Ordoliberalismus und Achilles und die Schildkröte: Unterschied zwischen den Seiten

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Der '''Ordoliberalismus''' ist ein Konzept für eine [[Wikipedia:Marktwirtschaft|marktwirtschaft]]liche [[Wikipedia:Wirtschaftsordnung|Wirtschaftsordnung]], in der ein durch den [[Staat]] geschaffener [[Wikipedia:Ordnungsrahmen|Ordnungsrahmen]] den ökonomischen [[Wikipedia:Wettbewerb (Wirtschaft)|Wettbewerb]] und die Freiheit der Bürger auf dem Markt gewährleisten soll.<ref>[[Hans-Rudolf Peters]]: ''Wirtschaftspolitik.'' Oldenbourg Wissenschaftsverlag, 2000, ISBN 3-486-25502-9, S. 150.</ref>
Als '''[[Paradoxon]] von Achilles und der Schildkröte''' wird einer von mehreren bekannten [[Fehlschluss|Trugschlüssen]] bezeichnet, die dem antiken griechischen Philosophen [[Zenon von Elea]] zugeschrieben werden (weitere siehe dort). Darin wird versucht zu belegen, dass ein schneller Läufer wie Achilles bei einem Wettrennen eine Schildkröte niemals einholen könne, wenn er ihr einen Vorsprung gewähre. Der Gang des Arguments ist folgender:


Das Konzept des Ordoliberalismus wurde im Wesentlichen von der sog. '''Freiburger Schule der Nationalökonomie''' entwickelt, der [[Walter Eucken]], [[Franz Böhm]], [[Leonhard Miksch]] und [[Hans Großmann-Doerth]] angehörten. Erste Ansätze finden sich bereits in dem 1937 erschienenen Heft ''Ordnung der Wirtschaft''. Der Ausdruck Ordoliberalismus wurde jedoch erst 1950 von Hero Moeller<ref>{{Literatur |Autor=Hero Moeller |Jahr=1950 |Titel=Liberalismus |Sammelwerk=Jahrbücher für Nationalökonomie und Statistik |Band=Bd. 162 |Seiten=214–238}}</ref> in Anlehnung an die Zeitschrift ''[[ORDO Jahrbuch für die Ordnung von Wirtschaft und Gesellschaft]]'' geprägt.<ref>Ralf Ptak: ''Vom Ordoliberalismus zur Sozialen Marktwirtschaft: Stationen des Neoliberalismus in Deutschland.'' VS Verlag, 2004, ISBN 3-8100-4111-4, S. 23.</ref> Die Bezeichnung geht auf den Ordo-Gedanken der [[Scholastik|scholastischen]] Hochschultheologie, in damaliger Abgrenzung von der abgeschlossenen [[Wikipedia:Monastisch|klösterlichen]] Theologie zurück (lat. ''ordo'' „Ordnung, [Ritter]Orden“).
Bevor [[Achilleus|Achilles]] die [[Schildkröte]] überholen kann, muss er zuerst ihren Vorsprung einholen. In der Zeit, die er dafür benötigt, hat die Schildkröte aber einen neuen, wenn auch kleineren Vorsprung gewonnen, den Achilles ebenfalls erst einholen muss. Ist ihm auch das gelungen, hat die Schildkröte wiederum einen –&nbsp;noch kleineren&nbsp;Weg-Vorsprung gewonnen und so weiter. Der Vorsprung, den die Schildkröte hat, werde zwar immer kleiner, bleibe aber dennoch immer ein Vorsprung, sodass sich der schnellere Läufer der Schildkröte zwar immer weiter nähere, sie aber niemals einholen und somit auch nicht überholen könne.


== Prinzipien ==
Tatsächlich wird ein Schnellerer einen Langsameren aber immer einholen, sofern er dafür nur genügend Zeit hat. Die zum Einholen benötigte Zeit ist proportional zum Vorsprung und umgekehrt proportional zur Differenz der Geschwindigkeiten der beiden Läufer<ref name="anm1" group="Anm.">Sei <math>t</math> die Zeit, die vom Beginn des Rennens bis zu dem Zeitpunkt verstreicht, zu dem Achilles die Schildkröte einholt,
Der theoretische Ausgangspunkt des Ordoliberalismus waren die Lehren von [[Adam Smith]] und anderen Vertretern der [[Klassische Nationalökonomie|Klassischen Nationalökonomie]]. Der Ordoliberalismus fußt aber auch auf den negativen Erfahrungen sowohl mit dem [[Staatsinterventionismus]] der ersten Hälfte des 20. Jahrhunderts<ref>[[Ulrich van Suntum]]: ''Die Unsichtbare Hand: Okonomisches Denken Gestern Und Heute.'' Ausgabe 3. Springer Verlag 2005, ISBN 3-540-25235-5, S. 263.</ref> als auch mit dem [[laissez-faire]]-Liberalismus.<ref>Hans-Rudolf Peters, ''Wirtschaftspolitik'', Oldenbourg Wissenschaftsverlag, 3. Auflage. 2000, ISBN 3-486-25502-9, S. 150.</ref> Eine zentrale Wirtschaftsplanung wie im Sowjet- und im NS-Regime lehnte Walter Eucken ab, insbesondere weil mit der Unterdrückung der wirtschaftlichen Freiheit die Unterdrückung auch der politischen Freiheit einhergehe. Zentrales Anliegen war für Eucken eine „menschenwürdige und funktionsfähige Ordnung“, die politische und wirtschaftliche Freiheit vereint.<ref>Klaus-Peter Kruber: ''Theoriegeschichte der Marktwirtschaft''. LIT Verlag Münster, 2002, ISBN 3-8258-6288-7, S. 43.</ref>
<math>s</math> der Weg, den Achilles während der Zeit <math>t</math> zurücklegt.
<math>s'</math> der Weg, den die Schildkröte während der Zeit <math>t</math> zurücklegt,  
<math>s_0</math> der Vorsprung der Schildkröte zu Beginn des Rennens,  
<math>v_a</math> die Geschwindigkeit Achilles',  
<math>v_s</math> die Geschwindigkeit der Schildkröte.
Dann lässt sich t wie folgt berechnen:


