Dreigliederung des menschlichen Organismus und Polygon: Unterschied zwischen den Seiten

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[[Datei:Steiner Der dreigliedrige Mensch 1.jpg|mini|300px|[[Rudolf Steiner]]: ''Der dreigliedrige Mensch'', Pastell auf Transparentpapier, 12. Juni 1923]]
[[Datei:Archimedes pi.svg|mini|hochkant=2|Annäherung an einen Kreis durch Fünfecke, Sechsecke und Achtecke]]


Die '''Dreigliederung des menschlichen Organismus''' ist ein zentrales Prinzip der [[Anthroposophie|anthroposophischen]] [[Menschenkunde]] und wurde von Rudolf Steiner erstmals [[Wikipedia:1917|1917]] in seinem Buch «[[Von Seelenrätseln]]» explizit dargestellt.
'''Polygon''' (von [[Altgriechische Sprache|altgriechisch]] {{lang|grc|πολυγώνιον}} ''polygṓnion'' ‚Vieleck‘; aus {{lang|grc|πολύς}} ''polýs'' ‚viel‘ und {{lang|grc|γωνία}} ''gōnía'' ‚Winkel‘)<ref>{{Literatur | Autor=Wilhelm Gemoll | Titel=Griechisch-Deutsches Schul- und Handwörterbuch | Auflage= | Verlag=G. Freytag Verlag/Hölder-Pichler-Tempsky | Ort=München/Wien | Jahr=1965 | ISBN= }}</ref> oder auch '''Vieleck''' bezeichnet in der [[Euklidische Geometrie|elementaren]] [[Geometrie]] eine ebene [[geometrische Figur]], die durch einen geschlossenen [[Polygonzug (Mathematik)|Streckenzug]] gebildet und/oder begrenzt wird, beziehungsweise ein zweidimensionales [[Polytop (Geometrie)|Polytop]].


{{GZ|Das Nerven- und Sinnessystem,
Ein Polygon erhält man, indem in einer Zeichenebene mindestens drei verschiedene (nicht kollineare) [[Punkt (Geometrie)|Punkte]] miteinander verbunden werden durch [[Strecke (Geometrie)|Strecken]], ''Kanten'' oder ''Seiten'' genannt, sodass ein geschlossener [[Polygonzug (Mathematik)|Polygonzug]] mit ebensovielen [[Ecke]]n entsteht, beispielsweise ein [[Dreieck]] oder ein [[Viereck]]. Die umschlossene Fläche wird unterschiedlich aufgefasst oft auch als Polygon bezeichnet, so in der [[Planimetrie]].
wie es im Kopfe zentralisiert ist, ist im menschlichen Organismus ein
eigenes, für sich bestehendes, selbständiges Glied. Was als Lungen- und
Herzsystem, als Zirkulationssystem vorliegt, ist wiederum ein für sich
bestehendes, selbständiges Glied. Ebenso das Stoffwechselsystem. Das
Genauere können Sie in meinem Buch «Von Seelenrätseln» nachlesen.
Das ist das Charakteristische im menschlichen Organismus, daß seine
Systeme gerade dadurch ihre rechte Entfaltung und Wirksamkeit entfalten,
daß sie nicht zentralisiert sind, sondern daß sie nebeneinander bestehen
und frei zusammenwirken. Kann man heute nicht einmal in dieser
umfassenden, eindringlichen Weise den menschlichen Organismus begreifen,
so kann man mit der Wissenschaft, die noch nicht reformiert ist,
die aber in geisteswissenschaftlichem Sinne reformiert werden muß, den
sozialen Organismus erst recht nicht verstehen. Man glaubt heute, der
menschliche Organismus ist etwas Zentralisiertes, während er eine Dreigliedrigkeit
ist.|328|21}}


== Die drei Glieder des menschlichen Organismus ==
== Definition und Bezeichnungen ==
Ein Polygon ist eine Figur, die durch ein [[Tupel]]
<math>P := \left( P_1, P_2, \dotsc, P_n \right), P_i \in \mathbb{R}^2, 1 \le i \le n </math>
von <math>n</math> verschiedenen Punkten definiert ist.


Deutlich lassen sich drei sehr unterschiedliche Glieder des [[mensch]]lichen [[Organismus]] unterscheiden:
* Die <math>n</math> Punkte heißen die ''Eckpunkte'' oder kurz ''Ecken'' des Polygons, ein Polygon mit <math>n</math> Ecken heißt {{nowrap|<math>n</math>-Eck}} oder (insbesondere in der englischen Literatur) auch {{nowrap|<math>n</math>-Gon.}}
* Die Strecken <math>\overline {P_i P_{i+1}} \left(i=1, \dotsc, n-1 \right)</math> und <math>\overline { P_n P_1 }</math> bezeichnet man als ''Seiten'' des Polygons.
* Alle Verbindungsstrecken zweier Eckpunkte, die keine Seiten sind, nennt man ''Diagonalen''.
Manchmal werden noch weitere Bedingungen für die Definition eines Polygons vorausgesetzt, die aber formal nicht notwendig sind:
* Ein Polygon hat mindestens drei paarweise voneinander verschiedene Eckpunkte. Das schließt ein „Zweieck“ aus.
* Drei angrenzende Eckpunkte liegen nicht auf einer Geraden. Auch <math>P_n</math>, <math>P_1</math>, <math>P_2</math> und <math>P_{n-1}</math>, <math>P_n</math>, <math>P_1</math> gelten dabei als angrenzende Eckpunkte. Das schließt Ecken mit gestrecktem Winkel aus.


