Benutzer Diskussion:Joachim Stiller und Achilles und die Schildkröte: Unterschied zwischen den Seiten

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Als Paradoxon von Achilles und der Schildkröte wird einer von mehreren bekannten Trugschlüssen bezeichnet, die dem antiken griechischen Philosophen Zenon von Elea zugeschrieben werden (weitere siehe dort). Darin wird versucht zu belegen, dass ein schneller Läufer wie Achilles bei einem Wettrennen eine Schildkröte niemals einholen könne, wenn er ihr einen Vorsprung gewähre. Der Gang des Arguments ist folgender:

Bevor Achilles die Schildkröte überholen kann, muss er zuerst ihren Vorsprung einholen. In der Zeit, die er dafür benötigt, hat die Schildkröte aber einen neuen, wenn auch kleineren Vorsprung gewonnen, den Achilles ebenfalls erst einholen muss. Ist ihm auch das gelungen, hat die Schildkröte wiederum einen – noch kleineren – Weg-Vorsprung gewonnen und so weiter. Der Vorsprung, den die Schildkröte hat, werde zwar immer kleiner, bleibe aber dennoch immer ein Vorsprung, sodass sich der schnellere Läufer der Schildkröte zwar immer weiter nähere, sie aber niemals einholen und somit auch nicht überholen könne.

Tatsächlich wird ein Schnellerer einen Langsameren aber immer einholen, sofern er dafür nur genügend Zeit hat. Die zum Einholen benötigte Zeit ist proportional zum Vorsprung und umgekehrt proportional zur Differenz der Geschwindigkeiten der beiden Läufer^{[Anm. 1]} und bei gleichbleibendem Verhältnis dieser beiden Geschwindigkeiten umgekehrt proportional zu jeder derselben.^{[Anm. 2]}

Zenons Trugschluss beruht auf zwei Fehlern:^[1]

Er berücksichtigt nicht, dass eine unendliche Reihe eine endliche Summe haben kann.^{[Anm. 3]}^{[Anm. 4]}
Der Weg, den Achilles von seinem Ausgangspunkt bis zum Zusammentreffen mit der Schildkröte zurücklegt, kann beliebig oft – formal unendlich oft – in Vorsprünge der Schildkröte unterteilt werden. Aus der Tatsache, dass diese Teilungshandlung beliebig oft vorgenommen werden kann, folgt aber nicht, dass die zu durchlaufende Strecke unendlich wäre,^{[Anm. 5]} oder dass unendlich viel Zeit erforderlich wäre, sie zurückzulegen.

Es gibt unterschiedliche Ansichten darüber, was Zenon mit seinen „Paradoxien“ zeigen wollte. Häufig wird vermutet, dass sie die Eleatische These (siehe Parmenides von Elea) stützen sollten, der zufolge es in der Wirklichkeit keine Vielheit, sondern nur ein einziges unveränderliches und unzerstörbares Ganzes gebe, und dass die Alltagswahrnehmung von Vielfalt und Bewegung bloßer Schein sei. Sicher ist jedoch, dass diese antike Überlegung zur Begriffsbildung der Unendlichkeit beigetragen hat und auch heute noch als Lehrbeispiel verwendet wird.

Das Paradoxon ist nicht direkt überliefert, sondern findet sich in Aristoteles’ Physik^[2]^[3] und Simplikios’ Kommentar^[4] dazu.

Verwandte Paradoxa, die Zenon zugeschrieben werden, sind das Teilungsparadoxon und das Pfeil-Paradoxon. Inhaltlich nicht verwandt mit dem Zenonischen Paradox ist ein von Lewis Carroll in seinem kurzen Dialog What the Tortoise Said to Achilles^[5] (Was die Schildkröte zu Achilles sagte) vorgestelltes Argument, mit dem er den Unterschied zwischen objekt- und metasprachlicher Implikation thematisiert und das gelegentlich als Carroll-Paradox bezeichnet wird.^[6]

Siehe auch

Achilles und die Schildkröte - Artikel in der deutschen Wikipedia
Infinitesimalrechnung - Artikel in der deutschen Wikipedia

Literatur

Max Black: Achilles and the Tortoise, in: Analysis 11 (1950), S. 91–101.
Simon Blackburn: Practical Tortoise Raising, in: Mind 104 (1995), S. 696–711.
S. Brown: What the Tortoise taught us, in: Mind 63 (1954), S. 170–179.
Florian Cajori: The Purpose of Zeno’s Arguments on Motion, in: Isis 3/1 (1920), S. 7–20.
L. Carroll (C.L. Dogson): What the Tortoise said to Achilles, in: Mind 104 (1995), S. 278–280.
M. Clark: Paradoxes, from A to Z, Routledge, London 2000.
Pascal Engel: Dummett, Achilles and the tortoise, in: L. Hahn / R. Auxier (Hrsg.): The philosophy of Michael Dummett (Library of Living philosophers), La Salle, Ill.: Open Court 2005.
Adolf Grünbaum: Modern Science and Zeno’s Paradoxes, Middletown: Wesleyan University Press 1967.
Andrew Harrison: Zeno’s Paper Chase, in: Mind 76/304 (1967), S. 568–575.
J. M. Hinton / C. B. Martin: Achilles and the Tortoise, in: Analysis 14/3 (1954), S. 56–68.
C. V. Jones: Zeno’s paradoxes and the first foundations of mathematics (Spanish), in: Mathesis 3/1 1987.
S. Makin: Art. Zeno of Elea, in: Routledge Encyclopedia of Philosophy 9, London 1998, S. 843–853.
R. Morris: Achilles in the Quantum Universe, Redwood Books, Trowbridge, Wiltshire 1997.
Jorge Luis Borges: Zwei Essays in Kabbala und Tango, S. Fischer Verlag, 1991.
Aloys Müller: Das Problem des Wettlaufs zwischen Achill und der Schildkröte, in: Archiv für Philosophie 2 (1948), S. 106–111.
Stanislaus Quan: The Solution of Zeno’s First Paradox, in: Mind 77/306 (1968), S. 206–221.
W. D. Ross: Aristotle’s Physics, Oxford: Clarendon 1936, xi-xii Bibliographie älterer Literatur zu den Paradoxien der Bewegung, S. 70–85 u.ö. Kommentar zu den Abschnitten bei Aristoteles.
Bertrand Russell: Our Knowledge of the External World, Open Court, London/Chicago 1914, Kap. 5 und 6.
Richard Mark Sainsbury: Paradoxien, Reclam, Stuttgart 2001 (=Reclams Universal-Bibliothek 18135), ISBN 3-15-018135-6.
Wesley C. Salmon (Hrsg.): Zeno’s paradoxes, Hacket, Indianapolis 1970, Nachdruck 2001, ISBN 0-87220-560-6.
Wesley C. Salmon: Space, Time and Motion, Enrico, California and Belmont, California, Dickenson Publishing Co., Inc. 1975, Kap. 2
T. Smiley: A Tale of Two Tortoises, in: Mind 104 (1995), S. 725–736.
Roy Sorensen: A Brief History of the Paradox, Oxford University Press 2003.
L. E. Thomas: Achilles and the Tortoise, in: Analysis 12/4 (1952), S. 92–94.
J. F. Thomson: What Achilles should have said to the Tortoise, in: Ratio 3 (1960), S. 95–105.

