Baum der Erkenntnis und Achilles und die Schildkröte: Unterschied zwischen den Seiten

Aus AnthroWiki
(Unterschied zwischen Seiten)
imported>Odyssee
Keine Bearbeitungszusammenfassung
 
imported>Joachim Stiller
Keine Bearbeitungszusammenfassung
 
Zeile 1: Zeile 1:
[[Bild:Michelangelo_Suendenfall.jpg|thumb|350px|[[Wikipedia:Michelangelo|Michelangelo]]: Sündenfall und Vertreibung aus dem Paradies (Deckenfresko in der [[Wikipedia:Sixtinische Kapelle|Sixtinischen Kapelle]])]]
Als '''[[Paradoxon]] von Achilles und der Schildkröte''' wird einer von mehreren bekannten [[Fehlschluss|Trugschlüssen]] bezeichnet, die dem antiken griechischen Philosophen [[Zenon von Elea]] zugeschrieben werden (weitere siehe dort). Darin wird versucht zu belegen, dass ein schneller Läufer wie Achilles bei einem Wettrennen eine Schildkröte niemals einholen könne, wenn er ihr einen Vorsprung gewähre. Der Gang des Arguments ist folgender:
Der '''Baum der Erkenntnis''' von '''[[Gut]]''' und '''[[Böse]]''' ([[Wikipedia:hebräische Sprache|hebr.]] עץ הדעת טוב ורע °ez had-da°at tôb wâ-râ, [[Wikipedia:Griechische Sprache|griech.]] τὸ ξύλον τοῦ εἰδέναι γνωστὸν καλοῦ καὶ πονηροῦ, [[Wikipedia:lateinisch|lat.]] lignum sapientiae boni et mali) steht nach dem Bericht der [[Wikipedia:Genesis|Genesis]] zusammen mit dem [[Baum des Lebens]] in der Mitte des [[Paradies]]esgartens. Erstmals wird an dieser Stelle in der [[Wikipedia:Bibel|Bibel]] das [[Böse]] genannt.
Der ''Baum der Erkenntnis'' ist in der Sprache der [[Elohim]], die diese bereits auf der [[Alte Sonne|alten Sonne]] entwickelt haben, der [[Physischer Leib|physische Leib]] des [[Mensch]]en. Mit dem [[Baum des Lebens]] ist hingegen der [[Ätherleib]] gemeint {{Lit|{{G|253|58ff}}}}. In einer handschriftlichen Aufzeichnung von [[Marie Steiner]] heißt es: "Baum der Erkenntnis bedeutet menschliches Wissen." {{Lit|{{G|265|342}}}}


<div style="margin-left:20px">
Bevor [[Achilleus|Achilles]] die [[Schildkröte]] überholen kann, muss er zuerst ihren Vorsprung einholen. In der Zeit, die er dafür benötigt, hat die Schildkröte aber einen neuen, wenn auch kleineren Vorsprung gewonnen, den Achilles ebenfalls erst einholen muss. Ist ihm auch das gelungen, hat die Schildkröte wiederum einen –&nbsp;noch kleineren&nbsp;– Weg-Vorsprung gewonnen und so weiter. Der Vorsprung, den die Schildkröte hat, werde zwar immer kleiner, bleibe aber dennoch immer ein Vorsprung, sodass sich der schnellere Läufer der Schildkröte zwar immer weiter nähere, sie aber niemals einholen und somit auch nicht überholen könne.
"Dieser Baum des Lebens und
dieser Baum der Erkenntnis muß mit dem Menschenwesen selbst etwas
zu tun haben. Das Verbot, von dem Baum der Erkenntnis zu essen,
das heißt ja - das werden Sie zuletzt herausbekommen -, daß die
Seele des Menschen nicht Erkenntnis suchen soll, die am physischen
Leib haftet; daraus ist ja die jetzige sinnliche Anschauung entstanden.
«Essen von dem Baum der Erkenntnis» heißt, eben so sich verbinden
mit dem physischen Leib, daß dadurch die jetzige - und ich
habe sie ja neulich geschildert - von Luzifer bewirkte Art von Erkenntnis
entstanden ist. Also meinten die Elohim etwas am Menschenwesen
selber, indem sie vom Baum der Erkenntnis sprachen.
Und wiederum müssen sie etwas am Menschenwesen selber meinen,
wenn sie vom Baum des Lebens sprechen. Da muß man sich
fragen: Ja, wodurch sieht denn der Mensch so, wie er heute sieht?
Wodurch nimmt er denn so wahr? Indem sein Geistig-Seelisches,
durchtränkt von Luzifers Wesenheit, eingebettet ist in den physischen
Leib und an diesem zehrt. Dies war nicht von vornherein bestimmt,
daß die Seele so wie jetzt eingebettet ist in den physischen
Leib. Dieser physische Leib ist der Baum der Erkenntnis, und der
Baum des Lebens ist der Ätherleib. Die Menschen sollten, nachdem
sie sich von Luzifer haben verführen lassen, ihren physischen Leib
zu der uns gewohnten Erkenntnis benützen, nun wenigstens nicht
auch noch dazu haben die Erkenntnis durch den Ätherleib. Es wird
ihnen dies verwehrt.