*[[Nerven-Sinnessystem]]
== Klassifikation ==
*[[Rhythmisches System]]
[[Datei:Fotothek_df_tg_0003352_Geometrie_%5E_Dreieck_%5E_Viereck_%5E_Vieleck_%5E_Winkel.jpg|mini|Historische Abbildung von ''Vielecken'' (1699)]]
*[[Stoffwechsel-Gliedmassensystem]]


Das [[Nerven-Sinnessystem]] ist hauptsächlich im Kopf zentriert und ist das physische Werkzeug für die [[Sinnliche Wahrnehmung|sinnliche Wahrnehmung]], das [[Vorstellen]] und [[Denken]]. Es gibt dem Menschen die Grundlage für sein waches, der [[Sinnliche Welt|sinnlichen Welt]] hingegebenes [[Tagesbewusstsein]].
=== Nach Anzahl der Ecken ===
Polygone werden typischerweise nach der Zahl der Ecken (Wertigkeit des Polygons) benannt:


Das [[Rhythmisches System|Rhythmische System]] umfasst [[Atmung]] und [[Kreislauf]] und ist daher entsprechend im Brustbereich zentriert. Es ist das wesentlichste physische Werkzeug des Gefühlslebens und der im lebendig strömenden Atem tönenden menschlichen Sprache. Jede Stimmungsschwankung, jede Freude, jedes Leid spiegeln sich in einer leise veränderten Atmung und einem sich beschleunigenden oder verzögernden Pulsschlag wider, wie auch jede körperlich bedingte Veränderung in Atmung und Herzrhythmus sogleich auf unser Gefühlsleben zurückschlägt. Allerdings erleben wir diese Gefühle nicht so klar und wach wie das, was wir durch unser Nerven-Sinnessystem erfahren. In unserem [[Gefühl|Gefühlsleben]] träumen wir eigentlich beständig.
* [[Dreieck]] (Trigon)
* [[Viereck]]  (Tetragon)
* [[Fünfeck]] (Pentagon)
* [[Sechseck]] (Hexagon)
* [[Siebeneck]] (Heptagon)
* [[Achteck]] (Oktogon, aber {{enS|octagon}})
* [[Neuneck]] (Nonagon)
* [[Zehneck]] (Dekagon)
* [[Elfeck]] (Hendekagon)
* [[Zwölfeck]] (Dodekagon)
* [[Dreizehneck]] (Tridekagon)
* [[Vierzehneck]] (Tetradekagon)
* [[Fünfzehneck]] (Pentadekagon)
* [[Sechzehneck]] (Hexadekagon)
* [[Siebzehneck]] (Heptadekagon)
* [[Achtzehneck]] (Oktodekagon)
* [[Neunzehneck]] (Nonadekagon, {{enS}} auch ''enneadecagon'', ''enneakaidecagon'')
* [[Zwanzigeck]] (Ikosagon)
* [[Dreißigeck]] (Triacontagon)
* [[51-Eck]] (Pentakontahenagon)
* [[257-Eck]]
* [[65537-Eck]]
* [[4294967295-Eck]]


Noch unbewusster bleiben uns die inneren Vorgänge des [[Stoffwechsel-Gliedmassensystem]]s, das grundlegend für die Entfaltung unseres Willens ist. Insbesondere ist auch der aufrechte Gang des Menschen in diesem System begründet. Was tatsächlich in den Tiefen unseres [[Organismus]] vorgeht, wenn wir aufrecht durch die Welt schreiten, oder mit den dadurch freigewordenen Händen willentlich einen Gegenstand ergreifen, entzieht sich weitestgehend unserem Bewusstsein. Gerade darin liegt aber erst die eigentliche Realität des menschlichen Willens, und nicht in der blossen gedanklichen Vorstellung, die ihn begleitet. Im [[Wille]]n schlafen wir eigentlich beständig.
=== Weitere Typen ===
[[Datei:Polygon types de.svg|mini|Klassifikation von Polygonen]]


Bei den [[Tier]]en, namentlich bei den höheren Tieren, zeichnet sich diese [[Dreigliederung]] des Organismus zwar schon deutlich ab, ist aber nirgends so ausgewogen wie beim Menschen. Nur die fein abgestimmte Harmonie, mit der diese drei Glieder, einander lebendig durchdringend, beim Menschen zusammenwirken, ermöglicht ihm seine [[Aufrechte Haltung|aufrechte Haltung]], die artikulierte Lautsprache und das verstandesmässige Denken.
* Schneiden (berühren) sich die Kanten nicht nur in den Eckpunkten, bezeichnet man das Polygon als ''überschlagen''. Liegt keine Selbstüberschneidung vor, bezeichnet man das Polygon als ''einfach''.
* Nicht überschlagene Vielecke können [[Konvexe Menge|konvex]] (alle Innenwinkel sind kleiner als 180°) oder nichtkonvex (mindestens ein Innenwinkel ist größer als 180°) sein.
* Man unterscheidet in der [[Ebene (Mathematik)|Ebene]] liegende (planare) und im [[Euklidischer Raum|Raum]] liegende (nicht-planare) Polygone.
* Polygone können [[Gleichseitiges Polygon|gleichseitig]] oder [[Gleichwinkliges Polygon|gleichwinklig]] sein. Hat ein Polygon sowohl gleiche Seiten, als auch gleiche Innenwinkel, dann wird es als [[regelmäßiges Polygon]] oder reguläres Polygon bezeichnet.
* Planare überschlagene reguläre Polygone werden wegen ihres Aussehens auch als [[Stern (Geometrie)|Sternpolygone]] bezeichnet.
* Bei orthogonalen Polygonen treffen alle Kanten im [[Rechter Winkel|rechten Winkel]] aufeinander (das heißt, der Innenwinkel beträgt an jeder Kante entweder 90° oder 270°).