Weblinks

Wikiquote: Arnfrid Astel – Zitate

Christoph Bock: Elemente der Analysis (PDF; 1,2 MB) S. 59f
Nick Huggett: Zeno’s Paradoxes. In: Edward N. Zalta (Hrsg.): Stanford Encyclopedia of Philosophy.
Eintrag in Wolfram’s Math World (Englisch, mit weiterer Literatur)
Lecture Notes von S. Savitt (Philosophiedozent an der University of British Columbia, englisch; PDF-Datei; 71 kB)
Peter Lynds: Zeno‘s Paradoxes: A Timely Solution (Englisch mit weiterer Literatur; PDF-Datei; 166 kB)
Matheplanet-Artikel
Ulrich Eckhardt: Die Schildkröte des Zenon von Elea. Gedanken eines Mathematikers über das Unendliche (PDF; 320 kB)
Zenon und die Zeitlupe. in: Wolfram Heinrich: Zenon, Achilles und die Schildkröte. Der vergessene Denker Costabile Matarazzo. [1]@theodor-rieh.de und [2]@freitag.de

Einzelnachweise

↑ Nach Peter Janich:„Achilles und die Schildkröte“, in: Jürgen Mittelstraß (Hrsg.): Enzyklopädie Philosophie und Wissenschaftstheorie, Band 1, Metzler Stuttgart 1995, Nachdruck 2004, Seite 41, ISBN 3-476-02012-6
↑ VI,9,239b14-240a18 in der Formulierung, dass „auch das langsamste Tier im Laufe nicht eingeholt werden könne vom schnellsten, da der Verfolger immer erst dahin kommen müsse, von wo das fliehende Tier fortgelaufen ist, so daß das langsamere immer einen Vorsprung behalte“.
↑ Altgriechischer Originaltext in Aristoteles: Physik. (siehe im Bildschirmausschnitt §4). Archiviert vom Original am 16. Mai 2008; abgerufen am 16. Oktober 2013.
↑ Simplicius: On Aristotle’s Physics 1014,10, vgl.: Readings in Ancient Greek Philosophy From Thales to Aristotle, hg. S. M. Chohen / P. Curd / C. D. C. Reeve, Indianapolis/Cambridge: Hackett 1995, 58f
↑ Mind 1(1895), S. 278–280.
↑ hierzu siehe zum Beispiel Pascal Engel: Dummett, Achilles and the tortoise, In: L. Hahn / R. Auxier (Hgg.): The philosophy of Michael Dummett (Library of Living philosophers), La Salle, Ill.: Open Court 2005.

Anmerkungen

↑ Sei $t$ die Zeit, die vom Beginn des Rennens bis zu dem Zeitpunkt verstreicht, zu dem Achilles die Schildkröte einholt, $s$ der Weg, den Achilles während der Zeit $t$ zurücklegt. $s'$ der Weg, den die Schildkröte während der Zeit $t$ zurücklegt, $s_{0}$ der Vorsprung der Schildkröte zu Beginn des Rennens, $v_{a}$ die Geschwindigkeit Achilles', $v_{s}$ die Geschwindigkeit der Schildkröte. Dann lässt sich t wie folgt berechnen:
$v_{a}\cdot t=s=s_{0}+s'=s_{0}+v_{s}\cdot t$ , also $s_{0}=v_{a}\cdot t-v_{s}\cdot t=(v_{a}-v_{s})\cdot t$ ; mit $v_{a}-v_{s}\neq 0$ folgt nach Division: $t={\frac {s_{0}}{v_{a}-v_{s}}}$ .
Letzteres zeigt die im Text behauptete Proportionalität der Zeit $t$ zum Vorsprung $s_{0}$ der Schildkröte und die umgekehrte Proportionalität von $t$ zur Geschwindigkeitsdifferenz $v_{a}-v_{s}$ .
↑ (Mit $v_{a}\neq 0$ ) sei weiter $q={\frac {v_{s}}{v_{a}}}$ das Verhältnis der Geschwindigkeiten, sodass $v_{s}=q\cdot v_{a}$ , (mit $v_{s}\neq 0$ ) auch ${\frac {1}{v_{a}}}={\frac {q}{v_{s}}}$ . Wegen $v_{a}-v_{s}\neq 0$ ist $q\neq 1$ , und der Ausdruck für $t$ lässt sich weiter umformen: $t={\frac {s_{0}}{v_{a}-v_{s}}}={\frac {s_{0}}{v_{a}-q\cdot v_{a}}}={\frac {s_{0}}{v_{a}\cdot (1-q)}}={\frac {q\cdot s_{0}}{v_{s}\cdot (1-q)}}$ ; für konstantes Verhältnis $q$ der beiden Geschwindigkeiten zeigen die letzten beiden Brüche die im Text behauptete umgekehrte Proprotionalität der Zeit $t$ zu $v_{a}$ bzw. $v_{s}$ . Die umgekehrte Proportionalität von $t$ zu $v_{s}$ bedeutet, dass Achilles die Schildkröte eher trifft, wenn jene schneller läuft. Das könnte zunächst verwundern; vorausgesetzt ist hier aber, dass in diesem Fall auch Achilles um den gleichen Faktor schneller läuft wie die Schildkröte (da $q$ als konstant vorausgesetzt wird).
↑ Es ist – heute – möglich, auch mit Zenons Ansatz die Zeit $t$ auszurechnen, nach der Achilles die Schildkröte einholt. - Sei $s_{0}$ wie oben der Vorsprung der Schildkröte zu Beginn des Rennens, $t_{0}$ die Zeit, die Achilles benötigt, um $s_{0}$ zurückzulegen. Ferner sei die Schildkröte $q$ -mal langsamer als Achilles. Dann holt Achilles die Schildkröte nach der Zeit $t_{0}\cdot q$ ein weiteres Mal ein, nach der Zeit $(t_{0}\cdot q)\cdot q=t_{0}\cdot q^{2}$ ein drittes Mal usw. Mit $q^{0}=1$ ist die Summe aller von Zenon betrachteten Zeiten, die Achilles zurücklegt:
$t=t_{0}\cdot \sum _{n=0}^{\infty }q^{n}=t_{0}\cdot \lim _{n\to \infty }\sum _{k=0}^{n}q^{k}=t_{0}\cdot \lim _{n\to \infty }{\frac {1-q^{n+1}}{1-q}}={\frac {t_{0}}{1-q}}$ .
Es ist möglich, aber nicht zwingend erforderlich, $q$ wie oben als Quotienten ${\frac {v_{s}}{v_{a}}}$ zweier Geschwindigkeiten aufzufassen. Dann ist mit $t_{0}={\frac {s_{0}}{v_{a}}}$ weiter:
$t={\frac {t_{0}}{1-q}}={\frac {s_{0}}{v_{a}-q\cdot v_{a}}}={\frac {s_{0}}{v_{a}-v_{s}}};$
die konvergente geometrischen Reihe $t_{0}\cdot \sum _{n=0}^{\infty }q^{n}$ ergibt also das gleiche Ergebnis für $t$ wie die Rechnung in Anmerkung 1 ohne Zerlegung von $t$ nach Zenons Ansatz. Die Reihe erfüllt wegen $0<q<1$ ein Konvergenzkriterium, sodass Grenzwertrechnung ihr genau eine (exakte, als "Grenzwert" bezeichnete) Zahl zuordnet, die sie im Unendlichen erreicht. Eine solche Mathematik war Zenon augenscheinlich nicht bekannt.
↑ Sainsbury zeigt in Paradoxien die Unbestimmtheit des Problems anhand der Zweiteilung: Die Länge zwei wird halbiert, in zwei Längen eins, dann weiter eine Länge eins in zwei halbe, davon wieder eine halbe in zwei viertel und so weiter. Es ist offensichtlich, dass dabei die Zwei nicht überschritten wird, noch sich die Zeit dehnt. Es ist vielmehr der verbleibende Rest stehts klar: identisch mit dem letzten Teilungsglied (oben ein viertel). (Es scheint somit kein Ziel Zenons zu sein, zu zeigen, dass das Rennen ewig währt noch unbestimmt lang ist. Als Argument bleibt, ähnlich wie beim Pfeilparadoxon, die Unmöglichkeit (in Einklang mit den fehlenden Aussagen der Mathematik über Unendlich bzw. ggf. Null) das Ziel zu erreichen.)
↑ Mit Zenons Ansatz lässt sich auch der Weg $s$ ausrechnen, den Achilles im Zeitraum $t$ (von seinem Startpunkt bis zum Einholen der Schildkröte) zurücklegt. - In der Rechnung in Anmerkung 3 ist nur $t$ bzw. $t_{0}$ durch $s$ bzw. $s_{0}$ zu ersetzen:
$s=s_{0}\cdot \sum _{n=0}^{\infty }q^{n}={\frac {s_{0}}{1-q}}$ .
Werden Geschwindigkeiten eingeführt, so ist ohne Zerlegung in Teilwege unter Benutzung obiger Darstellung von $t$ :
$s=v_{a}\cdot t={\frac {v_{a}\cdot s_{0}}{v_{a}-v_{s}}}$ ;
Ausklammern von $v_{a}$ im Nenner und Kürzen liefert das gleiche Ergebnis wie die konvergente Reihe.

