Kegelstumpf und Würfel (Geometrie): Unterschied zwischen den Seiten

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Der '''Würfel''' (von deutsch ''werfen'', weil er in Würfelspielen geworfen wird; auch '''regelmäßiges [[Hexaeder]]''' [{{IPA|hɛksaˈeːdər}}], von griech. ''hexáedron'' ‚Sechsflächner‘, oder '''Kubus''', von {{grcS|κύβος|kybos|variant=alt}} bzw. [[Latein|lat.]] ''cubus'' ‚Würfel‘) ist einer der fünf [[Platonischer Körper|platonischen Körper]], genauer ein (dreidimensionales) [[Polyeder]] (''Vielflächner'') mit
* sechs (kongruenten) [[Quadrat (Geometrie)|Quadraten]] als Begrenzungsflächen
* zwölf (gleich langen) [[Kante]]n und
* acht [[Ecke]]n, in denen jeweils drei Begrenzungsflächen zusammentreffen


'''Kegelstumpf''' ist in der [[Geometrie]] die Bezeichnung für einen speziellen [[Rotationskörper]]. Ein Kegelstumpf entsteht dadurch, dass man von einem [[Kegel (Geometrie)|geraden Kreiskegel]] [[Parallel (Geometrie)|parallel]] zur [[Grundfläche (Geometrie)|Grundfläche]] einen kleineren [[Kegel (Geometrie)|Kegel]] abschneidet. Dieser kleinere Kegel wird als ''Ergänzungskegel'' des Kegelstumpfs bezeichnet.
Der Würfel ist ein spezielles (dreidimensionales) [[Parallelepiped]], ein spezieller (nämlich ''gleichseitiger'') [[Quader]] sowie ein spezielles gerades quadratisches [[Prisma (Geometrie)|Prisma]]. Die Größe eines Würfels wird bereits durch die Angabe der ''Kantenlänge'' festgelegt.


Die größere der beiden parallelen [[Kreisfläche]]<nowiki/>n ist die ''Grundfläche'' <math>G</math>, die kleinere die ''Deckfläche'' <math>D</math>. Die dritte der begrenzenden Flächen wird als ''Mantelfläche'' <math>M</math> bezeichnet. Diese Bezeichnungen sind zugleich für die [[Flächeninhalt]]e dieser Flächen üblich. Unter der ''Höhe'' <math>h</math> des Kegelstumpfs versteht man den [[Abstand]] von Grund- und Deckfläche.
== Symmetrie ==
[[Datei:01-Würfel-Parallelperspektive.svg|miniatur|hochkant=1.24|Würfel in [[Wikipedia:Axonometrie#Bildachsen_und_Verzerrungen|Kabinettprojektion (Dimetrie)]]]]
Wegen seiner hohen [[Symmetrie (Geometrie)|Symmetrie]] –&nbsp;alle Ecken, Kanten und Seiten sind untereinander gleichartig&nbsp;– ist der Würfel ein reguläres [[Polytop (Geometrie)|Polytop]]. Er hat
* drei vierzählige Drehachsen (durch die Mittelpunkte zweier gegenüberliegender Flächen),
* vier dreizählige Drehachsen (durch zwei diagonal gegenüberliegende Ecken),
* sechs zweizählige Drehachsen (durch die Mittelpunkte zweier diagonal gegenüberliegender Kanten) und
* neun Spiegelebenen (sechs Ebenen durch jeweils vier Ecken, drei Ebenen durch je vier Kantenmittelpunkte)
* 14 Drehspiegelungen (sechs um 90° mit den Ebenen durch je vier Kantenmittelpunkte und 8 um 60° mit Ebenen durch je sechs Kantenmitten)
und ist
* [[Punktsymmetrie|punktsymmetrisch]] (zum Mittelpunkt <math>M</math>).


Nahe verwandt mit dem Kegelstumpf ist der [[Pyramidenstumpf]].
Für eine vierzählige Drehachse gibt es 3 Symmetrieoperationen (Drehung um 90°, 180° und 270°), für eine dreizählige Drehachse dementsprechend 2 Symmetrieoperationen. Insgesamt hat die Symmetriegruppe des Würfels 48 Elemente. Man bezeichnet sie in der Notation von [[Arthur Moritz Schoenflies|Schoenflies]] als <math>O_h</math>, in der Notation von [[Carl Hermann (Physiker)|Hermann]] / [[Charles-Victor Mauguin|Mauguin]] als <math>4/m\ \bar{3}\ 2/m</math> oder allgemein aber etwas ungenau als [[Oktaedergruppe|Oktaeder-]] bzw. Würfelgruppe.
 
== Beziehungen zu anderen Polyedern ==
Der Würfel ist das zum [[Oktaeder]] [[Dualität (Mathematik)#Dualität von Polytopen|duale]] Polyeder (und umgekehrt). Außerdem beschreiben die Eckpunkte des Würfels zwei punktsymmetrische reguläre [[Tetraeder]], welche zusammen das [[Sterntetraeder]] als weiteren regulären Körper bilden.
 