== Dreigliederung, nicht Dreiteilung ==
== Eigenschaften ==
Da es sich um eine [[ganzheit]]liche Drei''gliederung'' und ''nicht'' um eine Drei''teilung'' des Organismus handelt, trägt jedes System auch die jeweils anderen in modifizierter Form in sich. [[Kopf]] und [[Gliedmaßen]] stehen dabei in einem polaren Verhältnis zueinander und der [[Rumpf]] vermittelt zwischen den beiden.
=== Winkel ===
In einem nicht überschlagenen, ebenen <math>n</math>-Eck ist die [[Winkelsumme|Summe]] der [[Innenwinkel]]
: <math> \alpha_1+\dotsb+\alpha_n = (n - 2) \cdot 180^\circ</math>.
Für die Summe der [[Außenwinkel]] gilt dann unabhängig von der Zahl der Ecken
: <math> \alpha_1'+\dotsb+\alpha_n' = 360^\circ</math>.
Sind darüber hinaus alle Innen- und Außenwinkel gleich groß, so haben diese den Wert
: <math> \alpha = \frac{(n - 2)}{n} \cdot 180^\circ</math> &nbsp; bzw. &nbsp; <math> \alpha' = \frac {1}{n} \cdot 360^\circ </math>.


=== Kopf ===
=== Diagonalen ===
{{GZ|Wenn wir diese Dreigliederung des menschlichen Leibes ins Auge
Für nicht überschlagene Polygone gilt zur Berechnung der Anzahl der Diagonalen folgende Überlegung:
fassen, dann wird es uns ganz besonders deutlich werden, wie das
# Jede der <math>n</math> Ecken kann durch eine Strecke mit einer der anderen Ecken verbunden werden.
Haupt, der Kopf des Menschen, ein ganzer Mensch schon ist, ein aus
# Die Verbindung von Ecke <math>P_a</math> zur Ecke <math>P_b</math> ist mit der Verbindung von <math>P_b</math> nach <math>P_a</math> identisch.
der Tierreihe heraufgehobener ganzer Mensch.
# Genau <math>n</math> Verbindungen sind Seiten des Polygons.
Also hat ein nicht überschlagenes <math>n</math>-Eck genau <math>\tfrac{n \cdot (n-1)}{2} - n = \tfrac{n \cdot (n-3)}{2}</math> Diagonalen. Bei einem nichtkonvexen Polygon gibt es (im Bereich eines überstumpfen Innenwinkels) Diagonalen außerhalb des Polygons.


Wir haben am Kopfe den eigentlichen Kopf. Wir haben am Kopf
=== Umfang ===
den Rumpf: das ist alles dasjenige, was zur Nase gehört. Und wir haben
Wenn die Eckpunkte eines ebenen einfachen Polygons durch kartesische Koordinaten <math>(x_i, y_i)</math> gegeben sind, kann der Umfang des Polygons durch Addition der mit dem [[Satz des Pythagoras]] berechneten Seitenlängen bestimmt werden:
am Kopf den Gliedmaßenteil, der sich in die Leibeshöhle fortsetzt:
: <math>\mathrm U\ =\ \sqrt{(x_{1} - x_{n})^2 + (y_{1} - y_{n})^2} \ + \ \sum_{i=1}^{n-1} \sqrt{(x_{i+1} - x_{i})^2 + (y_{i+1} - y_{i})^2}</math>
das ist alles dasjenige, was den Mund umschließt. So daß wir
am menschlichen Haupte sehen können, wie da der ganze Mensch
leiblich vorhanden ist. Nur ist die Brust des Kopfes schon verkümmert.
Sie ist so verkümmert, daß gewissermaßen alles, was zur Nase gehört,
nur noch undeutlich erkennen läßt, wie es mit dem Lungenartigen
zusammenhängt. Aber es hängt dasjenige, was zur Nase gehört,
mit dem Lungenartigen zusammen. Es ist gewissermaßen diese menschliche
Nase etwas wie eine metamorphosierte Lunge. Sie gestaltet daher
auch den Atmungsprozeß so um, daß sie ihn mehr nach dem Physischen
hin ausbildet. Daß Sie die Lunge vielleicht als weniger geistig
ansehen als die Nase, das ist ein Irrtum. Die Lunge ist kunstvoller gebaut.
Sie ist mehr vom Geistigen, wenigstens vom Seelischen durchdrungen
als die Nase, die eigentlich, wenn man die Sache wirklich
richtig auffaßt, mit einer großen Unverschämtheit sich nach außen hin
in das menschliche Antlitz stellt, während die Lunge ihr Dasein, trotzdem
sie seelischer ist als die Nase, viel keuscher verbirgt.


