imported>Odyssee |
imported>J.A.R. Minzloff |
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| Der '''Würfel''' (von deutsch ''werfen'', weil er in Würfelspielen geworfen wird; auch '''regelmäßiges Hexaeder''' [{{IPA|hɛksaˈeːdər}}], von griech. ''hexáedron'' ‚Sechsflächner‘, oder '''Kubus''', von {{grcS|κύβος|kybos|variant=alt}} bzw. [[Latein|lat.]] ''cubus'' ‚Würfel‘) ist einer der fünf [[Platonischer Körper|platonischen Körper]], genauer ein (dreidimensionales) [[Polyeder]] (''Vielflächner'') mit
| | == Beschreibung == |
| * sechs (kongruenten) [[Quadrat (Geometrie)|Quadraten]] als Begrenzungsflächen
| | Saal des [[Münchner Kongress 1907|Münchener Kongresses 1907]]; 1. Reihe u.a. mit v.l.n.r.: [[Annie Besant]], [[Marie von Sivers]], [[Rudolf Steiner]], [[Sophie Stinde]], [[Freiin Harriet von Vacano]], [[Anna Rudolfovna Minzlova]] |
| * zwölf (gleich langen) [[Kante]]n und
| | == Lizenz == |
| * acht [[Ecke]]n, in denen jeweils drei Begrenzungsflächen zusammentreffen
| | {{Bild-PD-alt-100}} |
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| Der Würfel ist ein spezielles (dreidimensionales) [[Parallelepiped]], ein spezieller (nämlich ''gleichseitiger'') [[Quader]] sowie ein spezielles gerades quadratisches [[Prisma (Geometrie)|Prisma]]. Die Größe eines Würfels wird bereits durch die Angabe der ''Kantenlänge'' festgelegt.
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| == Symmetrie == | |
| [[Datei:01-Würfel-Parallelperspektive.svg|miniatur|hochkant=1.24|Würfel in [[Wikipedia:Axonometrie#Bildachsen_und_Verzerrungen|Kabinettprojektion (Dimetrie)]]]] | |
| Wegen seiner hohen [[Symmetrie (Geometrie)|Symmetrie]] – alle Ecken, Kanten und Seiten sind untereinander gleichartig – ist der Würfel ein reguläres [[Polytop (Geometrie)|Polytop]]. Er hat
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| * drei vierzählige Drehachsen (durch die Mittelpunkte zweier gegenüberliegender Flächen),
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| * vier dreizählige Drehachsen (durch zwei diagonal gegenüberliegende Ecken),
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| * sechs zweizählige Drehachsen (durch die Mittelpunkte zweier diagonal gegenüberliegender Kanten) und
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| * neun Spiegelebenen (sechs Ebenen durch jeweils vier Ecken, drei Ebenen durch je vier Kantenmittelpunkte)
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| * 14 Drehspiegelungen (sechs um 90° mit den Ebenen durch je vier Kantenmittelpunkte und 8 um 60° mit Ebenen durch je sechs Kantenmitten)
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| und ist
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| * [[Punktsymmetrie|punktsymmetrisch]] (zum Mittelpunkt <math>M</math>).
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| Für eine vierzählige Drehachse gibt es 3 Symmetrieoperationen (Drehung um 90°, 180° und 270°), für eine dreizählige Drehachse dementsprechend 2 Symmetrieoperationen. Insgesamt hat die Symmetriegruppe des Würfels 48 Elemente. Man bezeichnet sie in der Notation von [[Arthur Moritz Schoenflies|Schoenflies]] als <math>O_h</math>, in der Notation von [[Carl Hermann (Physiker)|Hermann]] / [[Charles-Victor Mauguin|Mauguin]] als <math>4/m\ \bar{3}\ 2/m</math> oder allgemein aber etwas ungenau als [[Oktaedergruppe|Oktaeder-]] bzw. Würfelgruppe.
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| == Beziehungen zu anderen Polyedern ==
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| Der Würfel ist das zum [[Oktaeder]] [[Dualität (Mathematik)#Dualität von Polytopen|duale]] Polyeder (und umgekehrt). Außerdem beschreiben die Eckpunkte des Würfels zwei punktsymmetrische reguläre [[Tetraeder]], welche zusammen das [[Sterntetraeder]] als weiteren regulären Körper bilden.
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| Mithilfe von Würfel und Oktaeder können zahlreiche Körper konstruiert werden, die ebenfalls die Würfelgruppe als Symmetriegruppe haben. So erhält man zum Beispiel
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| * den [[Hexaederstumpf]] bzw. den ''abgestumpften Würfel'' mit 6 Achtecken und 8 Dreiecken
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| * das [[Kuboktaeder]] mit 6 Quadraten und 8 Dreiecken, also 14 Seiten, und 12 Ecken
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| * den [[Oktaederstumpf]] bzw. das ''abgestumpfte Oktaeder'' mit 6 Quadraten und 8 Sechsecken
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| als Durchschnitte eines Würfels mit einem Oktaeder (siehe [[archimedische Körper]])
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| und
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| * das [[Rhombendodekaeder]] mit 6 + 8 = 14 Ecken und 12 Rhomben als Seiten
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| als [[konvexe Hülle]] einer Vereinigung eines Würfels mit einem Oktaeder.
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| Der Würfel ist Baustein der regulären Würfel[[parkettierung]].
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| == Spielwürfel ==
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| [[Datei:dice.jpg|mini|Zwei klassische 6-seitige Spielwürfel]] | |
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| Bei einem klassischen '''Spielwürfel''' werden die sechs quadratischen Seitenflächen üblicherweise mit 1 bis 6 Punkten gekennzeichnet.
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| == Zu etlichen weiteren Themen siehe auch == | |
| * {{WikipediaDE|Würfel (Geometrie)}}
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| == Siehe auch ==
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| * {{WikipediaDE|Würfel (Geometrie)}}
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| [[Kategorie:Platonische Körper|105]]
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| [[Kategorie:Geometrische Figur]]
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| [[Kategorie:Sechsheit]]
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| [[Kategorie:Hexaeder|!]]
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| [[Kategorie:Polyeder]]
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| {{Wikipedia}}
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