Mithilfe von Würfel und Oktaeder können zahlreiche Körper konstruiert werden, die ebenfalls die Würfelgruppe als Symmetriegruppe haben. So erhält man zum Beispiel
* den [[Hexaederstumpf]] bzw. den ''abgestumpften Würfel'' mit 6 Achtecken und 8 Dreiecken
* das [[Kuboktaeder]] mit 6 Quadraten und 8 Dreiecken, also 14 Seiten, und 12 Ecken
* den [[Oktaederstumpf]] bzw. das ''abgestumpfte Oktaeder'' mit 6 Quadraten und 8 Sechsecken
als Durchschnitte eines Würfels mit einem Oktaeder (siehe [[archimedische Körper]])
und
* das [[Rhombendodekaeder]] mit 6 + 8 = 14 Ecken und 12 Rhomben als Seiten
als [[konvexe Hülle]] einer Vereinigung eines Würfels mit einem Oktaeder.
 
Der Würfel ist Baustein der regulären Würfel[[parkettierung]].


== Zu etlichen weiteren Themen siehe auch ==
== Zu etlichen weiteren Themen siehe auch ==
* {{WikipediaDE|Kegelstumpf}}
* {{WikipediaDE|Würfel (Geometrie)}}


== Siehe auch ==
== Siehe auch ==
* {{WikipediaDE|Kegelstumpf}}
* {{WikipediaDE|Würfel (Geometrie)}}


[[Kategorie:Rotationskörper]]
[[Kategorie:Polyeder]]
[[Kategorie:Platonische Körper|105]]
[[Kategorie:Sechsheit]]


{{Wikipedia}}
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Version vom 5. September 2018, 22:26 Uhr

Der Würfel (von deutsch werfen, weil er in Würfelspielen geworfen wird; auch regelmäßiges Hexaeder [hɛksaˈeːdər], von griech. hexáedron ‚Sechsflächner‘, oder Kubus, von altgriech. κύβος kybos bzw. lat. cubus ‚Würfel‘) ist einer der fünf platonischen Körper, genauer ein (dreidimensionales) Polyeder (Vielflächner) mit

  • sechs (kongruenten) Quadraten als Begrenzungsflächen
  • zwölf (gleich langen) Kanten und
  • acht Ecken, in denen jeweils drei Begrenzungsflächen zusammentreffen

Der Würfel ist ein spezielles (dreidimensionales) Parallelepiped, ein spezieller (nämlich gleichseitiger) Quader sowie ein spezielles gerades quadratisches Prisma. Die Größe eines Würfels wird bereits durch die Angabe der Kantenlänge festgelegt.

Symmetrie

Würfel in Kabinettprojektion (Dimetrie)

Wegen seiner hohen Symmetrie – alle Ecken, Kanten und Seiten sind untereinander gleichartig – ist der Würfel ein reguläres Polytop. Er hat

  • drei vierzählige Drehachsen (durch die Mittelpunkte zweier gegenüberliegender Flächen),
  • vier dreizählige Drehachsen (durch zwei diagonal gegenüberliegende Ecken),
  • sechs zweizählige Drehachsen (durch die Mittelpunkte zweier diagonal gegenüberliegender Kanten) und
  • neun Spiegelebenen (sechs Ebenen durch jeweils vier Ecken, drei Ebenen durch je vier Kantenmittelpunkte)
  • 14 Drehspiegelungen (sechs um 90° mit den Ebenen durch je vier Kantenmittelpunkte und 8 um 60° mit Ebenen durch je sechs Kantenmitten)

und ist

Für eine vierzählige Drehachse gibt es 3 Symmetrieoperationen (Drehung um 90°, 180° und 270°), für eine dreizählige Drehachse dementsprechend 2 Symmetrieoperationen. Insgesamt hat die Symmetriegruppe des Würfels 48 Elemente. Man bezeichnet sie in der Notation von Schoenflies als , in der Notation von Hermann / Mauguin als oder allgemein aber etwas ungenau als Oktaeder- bzw. Würfelgruppe.

Beziehungen zu anderen Polyedern

Der Würfel ist das zum Oktaeder duale Polyeder (und umgekehrt). Außerdem beschreiben die Eckpunkte des Würfels zwei punktsymmetrische reguläre Tetraeder, welche zusammen das Sterntetraeder als weiteren regulären Körper bilden.

Mithilfe von Würfel und Oktaeder können zahlreiche Körper konstruiert werden, die ebenfalls die Würfelgruppe als Symmetriegruppe haben. So erhält man zum Beispiel

  • den Hexaederstumpf bzw. den abgestumpften Würfel mit 6 Achtecken und 8 Dreiecken
  • das Kuboktaeder mit 6 Quadraten und 8 Dreiecken, also 14 Seiten, und 12 Ecken
  • den Oktaederstumpf bzw. das abgestumpfte Oktaeder mit 6 Quadraten und 8 Sechsecken

als Durchschnitte eines Würfels mit einem Oktaeder (siehe archimedische Körper) und

als konvexe Hülle einer Vereinigung eines Würfels mit einem Oktaeder.

Der Würfel ist Baustein der regulären Würfelparkettierung.

Zu etlichen weiteren Themen siehe auch

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