Verwandt mit allem, was dem Stoffwechsel, was der Verdauung
=== Fläche ===
und Ernährung angehört und sich aus den Gliedmaßenkräften in den
Wenn die Eckpunkte eines ebenen einfachen Polygons durch kartesische Koordinaten <math>(x_i, y_i)</math> gegeben sind, kann die Fläche des Polygons nach der [[Gaußsche Trapezformel|gaußschen Trapezformel]] berechnet werden:
Menschen herein fortsetzt, verwandt mit alledem ist dasjenige, was
zum menschlichen Munde gehört, der ja auch seine Verwandtschaft mit
der Ernährung und mit alledem, was zu den menschlichen Gliedmaßen
gehört, nicht verleugnen kann. So ist das Haupt, der Kopf des Menschen
ein ganzer Mensch, bei dem nur das Nichtkopfliche verkümmert
ist. Brust und Unterleib sind am Kopfe, aber sie sind am Kopfe verkümmert.|293|195f|196}}


=== Gliedmaßen ===
: <math>\mathrm 2 A\ =\ \left|\sum_{i=1}^n (y_{i} + y_{i+1})\cdot (x_{i}-x_{i+1})\right| \ =\ \left|\sum_{i=1}^n (x_{i} + x_{i+1})\cdot (y_{i+1}-y_{i})\right|\ =\ \left|\sum_{i=1}^n (x_i\cdot y_{i+1}- y_i \cdot x_{i+1})\right|</math>.


{{GZ|Wenn wir im Gegensatz dazu den Gliedmaßenmenschen ansehen,
Hierbei werden die Indizes, die größer als <math>n</math> sind, immer [[Division mit Rest#Modulo|modulo]] <math>n</math> betrachtet, das heißt mit <math>x_{n+1}</math> ist <math>x_1</math> gemeint:
so ist der in alledem, was er uns äußerlich darbietet, in seiner äußerlichen
gestaltlichen Bildung im wesentlichen die Umgestaltung der
beiden Kinnladen des Menschen, der oberen und unteren Kinnlade.
Was unten und oben Ihren Mund einschließt, das ist, nur verkümmert,
dasjenige, was Ihre Beine und Füße und Ihre Arme und Hände sind.|293|196|197}}


{{GGZ|Während der richtige
:<math> 2 A\ =\ \left|  x_n\cdot y_1- y_n \cdot x_1 + \sum_{i=1}^{n-1} (x_i\cdot y_{i+1}- y_i \cdot x_{i+1})\right|</math>
Kopf des Menschen ein leiblich-materieller Kopf ist, ist der Kopf, der
zu den Gliedmaßen dazugehört, der geistige Kopf. Aber er wird ein
Stückchen materiell, damit er fortwährend den Menschen verzehren
kann. Und im Tode, wenn der Mensch stirbt, hat er ihn ganz aufgezehrt.
Das ist in der Tat der wunderbare Prozeß, daß unsere Gliedmaßen
so gebaut sind, daß sie uns fortwährend aufessen. Wir schlüpfen
fortwährend mit unserem Organismus in den aufgesperrten Mund
unserer Geistigkeit hinein. Das Geistige verlangt von uns fortwährend
das Opfer unserer Hingabe. Und auch in unserer Leibesgestaltung ist
dieses Opfer unserer Hingabe ausgedrückt. Wir verstehen die menschliche
Gestalt nicht, wenn wir nicht dieses Opfer der Hingabe an den
Geist schon ausgedrückt finden in der Beziehung der menschlichen
Glieder zu dem übrigen menschlichen Leib. So daß wir sagen können:
Kopf- und Gliedmaßennatur des Menschen sind entgegengesetzt, und
die Brust- oder Rumpfnatur des Menschen, die in der Mitte liegt, ist
in gewisser Beziehung dasjenige, was zwischen diesen beiden Gegensätzen
die Waage hält.|293|197|198}}


===Brust ===
In Determinantenform lautet die gaußsche Trapezformel:


{{GGZ|In der Brust des Menschen ist in der Tat ebensoviel Kopf- wie Gliedmaßennatur.
:<math> 2 A\ =\ \left|  \quad \begin{vmatrix} x_n & y_n \\ x_1 & y_1 \end{vmatrix} + \sum_{i=1}^{n-1}\begin{vmatrix} x_i & y_i \\ x_{i+1} & y_{i+1} \end{vmatrix} \quad\right|</math>
Gliedmaßennatur und Kopfnatur vermischen sich miteinander
in der Brustnatur. Die Brust hat nach oben hin fortwährend
die Anlage, Kopf zu werden und nach unten hin fortwährend die
Anlage, den entgegengestreckten Gliedmaßen, der Außenwelt, sich
anzuorganisieren, sich anzupassen, also, mit anderen Worten, Gliedmaßennatur
zu werden. Der obere Teil der Brustnatur hat fortwährend
die Tendenz, Kopf zu werden, der untere Teil hat fortwährend
die Tendenz, Gliedmaßenmensch zu werden. Also der obere Teil des
menschlichen Rumpfes will fortwährend Kopf werden, er kann es nur
nicht. Der andere Kopf verhindert ihn daran. Daher bringt er nur fortwährend
ein Abhild des Kopfes hervor, man möchte sagen, etwas, was
ausmacht den Beginn der Kopfbildung. Können wir nicht deutlich erkennen,
wie im oberen Teil der Brustbildung der Ansatz gemacht wird
zur Kopfbildung? Ja, da ist der Kehlkopf da, der ja aus der naiven
Sprache heraus sogar Kehlkopf genannt wird. Der Kehlkopf des Menschen
ist ganz und gar ein verkümmertes Haupt des Menschen, ein
Kopf, der nicht ganz Kopf werden kann und der daher seine Kopfesnatur
auslebt in der menschlichen Sprache. Die menschliche Sprache
ist der fortwährend vom Kehlkopf in der Luft unternommene Versuch,
Kopf zu werden. Wenn der Kehlkopf versucht, der oberste Teil
des Kopfes zu werden, da kommen zum Vorschein diejenigen Laute,
welche deutlich zeigen, daß sie am stärksten von der menschlichen
Natur zurückgehalten werden. Wenn der menschliche Kehlkopf versucht,
Nase zu werden, da kann er nicht Nase werden, weil ihn die
wirklich vorhandene Nase daran verhindert. Aber er bringt hervor
in der Luft den Versuch, Nase zu werden, in den Nasenlauten. Die
vorhandene Nase staut also die Luftnase, die da entstehen will, in den
Nasenlauten. Es ist außerordentlich bedeutungsvoll, wie der Mensch,
indem er spricht, fortwährend in der Luft den Versuch macht, Stücke
von einem Kopf hervorzubringen, und wie sich wiederum diese Stücke
von dem Kopf in welligen Bewegungen fortsetzen, die sich dann stauen
an dem leiblich ausgebildeten Kopf. Da haben Sie dajenige, was die
menschliche Sprache ist.|197f|198}}