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[3] Nach Peter Janich:„Achilles und die Schildkröte“, in: Jürgen Mittelstraß (Hrsg.): Enzyklopädie Philosophie und Wissenschaftstheorie, Band 1, Metzler Stuttgart 1995, Nachdruck 2004, Seite 41, ISBN 3-476-02012-6

[7] VI,9,239b14-240a18 in der Formulierung, dass „auch das langsamste Tier im Laufe nicht eingeholt werden könne vom schnellsten, da der Verfolger immer erst dahin kommen müsse, von wo das fliehende Tier fortgelaufen ist, so daß das langsamere immer einen Vorsprung behalte“.

[8] Altgriechischer Originaltext in Aristoteles: Physik. (siehe im Bildschirmausschnitt §4). Archiviert vom Original am 16. Mai 2008; abgerufen am 16. Oktober 2013.

[9] Simplicius: On Aristotle’s Physics 1014,10, vgl.: Readings in Ancient Greek Philosophy From Thales to Aristotle, hg. S. M. Chohen / P. Curd / C. D. C. Reeve, Indianapolis/Cambridge: Hackett 1995, 58f

[10] Mind 1(1895), S. 278–280.

[11] rzu siehe zum Beispiel Pascal Engel: Dummett, Achilles and the tortoise, In: L. Hahn / R. Auxier (Hgg.): The philosophy of Michael Dummett (Library of Living philosophers), La Salle, Ill.: Open Court 2005.

[anm1-1] Sei $t$ die Zeit, die vom Beginn des Rennens bis zu dem Zeitpunkt verstreicht, zu dem Achilles die Schildkröte einholt, $s$ der Weg, den Achilles während der Zeit $t$ zurücklegt. $s'$ der Weg, den die Schildkröte während der Zeit $t$ zurücklegt, $s_{0}$ der Vorsprung der Schildkröte zu Beginn des Rennens, $v_{a}$ die Geschwindigkeit Achilles', $v_{s}$ die Geschwindigkeit der Schildkröte. Dann lässt sich t wie folgt berechnen:
$v_{a}\cdot t=s=s_{0}+s'=s_{0}+v_{s}\cdot t$ , also $s_{0}=v_{a}\cdot t-v_{s}\cdot t=(v_{a}-v_{s})\cdot t$ ; mit $v_{a}-v_{s}\neq 0$ folgt nach Division: $t={\frac {s_{0}}{v_{a}-v_{s}}}$ .
Letzteres zeigt die im Text behauptete Proportionalität der Zeit $t$ zum Vorsprung $s_{0}$ der Schildkröte und die umgekehrte Proportionalität von $t$ zur Geschwindigkeitsdifferenz $v_{a}-v_{s}$ .

[anm2-2] (Mit $v_{a}\neq 0$ ) sei weiter $q={\frac {v_{s}}{v_{a}}}$ das Verhältnis der Geschwindigkeiten, sodass $v_{s}=q\cdot v_{a}$ , (mit $v_{s}\neq 0$ ) auch ${\frac {1}{v_{a}}}={\frac {q}{v_{s}}}$ . Wegen $v_{a}-v_{s}\neq 0$ ist $q\neq 1$ , und der Ausdruck für $t$ lässt sich weiter umformen: $t={\frac {s_{0}}{v_{a}-v_{s}}}={\frac {s_{0}}{v_{a}-q\cdot v_{a}}}={\frac {s_{0}}{v_{a}\cdot (1-q)}}={\frac {q\cdot s_{0}}{v_{s}\cdot (1-q)}}$ ; für konstantes Verhältnis $q$ der beiden Geschwindigkeiten zeigen die letzten beiden Brüche die im Text behauptete umgekehrte Proprotionalität der Zeit $t$ zu $v_{a}$ bzw. $v_{s}$ . Die umgekehrte Proportionalität von $t$ zu $v_{s}$ bedeutet, dass Achilles die Schildkröte eher trifft, wenn jene schneller läuft. Das könnte zunächst verwundern; vorausgesetzt ist hier aber, dass in diesem Fall auch Achilles um den gleichen Faktor schneller läuft wie die Schildkröte (da $q$ als konstant vorausgesetzt wird).

[anm3-4] Es ist – heute – möglich, auch mit Zenons Ansatz die Zeit $t$ auszurechnen, nach der Achilles die Schildkröte einholt. - Sei $s_{0}$ wie oben der Vorsprung der Schildkröte zu Beginn des Rennens, $t_{0}$ die Zeit, die Achilles benötigt, um $s_{0}$ zurückzulegen. Ferner sei die Schildkröte $q$ -mal langsamer als Achilles. Dann holt Achilles die Schildkröte nach der Zeit $t_{0}\cdot q$ ein weiteres Mal ein, nach der Zeit $(t_{0}\cdot q)\cdot q=t_{0}\cdot q^{2}$ ein drittes Mal usw. Mit $q^{0}=1$ ist die Summe aller von Zenon betrachteten Zeiten, die Achilles zurücklegt:
$t=t_{0}\cdot \sum _{n=0}^{\infty }q^{n}=t_{0}\cdot \lim _{n\to \infty }\sum _{k=0}^{n}q^{k}=t_{0}\cdot \lim _{n\to \infty }{\frac {1-q^{n+1}}{1-q}}={\frac {t_{0}}{1-q}}$ .
Es ist möglich, aber nicht zwingend erforderlich, $q$ wie oben als Quotienten ${\frac {v_{s}}{v_{a}}}$ zweier Geschwindigkeiten aufzufassen. Dann ist mit $t_{0}={\frac {s_{0}}{v_{a}}}$ weiter:
$t={\frac {t_{0}}{1-q}}={\frac {s_{0}}{v_{a}-q\cdot v_{a}}}={\frac {s_{0}}{v_{a}-v_{s}}};$
die konvergente geometrischen Reihe $t_{0}\cdot \sum _{n=0}^{\infty }q^{n}$ ergibt also das gleiche Ergebnis für $t$ wie die Rechnung in Anmerkung 1 ohne Zerlegung von $t$ nach Zenons Ansatz. Die Reihe erfüllt wegen $0<q<1$ ein Konvergenzkriterium, sodass Grenzwertrechnung ihr genau eine (exakte, als "Grenzwert" bezeichnete) Zahl zuordnet, die sie im Unendlichen erreicht. Eine solche Mathematik war Zenon augenscheinlich nicht bekannt.