Wenn man wirklich denkt, meine lieben Freunde, so kann man
Tatsächlich wird ein Schnellerer einen Langsameren aber immer einholen, sofern er dafür nur genügend Zeit hat. Die zum Einholen benötigte Zeit ist proportional zum Vorsprung und umgekehrt proportional zur Differenz der Geschwindigkeiten der beiden Läufer<ref name="anm1" group="Anm.">Sei <math>t</math> die Zeit, die vom Beginn des Rennens bis zu dem Zeitpunkt verstreicht, zu dem Achilles die Schildkröte einholt,
zu solchen Gedankengängen kommen. Und dann muß man sich fragen:
<math>s</math> der Weg, den Achilles während der Zeit <math>t</math> zurücklegt.
Warum aber nennen denn nun die Götter in ihrer Sprache den
<math>s'</math> der Weg, den die Schildkröte während der Zeit <math>t</math> zurücklegt,
physischen Leib den Baum der Erkenntnis? Warum sprechen sie
<math>s_0</math> der Vorsprung der Schildkröte zu Beginn des Rennens,
von einem Baum? Und warum nennen sie denn den Ätherleib den
<math>v_a</math> die Geschwindigkeit Achilles',
Baum des Lebens? Warum sprechen sie denn von Bäumen?
<math>v_s</math> die Geschwindigkeit der Schildkröte.
Dann lässt sich t wie folgt berechnen:


Nun, man kann leicht begreifen, was in der Sprache der Götter
::<math>v_a \cdot t = s = s_0 + s' = s_0 + v_s \cdot t</math>, also <math>s_0 = v_a \cdot t - v_s \cdot t = (v_a - v_s) \cdot t</math>; mit <math>v_a - v_s \neq 0 </math> folgt nach Division: <math>t = \frac{s_0}{v_a - v_s}</math>.
gemeint ist, wenn man bedenkt, daß die Götter, von denen die Rede
ist, ihre besondere Evolution während der Sonnenzeit hatten, also
gerade vom Sonnenwesen etwas Wesentliches aufgenommen haben.
Nun überlegen Sie sich einmal: alte Saturnzeit - alles steht auf dem
Standpunkt des Mineralischen; alte Sonnenzeit - alles steht auf der
Stufe des Pflanzlichen. Wenn die Götter, die wir die Elohim nennen,
sich den Charakter ihrer Sprache also während der Sonnenzeit
angeeignet haben, so werden sie, wenn sie sich aussprechen, nicht
von dem sprechen, was man erst auf dem Mond und auf der Erde erleben
kann, sondern von dem, wozu sich der Kosmos bis zur Sonnenzeit
entwickelt hat, nämlich dem Pflanzenhaften. Deshalb sprechen
sie, wenn sie in ihrer Sprache sprechen, von Bäumen, weil sie
in der Sonnensprache sprechen." {{Lit|{{G|253|60f}}}}
</div>


Der Paradiesesmensch war noch ein doppelgeschlechtliches, [[hermaphrodit]]isches [[Wesen]]. Durch die [[luziferisch]]e [[Versuchung]] wurde er in den [[Sündenfall]] verstrickt und nahm einen dichteren [[Physischer Leib|physischen Leib]] an, als ursprünglich vorgesehen war. Nur dadurch aber konnte er ein eigenständiges [[Ich]] entwickeln. Dadurch, dass dem Menschen zugleich auch der Zutritt zum [[Baum des Lebens]] verwehrt wurde, kam es erst zur [[Geschlechtertrennung]]. Tatsächlich sind die [[Erkenntnis]]kräfte verwandelte bzw. herabgelähmte [[Fortpflanzung]]skräfte:
Letzteres zeigt die im Text behauptete Proportionalität der Zeit <math>t</math> zum Vorsprung <math>s_0</math> der Schildkröte und die umgekehrte Proportionalität von <math>t</math> zur Geschwindigkeitsdifferenz <math>v_a - v_s</math>.</ref> und bei gleichbleibendem Verhältnis dieser beiden Geschwindigkeiten umgekehrt proportional zu jeder derselben.<ref group="Anm." name="anm2">(Mit <math>v_a \neq 0</math>) sei weiter <math>q = \frac{v_s}{v_a}</math> das Verhältnis der Geschwindigkeiten, sodass <math> v_s = q \cdot v_a </math>, (mit <math> v_s \neq 0</math>) auch <math>\frac{1}{v_a}=\frac{q}{v_s}</math>. Wegen <math>v_a - v_s \neq 0 </math> ist <math>q \neq 1 </math>, und der Ausdruck für <math>t</math> lässt sich weiter umformen:  