== Die polare Anordnung der Wesensglieder im dreigliedrigen Organismus ==
Neben der gaußschen Trapezformel kann die Fläche eines Polygons durch eine vorzeichenbehaftete Summe der Flächeninhalte von Dreiecken berechnet werden, die mit den Kanten des Polygons als Basen und einem festen Punkt (zum Beispiel dem Ursprungspunkt) als Spitze gebildet werden. Die Flächeninhalte der Dreiecke mit einer dem festen Punkt abgewandten Basis (als Kante des Polygons) werden dabei mit negativen Vorzeichen versehen.<ref>[http://research.microsoft.com/en-us/um/people/chazhang/publications/icip01_ChaZhang.pdf] (PDF; 66&nbsp;kB), Zhang, Cha, and Tsuhan Chen. "Efficient feature extraction for 2D/3D objects in mesh representation." Image Processing, 2001. Proceedings. 2001 International Conference on. Vol. 3. IEEE, 2001. APA.</ref>


{{Siehe auch|Wesensglieder}}
Der Flächeninhalt von Gitterpolygonen, deren Ecken alle auf einem [[Gitter (Mathematik)|Gitter]] liegen, kann mit dem [[Satz von Pick]] berechnet werden.


[[Datei:GA 317 30.6.1924.jpg|thumb|400px|Die polare Anordnung der Wesensglieder im dreigliedrigen Organismus (Tafel 7 zum Vortrag vom 30.6.1924 in Dornach)]]
== Verwendung ==
In der [[Informatik]] sind wichtige [[Approximation]]en komplexer Polygone die [[konvexe Hülle]] und das [[Minimal umgebendes Rechteck|minimal umgebende Rechteck]]. In Algorithmen wird oft erst anhand der Approximation auf einen möglichen nichtleeren Schnitt mit einem anderen geometrischen Objekt getestet (oder dieser ausgeschlossen), erst anschließend das ganze Polygon in den Speicher geladen und ein exakter Schnitt berechnet.


Die Anordnung der Wesensglieder im [[Kopf]]bereich ist gegensätzlich zur Anordnung im Stoffwechselbereich. Im [[Nerven-Sinnes-System]] liegt das [[Ich]] ganz innen, dann folgt der [[Astralleib]] und die äußere Hülle bilden der [[Ätherleib]] und der [[Physischer Leib|physische Leib]]. Im [[Stoffwechsel-Gliedmaßen-System]] ist es genau umgekehrt - da wendet sich das Ich ganz nach außen und der physische Leib bildet den innersten Kern. Das [[Rhythmisches System|rhythmische System]] vermittelt zwischen diesen beiden polaren Gegensätzen {{Lit|{{G|317|76ff}}}} ([[Heilpädagogischer Kurs]]).
In der 3D-[[Computergrafik]] werden neben anderen Verfahren der [[Geometrische Modellierung|geometrischen Modellierung]] beliebige (auch gekrümmte) Oberflächen als [[Polygonnetz]] modelliert. Dreiecksnetze eignen sich besonders gut zur schnellen Darstellung von Oberflächen, können allerdings nicht so gut durch [[Subdivision Surface]]s interpoliert werden. Zur Speicherung von polygonalen Netzen gibt es eine Reihe bekannter Datenstrukturen.


{{GZ|Ich möchte, damit
== Siehe auch ==
das alles deutlich wird, in der folgenden Zeichnung die Ich-Organisation
* {{WikipediaDE|Kategorie:Polygon}}
immer rot zeichnen. Ich möchte dann die astralische Organisation
* {{WikipediaDE|Polygon}}
mit diesem Violett zeichnen, möchte dann die Ätherorganisation
* {{WikipediaDE|Konstruierbares Polygon}}
in diesem Gelb zeichnen, und möchte die physische Organisation
* {{WikipediaDE|Polyeder}}
in diesem Weiß zeichnen. Wollen wir also heute dasjenige, was für uns
in Betracht kommt, ganz genau einmal festhalten, wollen wir uns bemühen,
die Sache genau ins Auge zu fassen. Es ist nämlich nicht so in
der menschlichen Organisation, daß wir sagen können: Da ist die Ich-Organisation, da ist die astralische Organisation, da ist die Ätherorganisation
und so weiter -, sondern die Sache ist so: Stellen Sie sich
einmal vor eine Wesenheit, welche so organisiert ist, daß die Ich-Organisation zunächst außen liegt; daß dann weiter nach innen die
Astralorganisation liegt, dann die Ätherorganisation kommt, und dann
die physische Organisation. So daß wir also gewissermaßen hier ein
Wesen haben, das seine Ich-Organisation nach außen präsentiert, weiter
nach innen drängt die Astralorganisation, weiter nach innen die
Ätherorganisation und am weitesten nach innen drängt die physische
Organisation (siehe Tafel 7, Mitte).


