Kugel und Kegel (Geometrie): Unterschied zwischen den Seiten

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[[Datei:Sphere wireframe 10deg 6r.svg|mini|Bild einer Kugel mit [[Längenkreis|Längen-]] und [[Breitenkreis]]en]]
[[Datei:Cone 3d.png|300px|mini|Gerader Kreiskegel (links) und schiefer Kreiskegel]]
[[Datei:Kugelschale.svg|300px|mini|Kugelschale, rechts: aufgeschnitten]]
Ein '''Kegel''' oder '''Konus''' ist ein geometrischer Körper, der entsteht, wenn man alle Punkte eines in einer Ebene liegenden, begrenzten und zusammenhängenden Flächenstücks geradlinig mit einem Punkt (Spitze bzw. Apex) außerhalb der Ebene verbindet. Ist das Flächenstück eine [[Kreis#Kreisflächen|Kreisscheibe]], wird der Körper '''Kreiskegel''' genannt. Das Flächenstück nennt man ''Grundfläche,'' deren Begrenzungslinie die ''Leitkurve'' und den Punkt die ''Spitze'' oder den ''Scheitel'' des Kegels. Ein Kegel hat also eine Spitze (den Scheitelpunkt), eine Kante (die Leitkurve) und zwei Flächen (die Mantel- und die Grundfläche).
[[Datei:Kugel-kappe-s.svg|300px|mini|Der blaue Körper ist ein Kugelsegment und ebenso der rosa Restkörper.]]
Eine '''Kugel''' ({{ELSalt|σφαίρα}} ''sphaira'' „[[Sphäre]]“) ist in der [[Geometrie]] die Kurzbezeichnung für [[Sphäre (Mathematik)|Kugelfläche]] und [[#Kugelfläche und Kugelkörper|Kugelkörper]]. Die [[Differenzmenge]] zweier konzentrischer Kugeln bildet eine '''Kugelschale''' bzw. '''Hohlkugel'''. Durch den Schnitt mit einer [[Ebene (Mathematik)|Ebene]] ensteht ein '''Kugelabschnitt''' bzw. '''Kugelsegment''', dessen gewöbter Teil auch als '''Kugelkalotte''', '''Kugelhaube''' oder '''Kugelkappe''' bezeichnet wird und desen Grundfläche eine [[Kreisscheibe]] ist. Der Schnitt durch einen [[Großkreis]] teilt die Kugel in zwei '''Halbkugeln''' oder '''Hemisphären''' (von {{ELSalt|ἡμισφαίριον}} ''hemisphairion'' „Halbkugel“).


== Einheitskugel ==
Unter der [[Höhe (Geometrie)|Höhe]] des Kegels versteht man einerseits das [[Lot (Mathematik)|Lot]] von der Spitze auf die Grundfläche (die Höhe steht also immer [[Orthogonalität|senkrecht]] zur Grundfläche), andererseits aber auch die [[Länge (Mathematik)|Länge]] dieses Lotes (also den Abstand der Spitze von der Grundfläche).


Eine Kugel mit dem [[Radius]] eins um den Nullpunkt eines [[Vektorraum]]s wird als '''Einheitskugel''' bezeichnet.
Die Verbindungsstrecken der Spitze mit der Leitkurve heißen Mantellinien, ihre Vereinigung bildet den Kegelmantel oder die Mantelfläche.


== Kugelfläche und Kugelkörper ==
== Gerader und schiefer Kegel ==
Die Kugelfläche ist die bei der Drehung einer [[Kreis (Geometrie)|Kreislinie]] um einen Kreisdurchmesser entstehende [[Fläche (Mathematik)|Fläche]]. Sie ist eine [[Rotationsfläche]] sowie eine spezielle [[Fläche zweiter Ordnung]] und wird beschrieben als die [[Menge (Mathematik)|Menge]] (der geometrische Ort) aller [[Punkt (Geometrie)|Punkte]] im dreidimensionalen [[Euklidischer Raum|euklidischen Raum]], deren Abstand von einem festen Punkt des Raumes gleich einer gegebenen [[Positive Zahl|positiven]] [[Reelle Zahl|reellen Zahl]] <math>\!\ r</math> ist. Der feste Punkt wird als [[Mittelpunkt]] oder Zentrum der Kugel bezeichnet, die Zahl <math>\!\ r</math> als [[Radius]] der Kugel.
Wenn in der [[Geometrie]] von einem Kegel gesprochen wird, ist häufig der Spezialfall des geraden Kreiskegels gemeint. Unter einem ''Kreiskegel'' versteht man einen [[Körper (Geometrie)|Körper]], der durch einen [[Kreis (Geometrie)|Kreis]] (''Grundkreis'' oder ''Basiskreis'') und einen [[Punkt (Geometrie)|Punkt]] außerhalb der [[Ebene (Mathematik)|Ebene]] des Kreises (''Spitze'' des Kegels) festgelegt ist.