<div style="margin-left:20px">
<math>t = \frac{s_0}{v_a - v_s} = \frac{s_0}{v_a - q \cdot v_a} = \frac{s_0}{v_a \cdot (1 - q)} = \frac{q \cdot s_0}{v_s \cdot (1 - q)} </math>;
"Physisch haben wir zunächst das Weib, das befruchtet wird
für konstantes Verhältnis <math>q</math> der beiden Geschwindigkeiten zeigen die letzten beiden Brüche die im Text behauptete umgekehrte Proprotionalität der Zeit <math>t</math> zu <math>v_a</math> bzw. <math>v_s</math>. Die umgekehrte Proportionalität von <math>t</math> zu <math>v_s</math> bedeutet, dass Achilles die Schildkröte ''eher'' trifft, wenn jene  ''schneller'' läuft. Das könnte zunächst verwundern; vorausgesetzt ist hier aber, dass in diesem Fall auch Achilles ''um den gleichen Faktor'' schneller läuft wie die Schildkröte (da <math>q</math> als konstant vorausgesetzt wird).</ref>
von oben. Das Befruchtende war der göttliche Geist im Weibe. Als die Spaltung der
[[Image:Race_between_Achilles_and_the_tortoise.gif|thumb|250px| Ein geometrischer Beweis mittels des [[Strahlensatz]]es, der auch den Griechen möglich war. (Optimalerweise wählt man am Ursprung für Achilles einen 45°-Winkel.)]]
Geschlechter stattfand, trat die Differenzierung so ein, daß sich zunächst für das
Zenons Trugschluss beruht auf zwei Fehlern:<ref>Nach Peter Janich:„Achilles und die Schildkröte“, in: Jürgen Mittelstraß (Hrsg.): ''Enzyklopädie Philosophie und Wissenschaftstheorie'', Band&nbsp;1, Metzler Stuttgart 1995, Nachdruck 2004, Seite&nbsp;41, ISBN 3-476-02012-6</ref>
weibliche Geschlecht die geistigen Befruchtungsorgane in Weisheitsorgane verwandelten.
# Er berücksichtigt nicht, dass eine unendliche [[Reihe (Mathematik)|Reihe]] eine endliche Summe haben kann.<ref name="anm3" group="Anm.">Es ist – heute – möglich, auch mit Zenons Ansatz die Zeit <math>t</math> auszurechnen, nach der Achilles die Schildkröte einholt. - Sei <math>s_0</math> wie oben der Vorsprung der Schildkröte zu Beginn des Rennens, <math>t_0</math> die Zeit, die Achilles benötigt, um <math>s_0</math> zurückzulegen. Ferner sei die Schildkröte <math>q</math>-mal langsamer als Achilles.
Die männliche Kraft, die das Weib in sich hatte, die verwandelte die schöpferische
Dann holt Achilles die Schildkröte nach der Zeit <math>t_0 \cdot q</math> ein weiteres Mal ein, nach der Zeit <math>(t_0 \cdot q) \cdot q = t_0 \cdot q^2</math> ein drittes Mal usw.  
Kraft in die Organe der Weisheit. So blieb dem Weibe die Hälfte der hervorbringenden
Mit <math>q^0 = 1</math> ist die Summe aller von Zenon betrachteten Zeiten, die Achilles zurücklegt:
Kraft; dem Manne blieb die schöpferische physische Kraft. Durch diese
 
Trennung entstanden physisch das Rückenmark und das Gehirn mit den Nervensträngen,
::<math>t =  t_0 \cdot \sum_{n=0}^\infty q^n  =  t_0 \cdot \lim_{n \to \infty} \sum_{k=0}^{n} q^{k} = t_0 \cdot \lim_{n \to \infty} \frac{1 - q^{n+1}}{1 -q}  = \frac{t_0}{1 -q}</math>.
dargestellt in dem Baum des Lebens und dem Baum der Erkenntnis. Das
 
Organ der Weisheit ist ausgebildet in den Rückgratringen mit dem Rückenmark und
Es ist möglich, aber nicht zwingend erforderlich, <math>q</math> wie oben als Quotienten <math>\frac{v_s}{v_a}</math> zweier Geschwindigkeiten aufzufassen. Dann ist mit <math>t_0 = \frac{s_0}{v_a}</math> weiter:
dessen Ausdehnung im Gehirn. Von da an ist eine Zweiheit im Menschen: Das sind
 
die zwei Bäume in der biblischen Urkunde, der Baum der Erkenntnis und der Baum
::<math>t = \frac{t_0}{1 -q} =
des Lebens. Es wird bekanntlich dem zweigeschlechtlichen Menschen verboten,
\frac{s_0}{v_a -q \cdot v_a} = \frac{s_0}{v_a -v_s};</math>
vom Baume der Erkenntnis zu essen. Die Kraft, die [[Jahve]] in den
 
Menschen gelegt hatte, war: seine Weisheit im Weibe wirken zu lassen. «Du sollst
die [[Geometrische Reihe#Konvergenz und Wert der geometrischen Reihe|konvergente geometrischen Reihe]] <math>t_0 \cdot \sum_{n=0}^\infty q^n </math> ergibt also das gleiche Ergebnis für <math>t</math> wie die Rechnung in Anmerkung 1 ohne Zerlegung von <math>t</math> nach Zenons Ansatz. Die Reihe erfüllt wegen <math>0<q<1</math> ein [[Konvergenzkriterium]], sodass [[Grenzwert (Folge)|Grenzwertrechnung]] ihr genau eine (exakte, als "Grenzwert" bezeichnete) Zahl zuordnet, die sie ''im Unendlichen erreicht''.
nicht essen vom Baume der Erkenntnis», heißt so viel wie: Du sollst nicht die befruchtende
 