Stellen wir daneben eine andere Anordnung, wo wir hatten die Ich-
== Weblinks ==
Organisation ganz im Innern, nach außen gewissermaßen strahlend die
{{Commonscat|Polygons|Polygon}}
Astralorganisation, noch weiter nach außen die Ätherorganisation, und
{{Wiktionary}}
noch weiter nach außen die physische Organisation (siehe Tafel 7, oben links). Sehen Sie, jetzt haben wir zwei polarisch sozusagen entgegengesetzte
{{Wiktionary|Vieleck}}
Wesenheiten. Wenn Sie ansehen diese zwei polarisch einander
* {{MathWorld |urlname=Polygon |title=Polygon}}
entgegengesetzten Wesenheiten, so können Sie sich sagen: Die zweite
* [http://www.iti.fh-flensburg.de/lang/algorithmen/geo/polygon.htm Zur Mathematik unregelmäßiger Polygone]
Wesenheit wird nach außen eine starke physische Organisation zeigen,
* [http://www.in-dubio-pro-geo.de/?file=plasph/ppoly0 Online-Berechnung von ebenen Polygonen mit graphischer Ausgabe]
in die noch die ätherische Organisation hineinspielt, dann wird mehr
nach innen verschwinden die Astral- und Ich-Organisation. - Nun
kann aber dadurch, daß das so ist, die Konfiguration etwas sich ändern.
Die Konfiguration desjenigen, was ich hier an zweiter Stelle hergezeichnet
habe, kann so sein: wir können die physische Organisation gewissermaßen
nach oben voll ausgebildet haben und nach unten offen, verkümmert.
Wir können dann die ätherische Organisation wiederum
nach unten etwas stärker als die physische Organisation ausgebildet,
aber doch noch verkümmert haben. Wir können die Astralorganisation
schon mehr nach unten ausschweifend haben und die Ich-Organisation
gewissermaßen wie eine Art von Faden nach unten gehend. Denn dasjenige,
was schematisch hier in Kugelform angeordnet ist, kann nämlich
durchaus so erscheinen (siehe Tafel 7, unten links).


Nun will ich aber die Sache noch etwas anschaulicher machen, indem
== Einzelnachweise ==
ich diese Ich-Organisation hier Ihnen so zeichne, darauf die Astralorganisation,
<references />
die Ätherorganisation und die physische Organisation.
Und jetzt wollen wir anschließen das andere Wesen. Dieses andere
Wesen wollen wir so anschließen, daß wir zunächst die Ich-Organisation,
die hier außen ist, etwas konfiguriert sein lassen; also statt daß
ich einen Kreis gezogen habe, habe ich den Kreis etwas konfiguriert
sein lassen. So ist es ja immer in den Bildsamkeiten des Naturwesens,
des Weltwesens überhaupt, daß dasjenige, was kugelig, was kreisig ist,
sich in verschiedener Weise konfiguriert. Weiter nach innen habe ich
jetzt an die Ich-Organisation anzuschließen die Astralorganisation,
noch weiter nach innen die Ätherorganisation und endlich ganz nach
innen geschlagen die physische Organisation (siehe Tafel 7, rechts).
Und Sie haben das eine, erste Wesen, in den Kopf des Menschen
verwandelt. Sie haben das zweite Wesen in das Stoffwechsel-Gliedmaßenwesen
des Menschen verwandelt. Und, in der Tat, in Wirklichkeit
ist es so, daß wir in der Kopforganisation des Menschen dasjenige
haben, wo das Ich sich im Innern verbirgt, der Astralleib auch noch
verhältnismäßig sich im Innern verbirgt, und nach außen konfiguriert
der physische Leib und der Ätherleib auftreten und die Form geben des
Antlitzes.


Dagegen im Stoffwechsel-Gliedmaßensystem haben Sie die Sache
{{Normdaten|TYP=s|GND=4175197-8}}
so, daß eigentlich überall außen in der Wärme- und Drucksinnlichkeit
des Organismus, überall außen vibriert das Ich, und vom Ich ausgehend
vibriert nach innen der Astralleib, dann weiter drinnen wird es ätherisch,
und in den Röhrenknochen wird es physisch nach innen.
So daß wir zentrifugal, vom Ich zum physischen Leibe nach außen,
die Anordnung in der Kopforganisation haben, zentripetal, von außen
nach innen, vom Ich bis zum Physischen, die Stoffwechsel-Gliedmaßenorganisation
angeordnet haben. Und fortwährend durcheinanderflutend,
so daß man gar nicht weiß: ist das von außen nach innen oder
von innen nach außen, so ist die Anordnung im rhythmischen System
dazwischen. Das rhythmische System ist halb Kopf, halb Stoffwechsel-Gliedmaßensystem. Wenn wir einatmen, ist es mehr Stoffwechsel-Gliedmaßensystem, wenn wir ausatmen ist es mehr Kopfsystem. So
daß zwischen Systole und Diastole die Sache so verläuft, daß man
sagen kann: Kopfsystem-Gliedmaßensystem &#61; Ausatmung-Einatmung.
Nun sehen Sie also, daß wir, vermittelt durch den mittleren Teil
des rhythmischen Organismus, eigentlich zwei vollständig polarisch
entgegengesetzte Wesenheiten in uns tragen. Was folgt daraus? Daraus
folgt etwas außerordentlich wichtiges.