Die ''Kugelfläche'' teilt den Raum in zwei getrennte offene [[Untermenge]]n, von denen genau eine [[Konvexe Menge|konvex]] ist. Diese Menge heißt das ''Innere'' der Kugel. Die Vereinigungsmenge einer Kugelfläche und ihres Inneren heißt ''Kugelkörper'' oder ''Vollkugel''. Die Kugelfläche wird auch ''Kugeloberfläche'' oder [[Sphäre (Mathematik)|Sphäre]] genannt.
[[Datei:Circular cone-de.svg|300px|mini]]
Die Ebene, in welcher der Basiskreis liegt, heißt Basis(kreis)ebene. Unter dem Radius <math>r</math> des Kegels versteht man normalerweise den [[Radius]] des Basiskreises. Die [[Gerade]] durch den Mittelpunkt des Grundkreises und die Spitze nennt man die [[Mediale Achse|Achse]] des Kegels. Die [[Höhe (Geometrie)|Höhe]] <math>h</math> des Kegels ist der [[Abstand]] der Spitze von der Basisebene; dieser Abstand muss [[Orthogonalität|senkrecht]] zur Basisebene gemessen werden.


Sowohl Kugelfläche als auch Kugelkörper werden oft kurz als Kugel bezeichnet, wobei aus dem Zusammenhang klar sein muss, welche der beiden Bedeutungen gemeint ist.
Steht die Achse senkrecht zur Basisebene, so liegt ein ''gerader Kreiskegel'' oder ''Drehkegel'' vor. Andernfalls spricht man von einem ''[[Schiefer Kreiskegel|schiefen Kreiskegel]]'' oder [[Ellipse|elliptischen]] Kegel. Jeder elliptische Kegel hat zwei Richtungen, in denen sein Schnitt mit einer Ebene ein Kreis ist; diese Tatsache macht sich die [[stereografische Projektion]] als [[Kreistreue]] zunutze.


Eine Kugelfläche mit Mittelpunkt (<math>\!\ x_0</math>, <math>\!\ y_0</math>, <math>\!\ z_0</math>) und Radius <math>\!\ r</math> ist die Menge aller Punkte (<math>\!\ x</math>, <math>\!\ y</math>, <math>\!\ z</math>), für die
Die Bezeichnung „Drehkegel“ deutet darauf hin, dass es sich um einen [[Rotationskörper]] handelt. Er entsteht durch [[Rotation (Physik)|Rotation]] eines [[Rechtwinkliges Dreieck|rechtwinkligen Dreiecks]] um eine seiner beiden [[Kathete]]n. In diesem Fall werden die Mantellinien (also die Verbindungsstrecken der (Rand-) Punkte des Basiskreises mit der Spitze) auch Erzeugende genannt (<math>s</math>), da sie den [[Mantelfläche|Mantel]] „erzeugen“. Der Öffnungswinkel beträgt das Doppelte des [[Winkel]]s zwischen den Mantellinien und der Achse eines Drehkegels. Der Winkel <math>\varphi</math> zwischen den Mantellinien und der Achse heißt ''halber Öffnungswinkel.''


: <math>\!\ (x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 + (z - z_0)^2 = r^2</math>
Ein Drehkegel mit Öffnungswinkel 60° heißt ''gleichseitiger Kegel.'' Diese Bezeichnung erklärt sich wie folgt: Schneidet man einen solchen Kegel mit einer Ebene, die die Achse enthält, so erhält man ein gleichseitiges Dreieck.


erfüllt ist.
Vor allem in der [[Technik]] wird für den Drehkegel auch das Wort ''[[Konus]]'' (von lat. ''conus'') verwendet. Das zugehörige Eigenschaftswort konisch bezeichnet Objekte mit der Form eines Drehkegels oder eines (Dreh-) [[Kegelstumpf]]s.


[[Datei:Kugelkoord-def.svg|300px|mini|Kugelkoordinaten und kartesisches Koordinatensystem]]
Insbesondere im Zusammenhang mit [[Kegelschnitt]]en wird das Wort „Kegel“ auch im Sinn des [[#Doppelkegel|unten erwähnten Doppelkegels]] gebraucht.