Kraft abtrennen und selbständig machen.– Denn dadurch geht dem Weibe
Eine solche [[Mathematik]] war Zenon augenscheinlich nicht bekannt.</ref><ref name="anm3.2" group="Anm.">Sainsbury zeigt in ''Paradoxien'' die Unbestimmtheit des Problems anhand der Zweiteilung: Die Länge zwei wird halbiert, in zwei Längen eins, dann weiter eine Länge eins in zwei halbe, davon wieder eine halbe in zwei viertel und so weiter. Es ist offensichtlich, dass dabei die Zwei nicht überschritten wird, noch sich die Zeit dehnt. Es ist vielmehr der verbleibende Rest stehts klar: identisch mit dem letzten Teilungsglied (oben ein viertel). (Es scheint somit kein Ziel Zenons zu sein, zu zeigen, dass das Rennen ewig währt noch unbestimmt lang ist. Als Argument bleibt, ähnlich wie beim Pfeilparadoxon, die Unmöglichkeit (in Einklang mit den fehlenden Aussagen der Mathematik über Unendlich bzw. ggf. Null) das Ziel zu erreichen.) </ref>
die Jahve-Kraft, die befruchtende Kraft verloren. Als das Weib vom Baume der Erkenntnis
# Der Weg, den Achilles von seinem Ausgangspunkt bis zum Zusammentreffen mit der Schildkröte zurücklegt, kann beliebig oft –&nbsp;formal unendlich oft&nbsp;– in Vorsprünge der Schildkröte unterteilt werden. Aus der Tatsache, dass diese Teilungshandlung beliebig oft vorgenommen werden kann, folgt aber nicht, dass die zu durchlaufende Strecke unendlich wäre,<ref name="anm4" group="Anm.">Mit Zenons Ansatz lässt sich auch der Weg <math>s</math> ausrechnen, den Achilles im Zeitraum <math>t</math> (von seinem Startpunkt bis zum Einholen der Schildkröte) zurücklegt. - In der Rechnung in Anmerkung 3 ist nur <math>t</math> bzw. <math>t_0</math> durch <math>s</math> bzw. <math>s_0</math> zu ersetzen:
, legte es den Grund dazu, selbständig in der Weisheit zu werden und somit
 
aufzuhören, ein unselbständiges Werkzeug Jahves zu bleiben, wie dieser es geplant
::<math>s =  s_0 \cdot \sum_{n=0}^\infty q^n  =  \frac{s_0}{1 -q}</math>.
hatte. Darauf folgt die Strafe, von Jahve verhängt. Neue Leiber müssen entstehen,
Werden Geschwindigkeiten eingeführt, so ist ohne Zerlegung in Teilwege unter Benutzung obiger Darstellung von <math>t</math>:
die das Karma des vorigen Lebens austragen, der Tod und das Geborenwerden
:: <math>s = v_a \cdot t = \frac{v_a  \cdot s_0}{v_a -v_s} </math>;
kommen in die Welt." {{Lit|{{G|093|231ff}}}}
Ausklammern von <math>v_a</math> im Nenner und Kürzen liefert das gleiche Ergebnis wie die konvergente Reihe.
</div>
</ref> oder dass unendlich viel Zeit erforderlich wäre, sie zurückzulegen.
 
Es gibt unterschiedliche Ansichten darüber, was Zenon mit seinen „Paradoxien“ zeigen wollte. Häufig wird vermutet, dass sie die Eleatische These (siehe [[Parmenides von Elea]]) stützen sollten, der zufolge es in der Wirklichkeit keine Vielheit, sondern nur ein einziges unveränderliches und unzerstörbares Ganzes gebe, und dass die Alltagswahrnehmung von Vielfalt und Bewegung bloßer Schein sei. Sicher ist jedoch, dass diese antike Überlegung zur Begriffsbildung der [[Unendlichkeit]] beigetragen hat und auch heute noch als Lehrbeispiel verwendet wird.
 
Das Paradoxon ist nicht direkt überliefert, sondern findet sich in [[Aristoteles]]’ [[Physik (Aristoteles)|Physik]]<ref>VI,9,239b14-240a18 in der Formulierung, dass „auch das langsamste Tier im Laufe nicht eingeholt werden könne vom schnellsten, da der Verfolger immer erst dahin kommen müsse, von wo das fliehende Tier fortgelaufen ist, so daß das langsamere immer einen Vorsprung behalte“.</ref><ref>{{Internetquelle |url=http://remacle.org/bloodwolf/philosophes/Aristote/physique6gr.htm#144 |titel=Altgriechischer Originaltext in ''Aristoteles: Physik.'' (siehe im Bildschirmausschnitt §4) |archiv-url=https://web.archive.org/web/20080516213308/http://remacle.org/bloodwolf/philosophes/Aristote/physique6gr.htm#144 |archiv-datum=2008-05-16 |zugriff=2013-10-16 }}</ref> und [[Simplikios]]’ Kommentar<ref>Simplicius: ''On Aristotle’s Physics'' 1014,10, vgl.: Readings in Ancient Greek Philosophy From Thales to Aristotle, hg. S. M. Chohen / P. Curd / C. D. C. Reeve, Indianapolis/Cambridge: Hackett 1995, 58f</ref> dazu.
 
