Würfel (Geometrie) und Datei:Münchner Kongress 1907 Anna Minzlova.jpg: Unterschied zwischen den Seiten

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Der '''Würfel''' (von deutsch ''werfen'', weil er in Würfelspielen geworfen wird; auch '''regelmäßiges Hexaeder''' [{{IPA|hɛksaˈeːdər}}], von griech. ''hexáedron'' ‚Sechsflächner‘, oder '''Kubus''', von {{grcS|κύβος|kybos|variant=alt}} bzw. [[Latein|lat.]] ''cubus'' ‚Würfel‘) ist einer der fünf [[Platonischer Körper|platonischen Körper]], genauer ein (dreidimensionales) [[Polyeder]] (''Vielflächner'') mit
== Beschreibung ==
* sechs (kongruenten) [[Quadrat (Geometrie)|Quadraten]] als Begrenzungsflächen
Saal des [[Münchner Kongress 1907|Münchener Kongresses 1907]]; 1. Reihe u.a. mit v.l.n.r.: [[Annie Besant]], [[Marie von Sivers]], [[Rudolf Steiner]], [[Sophie Stinde]], [[Freiin Harriet von Vacano]], [[Anna Rudolfovna Minzlova]]
* zwölf (gleich langen) [[Kante]]n und
== Lizenz ==
* acht [[Ecke]]n, in denen jeweils drei Begrenzungsflächen zusammentreffen
{{Bild-PD-alt-100}}
 
Der Würfel ist ein spezielles (dreidimensionales) [[Parallelepiped]], ein spezieller (nämlich ''gleichseitiger'') [[Quader]] sowie ein spezielles gerades quadratisches [[Prisma (Geometrie)|Prisma]]. Die Größe eines Würfels wird bereits durch die Angabe der ''Kantenlänge'' festgelegt.
 
== Symmetrie ==
[[Datei:01-Würfel-Parallelperspektive.svg|miniatur|hochkant=1.24|Würfel in [[Wikipedia:Axonometrie#Bildachsen_und_Verzerrungen|Kabinettprojektion (Dimetrie)]]]]
Wegen seiner hohen [[Symmetrie (Geometrie)|Symmetrie]] – alle Ecken, Kanten und Seiten sind untereinander gleichartig – ist der Würfel ein reguläres [[Polytop (Geometrie)|Polytop]]. Er hat
* drei vierzählige Drehachsen (durch die Mittelpunkte zweier gegenüberliegender Flächen),
* vier dreizählige Drehachsen (durch zwei diagonal gegenüberliegende Ecken),
* sechs zweizählige Drehachsen (durch die Mittelpunkte zweier diagonal gegenüberliegender Kanten) und
* neun Spiegelebenen (sechs Ebenen durch jeweils vier Ecken, drei Ebenen durch je vier Kantenmittelpunkte)
* 14 Drehspiegelungen (sechs um 90° mit den Ebenen durch je vier Kantenmittelpunkte und 8 um 60° mit Ebenen durch je sechs Kantenmitten)
und ist
* [[Punktsymmetrie|punktsymmetrisch]] (zum Mittelpunkt <math>M</math>).
 
Für eine vierzählige Drehachse gibt es 3 Symmetrieoperationen (Drehung um 90°, 180° und 270°), für eine dreizählige Drehachse dementsprechend 2 Symmetrieoperationen. Insgesamt hat die Symmetriegruppe des Würfels 48 Elemente. Man bezeichnet sie in der Notation von [[Arthur Moritz Schoenflies|Schoenflies]] als <math>O_h</math>, in der Notation von [[Carl Hermann (Physiker)|Hermann]] / [[Charles-Victor Mauguin|Mauguin]] als <math>4/m\ \bar{3}\ 2/m</math> oder allgemein aber etwas ungenau als [[Oktaedergruppe|Oktaeder-]] bzw. Würfelgruppe.
 
== Beziehungen zu anderen Polyedern ==
Der Würfel ist das zum [[Oktaeder]] [[Dualität (Mathematik)#Dualität von Polytopen|duale]] Polyeder (und umgekehrt). Außerdem beschreiben die Eckpunkte des Würfels zwei punktsymmetrische reguläre [[Tetraeder]], welche zusammen das [[Sterntetraeder]] als weiteren regulären Körper bilden.
 
Mithilfe von Würfel und Oktaeder können zahlreiche Körper konstruiert werden, die ebenfalls die Würfelgruppe als Symmetriegruppe haben. So erhält man zum Beispiel
* den [[Hexaederstumpf]] bzw. den ''abgestumpften Würfel'' mit 6 Achtecken und 8 Dreiecken
* das [[Kuboktaeder]] mit 6 Quadraten und 8 Dreiecken, also 14 Seiten, und 12 Ecken
* den [[Oktaederstumpf]] bzw. das ''abgestumpfte Oktaeder'' mit 6 Quadraten und 8 Sechsecken
als Durchschnitte eines Würfels mit einem Oktaeder (siehe [[archimedische Körper]])
und
* das [[Rhombendodekaeder]] mit 6 + 8 = 14 Ecken und 12 Rhomben als Seiten
als [[konvexe Hülle]] einer Vereinigung eines Würfels mit einem Oktaeder.
 
Der Würfel ist Baustein der regulären Würfel[[parkettierung]].
 
== Spielwürfel ==
[[Datei:dice.jpg|mini|Zwei klassische 6-seitige Spielwürfel]]
 
Bei einem klassischen '''Spielwürfel''' werden die sechs quadratischen Seitenflächen üblicherweise mit 1 bis 6 Punkten gekennzeichnet.
 
== Zu etlichen weiteren Themen siehe auch ==
* {{WikipediaDE|Würfel (Geometrie)}}
 
== Siehe auch ==
* {{WikipediaDE|Würfel (Geometrie)}}
 
[[Kategorie:Platonische Körper|105]]
[[Kategorie:Geometrische Figur]]
[[Kategorie:Sechsheit]]
[[Kategorie:Hexaeder|!]]
[[Kategorie:Polyeder]]
 
{{Wikipedia}}

Version vom 23. März 2018, 15:46 Uhr

Beschreibung

Saal des Münchener Kongresses 1907; 1. Reihe u.a. mit v.l.n.r.: Annie Besant, Marie von Sivers, Rudolf Steiner, Sophie Stinde, Freiin Harriet von Vacano, Anna Rudolfovna Minzlova

Lizenz

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