In [[Vektor]]schreibweise mit <math>\vec{x} = \begin{pmatrix}x \\ y \\ z\end{pmatrix}</math>, <math>\vec{m} = \begin{pmatrix}x_0 \\ y_0 \\ z_0\end{pmatrix}</math>:
== Zu etlichen weiteren Theman sihe auch ==
 
* {{WikipediaDE|Kegel (Geometrie)}}
: <math> (\vec x - \vec m ) \cdot (\vec x - \vec m ) = r^2 </math>,
: <math> (\vec x - \vec m )^2 = r^2 </math>,
: <math> |\vec x - \vec m |^2 = r^2 </math> oder
: <math> |\vec x - \vec m | = r </math>.
 
Die Punkte auf der Kugelfläche mit dem Radius <math>\!\ r</math> und dem Zentrum im Ursprung können durch [[Kugelkoordinaten]] wie folgt parametrisiert werden:
 
: <math>x = r \cdot \sin \theta \cdot \cos \varphi</math>
: <math>y = r \cdot \sin \theta \cdot \sin \varphi </math>
: <math>z = r \cdot \cos \theta </math>
mit <math>0 \le \theta \le \pi</math> und <math>0 \le \varphi < 2 \pi</math>.
 
== Großkreise und Kleinkreise ==
 
Ein [[Kreis]] auf der Oberfläche der Kugel, dessen Mittelpunkt mit dem Mittelpunkt der Kugel zusammenfällt, ist ein größtmöglicher Kreis auf der Kugelfläche und wird als '''Großkreis''' bezeichnet. Sein Radius ist gleich dem der Kugel. Solche Großkreise sind etwa die in Nord-Süd-Richtung verlaufenden und durch die beiden Rotationspole der [[Erde (Planet)|Erde]] gehenden '''Längenkreise''' auf der kugelförmig gedachten Erdoberfläche.
 
Alle anderen Kreise auf der Kugeloberfläche werden als '''Kleinkreise''' bezeichnet. Ein Beispiel dafür sind die senkrecht zur Erdachse stehenden '''Breitenkreise''', ausgenommen der Äquator, dessen Mittelpunkt mit dem Mittelpunkt der Erde zusammenfällt und daher ein Großkreis ist.
 
== Formeln ==
{{WikipediaDE|Formelsammlung Geometrie}}
 
{| class="wikitable centered"
|----
|+ Formeln zur Kugel
|----
! Geometrische Größe || Formel
|----
|style="text-align:left" | Kugelradius
| <math>\!\ r</math>
|----
|style="text-align:left" | Kugel[[durchmesser]]
| <math>\!\ d =2 r</math>
|----
|style="text-align:left" | [[Umfang (Geometrie)|Umfang]] (Großkreis)
| <math>U =2 \pi r = \pi d\ {\color{OliveGreen} = \frac{\mathrm dA_\mathrm{PF}}{\mathrm dr}}</math>
|----
|style="text-align:left" | {{Anker|Kugelvolumen}}[[Volumen]]
| <math>V = \frac{4}{3} \pi r^3 = \frac{1}{6} \pi d^3 = \int_{-r}^r \left(r^2-x^2\right)\pi \mathrm dx</math>
|----
|style="text-align:left" | [[Oberflächeninhalt|Oberfläche]]
| <math>A_O = 4 \pi r^2 = \pi d^2\ {\color{OliveGreen} = \frac{\mathrm dV}{\mathrm dr}}</math>
|----
|style="text-align:left" | Projektionsfläche/Kugelquerschnitt
| <math>A_\mathrm{PF} = \pi r^2 = \int_0^r U \mathrm dr</math>
|----
|style="text-align:left" | Höhe (Kugelsegment/-kalotte, Kugelschicht,
nicht mit dem h in der Skizze unten identisch)
| <math>\!\ h</math>
|----
|style="text-align:left" | Volumen einer [[Kugelkalotte]]
| <math>V_\mathrm{KK} = \frac{\pi h^2}{3} (3r - h)</math>
|----
|style="text-align:left" | Flächeninhalt einer Kugelkalotte
| <math>A_\mathrm{KK} = 2 \pi r h = 2 \pi r^2 \left(1-\cos\frac{\alpha}{2}\right)</math>
|----
|style="text-align:left" | Mantelfläche einer [[Kugelschicht]]
| <math>A_\mathrm{KS} = 2 \pi r h = 2 \pi r^2 \int_\alpha^\beta \sin x\,\mathrm dx</math>
|----
|style="text-align:left" | [[Trägheitsmoment]] einer Hohlkugel (Drehachse durch Mittelpunkt)
| <math>J = \frac{2}{3} mr^2</math>
|----
|style="text-align:left" | [[Trägheitsmoment]] einer Vollkugel (Drehachse durch Mittelpunkt)
| <math>J = \frac{2}{5} mr^2</math>
|----
|}
 
