Kugel und Kategorie:Schriftsteller (Deutscher): Unterschied zwischen den Seiten

Aus AnthroWiki
(Unterschied zwischen Seiten)
VisuellWikitext
imported>Odyssee
Keine Bearbeitungszusammenfassung
 
imported>Joachim Stiller
Keine Bearbeitungszusammenfassung
 
Zeile 1: Zeile 1:
[[Datei:Sphere wireframe 10deg 6r.svg|mini|Bild einer Kugel mit [[Längenkreis|Längen-]] und [[Breitenkreis]]en]]
[[Kategorie:Schriftsteller (Deutscher)|!]]
[[Datei:Kugelschale.svg|300px|mini|Kugelschale, rechts: aufgeschnitten]]
[[Kategorie:Schriftsteller nach Staat]]
[[Datei:Kugel-kappe-s.svg|300px|mini|Der blaue Körper ist ein Kugelsegment und ebenso der rosa Restkörper.]]
[[Kategorie:Schriftsteller nach Land]]
Eine '''Kugel''' ({{ELSalt|σφαίρα}} ''sphaira'' „[[Sphäre]]“) ist in der [[Geometrie]] die Kurzbezeichnung für [[Sphäre (Mathematik)|Kugelfläche]] und [[#Kugelfläche und Kugelkörper|Kugelkörper]]. Die [[Differenzmenge]] zweier konzentrischer Kugeln bildet eine '''Kugelschale''' bzw. '''Hohlkugel'''. Durch den Schnitt mit einer [[Ebene (Mathematik)|Ebene]] ensteht ein '''Kugelabschnitt''' bzw. '''Kugelsegment''', dessen gewöbter Teil auch als '''Kugelkalotte''', '''Kugelhaube''' oder '''Kugelkappe''' bezeichnet wird und desen Grundfläche eine [[Kreisscheibe]] ist. Der Schnitt durch einen [[Großkreis]] teilt die Kugel in zwei '''Halbkugeln''' oder '''Hemisphären''' (von {{ELSalt|ἡμισφαίριον}} ''hemisphairion'' „Halbkugel“).
[[Kategorie:Schriftsteller (Europa)]]
 
== Einheitskugel ==
 
Eine Kugel mit dem [[Radius]] eins um den Nullpunkt eines [[Vektorraum]]s wird als '''Einheitskugel''' bezeichnet.
 
== Kugelfläche und Kugelkörper ==
Die Kugelfläche ist die bei der Drehung einer [[Kreis (Geometrie)|Kreislinie]] um einen Kreisdurchmesser entstehende [[Fläche (Mathematik)|Fläche]]. Sie ist eine [[Rotationsfläche]] sowie eine spezielle [[Fläche zweiter Ordnung]] und wird beschrieben als die [[Menge (Mathematik)|Menge]] (der geometrische Ort) aller [[Punkt (Geometrie)|Punkte]] im dreidimensionalen [[Euklidischer Raum|euklidischen Raum]], deren Abstand von einem festen Punkt des Raumes gleich einer gegebenen [[Positive Zahl|positiven]] [[Reelle Zahl|reellen Zahl]] <math>\!\ r</math> ist. Der feste Punkt wird als [[Mittelpunkt]] oder Zentrum der Kugel bezeichnet, die Zahl <math>\!\ r</math> als [[Radius]] der Kugel.
 
Die ''Kugelfläche'' teilt den Raum in zwei getrennte offene [[Untermenge]]n, von denen genau eine [[Konvexe Menge|konvex]] ist. Diese Menge heißt das ''Innere'' der Kugel. Die Vereinigungsmenge einer Kugelfläche und ihres Inneren heißt ''Kugelkörper'' oder ''Vollkugel''. Die Kugelfläche wird auch ''Kugeloberfläche'' oder [[Sphäre (Mathematik)|Sphäre]] genannt.
 
Sowohl Kugelfläche als auch Kugelkörper werden oft kurz als Kugel bezeichnet, wobei aus dem Zusammenhang klar sein muss, welche der beiden Bedeutungen gemeint ist.
 
Eine Kugelfläche mit Mittelpunkt (<math>\!\ x_0</math>, <math>\!\ y_0</math>, <math>\!\ z_0</math>) und Radius <math>\!\ r</math> ist die Menge aller Punkte (<math>\!\ x</math>, <math>\!\ y</math>, <math>\!\ z</math>), für die
 
: <math>\!\ (x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 + (z - z_0)^2 = r^2</math>
 
erfüllt ist.
 
[[Datei:Kugelkoord-def.svg|300px|mini|Kugelkoordinaten und kartesisches Koordinatensystem]]
 
In [[Vektor]]schreibweise mit <math>\vec{x} = \begin{pmatrix}x \\ y \\ z\end{pmatrix}</math>, <math>\vec{m} = \begin{pmatrix}x_0 \\ y_0 \\ z_0\end{pmatrix}</math>:
 
: <math> (\vec x - \vec m ) \cdot (\vec x - \vec m ) = r^2 </math>,
: <math> (\vec x - \vec m )^2 = r^2 </math>,
: <math> |\vec x - \vec m |^2 = r^2 </math> oder
: <math> |\vec x - \vec m | = r </math>.
 