[anm3.2-5] Sainsbury zeigt in Paradoxien die Unbestimmtheit des Problems anhand der Zweiteilung: Die Länge zwei wird halbiert, in zwei Längen eins, dann weiter eine Länge eins in zwei halbe, davon wieder eine halbe in zwei viertel und so weiter. Es ist offensichtlich, dass dabei die Zwei nicht überschritten wird, noch sich die Zeit dehnt. Es ist vielmehr der verbleibende Rest stehts klar: identisch mit dem letzten Teilungsglied (oben ein viertel). (Es scheint somit kein Ziel Zenons zu sein, zu zeigen, dass das Rennen ewig währt noch unbestimmt lang ist. Als Argument bleibt, ähnlich wie beim Pfeilparadoxon, die Unmöglichkeit (in Einklang mit den fehlenden Aussagen der Mathematik über Unendlich bzw. ggf. Null) das Ziel zu erreichen.)

[anm4-6] Mit Zenons Ansatz lässt sich auch der Weg $s$ ausrechnen, den Achilles im Zeitraum $t$ (von seinem Startpunkt bis zum Einholen der Schildkröte) zurücklegt. - In der Rechnung in Anmerkung 3 ist nur $t$ bzw. $t_{0}$ durch $s$ bzw. $s_{0}$ zu ersetzen:
$s=s_{0}\cdot \sum _{n=0}^{\infty }q^{n}={\frac {s_{0}}{1-q}}$ .
Werden Geschwindigkeiten eingeführt, so ist ohne Zerlegung in Teilwege unter Benutzung obiger Darstellung von $t$ :
$s=v_{a}\cdot t={\frac {v_{a}\cdot s_{0}}{v_{a}-v_{s}}}$ ;
Ausklammern von $v_{a}$ im Nenner und Kürzen liefert das gleiche Ergebnis wie die konvergente Reihe.

[Anm. 1]

[Anm. 2]

[1]

[Anm. 3]

[Anm. 4]

