Baum des Lebens und Achilles und die Schildkröte: Unterschied zwischen den Seiten

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[[Bild:Baum_des_Todes_und_des_Lebens.jpg|thumb|250px|[[Wikipedia:Berthold Furtmeyr|Berthold Furtmeyr]], "Der Baum des Todes und des Lebens", Salzburger Missale (15. Jh.)]]
Als '''[[Paradoxon]] von Achilles und der Schildkröte''' wird einer von mehreren bekannten [[Fehlschluss|Trugschlüssen]] bezeichnet, die dem antiken griechischen Philosophen [[Zenon von Elea]] zugeschrieben werden (weitere siehe dort). Darin wird versucht zu belegen, dass ein schneller Läufer wie Achilles bei einem Wettrennen eine Schildkröte niemals einholen könne, wenn er ihr einen Vorsprung gewähre. Der Gang des Arguments ist folgender:
[[Datei:RoslinChapelAppColJM.jpg|miniatur|250px|Die Lehrlingssäule (''Apprentice Pilla''r) in der [[Rosslyn-Kapelle]] bei [[Wikipedia:Edinburgh|Edinburgh]] in [[Wikipedia:Schottland|Schottland]] stellt den „Baum des Lebens“ dar.]]
[[File:Oluf Olufsen Bagge - Yggdrasil, The Mundane Tree 1847 - full page.jpg|thumb|250px|Die immergrüne Weltesche [[Yggdrasil]] mi den drei Ebenen des ganzen Weltgebäudes: [[Himmel]], [[Erde (Planet)|Erde]] und [[Hölle]].]]
[[Datei:Tree of Life.jpg|thumb|250px|Diese Zeichnung zeigt den [[Sephiroth|kabbalistischen Lebensbaum]] mit den beiden Säulen [[Jachin]] und [[Boas]] und der vermittelnden Säule zwischen diesen beiden. Zusammen bilden sie die drei [[Säulen der Manifestation]]. Jachin, die weiße Säule rechts, ist mit dem hebräischen Buchstaben י (Jod) bezeichnet, der, wie wir schon wissen, für die Ich-Kraft der Elohim steht, aus der auch unser eigenes Ich entsprungen ist. Boas, die schwarze Säule links, ist mit einem ב B (Beth) gekennzeichnet, das aber ohne [[Dagesch]], also ohne Punkt, geschrieben und daher als W gesprochen wird. Es ist die wellende, hüllenbildende Gestaltungskraft, die mehr oder weniger vom Rest der Seelenwelt abgesonderte Wesenheiten entstehen lässt. Von Malchut, das die Erdenwelt repräsentiert, werden im Zickzackkurs aufsteigend die Sephiroth den [[Planetensphären]] bis hinauf zum [[Primum Mobile]] zugeordnet. Von der [[Erde (Planet)|Erde]] schräg nach links aufsteigend kommt man zum [[Merkur]], waagrecht nach rechts weiter zur [[Venus]], von dort wieder nach links aufsteigend trifft man in der Mitte auf die [[Sonne]] und geht weiter zum [[Mars]], von wo man in horizontaler Linie nach rechts zum [[Jupiter]] gelangt. Von hier steigt man nach links weiter auf zum [[Saturn]], indem man dabei die sogenannte „unsichtbare Sphäre“ ([[Da’ath]]) durchschreitet (diese Verbindungslinie mit der darauf liegenden unsichtbaren Sphäre Da’ath findet man in der ersten Zeichnung nicht!). Waagrecht nach rechts geht es zum Zodiak, zum [[Tierkreis]] und von dort hinauf zum Primum Mobile, das dem [[Kristallhimmel]] entspricht (so etwa auch in Dantes Darstellung der himmlischen Sphären). Damit durcheilt man zugleich die [[Herrschaftsgebiete]] der himmlischen [[Hierarchien]], von den [[Engel]]n in der Mondensphäre bis hin zu den [[Cherubim]], den Tierkreiswesen, und den [[Seraphim]], die schon an den Kristallhimmel reichen. Jenseits davon sind die drei Schleier des Unbegrenzten, die auf die Trinität hindeuten – das [[Empyreum]] [[Dante]]s. In umgekehrter Reihenfolge gelesen, von [[Kether]] ausgehend, ist dies der [[Pfad des flammenden Schwerts]], der die 10 Sephiroth in der Reihenfolge ihrer Entstehung miteinander verbindet.]]