Denken Sie sich, wir nehmen etwas auf durch unseren Kopf, wie bei
[[Kategorie:Ebene Geometrie]]
der Vermittlung durch die Sprache des andern, nehmen etwas auf mit
[[Kategorie:Geometrische Figur|R]]
dem Kopf, so geht das zunächst in das Ich hinein, in den Astralleib.
[[Kategorie:Polygon|!]]
Aber die Dinge stehen im Organismus in Wechselwirkung, und in dem
Augenblicke, wo etwas hier angeschlagen wird, durch einen Eindruck
in der einen Ich-Organisation, vibriert das auch in die andere Ich-Organisation, und in dem Augenblick, wo etwas in die eine astralische
Organisation einschlägt, vibriert das auch durch in die andere astralische
Organisation. Wenn das nicht wäre, meine lieben Freunde,
hätten wir kein Gedächtnis, denn alle Eindrücke, die wir von der
Außenwelt bekommen, haben ihre Spiegelbilder in der Stoffwechsel-Gliedmaßenorganisation; und habe ich einen Eindruck von außen, so
verschwindet er von der Kopforganisation, die vom Physischen nach
dem Ich hinein zentripetal angeordnet ist. Das Ich muß sich aufrecht
erhalten, das kann nicht einen einzigen Eindruck stundenlang haben,
sonst würde es identisch werden mit dem Eindruck. Aber unten bleiben
die Eindrücke, und da müssen sie wieder herauf, wenn erinnert wird.|317|76ff}}


==Literatur==
{{Wikipedia}}
# Rudolf Steiner: ''Von Seelenrätseln'', [[GA 21]] (1983), ISBN 3-7274-0210-5; '''Tb 637''', ISBN 978-3-7274-6370-9 {{Schriften|021}}
# Rudolf Steiner: ''Allgemeine Menschenkunde als Grundlage der Pädagogik'', [[GA 293]] (1992), ISBN 3-7274-2930-5 {{Vorträge|293}}
# Rudolf Steiner: ''Heilpädagogischer Kurs'', [[GA 317]] (1995), ISBN 3-7274-3171-7 {{Vorträge|317}}
# [[Wolfgang Schad]]: ''Säugetiere und Mensch: Ihre Gestaltbiologie in Raum und Zeit'', Verlag Freies Geistesleben, Stuttgart 2012, ISBN 978-3772511509
# [[Joachim Stiller]]: [http://joachimstiller.de/download/zahlenmystik_dreigliederung_menschlicher_organismus.pdf Die Dreigliederung des menschen Organismus] PDF
# Lothar Vogel: ''Der dreigliedrige Mensch: Morphologische Grundlagen einer allgemeinen Menschenkunde'', 4. Auflage, Verlag am Goetheanum, Dornach 2005, ISBN 978-3723512302
 
 
{{GA}}
[[Kategorie:Grundbegriffe]]
[[Kategorie:Organismus]]
[[Kategorie:Dreigliederung des menschlichen Organismus]]
[[Kategorie:Dreigliederung]]
[[Kategorie:Mensch]]

Version vom 14. Februar 2020, 20:35 Uhr

Annäherung an einen Kreis durch Fünfecke, Sechsecke und Achtecke

Polygon (von altgriechisch πολυγώνιον polygṓnion ‚Vieleck‘; aus πολύς polýs ‚viel‘ und γωνία gōnía ‚Winkel‘)[1] oder auch Vieleck bezeichnet in der elementaren Geometrie eine ebene geometrische Figur, die durch einen geschlossenen Streckenzug gebildet und/oder begrenzt wird, beziehungsweise ein zweidimensionales Polytop.

Ein Polygon erhält man, indem in einer Zeichenebene mindestens drei verschiedene (nicht kollineare) Punkte miteinander verbunden werden durch Strecken, Kanten oder Seiten genannt, sodass ein geschlossener Polygonzug mit ebensovielen Ecken entsteht, beispielsweise ein Dreieck oder ein Viereck. Die umschlossene Fläche wird unterschiedlich aufgefasst oft auch als Polygon bezeichnet, so in der Planimetrie.

Definition und Bezeichnungen

Ein Polygon ist eine Figur, die durch ein Tupel von verschiedenen Punkten definiert ist.

  • Die Punkte heißen die Eckpunkte oder kurz Ecken des Polygons, ein Polygon mit Ecken heißt -Eck oder (insbesondere in der englischen Literatur) auch -Gon.
  • Die Strecken und bezeichnet man als Seiten des Polygons.
  • Alle Verbindungsstrecken zweier Eckpunkte, die keine Seiten sind, nennt man Diagonalen.