Verwandte Paradoxa, die Zenon zugeschrieben werden, sind das [[Teilungsparadoxon]] und das [[Pfeil-Paradoxon]]. Inhaltlich nicht verwandt mit dem Zenonischen Paradox ist ein von [[Lewis Carroll]] in seinem kurzen Dialog ''[[What the Tortoise Said to Achilles]]''<ref>Mind&nbsp;'''1'''(1895), S.&nbsp;278–280.</ref> (''Was die Schildkröte zu Achilles sagte'') vorgestelltes Argument, mit dem er den Unterschied zwischen objekt- und metasprachlicher [[Implikation]] thematisiert und das gelegentlich als Carroll-Paradox bezeichnet wird.<ref>hierzu siehe zum Beispiel Pascal Engel: ''[http://jeannicod.ccsd.cnrs.fr/ijn_00000571/en/ Dummett, Achilles and the tortoise]'', In: L. Hahn / R. Auxier (Hgg.): ''The philosophy of Michael Dummett (Library of Living philosophers)'', La Salle, Ill.: Open Court 2005.</ref>


== Siehe auch ==
== Siehe auch ==
* [[Paradieses-Imagination]]
* {{WikipediaDE|Achilles und die Schildkröte}}
* [[Paradiesesbaum]]
* {{WikipediaDE|Infinitesimalrechnung}}
* [[Lebensbaum]]
* [[Weltenbaum]]
* [[Weltesche Yggdrasil]]
* [[Ask und Embla]]


== Literatur ==
== Literatur ==
#Rudolf Steiner: ''Die Tempellegende und die Goldene Legende '', [[GA 93]] (1991)
* Max Black: ''Achilles and the Tortoise'', in: Analysis 11 (1950), S. 91–101.
#Rudolf Steiner: ''Probleme des Zusammenlebens in der Anthroposophischen Gesellschaft'', [[GA 253]] (1989)
* Simon Blackburn: ''Practical Tortoise Raising'', in: Mind 104 (1995), S. 696–711.
#Rudolf Steiner: ''Zur Geschichte und aus den Inhalten der erkenntniskultischen Abteilung der Esoterischen Schule von 1904 bis 1914'', [[GA 265]] (1987), ISBN 3-7274-2650-0 {{Schule|265}}
* S. Brown: ''What the Tortoise taught us'', in: Mind 63 (1954), S. 170–179.
* Florian Cajori: ''The Purpose of Zeno’s Arguments on Motion'', in: Isis 3/1 (1920), S. 7–20.
* L. Carroll (C.L. Dogson): ''What the Tortoise said to Achilles'', in: Mind 104 (1995), S. 278–280.
* M. Clark: ''Paradoxes, from A to Z'', Routledge, London 2000.
* Pascal Engel: ''[http://jeannicod.ccsd.cnrs.fr/ijn_00000571/en/ Dummett, Achilles and the tortoise]'', in: L. Hahn / R. Auxier (Hrsg.): ''The philosophy of Michael Dummett (Library of Living philosophers)'', La Salle, Ill.: Open Court 2005.
* Adolf Grünbaum: ''Modern Science and Zeno’s Paradoxes'', Middletown: Wesleyan University Press 1967.
* Andrew Harrison: ''Zeno’s Paper Chase'', in: Mind 76/304 (1967), S. 568–575.
* J. M. Hinton / C. B. Martin: ''Achilles and the Tortoise'', in: Analysis 14/3 (1954), S. 56–68.
* C. V. Jones: ''Zeno’s paradoxes and the first foundations of mathematics'' (Spanish), in: Mathesis 3/1 1987.
* S. Makin: Art. ''Zeno of Elea'', in: Routledge Encyclopedia of Philosophy 9, London 1998, S. 843–853.
* R. Morris: ''Achilles in the Quantum Universe'', Redwood Books, Trowbridge, Wiltshire 1997.
* Jorge Luis Borges: Zwei Essays in ''Kabbala und Tango'', S. Fischer Verlag, 1991.
* Aloys Müller: ''Das Problem des Wettlaufs zwischen Achill und der Schildkröte'', in: Archiv für Philosophie 2 (1948), S. 106–111.
* Stanislaus Quan: ''The Solution of Zeno’s First Paradox'', in: Mind 77/306 (1968), S. 206–221.
* W. D. Ross: ''Aristotle’s Physics'', Oxford: Clarendon 1936, xi-xii <small>Bibliographie älterer Literatur zu den Paradoxien der Bewegung</small>, S. 70–85 u.ö.<small> Kommentar zu den Abschnitten bei Aristoteles</small>.
* Bertrand Russell: ''Our Knowledge of the External World'', Open Court, London/Chicago 1914, Kap. 5 und 6.
* Richard Mark Sainsbury: ''Paradoxien'', Reclam, Stuttgart 2001 (=Reclams Universal-Bibliothek 18135), ISBN 3-15-018135-6.
* Wesley C. Salmon (Hrsg.): ''Zeno’s paradoxes'', Hacket, Indianapolis 1970, Nachdruck 2001, ISBN 0-87220-560-6.
* Wesley C. Salmon: ''Space, Time and Motion'', Enrico, California and Belmont, California, Dickenson Publishing Co., Inc. 1975, Kap. 2
* T. Smiley: ''A Tale of Two Tortoises'', in: Mind 104 (1995), S. 725–736.
* Roy Sorensen: ''A Brief History of the Paradox'', Oxford University Press 2003.
* L. E. Thomas: ''Achilles and the Tortoise'', in: Analysis 12/4 (1952), S. 92–94.
* J. F. Thomson: ''What Achilles should have said to the Tortoise'', in: Ratio 3 (1960), S. 95–105.
 