Für das Verständnis des Ordoliberalismus muss die Gestaltung der [[Ordnungspolitik|Ordnungsformen]] der Wirtschaft einerseits von der direkten [[Planwirtschaft|Lenkung]] der [[Wirtschaftsprozess]]e andererseits unterschieden werden. Der Ordoliberalismus sieht in einer politisch gesetzten Rahmenordnung, dem ''Ordo'', die Grundlage für funktionierenden [[Wettbewerb (Wirtschaft)|Wettbewerb]]; aus dem Wirtschaftsprozess selbst könne und solle sich der Staat größtenteils heraushalten. Eucken brachte das Leitbild des Ordoliberalismus auf die Formel: ''Staatliche Planung der Formen – ja; staatliche Planung und Lenkung des Wirtschaftsprozesses – nein''.<ref>Hans-Rudolf Peters: ''Wirtschaftspolitik''. Oldenbourg Wissenschaftsverlag, 2000, ISBN 3-486-25502-9, S.&nbsp;151.</ref> Ziel des Ordoliberalismus ist es, Sozialgedanken und Leistungsprinzip, Ordnungsauftrag und Dezentralismus miteinander auszusöhnen.
::<math>v_a \cdot t = s = s_0 + s' = s_0 + v_s \cdot t</math>, also <math>s_0 = v_a \cdot t - v_s \cdot t = (v_a - v_s) \cdot t</math>; mit <math>v_a - v_s \neq 0 </math> folgt nach Division: <math>t = \frac{s_0}{v_a - v_s}</math>.  


[[Datei:Walter Eucken2.jpg|miniatur|hochkant|''Walter Eucken'': Begründer der Freiburger Schule des Ordoliberalismus]]
Letzteres zeigt die im Text behauptete Proportionalität der Zeit <math>t</math> zum Vorsprung <math>s_0</math> der Schildkröte und die umgekehrte Proportionalität von <math>t</math> zur Geschwindigkeitsdifferenz <math>v_a - v_s</math>.</ref> und bei gleichbleibendem Verhältnis dieser beiden Geschwindigkeiten umgekehrt proportional zu jeder derselben.<ref group="Anm." name="anm2">(Mit <math>v_a \neq 0</math>) sei weiter <math>q = \frac{v_s}{v_a}</math> das Verhältnis der Geschwindigkeiten, sodass <math> v_s = q \cdot v_a </math>, (mit <math> v_s \neq 0</math>) auch <math>\frac{1}{v_a}=\frac{q}{v_s}</math>. Wegen <math>v_a - v_s \neq 0 </math> ist <math>q \neq 1 </math>, und der Ausdruck für <math>t</math> lässt sich weiter umformen:
Eucken entwickelte die Grundprinzipien einer Wettbewerbsordnung, die Effizienz und Freiheit durch das ungehinderte Wirken des Wettbewerbsprozesses garantieren soll.<ref>Heiko Körner: ''Wurzeln der Sozialen Marktwirtschaft''. In: Michael von Hauff (Hrsg.): ''Die Zukunftsfähigkeit der Sozialen Marktwirtschaft''. Metropolis-Verlag, Marburg 2007, ISBN 978-3-89518-594-6, S. 23 f.</ref> Die konstituierenden Prinzipien der Wettbewerbsordnung sind für Eucken ein funktionsfähiges Preissystem, Freier Zugang zu den Märkten, [[Privateigentum]] an Produktionsmitteln, [[Vertragsfreiheit]], Haftungsprinzip und eine Konstanz der Wirtschaftspolitik. Da Eucken es für unmöglich hielt, eine Wettbewerbsordnung zu verwirklichen, ohne dass der [[Geldwert]] ausreichend stabil ist, ordnete er der Währungspolitik das [[Primat der Politik|Primat]] zu.<ref>Hans-Rudolf Peters: ''Wirtschaftspolitik''. 3., vollst. überarb. und erw. Auflage. Oldenbourg, München 2000, ISBN 3-486-25502-9, S. 151 f.</ref> Eine auf die Verwirklichung der Wettbewerbsordnung ausgerichtete Politik müsse die Zusammengehörigkeit der konstituierenden Prinzipien einer solchen Wettbewerbsordnung beachten, ebenso die [[Interdependenz der Ordnungen|Interdependenz der Wirtschaftsordnung]] mit den anderen Lebensbereichen. Die einzelnen Wirtschaftssubjekte sollen für ihr Handeln auch die volle Verantwortung tragen bzw. [[Haftung (Recht)|haften]] (Haftungsprinzip – nach Walter Eucken „Wer den Nutzen hat, muss auch den Schaden tragen“<ref>[[Jens Weidmann]] Walter-Eucken-Vorlesung 11. Februar 2013 [http://www.bundesbank.de/Redaktion/DE/Reden/2013/2013_02_11_weidmann.html „Krisenmanagement und Ordnungspolitik“]</ref>). Deshalb kritisieren Teile des Ordoliberalismus die [[Gesellschaft mit beschränkter Haftung (Deutschland)|Gesellschaft mit beschränkter Haftung]].<ref>''Freiburger Schule.'' In: [http://wirtschaftslexikon.gabler.de/Definition/freiburger-schule.html ''Gabler Wirtschaftslexikon.'']</ref>