[Anm. 5]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

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-== Die folgenden Artikel müssen neu angelegt werden ==
+Als '''[[Paradoxon]] von Achilles und der Schildkröte''' wird einer von mehreren bekannten [[Fehlschluss|Trugschlüssen]] bezeichnet, die dem antiken griechischen Philosophen [[Zenon von Elea]] zugeschrieben werden (weitere siehe dort). Darin wird versucht zu belegen, dass ein schneller Läufer wie Achilles bei einem Wettrennen eine Schildkröte niemals einholen könne, wenn er ihr einen Vorsprung gewähre. Der Gang des Arguments ist folgender:
+Bevor [[Achilleus|Achilles]] die [[Schildkröte]] überholen kann, muss er zuerst ihren Vorsprung einholen. In der Zeit, die er dafür benötigt, hat die Schildkröte aber einen neuen, wenn auch kleineren Vorsprung gewonnen, den Achilles ebenfalls erst einholen muss. Ist ihm auch das gelungen, hat die Schildkröte wiederum einen –&nbsp;noch kleineren&nbsp;– Weg-Vorsprung gewonnen und so weiter. Der Vorsprung, den die Schildkröte hat, werde zwar immer kleiner, bleibe aber dennoch immer ein Vorsprung, sodass sich der schnellere Läufer der Schildkröte zwar immer weiter nähere, sie aber niemals einholen und somit auch nicht überholen könne.
-...
+Tatsächlich wird ein Schnellerer einen Langsameren aber immer einholen, sofern er dafür nur genügend Zeit hat. Die zum Einholen benötigte Zeit ist proportional zum Vorsprung und umgekehrt proportional zur Differenz der Geschwindigkeiten der beiden Läufer<ref name="anm1" group="Anm.">Sei <math>t</math> die Zeit, die vom Beginn des Rennens bis zu dem Zeitpunkt verstreicht, zu dem Achilles die Schildkröte einholt,
+<math>s</math> der Weg, den Achilles während der Zeit <math>t</math> zurücklegt.
+<math>s'</math> der Weg, den die Schildkröte während der Zeit <math>t</math> zurücklegt,
+<math>s_0</math> der Vorsprung der Schildkröte zu Beginn des Rennens,
+<math>v_a</math> die Geschwindigkeit Achilles',
+<math>v_s</math> die Geschwindigkeit der Schildkröte.
+Dann lässt sich t wie folgt berechnen:
-== Bitte beachte nachstehende Mitteilung ==
+::<math>v_a \cdot t = s = s_0 + s' = s_0 + v_s \cdot t</math>, also <math>s_0 = v_a \cdot t - v_s \cdot t = (v_a - v_s) \cdot t</math>; mit <math>v_a - v_s \neq 0 </math> folgt nach Division: <math>t = \frac{s_0}{v_a - v_s}</math>.
-Joachim, mein Geduldsfaden ist zwar ziemlich strapazierfähig, aber 100% reißfest ist er nicht. Ich bin Dir wohlgesonnen und darum ersuche ich Dich dringend, uns nicht weiter mit Deinen beständigen abfälligen Kommentaren zu überschwemmen. Mit einer sachlich begründeten Diskussion hat das nichts mehr zu tun. Wenn Du alles besser weißt als Steiner und der ganze Rest der Welt, dann mache doch bitte Dein eigenes Stiller-Wiki auf. Vielleicht findest Du ja Leute, die das interessiert. Hier ist dafür jedenfalls nicht der richtige Platz. Es ist mittlerweile schon mehr als peinlich, welche Show Du hier abziehst. Ich werde nicht zulassen, dass Du hier die Anthroposophie ins Lächerliche herabziehst. Es wird wohl schon seinen Grund haben, warum Du in den anderen Wikis gesperrt wurdest. Zwinge mich bitte nicht, das auch zu tun - also halte Dich bitte zurück. Haben wir uns verstanden? --[[Benutzer:Odyssee|Wolfgang Peter]] ([[Benutzer Diskussion:Odyssee|Diskussion]]) 23:35, 2. Feb. 2020 (UTC)
+Letzteres zeigt die im Text behauptete Proportionalität der Zeit <math>t</math> zum Vorsprung <math>s_0</math> der Schildkröte und die umgekehrte Proportionalität von <math>t</math> zur Geschwindigkeitsdifferenz <math>v_a - v_s</math>.</ref> und bei gleichbleibendem Verhältnis dieser beiden Geschwindigkeiten umgekehrt proportional zu jeder derselben.<ref group="Anm." name="anm2">(Mit <math>v_a \neq 0</math>) sei weiter <math>q = \frac{v_s}{v_a}</math> das Verhältnis der Geschwindigkeiten, sodass <math> v_s = q \cdot v_a </math>, (mit <math> v_s \neq 0</math>) auch <math>\frac{1}{v_a}=\frac{q}{v_s}</math>. Wegen <math>v_a - v_s \neq 0 </math> ist <math>q \neq 1 </math>, und der Ausdruck für <math>t</math> lässt sich weiter umformen:
-: Mein Gott, ich hatte es doch nur in die Diskussionen geschrieben, und nicht in die Artikel... Und ich ziehe hier keine Show ab, sondern ich sage nur meine ehrlich Meinung... Das ist alles... Wolfgang, ich kann ja verstehen, dass Dich das alles fürchterlich aufbringt, denn Du vertrittst praktisch das diametral entgegengesetzte Weltbild, wie ich... Beides nennt sich zu Recht Anthroposophie, beides ist schlicht unvereinbar... Aber Du hast es ja jetzt gelöscht und ich will mich auch gerne nach Möglichkeit in Zukunft nicht mehr dazu äußern... [[Benutzer:Joachim Stiller|Joachim Stiller]] ([[Benutzer Diskussion:Joachim Stiller|Diskussion]]) 23:43, 2. Feb. 2020 (UTC)
+<math>t = \frac{s_0}{v_a - v_s} = \frac{s_0}{v_a - q \cdot v_a} = \frac{s_0}{v_a \cdot (1 - q)} = \frac{q \cdot s_0}{v_s \cdot (1 - q)} </math>;
+für konstantes Verhältnis <math>q</math> der beiden Geschwindigkeiten zeigen die letzten beiden Brüche die im Text behauptete umgekehrte Proprotionalität der Zeit <math>t</math> zu <math>v_a</math> bzw. <math>v_s</math>. Die umgekehrte Proportionalität von <math>t</math> zu <math>v_s</math> bedeutet, dass Achilles die Schildkröte ''eher'' trifft, wenn jene  ''schneller'' läuft. Das könnte zunächst verwundern; vorausgesetzt ist hier aber, dass in diesem Fall auch Achilles ''um den gleichen Faktor'' schneller läuft wie die Schildkröte (da <math>q</math> als konstant vorausgesetzt wird).</ref>
+[[Image:Race_between_Achilles_and_the_tortoise.gif|thumb|250px| Ein geometrischer Beweis mittels des [[Strahlensatz]]es, der auch den Griechen möglich war. (Optimalerweise wählt man am Ursprung für Achilles einen 45°-Winkel.)]]
+Zenons Trugschluss beruht auf zwei Fehlern:<ref>Nach Peter Janich:„Achilles und die Schildkröte“, in: Jürgen Mittelstraß (Hrsg.): ''Enzyklopädie Philosophie und Wissenschaftstheorie'', Band&nbsp;1, Metzler Stuttgart 1995, Nachdruck 2004, Seite&nbsp;41, ISBN 3-476-02012-6</ref>
+# Er berücksichtigt nicht, dass eine unendliche [[Reihe (Mathematik)|Reihe]] eine endliche Summe haben kann.<ref name="anm3" group="Anm.">Es ist – heute – möglich, auch mit Zenons Ansatz die Zeit <math>t</math> auszurechnen, nach der Achilles die Schildkröte einholt. - Sei <math>s_0</math> wie oben der Vorsprung der Schildkröte zu Beginn des Rennens, <math>t_0</math> die Zeit, die Achilles benötigt, um <math>s_0</math> zurückzulegen. Ferner sei die Schildkröte <math>q</math>-mal langsamer als Achilles.
+Dann holt Achilles die Schildkröte nach der Zeit <math>t_0 \cdot q</math> ein weiteres Mal ein, nach der Zeit <math>(t_0 \cdot q) \cdot q = t_0 \cdot q^2</math> ein drittes Mal usw.