Die Punkte auf der Kugelfläche mit dem Radius <math>\!\ r</math> und dem Zentrum im Ursprung können durch [[Kugelkoordinaten]] wie folgt parametrisiert werden:
 
: <math>x = r \cdot \sin \theta \cdot \cos \varphi</math>
: <math>y = r \cdot \sin \theta \cdot \sin \varphi </math>
: <math>z = r \cdot \cos \theta </math>
mit <math>0 \le \theta \le \pi</math> und <math>0 \le \varphi < 2 \pi</math>.
 
== Großkreise und Kleinkreise ==
 
Ein [[Kreis]] auf der Oberfläche der Kugel, dessen Mittelpunkt mit dem Mittelpunkt der Kugel zusammenfällt, ist ein größtmöglicher Kreis auf der Kugelfläche und wird als '''Großkreis''' bezeichnet. Sein Radius ist gleich dem der Kugel. Solche Großkreise sind etwa die in Nord-Süd-Richtung verlaufenden und durch die beiden Rotationspole der [[Erde (Planet)|Erde]] gehenden '''Längenkreise''' auf der kugelförmig gedachten Erdoberfläche.
 
Alle anderen Kreise auf der Kugeloberfläche werden als '''Kleinkreise''' bezeichnet. Ein Beispiel dafür sind die senkrecht zur Erdachse stehenden '''Breitenkreise''', ausgenommen der Äquator, dessen Mittelpunkt mit dem Mittelpunkt der Erde zusammenfällt und daher ein Großkreis ist.
 
== Formeln ==
{{WikipediaDE|Formelsammlung Geometrie}}
 
{| class="wikitable centered"
|----
|+ Formeln zur Kugel
|----
! Geometrische Größe || Formel
|----
|style="text-align:left" | Kugelradius
| <math>\!\ r</math>
|----
|style="text-align:left" | Kugel[[durchmesser]]
| <math>\!\ d =2 r</math>
|----
|style="text-align:left" | [[Umfang (Geometrie)|Umfang]] (Großkreis)
| <math>U =2 \pi r = \pi d\ {\color{OliveGreen} = \frac{\mathrm dA_\mathrm{PF}}{\mathrm dr}}</math>
|----
|style="text-align:left" | {{Anker|Kugelvolumen}}[[Volumen]]
| <math>V = \frac{4}{3} \pi r^3 = \frac{1}{6} \pi d^3 = \int_{-r}^r \left(r^2-x^2\right)\pi \mathrm dx</math>
|----
|style="text-align:left" | [[Oberflächeninhalt|Oberfläche]]
| <math>A_O = 4 \pi r^2 = \pi d^2\ {\color{OliveGreen} = \frac{\mathrm dV}{\mathrm dr}}</math>
|----
|style="text-align:left" | Projektionsfläche/Kugelquerschnitt
| <math>A_\mathrm{PF} = \pi r^2 = \int_0^r U \mathrm dr</math>
|----
|style="text-align:left" | Höhe (Kugelsegment/-kalotte, Kugelschicht,
nicht mit dem h in der Skizze unten identisch)
| <math>\!\ h</math>
|----
|style="text-align:left" | Volumen einer [[Kugelkalotte]]
| <math>V_\mathrm{KK} = \frac{\pi h^2}{3} (3r - h)</math>
|----
|style="text-align:left" | Flächeninhalt einer Kugelkalotte
| <math>A_\mathrm{KK} = 2 \pi r h = 2 \pi r^2 \left(1-\cos\frac{\alpha}{2}\right)</math>
|----
|style="text-align:left" | Mantelfläche einer [[Kugelschicht]]
| <math>A_\mathrm{KS} = 2 \pi r h = 2 \pi r^2 \int_\alpha^\beta \sin x\,\mathrm dx</math>
|----
|style="text-align:left" | [[Trägheitsmoment]] einer Hohlkugel (Drehachse durch Mittelpunkt)
| <math>J = \frac{2}{3} mr^2</math>
|----
|style="text-align:left" | [[Trägheitsmoment]] einer Vollkugel (Drehachse durch Mittelpunkt)
| <math>J = \frac{2}{5} mr^2</math>
|----
|}
 
== Zu etlichen weiteren Unterthemen siehe auch ==
* {{WikipediaDE|Kugel}}
 
== Siehe auch ==
* {{WikipediaDE|Kugel}}
 
[[Kategorie:Rotationskörper]]
[[Kategorie:Fläche (Mathematik)]]
[[Kategorie:Gegenstandssymbol]]
[[Kategorie:Formsymbol]]
 
{{Wikipedia}}

Version vom 24. Mai 2020, 21:30 Uhr

Abgerufen von „https://anthrowiki.at/index.php?title=Kugel&oldid=279704“