Nach Eucken gibt es Bereiche, in denen die konstituierenden Prinzipien der Wettbewerbsordnung nicht ausreichen, um die Wettbewerbsordnung funktionsfähig zu halten. Er nennt Sozialpolitik, Effizienzbedingte Monopolstellungen, [[Einkommensverteilung]], Arbeitsmärkte und Umweltproblematik.<ref name="Lüder Gerken 2000">Lüder Gerken, Andreas Renner: ''Die ordnungspolitische Konzeption Walter Euckens.'' In: Lüder Gerken (Hrsg.): ''Walter Eucken und sein Werk : Rückblick auf den Vordenker der sozialen Marktwirtschaft.'' Mohr Siebeck, Tübingen 2000, ISBN 3-16-147503-8, S. 20.</ref> Die vier letztgenannten Bereiche decken sich mit den von Eucken herausgearbeiteten regulierenden Prinzipien. Die zur Durchsetzung der regulierenden Prinzipien erforderlichen Maßnahmen dürfen jedoch nicht durch eine punktuelle Wirtschaftspolitik erfolgen, sondern müssen sich an den Grundsätzen der Wirtschaftsverfassung ausrichten.<ref>Werner Lachmann:  ''Volkswirtschaftslehre 2: Anwendungen.'' Springer-Verlag, Berlin/ Heidelberg 1995, S. 45.</ref>
<math>t = \frac{s_0}{v_a - v_s} = \frac{s_0}{v_a - q \cdot v_a} = \frac{s_0}{v_a \cdot (1 - q)} = \frac{q \cdot s_0}{v_s \cdot (1 - q)} </math>;
für konstantes Verhältnis <math>q</math> der beiden Geschwindigkeiten zeigen die letzten beiden Brüche die im Text behauptete umgekehrte Proprotionalität der Zeit <math>t</math> zu <math>v_a</math> bzw. <math>v_s</math>. Die umgekehrte Proportionalität von <math>t</math> zu <math>v_s</math> bedeutet, dass Achilles die Schildkröte ''eher'' trifft, wenn jene  ''schneller'' läuft. Das könnte zunächst verwundern; vorausgesetzt ist hier aber, dass in diesem Fall auch Achilles ''um den gleichen Faktor'' schneller läuft wie die Schildkröte (da <math>q</math> als konstant vorausgesetzt wird).</ref>
[[Image:Race_between_Achilles_and_the_tortoise.gif|thumb|250px| Ein geometrischer Beweis mittels des [[Strahlensatz]]es, der auch den Griechen möglich war. (Optimalerweise wählt man am Ursprung für Achilles einen 45°-Winkel.)]]
Zenons Trugschluss beruht auf zwei Fehlern:<ref>Nach Peter Janich:„Achilles und die Schildkröte“, in: Jürgen Mittelstraß (Hrsg.): ''Enzyklopädie Philosophie und Wissenschaftstheorie'', Band&nbsp;1, Metzler Stuttgart 1995, Nachdruck 2004, Seite&nbsp;41, ISBN 3-476-02012-6</ref>
# Er berücksichtigt nicht, dass eine unendliche [[Reihe (Mathematik)|Reihe]] eine endliche Summe haben kann.<ref name="anm3" group="Anm.">Es ist – heute – möglich, auch mit Zenons Ansatz die Zeit <math>t</math> auszurechnen, nach der Achilles die Schildkröte einholt. - Sei <math>s_0</math> wie oben der Vorsprung der Schildkröte zu Beginn des Rennens, <math>t_0</math> die Zeit, die Achilles benötigt, um <math>s_0</math> zurückzulegen. Ferner sei die Schildkröte <math>q</math>-mal langsamer als Achilles.  
Dann holt Achilles die Schildkröte nach der Zeit <math>t_0 \cdot q</math> ein weiteres Mal ein, nach der Zeit <math>(t_0 \cdot q) \cdot q = t_0 \cdot q^2</math> ein drittes Mal usw.  
Mit <math>q^0 = 1</math> ist die Summe aller von Zenon betrachteten Zeiten, die Achilles zurücklegt:


Breiten Raum widmet Eucken den Fragen ''sozialer Sicherheit'' und ''[[Soziale Gerechtigkeit|sozialer Gerechtigkeit]]''. Richtig verstandene Sozialpolitik ist für Eucken in einer Ordnungspolitik aufgehoben, die den Individuen [[Hilfe zur Selbsthilfe]] ermöglicht.<ref>Lüder Gerken, Andreas Renner: ''Die ordnungspolitische Konzeption Walter Euckens.'' In: Lüder Gerken (Hrsg.): ''Walter Eucken und sein Werk : Rückblick auf den Vordenker der sozialen Marktwirtschaft.'' Mohr Siebeck, Tübingen 2000, ISBN 3-16-147503-8, S. 21 f.</ref><ref>Heiko Körner: ''Wurzeln der Sozialen Marktwirtschaft.'' In: Michael von Hauff (Hrsg.): ''Die Zukunftsfähigkeit der Sozialen Marktwirtschaft.'' Metropolis-Verlag, Marburg 2007, ISBN 978-3-89518-594-6, S. 18.</ref> ''Effizienzbedingte Monopolstellungen'' d.h. wirtschaftliche Machtkonzentrationen durch Monopole (auch staatliche Monopole), Kartelle und andere Formen der Marktbeherrschung sollen durch den Staat verhindert werden,<ref>Lüder Gerken, Andreas Renner: ''Die ordnungspolitische Konzeption Walter Euckens.'' In: Lüder Gerken (Hrsg.): ''Walter Eucken und sein Werk : Rückblick auf den Vordenker der sozialen Marktwirtschaft.'' Mohr Siebeck, Tübingen 2000, ISBN 3-16-147503-8, S. 20 f.</ref> z.&nbsp;B. durch ein unabhängiges [[Kartellamt]].<ref name="Lüder Gerken 2000" /> Die sich aus dem Wettbewerb ergebende ''Einkommensverteilung'' bedarf einer ordnungspolitischen Korrektur für Haushalte mit geringem Einkommen, etwa durch eine Einkommensbesteuerung mit [[Steuerprogression|progressivem Tarifverlauf]].<ref name="Lüder Gerken 2000" /> Auf dem ''Arbeitsmarkt'' kann ordnungspolitischer Handlungsbedarf bei einem Absinken des Lohnes unterhalb des Existenzminimums und bei Arbeitslosigkeit entstehen. Diese Probleme seien zwar weitgehend durch optimalen Wettbewerb auf Angebots- und Nachfrageseite zu lösen, unter bestimmten Umständen werden aber [[Mindestlohn|Mindestlöhne]] befürwortet.<ref>Lüder Gerken, Andreas Renner: ''Die ordnungspolitische Konzeption Walter Euckens.'' In: Lüder Gerken (Hrsg.): ''Walter Eucken und sein Werk : Rückblick auf den Vordenker der sozialen Marktwirtschaft.'' Mohr Siebeck, Tübingen 2000, ISBN 3-16-147503-8, S. 22, 23.</ref> Auch auf den Arbeitsmärkten sollten weder Anbieter noch Nachfrager über monopolistische Machtpositionen verfügen. Den Unterschied zwischen Sachgüter- und Arbeitsmärkten sieht Eucken darin begründet, dass Arbeit keine Ware sei. Um Ausbeutung zu verhindern, müsse der Vermachtung auf den Arbeitsmärkten durch monopolartige Organisationen entgegengewirkt werden. Diese Forderung richtete Eucken sowohl an die Arbeitgeberseite wie die Gewerkschaften. Gewerkschaften würden dann zu problematischen Machtkörpern, wenn sie die Löhne über den Wettbewerbslohn hinaus zu treiben suchen oder die Beweglichkeit der Arbeiter beeinträchtigen.<ref>Hans-Rudolf Peters: ''Wirtschaftspolitik.'' 3., vollst. überarb. und erw. Auflage. Oldenbourg, München 2000, ISBN 3-486-25502-9, S. 156 f.</ref> Gewerkschaften erfüllten jedoch dort eine wichtige Funktion, wo sie die Ungleichheit der Marktpositionen der Arbeiter und Unternehmer ausgleichen.<ref>Lüder Gerken, Andreas Renner: ''Die ordnungspolitische Konzeption Walter Euckens.'' In: Lüder Gerken (Hrsg.): ''Walter Eucken und sein Werk : Rückblick auf den Vordenker der sozialen Marktwirtschaft.'' Mohr Siebeck, Tübingen 2000, ISBN 3-16-147503-8, S. 22 f.</ref> In der ''Umweltpolitik'' wird staatliches Eingreifen als notwendig angesehen, um die [[Externe Effekte|externen Effekte]] zu begrenzen.<ref>Lüder Gerken, Andreas Renner: ''Die ordnungspolitische Konzeption Walter Euckens.'' In: Lüder Gerken (Hrsg.): ''Walter Eucken und sein Werk : Rückblick auf den Vordenker der sozialen Marktwirtschaft.'' Mohr Siebeck, Tübingen 2000, ISBN 3-16-147503-8, S. 23.</ref>
::<math>t =  t_0 \cdot \sum_{n=0}^\infty q^n  =  t_0 \cdot \lim_{n \to \infty} \sum_{k=0}^{n} q^{k} = t_0 \cdot \lim_{n \to \infty} \frac{1 - q^{n+1}}{1 -q}  = \frac{t_0}{1 -q}</math>.