+Mit <math>q^0 = 1</math> ist die Summe aller von Zenon betrachteten Zeiten, die Achilles zurücklegt:
-::Übrigens, dass ich in zwei anderen Wikis gesperrt bin, tut hier nichts zur Sache... Du würdest mit mir platzen vor Wut, wenn Du wüsstest, was da tatsächlich passiert ist... Ich verdanke die Sperrung im Pluspedia einzig der Denunziation gegenüber übelmeinenden Funktionären, die dann auch tatsächlich die denkbar höchste Sperrstufe verhängt haben.... Ich solle die Zeit mal nutzen, mir zu überlegen, was da bei mir eigentlichf falsch läuft... Und im Imedwiki wurde ich vom Betreiber [[Christoph Holtermann]] gesperrt, weil der offensichtlich eine Totalalergie gegen alle harten esoterische und okkulte Inhalte hat... Das genüge eben den wissenschaftlichen Ansprüchen des Imdewiki nicht... Und er hätte einfach weder Zeit noch Lust immer wieder hinter mir herzuräumen... Das verstehe, wer will... Zumal ich speziell die esoterischen und okkulten Inhalte weitestgehend insbesondere aus den anthroposophischen Artikeln rausgelassen habe, denn da waren sie in dem Zusammenhang sogar mir zu viel... Aber das ist ihm eben immer noch zu wenig... Na ja, am 11.02. kurz vor Mitternacht bin ich im Imedwiki ja wieder freigeschaltet... [[Benutzer:Joachim Stiller|Joachim Stiller]] ([[Benutzer Diskussion:Joachim Stiller|Diskussion]]) 01:33, 3. Feb. 2020 (UTC)
+::<math>t =  t_0 \cdot \sum_{n=0}^\infty q^n  =  t_0 \cdot \lim_{n \to \infty} \sum_{k=0}^{n} q^{k} = t_0 \cdot \lim_{n \to \infty} \frac{1 - q^{n+1}}{1 -q}  = \frac{t_0}{1 -q}</math>.
-Bitte... Wenn Du unbedingst willst, Michael... [[Benutzer:Joachim Stiller|Joachim Stiller]] ([[Benutzer Diskussion:Joachim Stiller|Diskussion]]) 15:24, 3. Feb. 2020 (UTC)
+Es ist möglich, aber nicht zwingend erforderlich, <math>q</math> wie oben als Quotienten <math>\frac{v_s}{v_a}</math> zweier Geschwindigkeiten aufzufassen. Dann ist mit <math>t_0 = \frac{s_0}{v_a}</math> weiter:
-Wir könne ja mal eine kleine Sammlung anlegen... Was fällt mir denn spontan so an Divergenzen ein?
+::<math>t = \frac{t_0}{1 -q} =
+\frac{s_0}{v_a -q \cdot v_a} = \frac{s_0}{v_a -v_s};</math>
-* Die einen glauben an eine Konfrontation mit dem Abgrund, und die anderen, wie ich, definitiv "nicht"...
+die [[Geometrische Reihe#Konvergenz und Wert der geometrischen Reihe|konvergente geometrischen Reihe]] <math>t_0 \cdot \sum_{n=0}^\infty q^n </math> ergibt also das gleiche Ergebnis für <math>t</math> wie die Rechnung in Anmerkung 1 ohne Zerlegung von <math>t</math> nach Zenons Ansatz. Die Reihe erfüllt wegen <math>0<q<1</math> ein [[Konvergenzkriterium]], sodass [[Grenzwert (Folge)|Grenzwertrechnung]] ihr genau eine (exakte, als "Grenzwert" bezeichnete) Zahl zuordnet, die sie ''im Unendlichen erreicht''.
-* Die einen suchen den Heiligen Gral in Glastonbury, andere, wie die Stiftung Ahnenerbe von Sobottendorf und Co., in Montsegur und bei den Katarern und wieder ander, wie ich, in der von außen fast nicht sichtbaren Klosterburg San Juan de la Pena am Fuße des Berges Montsavatsch in den Pyrenäen, wo auch der Parzifal von Eschenbach spielt und natürlich in Valencia, wo der Gral "heute" aufbewahrt wird...
+Eine solche [[Mathematik]] war Zenon augenscheinlich nicht bekannt.</ref><ref name="anm3.2" group="Anm.">Sainsbury zeigt in ''Paradoxien'' die Unbestimmtheit des Problems anhand der Zweiteilung: Die Länge zwei wird halbiert, in zwei Längen eins, dann weiter eine Länge eins in zwei halbe, davon wieder eine halbe in zwei viertel und so weiter. Es ist offensichtlich, dass dabei die Zwei nicht überschritten wird, noch sich die Zeit dehnt. Es ist vielmehr der verbleibende Rest stehts klar: identisch mit dem letzten Teilungsglied (oben ein viertel). (Es scheint somit kein Ziel Zenons zu sein, zu zeigen, dass das Rennen ewig währt noch unbestimmt lang ist. Als Argument bleibt, ähnlich wie beim Pfeilparadoxon, die Unmöglichkeit (in Einklang mit den fehlenden Aussagen der Mathematik über Unendlich bzw. ggf. Null) das Ziel zu erreichen.) </ref>
+# Der Weg, den Achilles von seinem Ausgangspunkt bis zum Zusammentreffen mit der Schildkröte zurücklegt, kann beliebig oft –&nbsp;formal unendlich oft&nbsp;– in Vorsprünge der Schildkröte unterteilt werden. Aus der Tatsache, dass diese Teilungshandlung beliebig oft vorgenommen werden kann, folgt aber nicht, dass die zu durchlaufende Strecke unendlich wäre,<ref name="anm4" group="Anm.">Mit Zenons Ansatz lässt sich auch der Weg <math>s</math> ausrechnen, den Achilles im Zeitraum <math>t</math> (von seinem Startpunkt bis zum Einholen der Schildkröte) zurücklegt. - In der Rechnung in Anmerkung 3 ist nur <math>t</math> bzw. <math>t_0</math> durch <math>s</math> bzw. <math>s_0</math> zu ersetzen:
-* Für die einen ist das 9. Jahrhundert das eigentliche Gralsjahrhundert (Johannes stein), und für die anderen, wie für mich, das 12. Jahrhundert...
+::<math>s =  s_0 \cdot \sum_{n=0}^\infty q^n  =  \frac{s_0}{1 -q}</math>.
+Werden Geschwindigkeiten eingeführt, so ist ohne Zerlegung in Teilwege unter Benutzung obiger Darstellung von <math>t</math>:
+:: <math>s = v_a \cdot t = \frac{v_a  \cdot s_0}{v_a -v_s} </math>;
+Ausklammern von <math>v_a</math> im Nenner und Kürzen liefert das gleiche Ergebnis wie die konvergente Reihe.
+</ref> oder dass unendlich viel Zeit erforderlich wäre, sie zurückzulegen.
-* Für die einen ist Europa durch den Gral und König Artus christianisiert wurden, für die anderen durch die "Legende" vo Heiligen Gral und die "Legende" von König Artus, was ein gewaltiger Uniterschied ist...
+Es gibt unterschiedliche Ansichten darüber, was Zenon mit seinen „Paradoxien“ zeigen wollte. Häufig wird vermutet, dass sie die Eleatische These (siehe [[Parmenides von Elea]]) stützen sollten, der zufolge es in der Wirklichkeit keine Vielheit, sondern nur ein einziges unveränderliches und unzerstörbares Ganzes gebe, und dass die Alltagswahrnehmung von Vielfalt und Bewegung bloßer Schein sei. Sicher ist jedoch, dass diese antike Überlegung zur Begriffsbildung der [[Unendlichkeit]] beigetragen hat und auch heute noch als Lehrbeispiel verwendet wird.
-* Für die einen befindet sich beim Menschheitsrepäsentatne Luzifer oben und Ahriman unter, und für anderen wie mich, ist es gnau umgekeht...