== Weblinks ==
{{wikiquote|Arnfrid Astel}}
* Christoph Bock: [http://www.drchristophbock.de/ElAna.pdf Elemente der Analysis] (PDF; 1,2&nbsp;MB) S. 59f
* {{SEP|http://plato.stanford.edu/entries/paradox-zeno/#3.2|Zeno’s Paradoxes|Nick Huggett}}
* [http://mathworld.wolfram.com/ZenosParadoxes.html Eintrag] in Wolfram’s Math World (Englisch, mit weiterer Literatur)
* [http://www.philosophy.ubc.ca/faculty/savitt/Courses/Phil462A/ZENO.pdf Lecture Notes] von S. Savitt (Philosophiedozent an der University of British Columbia, englisch; PDF-Datei; 71&nbsp;kB)
* [http://philsci-archive.pitt.edu/archive/00001197/1/Zeno_s_Paradoxes_-_A_Timely_Solution.pdf Peter Lynds]: Zeno‘s Paradoxes: A Timely Solution (Englisch mit weiterer Literatur; PDF-Datei; 166&nbsp;kB)
* [http://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/article.php?sid=950 Matheplanet-Artikel]
* Ulrich Eckhardt: [http://itwiki.math.uni-hamburg.de/home/eckhardt/Zenon.pdf Die Schildkröte des Zenon von Elea. Gedanken eines Mathematikers über das Unendliche] (PDF; 320&nbsp;kB)
* ''Zenon und die Zeitlupe.'' in: Wolfram Heinrich: ''Zenon, Achilles und die Schildkröte. Der vergessene Denker Costabile Matarazzo.'' [http://www.theodor-rieh.de/heinrich/Matarazzo.html]@theodor-rieh.de und [https://www.freitag.de/autoren/wolfram-heinrich/der-vergessene-denker-costabile-matarazzo]@freitag.de
 
== Einzelnachweise ==
<references />
 
== Anmerkungen ==
<references group="Anm." />


{{GA}}
{{SORTIERUNG:Achilles und die Schildkrote}}
[[Kategorie:Paradoxon]]
[[Kategorie:Vorsokratik]]


[[Kategorie:Grundbegriffe]]
{{Wikipedia}}

Version vom 11. Juni 2019, 18:16 Uhr

Als Paradoxon von Achilles und der Schildkröte wird einer von mehreren bekannten Trugschlüssen bezeichnet, die dem antiken griechischen Philosophen Zenon von Elea zugeschrieben werden (weitere siehe dort). Darin wird versucht zu belegen, dass ein schneller Läufer wie Achilles bei einem Wettrennen eine Schildkröte niemals einholen könne, wenn er ihr einen Vorsprung gewähre. Der Gang des Arguments ist folgender:

Bevor Achilles die Schildkröte überholen kann, muss er zuerst ihren Vorsprung einholen. In der Zeit, die er dafür benötigt, hat die Schildkröte aber einen neuen, wenn auch kleineren Vorsprung gewonnen, den Achilles ebenfalls erst einholen muss. Ist ihm auch das gelungen, hat die Schildkröte wiederum einen – noch kleineren – Weg-Vorsprung gewonnen und so weiter. Der Vorsprung, den die Schildkröte hat, werde zwar immer kleiner, bleibe aber dennoch immer ein Vorsprung, sodass sich der schnellere Läufer der Schildkröte zwar immer weiter nähere, sie aber niemals einholen und somit auch nicht überholen könne.

Tatsächlich wird ein Schnellerer einen Langsameren aber immer einholen, sofern er dafür nur genügend Zeit hat. Die zum Einholen benötigte Zeit ist proportional zum Vorsprung und umgekehrt proportional zur Differenz der Geschwindigkeiten der beiden Läufer[Anm. 1] und bei gleichbleibendem Verhältnis dieser beiden Geschwindigkeiten umgekehrt proportional zu jeder derselben.[Anm. 2]

Ein geometrischer Beweis mittels des Strahlensatzes, der auch den Griechen möglich war. (Optimalerweise wählt man am Ursprung für Achilles einen 45°-Winkel.)

Zenons Trugschluss beruht auf zwei Fehlern:[1]

  1. Er berücksichtigt nicht, dass eine unendliche Reihe eine endliche Summe haben kann.[Anm. 3][Anm. 4]
  2. Der Weg, den Achilles von seinem Ausgangspunkt bis zum Zusammentreffen mit der Schildkröte zurücklegt, kann beliebig oft – formal unendlich oft – in Vorsprünge der Schildkröte unterteilt werden. Aus der Tatsache, dass diese Teilungshandlung beliebig oft vorgenommen werden kann, folgt aber nicht, dass die zu durchlaufende Strecke unendlich wäre,[Anm. 5] oder dass unendlich viel Zeit erforderlich wäre, sie zurückzulegen.