Die maßgeblich von [[Ludwig Erhard]] im Nachkriegsdeutschland eingeführte Wirtschaftspolitik orientierte sich einerseits an Müller-Armacks Leitbild [[Soziale Marktwirtschaft]], andererseits an von Eucken aufgestellten ordoliberalen Leitlinien.<ref>Horst Friedrich Wünsche: ''Soziale Marktwirtschaft als Politik zur Einführung von Marktwirtschaft''. In Ludwig Erhard-Stiftung (Hrsg.): ''Grundtexte zur Sozialen Marktwirtschaft, Band 3: Marktwirtschaft als Aufgabe''. Gustav Fischer, 1994, ISBN 3-437-40331-1, S. 25.</ref>
Es ist möglich, aber nicht zwingend erforderlich, <math>q</math> wie oben als Quotienten <math>\frac{v_s}{v_a}</math> zweier Geschwindigkeiten aufzufassen. Dann ist mit <math>t_0 = \frac{s_0}{v_a}</math> weiter:


Der Ordoliberalismus hält eine Rahmenordnung für nötig, da der vollständig [[Freier Markt|freie Markt]] dazu tendiere, sich selbst aufzulösen.<ref name="PP">[http://www.faz.net/aktuell/wirtschaft/ideengeschichte-die-liberalen-und-der-staat-11715508.html Philip Plickert: ''Die Liberalen und der Staat''], [[FAZ.NET]], 21. April 2012.</ref> Anbieter schließen sich zusammen, bilden [[Kartell]]e und sprechen Preise ab. Die Anbieter könnten so den Wettbewerb – und damit die Funktionsfähigkeit des Marktes – einschränken (Vermachtung des Marktes).<ref>Vgl. Walter Eucken: „Es sind also nicht die sogenannten Missbräuche wirtschaftlicher Macht zu bekämpfen, sondern wirtschaftliche Macht selbst.“ zitiert nach [[Walter-Eucken-Archiv]] (Hrsg.): ''Wirtschaftsmacht und Wirtschaftsordnung. Londoner Vorträge zur Wirtschaftspolitik u. zwei Beiträge zur Antimonopolpolitik.'' 2. Auflage. 2012, ISBN 978-3-8258-4804-0.</ref> Der ''Schädigungswettbewerb'' könne ein Übergewicht gegenüber dem ''Leistungswettbewerb'' erlangen. Aus dieser Analyse leitet der Ordoliberalismus Aufgaben des [[Staat]]es und Teile des  Ordnungsrahmens ab. So müsse der Ordnungsrahmen [[Kartell]]- und Wettbewerbs[[gesetz]]e enthalten, [[Markttransparenz]] und freien [[Marktzugang]] fördern.
::<math>t = \frac{t_0}{1 -q} =
\frac{s_0}{v_a -q \cdot v_a} = \frac{s_0}{v_a -v_s};</math>


Da die Idealvorstellung des vollständigen Wettbewerbs (vollständige Konkurrenz) ist dem Ordoliberalismus zufolge in einzelnen Märkten bereits verwirklicht. Maßstab dafür bilden nicht etwa die Anzahl der Akteure auf dem Markt und auch nicht die Homogenität der Güter, sondern ob die Marktakteure machtlos gegenüber der Preisbildung sind (z.B. der Getreidemarkt). Der Ordogedanke bei Eucken richtet sich zuerst auf die bestehenden Ordnungen. Hier finden sich Ordnungsformen die „der Natur der Sache und des Menschen entsprechen“ ....oder eben nicht. Er stellt dies als Morphologie (in Anlehnung an Goethe) dar. Im Zustand vollständiger Konkurrenz befindet sich für ihn der Wirtschaftsprozess im Gleichgewicht. Daher ist diese „Marktform“ anzustreben. Im Gegensatz zum Oligopol oder zum Monopol ist hier niemand in der Lage einen anderen Marktakteur wirtschaftlich zu lenken.
die [[Geometrische Reihe#Konvergenz und Wert der geometrischen Reihe|konvergente geometrischen Reihe]] <math>t_0 \cdot \sum_{n=0}^\infty q^n </math> ergibt also das gleiche Ergebnis für <math>t</math> wie die Rechnung in Anmerkung 1 ohne Zerlegung von <math>t</math> nach Zenons Ansatz. Die Reihe erfüllt wegen <math>0<q<1</math> ein [[Konvergenzkriterium]], sodass [[Grenzwert (Folge)|Grenzwertrechnung]] ihr genau eine (exakte, als "Grenzwert" bezeichnete) Zahl zuordnet, die sie ''im Unendlichen erreicht''.  