+Das Paradoxon ist nicht direkt überliefert, sondern findet sich in [[Aristoteles]]’ [[Physik (Aristoteles)|Physik]]<ref>VI,9,239b14-240a18 in der Formulierung, dass „auch das langsamste Tier im Laufe nicht eingeholt werden könne vom schnellsten, da der Verfolger immer erst dahin kommen müsse, von wo das fliehende Tier fortgelaufen ist, so daß das langsamere immer einen Vorsprung behalte“.</ref><ref>{{Internetquelle |url=http://remacle.org/bloodwolf/philosophes/Aristote/physique6gr.htm#144 |titel=Altgriechischer Originaltext in ''Aristoteles: Physik.'' (siehe im Bildschirmausschnitt §4) |archiv-url=https://web.archive.org/web/20080516213308/http://remacle.org/bloodwolf/philosophes/Aristote/physique6gr.htm#144 |archiv-datum=2008-05-16 |zugriff=2013-10-16 }}</ref> und [[Simplikios]]’ Kommentar<ref>Simplicius: ''On Aristotle’s Physics'' 1014,10, vgl.: Readings in Ancient Greek Philosophy From Thales to Aristotle, hg. S. M. Chohen / P. Curd / C. D. C. Reeve, Indianapolis/Cambridge: Hackett 1995, 58f</ref> dazu.
-* Für die einen tauchen die beiden Hüter der Schwelle zeitlich getrennt auf, füt andere, wie für mich, immer gleichzeitig...
+Verwandte Paradoxa, die Zenon zugeschrieben werden, sind das [[Teilungsparadoxon]] und das [[Pfeil-Paradoxon]]. Inhaltlich nicht verwandt mit dem Zenonischen Paradox ist ein von [[Lewis Carroll]] in seinem kurzen Dialog ''[[What the Tortoise Said to Achilles]]''<ref>Mind&nbsp;'''1'''(1895), S.&nbsp;278–280.</ref> (''Was die Schildkröte zu Achilles sagte'') vorgestelltes Argument, mit dem er den Unterschied zwischen objekt- und metasprachlicher [[Implikation]] thematisiert und das gelegentlich als Carroll-Paradox bezeichnet wird.<ref>hierzu siehe zum Beispiel Pascal Engel: ''[http://jeannicod.ccsd.cnrs.fr/ijn_00000571/en/ Dummett, Achilles and the tortoise]'', In: L. Hahn / R. Auxier (Hgg.): ''The philosophy of Michael Dummett (Library of Living philosophers)'', La Salle, Ill.: Open Court 2005.</ref>
-Joachim, ich habe AnthroWiki primär als Orientierungshilfe für das Werk Rudolf Steiners konzipiert. Darum sollte es hauptsächlich gehen - und nicht darum, welchen Weg Du oder ich gehen. Das können wir ja anderswo vertreten. Wenn Steiner Luzifer oben sieht und Ahriman unten, was Du ja wohl kaum bestreiten kannst, weil fast der gesamte Text aus Steiner-Zitaten besteht, dann steht das hier eben so und die Plastik des Menschheitsrepräsentanten zeigt das ja auch unmissverständlich. Wenn Du das anders siehst, noch dazu ohne weitere Begründung, sondern nur mit dem vagen Hinweis auf Deinen „Mysterienweg“, dann ist das für die Aufgabe von AnthroWiki schlicht und einfach irrelevant. Ich mische meine Stellungnahme dazu auch so wenig als möglich ein. Dass schon die Auswahl der Zitate und die Kommentare dazu eine gewisse Interpretation darstellen ist mir bewusst. Aber ich bemühe mich, den Angaben Steiners so weit als möglich zu folgen und meine Meinung dazu rauszuhalten. Von allen Mitarbeitern bei AnthroWiki erwarte ich mir das auch. Die Leser sollen hier schlicht und einfach finden, was Steiner zu bestimmten Themen gesagt hat - eben als Orientierungshilfe - und dann damit machen was sie wollen. Natürlich ist es da und dort sinnvoll, die Ansätze Steiners weiterzuführen und gegebenfalls auch eine sachlich ''gut begründete'' Kritik zu üben. Dazu kommen noch zum Vergleiche die Hinweise auf zeitgenössische wissenschaftliche usw. Bestrebungen. Ich denke, dass nur so die für AnthoWiki intendierte Aufgabe auf seriöse Weise erfüllt werden kann. Wenn Du das für dogmatisch halten solltest, hast Du die Zielsetzung von AnthroWiki missverstanden. Es geht hier nicht darum, einen neuen ultimativen "Mysterienweg" zu entwickeln, sondern einfach nur darum, hilfreich bei der Erschließung von Steiners Werk zu sein. Das ist einfach das Service, das wir hier bieten sollten - und das ist es auch, was mehrheitlich von den Lesern erwartet und geschätzt wird... Grüße --[[Benutzer:Odyssee|Wolfgang Peter]] ([[Benutzer Diskussion:Odyssee|Diskussion]]) 22:25, 3. Feb. 2020 (UTC)
+== Siehe auch ==
+* {{WikipediaDE|Achilles und die Schildkröte}}
+* {{WikipediaDE|Infinitesimalrechnung}}
-PS: Bezüglich der Divergenzen vergiss bitte die Temperamente und Elemente nicht! Den Gral suche ich übrigens nicht in Glastonbury oder anderen äußeren Orten... --[[Benutzer:Odyssee|Wolfgang Peter]] ([[Benutzer Diskussion:Odyssee|Diskussion]]) 22:34, 3. Feb. 2020 (UTC)
+== Literatur ==
+* Max Black: ''Achilles and the Tortoise'', in: Analysis 11 (1950), S. 91–101.
+* Simon Blackburn: ''Practical Tortoise Raising'', in: Mind 104 (1995), S. 696–711.
+* S. Brown: ''What the Tortoise taught us'', in: Mind 63 (1954), S. 170–179.
+* Florian Cajori: ''The Purpose of Zeno’s Arguments on Motion'', in: Isis 3/1 (1920), S. 7–20.
+* L. Carroll (C.L. Dogson): ''What the Tortoise said to Achilles'', in: Mind 104 (1995), S. 278–280.
+* M. Clark: ''Paradoxes, from A to Z'', Routledge, London 2000.
+* Pascal Engel: ''[http://jeannicod.ccsd.cnrs.fr/ijn_00000571/en/ Dummett, Achilles and the tortoise]'', in: L. Hahn / R. Auxier (Hrsg.): ''The philosophy of Michael Dummett (Library of Living philosophers)'', La Salle, Ill.: Open Court 2005.
+* Adolf Grünbaum: ''Modern Science and Zeno’s Paradoxes'', Middletown: Wesleyan University Press 1967.
+* Andrew Harrison: ''Zeno’s Paper Chase'', in: Mind 76/304 (1967), S. 568–575.
+* J. M. Hinton / C. B. Martin: ''Achilles and the Tortoise'', in: Analysis 14/3 (1954), S. 56–68.
+* C. V. Jones: ''Zeno’s paradoxes and the first foundations of mathematics'' (Spanish), in: Mathesis 3/1 1987.
+* S. Makin: Art. ''Zeno of Elea'', in: Routledge Encyclopedia of Philosophy 9, London 1998, S. 843–853.
+* R. Morris: ''Achilles in the Quantum Universe'', Redwood Books, Trowbridge, Wiltshire 1997.
+* Jorge Luis Borges: Zwei Essays in ''Kabbala und Tango'', S. Fischer Verlag, 1991.
+* Aloys Müller: ''Das Problem des Wettlaufs zwischen Achill und der Schildkröte'', in: Archiv für Philosophie 2 (1948), S. 106–111.
+* Stanislaus Quan: ''The Solution of Zeno’s First Paradox'', in: Mind 77/306 (1968), S. 206–221.
+* W. D. Ross: ''Aristotle’s Physics'', Oxford: Clarendon 1936, xi-xii <small>Bibliographie älterer Literatur zu den Paradoxien der Bewegung</small>, S. 70–85 u.ö.<small> Kommentar zu den Abschnitten bei Aristoteles</small>.
+* Bertrand Russell: ''Our Knowledge of the External World'', Open Court, London/Chicago 1914, Kap. 5 und 6.
+* Richard Mark Sainsbury: ''Paradoxien'', Reclam, Stuttgart 2001 (=Reclams Universal-Bibliothek 18135), ISBN 3-15-018135-6.
+* Wesley C. Salmon (Hrsg.): ''Zeno’s paradoxes'', Hacket, Indianapolis 1970, Nachdruck 2001, ISBN 0-87220-560-6.
+* Wesley C. Salmon: ''Space, Time and Motion'', Enrico, California and Belmont, California, Dickenson Publishing Co., Inc. 1975, Kap. 2
+* T. Smiley: ''A Tale of Two Tortoises'', in: Mind 104 (1995), S. 725–736.
+* Roy Sorensen: ''A Brief History of the Paradox'', Oxford University Press 2003.
+* L. E. Thomas: ''Achilles and the Tortoise'', in: Analysis 12/4 (1952), S. 92–94.
