overline{AC}</math> gezogen. Somit ist der Schnittpunkt der beiden Halbgeraden der Flächenschwerpunkt <math>S</math> des Vierecks. Dies bedeutet, die gepunkteten Linien, der Punkt <math>H</math>  und die Schwerpunkte <math>S_3</math> und <math>S_4</math> sind für die alternative Vorgehensweise nicht erforderlich.
 
== Siehe auch ==
* {{WikipediaDE|Viereck}}
* {{WikipediaDE|Ungleichungen in Vierecken}}
 
== Weblinks ==
{{Commonscat|Tetragons|Viereck}}
{{Wiktionary|Viereck}}
* [http://www.in-dubio-pro-geo.de/?file=plasph/quad0 Online-Berechnung von ebenen Vierecken mit graphischer Ausgabe]
 
== Einzelnachweise ==
<references />
 
[[Kategorie:Vierecksgeometrie]]
[[Kategorie:Viereck|!]]
 
{{Wikipedia}}

Version vom 16. Juli 2019, 11:55 Uhr