Es gibt unterschiedliche Ansichten darüber, was Zenon mit seinen „Paradoxien“ zeigen wollte. Häufig wird vermutet, dass sie die Eleatische These (siehe Parmenides von Elea) stützen sollten, der zufolge es in der Wirklichkeit keine Vielheit, sondern nur ein einziges unveränderliches und unzerstörbares Ganzes gebe, und dass die Alltagswahrnehmung von Vielfalt und Bewegung bloßer Schein sei. Sicher ist jedoch, dass diese antike Überlegung zur Begriffsbildung der Unendlichkeit beigetragen hat und auch heute noch als Lehrbeispiel verwendet wird.

Das Paradoxon ist nicht direkt überliefert, sondern findet sich in AristotelesPhysik[2][3] und Simplikios’ Kommentar[4] dazu.

Verwandte Paradoxa, die Zenon zugeschrieben werden, sind das Teilungsparadoxon und das Pfeil-Paradoxon. Inhaltlich nicht verwandt mit dem Zenonischen Paradox ist ein von Lewis Carroll in seinem kurzen Dialog What the Tortoise Said to Achilles[5] (Was die Schildkröte zu Achilles sagte) vorgestelltes Argument, mit dem er den Unterschied zwischen objekt- und metasprachlicher Implikation thematisiert und das gelegentlich als Carroll-Paradox bezeichnet wird.[6]

Siehe auch

Literatur

  • Max Black: Achilles and the Tortoise, in: Analysis 11 (1950), S. 91–101.
  • Simon Blackburn: Practical Tortoise Raising, in: Mind 104 (1995), S. 696–711.
  • S. Brown: What the Tortoise taught us, in: Mind 63 (1954), S. 170–179.
  • Florian Cajori: The Purpose of Zeno’s Arguments on Motion, in: Isis 3/1 (1920), S. 7–20.
  • L. Carroll (C.L. Dogson): What the Tortoise said to Achilles, in: Mind 104 (1995), S. 278–280.
  • M. Clark: Paradoxes, from A to Z, Routledge, London 2000.
  • Pascal Engel: Dummett, Achilles and the tortoise, in: L. Hahn / R. Auxier (Hrsg.): The philosophy of Michael Dummett (Library of Living philosophers), La Salle, Ill.: Open Court 2005.
  • Adolf Grünbaum: Modern Science and Zeno’s Paradoxes, Middletown: Wesleyan University Press 1967.
  • Andrew Harrison: Zeno’s Paper Chase, in: Mind 76/304 (1967), S. 568–575.
  • J. M. Hinton / C. B. Martin: Achilles and the Tortoise, in: Analysis 14/3 (1954), S. 56–68.
  • C. V. Jones: Zeno’s paradoxes and the first foundations of mathematics (Spanish), in: Mathesis 3/1 1987.
  • S. Makin: Art. Zeno of Elea, in: Routledge Encyclopedia of Philosophy 9, London 1998, S. 843–853.
  • R. Morris: Achilles in the Quantum Universe, Redwood Books, Trowbridge, Wiltshire 1997.
  • Jorge Luis Borges: Zwei Essays in Kabbala und Tango, S. Fischer Verlag, 1991.
  • Aloys Müller: Das Problem des Wettlaufs zwischen Achill und der Schildkröte, in: Archiv für Philosophie 2 (1948), S. 106–111.
  • Stanislaus Quan: The Solution of Zeno’s First Paradox, in: Mind 77/306 (1968), S. 206–221.
  • W. D. Ross: Aristotle’s Physics, Oxford: Clarendon 1936, xi-xii Bibliographie älterer Literatur zu den Paradoxien der Bewegung, S. 70–85 u.ö. Kommentar zu den Abschnitten bei Aristoteles.
  • Bertrand Russell: Our Knowledge of the External World, Open Court, London/Chicago 1914, Kap. 5 und 6.
  • Richard Mark Sainsbury: Paradoxien, Reclam, Stuttgart 2001 (=Reclams Universal-Bibliothek 18135), ISBN 3-15-018135-6.
  • Wesley C. Salmon (Hrsg.): Zeno’s paradoxes, Hacket, Indianapolis 1970, Nachdruck 2001, ISBN 0-87220-560-6.
  • Wesley C. Salmon: Space, Time and Motion, Enrico, California and Belmont, California, Dickenson Publishing Co., Inc. 1975, Kap. 2
  • T. Smiley: A Tale of Two Tortoises, in: Mind 104 (1995), S. 725–736.
  • Roy Sorensen: A Brief History of the Paradox, Oxford University Press 2003.
  • L. E. Thomas: Achilles and the Tortoise, in: Analysis 12/4 (1952), S. 92–94.
  • J. F. Thomson: What Achilles should have said to the Tortoise, in: Ratio 3 (1960), S. 95–105.