+* J. F. Thomson: ''What Achilles should have said to the Tortoise'', in: Ratio 3 (1960), S. 95–105.
-: Ähm, also die Temperamente und Elemente hatte ich bereits komplett aus der Diskussion rausgenommen, wie Du weißt, was an sich schade ist, weil es tatäschlich der fehlende Schlussstein der gesamten Anthroposophie gewesen wäre... Aber ich gebe zu, ich kann es sogar verstehen, weil es tatsächlich etwas viel verlangt wäre... Steiners Votum "gegen" einen wirklichen Einweihungsweg war hier einfach zu eindeutig... Steiners Eintreten für die alten, heute komplett anachronistischen alchemistisch-rosenkreuzerischen Mysterien, sehr dezidiert dargestellt auch in den vier Mystereindramen, ist mir soweit auch klar... Dennoch verstehe ich Steiners eigenen Interpretationsschlüssel für den Menschheitsrepräsentanten noch nicht ganz, weil es weder mit den Mysteriendramen und den alten, alchemistisch-rosenkreuzerischen Mysterien, noch mit einem echten Antimysterium, welcher Art auch immer, noch als echter "Verhinderungsgrund" eines wie auch immer zu verstehenden Einweihungsweges irgend einen Sinn ergibt... Das ist an sich einfach "gar nichts" und eröffnet eigentlich nur künstliche Wege in komplettes Unverständnis, und letztlich auch in einen Abrund, von dem Ich stark Annehme, dass Steiner selbst einen solchen Weg nie gegangen ist.. Ganz im Gegenteil, ich bin mir ziemlich sicher, dass Steienr selbst - auch in Bezug auf den alchemistisch-rosenkreuzerischen Einweihungsweg durchaus den rechen Weg gewählt hat, also tatsächlich den ins Licht... Sonst hätte er wohl nie so dezitiert als durchaus hoher Eingeweihter sprechen können... Warum dann diese Vertauschung bei der Interpretation des Menschheitsrepräsentanten, entzieht sich mir hier wirklich komplett und auf der ganzen Linie... Ich habe nicht den Schimmer einer Ahnung, warum er es vertsuscht... Zumal er die Figur neben dem Christus, also nicht die in der Höhle der Begierdeglut, rein physiognomisch eindeutig als Ahriman modelliert und dargestellt hat... Jeder kann es deutlich erkennen... Für mich macht das alles irgendwie herzlcih wenig Sinn... Aber gut, an sich akzeptiere ich natürlich, dass es hier darum gehen muss, im Zweifelsall immer die Position Steiner zuerst darzustellen und in dn Vordergrund zu stellen... Oder um es auf trumpsche Art zu sagen: Steiner first... Und an sich ist das auch gut und richtig so... Allein, ich muss mir teilweise ernsthaft die Augen reiben... Und ich gebe zu, am Ende stehe ich da, und bin durchaus ein wenig ratlos, mehr sogar, als es vielleicht unter etwas anderen Voraussetzungen nötig gewesen wäre... [[Benutzer:Joachim Stiller|Joachim Stiller]] ([[Benutzer Diskussion:Joachim Stiller|Diskussion]]) 00:49, 4. Feb. 2020 (UTC)
+== Weblinks ==
+{{wikiquote|Arnfrid Astel}}
+* Christoph Bock: [http://www.drchristophbock.de/ElAna.pdf Elemente der Analysis] (PDF; 1,2&nbsp;MB) S. 59f
+* {{SEP|http://plato.stanford.edu/entries/paradox-zeno/#3.2|Zeno’s Paradoxes|Nick Huggett}}
+* [http://mathworld.wolfram.com/ZenosParadoxes.html Eintrag] in Wolfram’s Math World (Englisch, mit weiterer Literatur)
+* [http://www.philosophy.ubc.ca/faculty/savitt/Courses/Phil462A/ZENO.pdf Lecture Notes] von S. Savitt (Philosophiedozent an der University of British Columbia, englisch; PDF-Datei; 71&nbsp;kB)
+* [http://philsci-archive.pitt.edu/archive/00001197/1/Zeno_s_Paradoxes_-_A_Timely_Solution.pdf Peter Lynds]: Zeno‘s Paradoxes: A Timely Solution (Englisch mit weiterer Literatur; PDF-Datei; 166&nbsp;kB)
+* [http://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/article.php?sid=950 Matheplanet-Artikel]
+* Ulrich Eckhardt: [http://itwiki.math.uni-hamburg.de/home/eckhardt/Zenon.pdf Die Schildkröte des Zenon von Elea. Gedanken eines Mathematikers über das Unendliche] (PDF; 320&nbsp;kB)
+* ''Zenon und die Zeitlupe.'' in: Wolfram Heinrich: ''Zenon, Achilles und die Schildkröte. Der vergessene Denker Costabile Matarazzo.'' [http://www.theodor-rieh.de/heinrich/Matarazzo.html]@theodor-rieh.de und [https://www.freitag.de/autoren/wolfram-heinrich/der-vergessene-denker-costabile-matarazzo]@freitag.de
-* [https://www.youtube.com/watch?v=5Sriuus7guQ Puhdys: Wenn ein Mensch kurze Zeit lebt] YouTube
+== Einzelnachweise ==
+<references />
-Im Moment mache ich mir um die Geschichte keine allzugroßen Sorgen mehr, trotz der immer noch drohenden Apokalypse... [[Benutzer:Joachim Stiller|Joachim Stiller]] ([[Benutzer Diskussion:Joachim Stiller|Diskussion]]) 12:23, 4. Feb. 2020 (UTC)
+== Anmerkungen ==
+<references group="Anm." />
-:R. Steiner hast Du wohl nie ganz verstanden - daher auch die Mißtöne.--[[Benutzer:Michael.heinen-anders|Michael.heinen-anders]] ([[Benutzer Diskussion:Michael.heinen-anders|Diskussion]]) 16:55, 4. Feb. 2020 (UTC)
+{{SORTIERUNG:Achilles und die Schildkrote}}
+[[Kategorie:Paradoxon]]
+[[Kategorie:Vorsokratik]]
-:: Ich sag mal "so", Michael: Im Allgmeinen bilde ich mir ein, Steiner ganz gut verstanden zu habe... Aber gerade das, was ich glaube, so gut verstanden zu haben, lehne ich sehr oft als unbrauchbar, manchmal auch als schlicht haltlos ab... Ich meine, Steiner taktiert ja auch sehr viel... Das muss man einfach wissen... Viele Momente im Werk von Steiner sind ganz einfach berechnet und kalkuliert... Ob immer von ihm selbst, oder von anderen Mächten, lässte sich zumeist nicht entscheiden... Ich kann es jedenfalls nicht, weil Steiner sehr darauf bedacht war, seine Spuren zu verwischen... Gruß [[Benutzer:Joachim Stiller|Joachim Stiller]] ([[Benutzer Diskussion:Joachim Stiller|Diskussion]]) 17:51, 4. Feb. 2020 (UTC)
+{{Wikipedia}}
-== Neue Sprüche ==
-* Carpe diem ut inteligis. (Nutze den Tag, um zu erkennen)
-* Ich träumte vorhin von den Säulen der Erde...
-* Nachdem ich jetzt auch das Problem der beschleunigten Expansion des Weltalls endgültig gelöst habe, muss ich mir auf Dauer ja doch noch mal die [[Elektrodynamik]] anschauen...
-* Mist, Ahriman bewirft mich ständig mit arabischen und persischen Fingernägeln...
-* Hier kam gerade wieder ein Kilometerchemtrailer vorbei...
-* Irgendwann kommt jeder an den Punkt, da raunen eineem die Dinge seine Namen zu...
-* Widersteht dem Widerstand Ahrimans...
-* Ich will raus aus der Sphärenkugel...Ich will eigentlich nur noch raus und weg hier...
-* Ich bin mental total gehandycapt von der scheiß Sphärenkugel...
-* Das ist doch reiner Satanismus, das kann mir doch keiner erzählen...
-* Ja sicher ist das Kuppelproblem an allem Schuld... Was dachtet Ihr denn?
-* Die haben die Medianumbauweise allen Ernstes für michaelisch gehatlen... Wie krank ist das denn?

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