== Der Ordo-Gedanke ==
Eine solche [[Mathematik]] war Zenon augenscheinlich nicht bekannt.</ref><ref name="anm3.2" group="Anm.">Sainsbury zeigt in ''Paradoxien'' die Unbestimmtheit des Problems anhand der Zweiteilung: Die Länge zwei wird halbiert, in zwei Längen eins, dann weiter eine Länge eins in zwei halbe, davon wieder eine halbe in zwei viertel und so weiter. Es ist offensichtlich, dass dabei die Zwei nicht überschritten wird, noch sich die Zeit dehnt. Es ist vielmehr der verbleibende Rest stehts klar: identisch mit dem letzten Teilungsglied (oben ein viertel). (Es scheint somit kein Ziel Zenons zu sein, zu zeigen, dass das Rennen ewig währt noch unbestimmt lang ist. Als Argument bleibt, ähnlich wie beim Pfeilparadoxon, die Unmöglichkeit (in Einklang mit den fehlenden Aussagen der Mathematik über Unendlich bzw. ggf. Null) das Ziel zu erreichen.) </ref>
Der Ordo-Gedanke entstammt als „einer der höchsten Symbolwerte […] der scholastischen [[Metaphysik]]“, wie sie insbesondere von [[Thomas von Aquin]] entfaltet wurde.<ref>[[Lüder Gerken]], [[Joachim Starbatty]]: ''Schlesien auf dem Weg in die Europäische Union: Ordnungspolitik der sozialen Marktwirtschaft und christliche Gesellschaftslehre.'' Lucius & Lucius, 2001, ISBN 3-8282-0155-5, S. 23.</ref> In der Literatur ist umstritten, inwieweit die Ordo-Vorstellungen der Freiburger Schule auf diesen geistesgeschichtlichen Wurzeln beruhen. Nils Goldschmidt vom [[Walter Eucken Institut]] (2002), vertritt die Auffassung, dass Euckens Intention die einer „natürlichen, gottgewollten Ordnung“ war.<ref name="Grossekettler">Heinz Grossekettler: ''Walter Euckens Ordnungspolitik im Spiegel der Beiträge diese Bandes und seines Gesamtwerkes.'' In: Ingo Pies, Martin Leschke (Hrsg.): ''Walter Euckens Ordnungspolitik.'' Mohr Siebeck, 2002, ISBN 3-16-147919-X, S. 243 f. (Konzepte der Gesellschaftstheorie, Band 8)</ref><ref>Andreas Renner: ''Der ökonomische Ansatz Walter Euckens.'' In: Helmut Leipold, Ingo Pies, Dieter Cassel (Hrsg.): ''Ordnungstheorie und ordnungspolitik: konzeptionen und Entwicklungsperspektiven.'' Lucius & Lucius Verlag, 2000, ISBN 3-8282-0145-8, S. 13.</ref><ref>[[Lüder Gerken]]: ''Walter Eucken und sein Werk: Rückblick auf den Vordenker der sozialen Marktwirtschaft.'' Mohr Siebeck Verlag, 2000, ISBN 3-16-147503-8, S. 25.</ref> Laut [[Michael Schramm (Theologe)|Michael Schramm]] weise der Begriff des mittelalterlichen „ordo“ zwar auch eine religiöse Verwurzelung auf, Eucken verwende den Begriff jedoch nicht metaphysisch, sondern ökonomisch.<ref>[[Michael Schramm (Theologe)|Michael Schramm]]: ''Eröffnung der Kontingenz gesellschaftlicher Ordnungen.'' In: Ingo Pies (Hrsg.): ''Walter Euckens Ordnungspolitik.'' Mohr Siebeck Verlag, 2002, ISBN 3-16-147919-X, S. 145 f.</ref> [[Heinz Grossekettler]] schließt sich der Auffassung Schramms an, dass Eucken die Aufgabe, eine funktionsfähige und menschenwürdige Wirtschaftsordnung zu entwickeln, der ökonomischen Wissenschaft vorbehalten hätte. Grossekettler weist zudem darauf hin, dass Goldschmidt sich fast ausschließlich auf Zitate Euckens aus dem Zeitraum vor dessen erkenntnistheoretischen Durchbruch 1934 beziehe und er insofern einen Wandel durchgemacht hätte.<ref name="Grossekettler" />
# Der Weg, den Achilles von seinem Ausgangspunkt bis zum Zusammentreffen mit der Schildkröte zurücklegt, kann beliebig oft –&nbsp;formal unendlich oft&nbsp;– in Vorsprünge der Schildkröte unterteilt werden. Aus der Tatsache, dass diese Teilungshandlung beliebig oft vorgenommen werden kann, folgt aber nicht, dass die zu durchlaufende Strecke unendlich wäre,<ref name="anm4" group="Anm.">Mit Zenons Ansatz lässt sich auch der Weg <math>s</math> ausrechnen, den Achilles im Zeitraum <math>t</math> (von seinem Startpunkt bis zum Einholen der Schildkröte) zurücklegt. - In der Rechnung in Anmerkung 3 ist nur <math>t</math> bzw. <math>t_0</math> durch <math>s</math> bzw. <math>s_0</math> zu ersetzen:


Laut [[Lüder Gerken]] und [[Joachim Starbatty]] hat in der Sozial- und Wirtschaftsgeschichte vor allem [[Adam Smith]] den Ordo-Gedanken aufgegriffen. Er sah eine natürliche Ordnung, in der Einzelinteressen und das Interesse der Gesellschaft miteinander harmonieren, als vorgegeben an. Diese Idee von einer natürlichen Ordnung hätten die Ordoliberalen aufgegriffen, verstünden diese im Unterschied zu den Klassikern jedoch nicht als eine Ordnung, die sich von selbst einstellt, sondern als eine Ordnung, die bewusst gestaltet werden müsse.<ref>[[Lüder Gerken]], [[Joachim Starbatty]]: ''Schlesien auf dem Weg in die Europäische Union: Ordnungspolitik der sozialen Marktwirtschaft und christliche Gesellschaftslehre.'' Lucius & Lucius, 2001, ISBN 3-8282-0155-5, S. 23–24.</ref>
::<math>s =  s_0 \cdot \sum_{n=0}^\infty q^n  =  \frac{s_0}{1 -q}</math>.
Werden Geschwindigkeiten eingeführt, so ist ohne Zerlegung in Teilwege unter Benutzung obiger Darstellung von <math>t</math>:
:: <math>s = v_a \cdot t = \frac{v_a  \cdot s_0}{v_a -v_s} </math>;
Ausklammern von <math>v_a</math> im Nenner und Kürzen liefert das gleiche Ergebnis wie die konvergente Reihe.
</ref> oder dass unendlich viel Zeit erforderlich wäre, sie zurückzulegen.


Nach Reinhard Blum haben sich die Ordoliberalen nicht nur auf die scholastischen Ordnungsvorstellungen, sondern auch auf ihre wirtschaftstheoretische Anwendung durch die [[Physiokraten]] bezogen.<ref>Reinhard Blum: ''Wirtschaftsordnung II: Wirtschaftsordnungspolitik.'' In: Willi Albers (Hrsg.): ''Handwörterbuch der Wirtschaftswissenschaft.'' Band 9, Gustav Fischer, Stuttgart/ New York, 1982, ISBN 3-525-10260-7, S. 151 (vgl. zu den Vorstellungen der Physiokraten auch 149 f.).</ref> Dagegen war Eucken nach [[Ingo Pies]] nicht Anhänger, sondern erklärter Gegner der [[naturrecht]]lichen Konzeption der Physiokraten.
Es gibt unterschiedliche Ansichten darüber, was Zenon mit seinen „Paradoxien“ zeigen wollte. Häufig wird vermutet, dass sie die Eleatische These (siehe [[Parmenides von Elea]]) stützen sollten, der zufolge es in der Wirklichkeit keine Vielheit, sondern nur ein einziges unveränderliches und unzerstörbares Ganzes gebe, und dass die Alltagswahrnehmung von Vielfalt und Bewegung bloßer Schein sei. Sicher ist jedoch, dass diese antike Überlegung zur Begriffsbildung der [[Unendlichkeit]] beigetragen hat und auch heute noch als Lehrbeispiel verwendet wird.
 