Manchmal werden noch weitere Bedingungen für die Definition eines Polygons vorausgesetzt, die aber formal nicht notwendig sind:

  • Ein Polygon hat mindestens drei paarweise voneinander verschiedene Eckpunkte. Das schließt ein „Zweieck“ aus.
  • Drei angrenzende Eckpunkte liegen nicht auf einer Geraden. Auch , , und , , gelten dabei als angrenzende Eckpunkte. Das schließt Ecken mit gestrecktem Winkel aus.

Klassifikation

Historische Abbildung von Vielecken (1699)

Nach Anzahl der Ecken

Polygone werden typischerweise nach der Zahl der Ecken (Wertigkeit des Polygons) benannt:

Weitere Typen

Klassifikation von Polygonen
  • Schneiden (berühren) sich die Kanten nicht nur in den Eckpunkten, bezeichnet man das Polygon als überschlagen. Liegt keine Selbstüberschneidung vor, bezeichnet man das Polygon als einfach.
  • Nicht überschlagene Vielecke können konvex (alle Innenwinkel sind kleiner als 180°) oder nichtkonvex (mindestens ein Innenwinkel ist größer als 180°) sein.
  • Man unterscheidet in der Ebene liegende (planare) und im Raum liegende (nicht-planare) Polygone.
  • Polygone können gleichseitig oder gleichwinklig sein. Hat ein Polygon sowohl gleiche Seiten, als auch gleiche Innenwinkel, dann wird es als regelmäßiges Polygon oder reguläres Polygon bezeichnet.
  • Planare überschlagene reguläre Polygone werden wegen ihres Aussehens auch als Sternpolygone bezeichnet.
  • Bei orthogonalen Polygonen treffen alle Kanten im rechten Winkel aufeinander (das heißt, der Innenwinkel beträgt an jeder Kante entweder 90° oder 270°).

Eigenschaften

Winkel

In einem nicht überschlagenen, ebenen -Eck ist die Summe der Innenwinkel

.

Für die Summe der Außenwinkel gilt dann unabhängig von der Zahl der Ecken

.

Sind darüber hinaus alle Innen- und Außenwinkel gleich groß, so haben diese den Wert

  bzw.   .

Diagonalen

Für nicht überschlagene Polygone gilt zur Berechnung der Anzahl der Diagonalen folgende Überlegung:

  1. Jede der Ecken kann durch eine Strecke mit einer der anderen Ecken verbunden werden.
  2. Die Verbindung von Ecke zur Ecke ist mit der Verbindung von nach identisch.
  3. Genau Verbindungen sind Seiten des Polygons.

Also hat ein nicht überschlagenes -Eck genau Diagonalen. Bei einem nichtkonvexen Polygon gibt es (im Bereich eines überstumpfen Innenwinkels) Diagonalen außerhalb des Polygons.

Umfang

Wenn die Eckpunkte eines ebenen einfachen Polygons durch kartesische Koordinaten gegeben sind, kann der Umfang des Polygons durch Addition der mit dem Satz des Pythagoras berechneten Seitenlängen bestimmt werden:

Fläche

Wenn die Eckpunkte eines ebenen einfachen Polygons durch kartesische Koordinaten gegeben sind, kann die Fläche des Polygons nach der gaußschen Trapezformel berechnet werden:

.

Hierbei werden die Indizes, die größer als sind, immer modulo betrachtet, das heißt mit ist gemeint:

In Determinantenform lautet die gaußsche Trapezformel:

Neben der gaußschen Trapezformel kann die Fläche eines Polygons durch eine vorzeichenbehaftete Summe der Flächeninhalte von Dreiecken berechnet werden, die mit den Kanten des Polygons als Basen und einem festen Punkt (zum Beispiel dem Ursprungspunkt) als Spitze gebildet werden. Die Flächeninhalte der Dreiecke mit einer dem festen Punkt abgewandten Basis (als Kante des Polygons) werden dabei mit negativen Vorzeichen versehen.[2]

Der Flächeninhalt von Gitterpolygonen, deren Ecken alle auf einem Gitter liegen, kann mit dem Satz von Pick berechnet werden.

Verwendung

In der Informatik sind wichtige Approximationen komplexer Polygone die konvexe Hülle und das minimal umgebende Rechteck. In Algorithmen wird oft erst anhand der Approximation auf einen möglichen nichtleeren Schnitt mit einem anderen geometrischen Objekt getestet (oder dieser ausgeschlossen), erst anschließend das ganze Polygon in den Speicher geladen und ein exakter Schnitt berechnet.

In der 3D-Computergrafik werden neben anderen Verfahren der geometrischen Modellierung beliebige (auch gekrümmte) Oberflächen als Polygonnetz modelliert. Dreiecksnetze eignen sich besonders gut zur schnellen Darstellung von Oberflächen, können allerdings nicht so gut durch Subdivision Surfaces interpoliert werden. Zur Speicherung von polygonalen Netzen gibt es eine Reihe bekannter Datenstrukturen.

Siehe auch

Weblinks

Commons: Polygon - Weitere Bilder oder Audiodateien zum Thema
 Wiktionary: Polygon – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen
 Wiktionary: Vieleck – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen

Einzelnachweise

  1.  Wilhelm Gemoll: Griechisch-Deutsches Schul- und Handwörterbuch. G. Freytag Verlag/Hölder-Pichler-Tempsky, München/Wien 1965.
  2. [1] (PDF; 66 kB), Zhang, Cha, and Tsuhan Chen. "Efficient feature extraction for 2D/3D objects in mesh representation." Image Processing, 2001. Proceedings. 2001 International Conference on. Vol. 3. IEEE, 2001. APA.


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