Matrix (Mathematik) und Kategorie:Angeln: Unterschied zwischen den Seiten

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Als '''Matrix''' ([[Wikipedia:Plural|pl.]] ''Matrizen''; von [[lat.]] ''matrix'' „Gebärmutter“, eigentlich „Muttertier“) wird in der [[Mathematik]] eine tabellarische, aus Zeilen und Spalten bestehende Anordnung von Elementen (z.B. [[Zahl]]en, [[Variable]]n usw.) bezeichnet, die namentlich in der [[Lineare Algebra|linearen Algebra]] zur einfachen Beschreibung [[Lineare Abbildung|linearer Abbildungen]] und zur Lösung [[Lineares Gleichungssystem|linearer Gleichungssysteme]] verwendet wird. Die Anzahl der Zeilen <math>m</math> und der Spalten <math>n</math> bezeichnet dabei den '''Typ''' (<math>m \times n</math>) der Matrix.
{{Vorlage:Seitenkategorien}}
 
[[Kategorie:Angeln|!]]
== Schreibweise ==
[[Kategorie:Hobby]]
 
[[Kategorie:Outdoor]]
Die <math>m \times n</math> Elemente der Matrix werden in runden oder eckigen Klammern wie folgt aufgelistet:
[[Kategorie:Natursport]]
 
<math>\boldsymbol A= (a_{ij}) =\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
\vdots & \vdots &        & \vdots \\
a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \\
\end{pmatrix} =\begin{bmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
\vdots & \vdots &        & \vdots \\
a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \\
\end{bmatrix}</math>
 
== Matrizenaddition ==
[[Datei:Matrix addition qtl1.svg|miniatur|Bei der Matrizenaddition müssen alle beteiligten Matrizen die gleiche Spalten- und Zeilenzahl haben. Die Elemente der Summenmatrix entstehen durch Addition der entsprechenden Elemente der Summandenmatrizen: <math>c_{ij) = a_{ij} + b_{ij}</math>]]
 
Die '''Matrizenaddition''' ist die [[Addition|additive]] [[Verknüpfung (Mathematik)|Verknüpfung]] von Matrizen gleicher größer, d.h. gleicher Spalten- und Zeilenanzahl. Die '''Summenmatrix''' (auch '''Matrixsumme''' oder '''Matrizensumme''') wird durch die komponentenweise [[Addition]] der einander entsprechenden Matrixelemente gebildet, d.h.:
 
 
:<math>\begin{pmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & \cdots & a_{mn} \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} b_{11} & \cdots & b_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ b_{m1} & \cdots & b_{mn} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_{11} + b_{11} & \cdots & a_{1n} + b_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} + b_{m1} & \cdots & a_{mn} + b_{mn} \end{pmatrix}</math>
 
 
Die '''Matrixaddition''' gehorcht dem [[Assoziativgesetz]], dem [[Kommutativgesetz]] und bezüglich der Matrizenmultiplikation dem [[Distributivgesetz]]. Zusammen mit der Matrizenaddition bilden die Matrizen eine [[Gruppe (Mathematik)|Gruppe]], deren [[neutrales Element]] die '''Nullmatrix''' ist, deren Elemente alle gleich [[Null]] sind:
 
:<math>0_{mn} = \begin{pmatrix} 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & \cdots & 0 \end{pmatrix}</math>
 
== Matrizenmultiplikation ==
[[Datei:Matrix multiplication qtl1.svg|mini|Bei der Matrizenmultiplikation werden die Spaltenelemente der ersten Matrix mit den Zeilenelementen der zweiten Matrix multipliziert und die Ergebnisse summiert. Die Ergebnismatrix hat die Zeilenzahl der ersten und die Spaltenzahl der zweiten Matrix.]]
 
Die [[Multiplikation|multiplikative]] [[Verknüpfung (Mathematik)|Verknüpfung]] von Matrizen wird als '''Matrizenmultiplikation''' oder '''Matrixmultiplikation''' bezeichnet. Sie ist nur dann ausführbar, wenn die Spaltenanzahl der ersten Matrix mit der Zeilenzahl der zweiten Matrix übereinstimmt. Das '''Matrizenprodukt''' bzw. '''Matrixprodukt''' ist wiederum eine Matrix, welche die Zeilenzahl der ersten und die Spaltenzahl der zweiten Matrix hat. Die Elemente der '''Produktmatrix''' <math>C</math> werden errechnet, indem die Zeilenelemente der ersten Matrix <math>A</math> komponentenweise mit den entsprechenden Spaltenelemente der zweiten Matrix <math>B</math> [[Multiplikation|multipliziert]] und die Ergebnisse [[Summe|summiert]] werden, d.h.:
 
:<math>c_{ik} = \sum_{j=1}^m a_{ij} \cdot b_{jk}</math>
 
Die Matrizenmultiplikation gehorcht dem [[Assoziativgesetz]], aber nicht dem [[Kommutativgesetz]], d.h. <math>\mathbf A \cdot \mathbf B \not= \mathbf B \cdot \mathbf A</math>. Bezüglich der Matrizenaddition ist die Matrizenmultiplikation [[Distributivgesetz|distributiv]].
 
== Siehe auch ==
 
* {{WikipediaDE|Matrix (Mathematik)}}
 
[[Kategorie:Mathematik]]

Version vom 27. Februar 2019, 13:14 Uhr

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