Das Paradoxon ist nicht direkt überliefert, sondern findet sich in [[Aristoteles]]’ [[Physik (Aristoteles)|Physik]]<ref>VI,9,239b14-240a18 in der Formulierung, dass „auch das langsamste Tier im Laufe nicht eingeholt werden könne vom schnellsten, da der Verfolger immer erst dahin kommen müsse, von wo das fliehende Tier fortgelaufen ist, so daß das langsamere immer einen Vorsprung behalte“.</ref><ref>{{Internetquelle |url=http://remacle.org/bloodwolf/philosophes/Aristote/physique6gr.htm#144 |titel=Altgriechischer Originaltext in ''Aristoteles: Physik.'' (siehe im Bildschirmausschnitt §4) |archiv-url=https://web.archive.org/web/20080516213308/http://remacle.org/bloodwolf/philosophes/Aristote/physique6gr.htm#144 |archiv-datum=2008-05-16 |zugriff=2013-10-16 }}</ref> und [[Simplikios]]’ Kommentar<ref>Simplicius: ''On Aristotle’s Physics'' 1014,10, vgl.: Readings in Ancient Greek Philosophy From Thales to Aristotle, hg. S. M. Chohen / P. Curd / C. D. C. Reeve, Indianapolis/Cambridge: Hackett 1995, 58f</ref> dazu.
 
Verwandte Paradoxa, die Zenon zugeschrieben werden, sind das [[Teilungsparadoxon]] und das [[Pfeil-Paradoxon]]. Inhaltlich nicht verwandt mit dem Zenonischen Paradox ist ein von [[Lewis Carroll]] in seinem kurzen Dialog ''[[What the Tortoise Said to Achilles]]''<ref>Mind&nbsp;'''1'''(1895), S.&nbsp;278–280.</ref> (''Was die Schildkröte zu Achilles sagte'') vorgestelltes Argument, mit dem er den Unterschied zwischen objekt- und metasprachlicher [[Implikation]] thematisiert und das gelegentlich als Carroll-Paradox bezeichnet wird.<ref>hierzu siehe zum Beispiel Pascal Engel: ''[http://jeannicod.ccsd.cnrs.fr/ijn_00000571/en/ Dummett, Achilles and the tortoise]'', In: L. Hahn / R. Auxier (Hgg.): ''The philosophy of Michael Dummett (Library of Living philosophers)'', La Salle, Ill.: Open Court 2005.</ref>


== Siehe auch ==
== Siehe auch ==
* {{WikipediaDE|Ordoliberalismus}}
* {{WikipediaDE|Achilles und die Schildkröte}}
* {{WikipediaDE|Infinitesimalrechnung}}


== Literatur ==
== Literatur ==
* Leonhard Miksch: ''Wettbewerb als Aufgabe: die Grundsätze einer Wettbewerbsordnung'', Kohlhammer, Stuttgart, 1937, (Habilitationsschrift bei Walter Eucken)
* Max Black: ''Achilles and the Tortoise'', in: Analysis 11 (1950), S. 91–101.
* Walter Eucken: ''Die Grundlagen der Nationalökonomie.'' Fischer, Jena 1940.
* Simon Blackburn: ''Practical Tortoise Raising'', in: Mind 104 (1995), S. 696–711.
* Walter Eucken: ''Grundsätze der Wirtschaftspolitik.'' Francke, Bern [u.&nbsp;a.] 1952.
* S. Brown: ''What the Tortoise taught us'', in: Mind 63 (1954), S. 170–179.
* Ernst-Wolfram Dürr: ''Wesen und Ziele des Ordo-Liberalismus.'' Keller, Winterthur 1954.
* Florian Cajori: ''The Purpose of Zeno’s Arguments on Motion'', in: Isis 3/1 (1920), S. 7–20.
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== Weblinks ==
== Weblinks ==
* [http://www.walter-eucken-institut.de/freiburger-tradition.html Freiburger Tradition] – Walter-Eucken-Institut
{{wikiquote|Arnfrid Astel}}
* [http://www.eucken.org/ Walter-Eucken-Archiv]
* Christoph Bock: [http://www.drchristophbock.de/ElAna.pdf Elemente der Analysis] (PDF; 1,2&nbsp;MB) S. 59f
* [http://www.ordnungspolitisches-portal.de/ Ordnungspolitisches Portal] der Ökonomen Bernhard Seliger und Ralph Michael Wrobel
* {{SEP|http://plato.stanford.edu/entries/paradox-zeno/#3.2|Zeno’s Paradoxes|Nick Huggett}}
* [http://mathworld.wolfram.com/ZenosParadoxes.html Eintrag] in Wolfram’s Math World (Englisch, mit weiterer Literatur)
* [http://www.philosophy.ubc.ca/faculty/savitt/Courses/Phil462A/ZENO.pdf Lecture Notes] von S. Savitt (Philosophiedozent an der University of British Columbia, englisch; PDF-Datei; 71&nbsp;kB)
* [http://philsci-archive.pitt.edu/archive/00001197/1/Zeno_s_Paradoxes_-_A_Timely_Solution.pdf Peter Lynds]: Zeno‘s Paradoxes: A Timely Solution (Englisch mit weiterer Literatur; PDF-Datei; 166&nbsp;kB)
* [http://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/article.php?sid=950 Matheplanet-Artikel]
* Ulrich Eckhardt: [http://itwiki.math.uni-hamburg.de/home/eckhardt/Zenon.pdf Die Schildkröte des Zenon von Elea. Gedanken eines Mathematikers über das Unendliche] (PDF; 320&nbsp;kB)
* ''Zenon und die Zeitlupe.'' in: Wolfram Heinrich: ''Zenon, Achilles und die Schildkröte. Der vergessene Denker Costabile Matarazzo.'' [http://www.theodor-rieh.de/heinrich/Matarazzo.html]@theodor-rieh.de und [https://www.freitag.de/autoren/wolfram-heinrich/der-vergessene-denker-costabile-matarazzo]@freitag.de


