Matrix (Mathematik)

Als Matrix (pl. Matrizen; von lat. matrix „Gebärmutter“, eigentlich „Muttertier“) wird in der Mathematik eine tabellarische, aus Zeilen und Spalten bestehende Anordnung von Elementen (z.B. Zahlen, Variablen usw.) bezeichnet, die namentlich in der linearen Algebra zur einfachen Beschreibung linearer Abbildungen und zur Lösung linearer Gleichungssysteme verwendet wird. Die Anzahl der Zeilen $m$ und der Spalten $n$ bezeichnet dabei den Typ ($m\times n$) der Matrix.

Schreibweise

Die $m\times n$ Elemente der Matrix werden in runden oder eckigen Klammern wie folgt aufgelistet:

${\boldsymbol {A}}=(a_{ij})={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &&\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&\cdots &a_{mn}\\\end{pmatrix}}={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &&\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&\cdots &a_{mn}\\\end{bmatrix}}$

Matrizenaddition

Bei der Matrizenaddition müssen alle beteiligten Matrizen die gleiche Spalten- und Zeilenzahl haben. Die Elemente der Summenmatrix entstehen durch Addition der entsprechenden Elemente der Summandenmatrizen: Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle c_{ij) = a_{ij} + b_{ij}}

Die Matrizenaddition ist die additive Verknüpfung von Matrizen gleicher größer, d.h. gleicher Spalten- und Zeilenanzahl. Die Summenmatrix (auch Matrixsumme oder Matrizensumme) wird durch die komponentenweise Addition der einander entsprechenden Matrixelemente gebildet, d.h.:

${\begin{pmatrix}a_{11}&\cdots &a_{1n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&\cdots &a_{mn}\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}b_{11}&\cdots &b_{1n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\b_{m1}&\cdots &b_{mn}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a_{11}+b_{11}&\cdots &a_{1n}+b_{1n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}+b_{m1}&\cdots &a_{mn}+b_{mn}\end{pmatrix}}$

Die Matrixaddition gehorcht dem Assoziativgesetz, dem Kommutativgesetz und bezüglich der Matrizenmultiplikation dem Distributivgesetz. Zusammen mit der Matrizenaddition bilden die Matrizen eine Gruppe, deren neutrales Element die Nullmatrix ist, deren Elemente alle gleich Null sind:

$0_{mn}={\begin{pmatrix}0&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &0\end{pmatrix}}$

Matrizenmultiplikation

Bei der Matrizenmultiplikation werden die Spaltenelemente der ersten Matrix mit den Zeilenelementen der zweiten Matrix multipliziert und die Ergebnisse summiert. Die Ergebnismatrix hat die Zeilenzahl der ersten und die Spaltenzahl der zweiten Matrix.

Die multiplikative Verknüpfung von Matrizen wird als Matrizenmultiplikation oder Matrixmultiplikation bezeichnet. Sie ist nur dann ausführbar, wenn die Spaltenanzahl der ersten Matrix mit der Zeilenzahl der zweiten Matrix übereinstimmt. Das Matrizenprodukt bzw. Matrixprodukt ist wiederum eine Matrix, welche die Zeilenzahl der ersten und die Spaltenzahl der zweiten Matrix hat. Die Elemente der Produktmatrix $C$ werden errechnet, indem die Zeilenelemente der ersten Matrix $A$ komponentenweise mit den entsprechenden Spaltenelemente der zweiten Matrix $B$ multipliziert und die Ergebnisse summiert werden, d.h.:

$c_{ik}=\sum _{j=1}^{m}a_{ij}\cdot b_{jk}$

Die Matrizenmultiplikation gehorcht dem Assoziativgesetz, aber nicht dem Kommutativgesetz, d.h. $\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} \not =\mathbf {B} \cdot \mathbf {A}$. Bezüglich der Matrizenaddition ist die Matrizenmultiplikation distributiv.

Siehe auch

• Matrix (Mathematik) - Artikel in der deutschen Wikipedia