Weblinks

Einzelnachweise

  1. Nach Peter Janich:„Achilles und die Schildkröte“, in: Jürgen Mittelstraß (Hrsg.): Enzyklopädie Philosophie und Wissenschaftstheorie, Band 1, Metzler Stuttgart 1995, Nachdruck 2004, Seite 41, ISBN 3-476-02012-6
  2. VI,9,239b14-240a18 in der Formulierung, dass „auch das langsamste Tier im Laufe nicht eingeholt werden könne vom schnellsten, da der Verfolger immer erst dahin kommen müsse, von wo das fliehende Tier fortgelaufen ist, so daß das langsamere immer einen Vorsprung behalte“.
  3. Altgriechischer Originaltext in Aristoteles: Physik. (siehe im Bildschirmausschnitt §4). Archiviert vom Original am 16. Mai 2008; abgerufen am 16. Oktober 2013.
  4. Simplicius: On Aristotle’s Physics 1014,10, vgl.: Readings in Ancient Greek Philosophy From Thales to Aristotle, hg. S. M. Chohen / P. Curd / C. D. C. Reeve, Indianapolis/Cambridge: Hackett 1995, 58f
  5. Mind 1(1895), S. 278–280.
  6. hierzu siehe zum Beispiel Pascal Engel: Dummett, Achilles and the tortoise, In: L. Hahn / R. Auxier (Hgg.): The philosophy of Michael Dummett (Library of Living philosophers), La Salle, Ill.: Open Court 2005.

Anmerkungen

  1. Sei die Zeit, die vom Beginn des Rennens bis zu dem Zeitpunkt verstreicht, zu dem Achilles die Schildkröte einholt, der Weg, den Achilles während der Zeit zurücklegt. der Weg, den die Schildkröte während der Zeit zurücklegt, der Vorsprung der Schildkröte zu Beginn des Rennens, die Geschwindigkeit Achilles', die Geschwindigkeit der Schildkröte. Dann lässt sich t wie folgt berechnen:
    , also ; mit folgt nach Division: .
    Letzteres zeigt die im Text behauptete Proportionalität der Zeit zum Vorsprung der Schildkröte und die umgekehrte Proportionalität von zur Geschwindigkeitsdifferenz .
  2. (Mit ) sei weiter das Verhältnis der Geschwindigkeiten, sodass , (mit ) auch . Wegen ist , und der Ausdruck für lässt sich weiter umformen: ; für konstantes Verhältnis der beiden Geschwindigkeiten zeigen die letzten beiden Brüche die im Text behauptete umgekehrte Proprotionalität der Zeit zu bzw. . Die umgekehrte Proportionalität von zu bedeutet, dass Achilles die Schildkröte eher trifft, wenn jene schneller läuft. Das könnte zunächst verwundern; vorausgesetzt ist hier aber, dass in diesem Fall auch Achilles um den gleichen Faktor schneller läuft wie die Schildkröte (da als konstant vorausgesetzt wird).
  3. Es ist – heute – möglich, auch mit Zenons Ansatz die Zeit auszurechnen, nach der Achilles die Schildkröte einholt. - Sei wie oben der Vorsprung der Schildkröte zu Beginn des Rennens, die Zeit, die Achilles benötigt, um zurückzulegen. Ferner sei die Schildkröte -mal langsamer als Achilles. Dann holt Achilles die Schildkröte nach der Zeit ein weiteres Mal ein, nach der Zeit ein drittes Mal usw. Mit ist die Summe aller von Zenon betrachteten Zeiten, die Achilles zurücklegt:
    .
    Es ist möglich, aber nicht zwingend erforderlich, wie oben als Quotienten zweier Geschwindigkeiten aufzufassen. Dann ist mit weiter:
    die konvergente geometrischen Reihe ergibt also das gleiche Ergebnis für wie die Rechnung in Anmerkung 1 ohne Zerlegung von nach Zenons Ansatz. Die Reihe erfüllt wegen ein Konvergenzkriterium, sodass Grenzwertrechnung ihr genau eine (exakte, als "Grenzwert" bezeichnete) Zahl zuordnet, die sie im Unendlichen erreicht. Eine solche Mathematik war Zenon augenscheinlich nicht bekannt.
  4. Sainsbury zeigt in Paradoxien die Unbestimmtheit des Problems anhand der Zweiteilung: Die Länge zwei wird halbiert, in zwei Längen eins, dann weiter eine Länge eins in zwei halbe, davon wieder eine halbe in zwei viertel und so weiter. Es ist offensichtlich, dass dabei die Zwei nicht überschritten wird, noch sich die Zeit dehnt. Es ist vielmehr der verbleibende Rest stehts klar: identisch mit dem letzten Teilungsglied (oben ein viertel). (Es scheint somit kein Ziel Zenons zu sein, zu zeigen, dass das Rennen ewig währt noch unbestimmt lang ist. Als Argument bleibt, ähnlich wie beim Pfeilparadoxon, die Unmöglichkeit (in Einklang mit den fehlenden Aussagen der Mathematik über Unendlich bzw. ggf. Null) das Ziel zu erreichen.)
  5. Mit Zenons Ansatz lässt sich auch der Weg ausrechnen, den Achilles im Zeitraum (von seinem Startpunkt bis zum Einholen der Schildkröte) zurücklegt. - In der Rechnung in Anmerkung 3 ist nur bzw. durch bzw. zu ersetzen:
    .
    Werden Geschwindigkeiten eingeführt, so ist ohne Zerlegung in Teilwege unter Benutzung obiger Darstellung von :
    ;
    Ausklammern von im Nenner und Kürzen liefert das gleiche Ergebnis wie die konvergente Reihe.


Dieser Artikel basiert (teilweise) auf dem Artikel Achilles und die Schildkröte aus der freien Enzyklopädie Wikipedia und steht unter der Lizenz Creative Commons Attribution/Share Alike. In Wikipedia ist eine Liste der Autoren verfügbar.