== Einzelnachweise ==
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Version vom 11. Juni 2019, 18:16 Uhr

Als Paradoxon von Achilles und der Schildkröte wird einer von mehreren bekannten Trugschlüssen bezeichnet, die dem antiken griechischen Philosophen Zenon von Elea zugeschrieben werden (weitere siehe dort). Darin wird versucht zu belegen, dass ein schneller Läufer wie Achilles bei einem Wettrennen eine Schildkröte niemals einholen könne, wenn er ihr einen Vorsprung gewähre. Der Gang des Arguments ist folgender:

Bevor Achilles die Schildkröte überholen kann, muss er zuerst ihren Vorsprung einholen. In der Zeit, die er dafür benötigt, hat die Schildkröte aber einen neuen, wenn auch kleineren Vorsprung gewonnen, den Achilles ebenfalls erst einholen muss. Ist ihm auch das gelungen, hat die Schildkröte wiederum einen – noch kleineren – Weg-Vorsprung gewonnen und so weiter. Der Vorsprung, den die Schildkröte hat, werde zwar immer kleiner, bleibe aber dennoch immer ein Vorsprung, sodass sich der schnellere Läufer der Schildkröte zwar immer weiter nähere, sie aber niemals einholen und somit auch nicht überholen könne.

Tatsächlich wird ein Schnellerer einen Langsameren aber immer einholen, sofern er dafür nur genügend Zeit hat. Die zum Einholen benötigte Zeit ist proportional zum Vorsprung und umgekehrt proportional zur Differenz der Geschwindigkeiten der beiden Läufer[Anm. 1] und bei gleichbleibendem Verhältnis dieser beiden Geschwindigkeiten umgekehrt proportional zu jeder derselben.[Anm. 2]

Ein geometrischer Beweis mittels des Strahlensatzes, der auch den Griechen möglich war. (Optimalerweise wählt man am Ursprung für Achilles einen 45°-Winkel.)

Zenons Trugschluss beruht auf zwei Fehlern:[1]

  1. Er berücksichtigt nicht, dass eine unendliche Reihe eine endliche Summe haben kann.[Anm. 3][Anm. 4]
  2. Der Weg, den Achilles von seinem Ausgangspunkt bis zum Zusammentreffen mit der Schildkröte zurücklegt, kann beliebig oft – formal unendlich oft – in Vorsprünge der Schildkröte unterteilt werden. Aus der Tatsache, dass diese Teilungshandlung beliebig oft vorgenommen werden kann, folgt aber nicht, dass die zu durchlaufende Strecke unendlich wäre,[Anm. 5] oder dass unendlich viel Zeit erforderlich wäre, sie zurückzulegen.

Es gibt unterschiedliche Ansichten darüber, was Zenon mit seinen „Paradoxien“ zeigen wollte. Häufig wird vermutet, dass sie die Eleatische These (siehe Parmenides von Elea) stützen sollten, der zufolge es in der Wirklichkeit keine Vielheit, sondern nur ein einziges unveränderliches und unzerstörbares Ganzes gebe, und dass die Alltagswahrnehmung von Vielfalt und Bewegung bloßer Schein sei. Sicher ist jedoch, dass diese antike Überlegung zur Begriffsbildung der Unendlichkeit beigetragen hat und auch heute noch als Lehrbeispiel verwendet wird.

Das Paradoxon ist nicht direkt überliefert, sondern findet sich in AristotelesPhysik[2][3] und Simplikios’ Kommentar[4] dazu.

Verwandte Paradoxa, die Zenon zugeschrieben werden, sind das Teilungsparadoxon und das Pfeil-Paradoxon. Inhaltlich nicht verwandt mit dem Zenonischen Paradox ist ein von Lewis Carroll in seinem kurzen Dialog What the Tortoise Said to Achilles[5] (Was die Schildkröte zu Achilles sagte) vorgestelltes Argument, mit dem er den Unterschied zwischen objekt- und metasprachlicher Implikation thematisiert und das gelegentlich als Carroll-Paradox bezeichnet wird.[6]

Siehe auch

Literatur

  • Max Black: Achilles and the Tortoise, in: Analysis 11 (1950), S. 91–101.
  • Simon Blackburn: Practical Tortoise Raising, in: Mind 104 (1995), S. 696–711.
  • S. Brown: What the Tortoise taught us, in: Mind 63 (1954), S. 170–179.
  • Florian Cajori: The Purpose of Zeno’s Arguments on Motion, in: Isis 3/1 (1920), S. 7–20.
  • L. Carroll (C.L. Dogson): What the Tortoise said to Achilles, in: Mind 104 (1995), S. 278–280.
  • M. Clark: Paradoxes, from A to Z, Routledge, London 2000.
  • Pascal Engel: Dummett, Achilles and the tortoise, in: L. Hahn / R. Auxier (Hrsg.): The philosophy of Michael Dummett (Library of Living philosophers), La Salle, Ill.: Open Court 2005.
  • Adolf Grünbaum: Modern Science and Zeno’s Paradoxes, Middletown: Wesleyan University Press 1967.
  • Andrew Harrison: Zeno’s Paper Chase, in: Mind 76/304 (1967), S. 568–575.
  • J. M. Hinton / C. B. Martin: Achilles and the Tortoise, in: Analysis 14/3 (1954), S. 56–68.
  • C. V. Jones: Zeno’s paradoxes and the first foundations of mathematics (Spanish), in: Mathesis 3/1 1987.
  • S. Makin: Art. Zeno of Elea, in: Routledge Encyclopedia of Philosophy 9, London 1998, S. 843–853.
  • R. Morris: Achilles in the Quantum Universe, Redwood Books, Trowbridge, Wiltshire 1997.
  • Jorge Luis Borges: Zwei Essays in Kabbala und Tango, S. Fischer Verlag, 1991.
  • Aloys Müller: Das Problem des Wettlaufs zwischen Achill und der Schildkröte, in: Archiv für Philosophie 2 (1948), S. 106–111.
  • Stanislaus Quan: The Solution of Zeno’s First Paradox, in: Mind 77/306 (1968), S. 206–221.
  • W. D. Ross: Aristotle’s Physics, Oxford: Clarendon 1936, xi-xii Bibliographie älterer Literatur zu den Paradoxien der Bewegung, S. 70–85 u.ö. Kommentar zu den Abschnitten bei Aristoteles.
  • Bertrand Russell: Our Knowledge of the External World, Open Court, London/Chicago 1914, Kap. 5 und 6.
  • Richard Mark Sainsbury: Paradoxien, Reclam, Stuttgart 2001 (=Reclams Universal-Bibliothek 18135), ISBN 3-15-018135-6.
  • Wesley C. Salmon (Hrsg.): Zeno’s paradoxes, Hacket, Indianapolis 1970, Nachdruck 2001, ISBN 0-87220-560-6.
  • Wesley C. Salmon: Space, Time and Motion, Enrico, California and Belmont, California, Dickenson Publishing Co., Inc. 1975, Kap. 2
  • T. Smiley: A Tale of Two Tortoises, in: Mind 104 (1995), S. 725–736.
  • Roy Sorensen: A Brief History of the Paradox, Oxford University Press 2003.
  • L. E. Thomas: Achilles and the Tortoise, in: Analysis 12/4 (1952), S. 92–94.
  • J. F. Thomson: What Achilles should have said to the Tortoise, in: Ratio 3 (1960), S. 95–105.