== Zu etlichen weiteren Unterthemen siehe auch ==
* {{WikipediaDE|Kugel}}


== Siehe auch ==
== Siehe auch ==
* {{WikipediaDE|Kugel}}
* {{WikipediaDE|Kegel (Geometrie)}}


[[Kategorie:Rotationskörper]]
[[Kategorie:Rotationskörper]]
[[Kategorie:Fläche (Mathematik)]]
[[Kategorie:Gegenstandssymbol]]
[[Kategorie:Formsymbol]]


{{Wikipedia}}
{{Wikipedia}}

Version vom 23. März 2018, 08:07 Uhr

Gerader Kreiskegel (links) und schiefer Kreiskegel

Ein Kegel oder Konus ist ein geometrischer Körper, der entsteht, wenn man alle Punkte eines in einer Ebene liegenden, begrenzten und zusammenhängenden Flächenstücks geradlinig mit einem Punkt (Spitze bzw. Apex) außerhalb der Ebene verbindet. Ist das Flächenstück eine Kreisscheibe, wird der Körper Kreiskegel genannt. Das Flächenstück nennt man Grundfläche, deren Begrenzungslinie die Leitkurve und den Punkt die Spitze oder den Scheitel des Kegels. Ein Kegel hat also eine Spitze (den Scheitelpunkt), eine Kante (die Leitkurve) und zwei Flächen (die Mantel- und die Grundfläche).

Unter der Höhe des Kegels versteht man einerseits das Lot von der Spitze auf die Grundfläche (die Höhe steht also immer senkrecht zur Grundfläche), andererseits aber auch die Länge dieses Lotes (also den Abstand der Spitze von der Grundfläche).

Die Verbindungsstrecken der Spitze mit der Leitkurve heißen Mantellinien, ihre Vereinigung bildet den Kegelmantel oder die Mantelfläche.

Gerader und schiefer Kegel

Wenn in der Geometrie von einem Kegel gesprochen wird, ist häufig der Spezialfall des geraden Kreiskegels gemeint. Unter einem Kreiskegel versteht man einen Körper, der durch einen Kreis (Grundkreis oder Basiskreis) und einen Punkt außerhalb der Ebene des Kreises (Spitze des Kegels) festgelegt ist.

Die Ebene, in welcher der Basiskreis liegt, heißt Basis(kreis)ebene. Unter dem Radius des Kegels versteht man normalerweise den Radius des Basiskreises. Die Gerade durch den Mittelpunkt des Grundkreises und die Spitze nennt man die Achse des Kegels. Die Höhe des Kegels ist der Abstand der Spitze von der Basisebene; dieser Abstand muss senkrecht zur Basisebene gemessen werden.

Steht die Achse senkrecht zur Basisebene, so liegt ein gerader Kreiskegel oder Drehkegel vor. Andernfalls spricht man von einem schiefen Kreiskegel oder elliptischen Kegel. Jeder elliptische Kegel hat zwei Richtungen, in denen sein Schnitt mit einer Ebene ein Kreis ist; diese Tatsache macht sich die stereografische Projektion als Kreistreue zunutze.

Die Bezeichnung „Drehkegel“ deutet darauf hin, dass es sich um einen Rotationskörper handelt. Er entsteht durch Rotation eines rechtwinkligen Dreiecks um eine seiner beiden Katheten. In diesem Fall werden die Mantellinien (also die Verbindungsstrecken der (Rand-) Punkte des Basiskreises mit der Spitze) auch Erzeugende genannt (), da sie den Mantel „erzeugen“. Der Öffnungswinkel beträgt das Doppelte des Winkels zwischen den Mantellinien und der Achse eines Drehkegels. Der Winkel zwischen den Mantellinien und der Achse heißt halber Öffnungswinkel.

Ein Drehkegel mit Öffnungswinkel 60° heißt gleichseitiger Kegel. Diese Bezeichnung erklärt sich wie folgt: Schneidet man einen solchen Kegel mit einer Ebene, die die Achse enthält, so erhält man ein gleichseitiges Dreieck.

Vor allem in der Technik wird für den Drehkegel auch das Wort Konus (von lat. conus) verwendet. Das zugehörige Eigenschaftswort konisch bezeichnet Objekte mit der Form eines Drehkegels oder eines (Dreh-) Kegelstumpfs.

Insbesondere im Zusammenhang mit Kegelschnitten wird das Wort „Kegel“ auch im Sinn des unten erwähnten Doppelkegels gebraucht.

Zu etlichen weiteren Theman sihe auch

Siehe auch


Dieser Artikel basiert (teilweise) auf dem Artikel Kegel (Geometrie) aus der freien Enzyklopädie Wikipedia und steht unter der Lizenz Creative Commons Attribution/Share Alike. In Wikipedia ist eine Liste der Autoren verfügbar.