Weblinks

Einzelnachweise

  1. Nach Peter Janich:„Achilles und die Schildkröte“, in: Jürgen Mittelstraß (Hrsg.): Enzyklopädie Philosophie und Wissenschaftstheorie, Band 1, Metzler Stuttgart 1995, Nachdruck 2004, Seite 41, ISBN 3-476-02012-6
  2. VI,9,239b14-240a18 in der Formulierung, dass „auch das langsamste Tier im Laufe nicht eingeholt werden könne vom schnellsten, da der Verfolger immer erst dahin kommen müsse, von wo das fliehende Tier fortgelaufen ist, so daß das langsamere immer einen Vorsprung behalte“.
  3. Altgriechischer Originaltext in Aristoteles: Physik. (siehe im Bildschirmausschnitt §4). Archiviert vom Original am 16. Mai 2008; abgerufen am 16. Oktober 2013.
  4. Simplicius: On Aristotle’s Physics 1014,10, vgl.: Readings in Ancient Greek Philosophy From Thales to Aristotle, hg. S. M. Chohen / P. Curd / C. D. C. Reeve, Indianapolis/Cambridge: Hackett 1995, 58f
  5. Mind 1(1895), S. 278–280.
  6. hierzu siehe zum Beispiel Pascal Engel: Dummett, Achilles and the tortoise, In: L. Hahn / R. Auxier (Hgg.): The philosophy of Michael Dummett (Library of Living philosophers), La Salle, Ill.: Open Court 2005.

Anmerkungen

  1. Sei die Zeit, die vom Beginn des Rennens bis zu dem Zeitpunkt verstreicht, zu dem Achilles die Schildkröte einholt, der Weg, den Achilles während der Zeit zurücklegt. der Weg, den die Schildkröte während der Zeit zurücklegt, der Vorsprung der Schildkröte zu Beginn des Rennens, die Geschwindigkeit Achilles', die Geschwindigkeit der Schildkröte. Dann lässt sich t wie folgt berechnen:
    , also ; mit folgt nach Division: .
    Letzteres zeigt die im Text behauptete Proportionalität der Zeit zum Vorsprung der Schildkröte und die umgekehrte Proportionalität von zur Geschwindigkeitsdifferenz .
  2. (Mit ) sei weiter das Verhältnis der Geschwindigkeiten, sodass , (mit ) auch . Wegen ist , und der Ausdruck für lässt sich weiter umformen: ; für konstantes Verhältnis der beiden Geschwindigkeiten zeigen die letzten beiden Brüche die im Text behauptete umgekehrte Proprotionalität der Zeit zu bzw. . Die umgekehrte Proportionalität von zu bedeutet, dass Achilles die Schildkröte eher trifft, wenn jene schneller läuft. Das könnte zunächst verwundern; vorausgesetzt ist hier aber, dass in diesem Fall auch Achilles um den gleichen Faktor schneller läuft wie die Schildkröte (da als konstant vorausgesetzt wird).
  3. Es ist – heute – möglich, auch mit Zenons Ansatz die Zeit auszurechnen, nach der Achilles die Schildkröte einholt. - Sei wie oben der Vorsprung der Schildkröte zu Beginn des Rennens, die Zeit, die Achilles benötigt, um zurückzulegen. Ferner sei die Schildkröte -mal langsamer als Achilles. Dann holt Achilles die Schildkröte nach der Zeit ein weiteres Mal ein, nach der Zeit ein drittes Mal usw. Mit ist die Summe aller von Zenon betrachteten Zeiten, die Achilles zurücklegt:
    .
    Es ist möglich, aber nicht zwingend erforderlich, wie oben als Quotienten zweier Geschwindigkeiten aufzufassen. Dann ist mit weiter:
    die konvergente geometrischen Reihe ergibt also das gleiche Ergebnis für wie die Rechnung in Anmerkung 1 ohne Zerlegung von nach Zenons Ansatz. Die Reihe erfüllt wegen ein Konvergenzkriterium, sodass Grenzwertrechnung ihr genau eine (exakte, als "Grenzwert" bezeichnete) Zahl zuordnet, die sie im Unendlichen erreicht. Eine solche Mathematik war Zenon augenscheinlich nicht bekannt.
  4. Sainsbury zeigt in Paradoxien die Unbestimmtheit des Problems anhand der Zweiteilung: Die Länge zwei wird halbiert, in zwei Längen eins, dann weiter eine Länge eins in zwei halbe, davon wieder eine halbe in zwei viertel und so weiter. Es ist offensichtlich, dass dabei die Zwei nicht überschritten wird, noch sich die Zeit dehnt. Es ist vielmehr der verbleibende Rest stehts klar: identisch mit dem letzten Teilungsglied (oben ein viertel). (Es scheint somit kein Ziel Zenons zu sein, zu zeigen, dass das Rennen ewig währt noch unbestimmt lang ist. Als Argument bleibt, ähnlich wie beim Pfeilparadoxon, die Unmöglichkeit (in Einklang mit den fehlenden Aussagen der Mathematik über Unendlich bzw. ggf. Null) das Ziel zu erreichen.)
  5. Mit Zenons Ansatz lässt sich auch der Weg ausrechnen, den Achilles im Zeitraum (von seinem Startpunkt bis zum Einholen der Schildkröte) zurücklegt. - In der Rechnung in Anmerkung 3 ist nur bzw. durch bzw. zu ersetzen:
    .
    Werden Geschwindigkeiten eingeführt, so ist ohne Zerlegung in Teilwege unter Benutzung obiger Darstellung von :
    ;
    Ausklammern von im Nenner und Kürzen liefert das gleiche Ergebnis wie die konvergente Reihe.


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