Der '''Baum des Lebens''' ({{HeS|עץ החיים|°ez ha-chajjîm}}; {{ELSalt|τὸ ξύλον τῆς ζωῆς}} ''to xylon tēs zōēs''; [[lat.]] ''lignum vitae''), von dem in der [[Genesis]] gesprochen wird, steht in engem Zusammenhang mit dem ''[[Baum der Erkenntnis]] von Gut und Böse''. Der ''Baum des Lebens'' ist in der Sprache der [[Elohim]], die diese bereits auf der [[Alte Sonne|alten Sonne]] entwickelt haben, der [[Ätherleib]] des [[Menschen]], während mit dem [[Baum der Erkenntnis]] der [[Physischer Leib|physischen Leib]] gemeint ist {{Lit|{{G|253|58ff}}}}. In einer handschriftlichen Aufzeichnung von [[Marie Steiner]] heißt es: "Baum des Lebens bedeutet gott-geoffenbarte Weisheit." {{Lit|{{G|265|342}}}} Konkret umfasst der Baum des Lebens die beiden höchsten [[Äther]]arten, den [[Klangäther]] und den [[Lebensäther]]. Als Folge des [[Sündenfall]]s wurde dem [[Mensch]]en die Herrschaft über diese beiden Ätherarten entzogen. Durch den [[Christus]], der „der Weg und die Wahrheit und das Leben“ {{Bibel|Joh|14|6}} ist und als [[Heiland]] in die Welt gesandt wurde, wird den Menschen der Zugang zum ''Baum des Lebens'' und seinen Früchten wieder eröffnet.  
Bevor [[Achilleus|Achilles]] die [[Schildkröte]] überholen kann, muss er zuerst ihren Vorsprung einholen. In der Zeit, die er dafür benötigt, hat die Schildkröte aber einen neuen, wenn auch kleineren Vorsprung gewonnen, den Achilles ebenfalls erst einholen muss. Ist ihm auch das gelungen, hat die Schildkröte wiederum einen – noch kleineren – Weg-Vorsprung gewonnen und so weiter. Der Vorsprung, den die Schildkröte hat, werde zwar immer kleiner, bleibe aber dennoch immer ein Vorsprung, sodass sich der schnellere Läufer der Schildkröte zwar immer weiter nähere, sie aber niemals einholen und somit auch nicht überholen könne.


Ein Bild für den Baum des Lebens ist auch der [[Sephirothbaum]] der [[Kabbala]]. Der Baum des Lebens repräsentiert auch die Kräfte, die den menschlichen Organismus jede Nacht im [[Schlaf]] wieder regenerieren und dadurch die Schäden weitgehend heilen, die durch das wache [[Tagesbewusstsein]] entstanden sind. Diese Arbeit wird durch jene [[geistige Wesen]] geleistet, die in der [[Genesis]] [[Laj'lah]] ({{HeS|לילה}} „Nacht“) genannt werden. Sie sind in ihrer Entwicklung auf der [[Alter Saturn|alten Saturnstufe]] zurückgebliebene [[Geister der Persönlichkeit]], die den [[Elohim]] als [[Geister der Finsternis]] bzw. als [[Geister der Nacht]] beim [[Sechstagewerk]] dienlich waren.
Tatsächlich wird ein Schnellerer einen Langsameren aber immer einholen, sofern er dafür nur genügend Zeit hat. Die zum Einholen benötigte Zeit ist proportional zum Vorsprung und umgekehrt proportional zur Differenz der Geschwindigkeiten der beiden Läufer<ref name="anm1" group="Anm.">Sei <math>t</math> die Zeit, die vom Beginn des Rennens bis zu dem Zeitpunkt verstreicht, zu dem Achilles die Schildkröte einholt,  
<math>s</math> der Weg, den Achilles während der Zeit <math>t</math> zurücklegt.
<math>s'</math> der Weg, den die Schildkröte während der Zeit <math>t</math> zurücklegt,
<math>s_0</math> der Vorsprung der Schildkröte zu Beginn des Rennens,
<math>v_a</math> die Geschwindigkeit Achilles',  
<math>v_s</math> die Geschwindigkeit der Schildkröte.
Dann lässt sich t wie folgt berechnen:


{{GZ|Dieses Abbauen unseres physischen Leibes, das wir heute während
::<math>v_a \cdot t = s = s_0 + s' = s_0 + v_s \cdot t</math>, also <math>s_0 = v_a \cdot t - v_s \cdot t = (v_a - v_s) \cdot t</math>; mit <math>v_a - v_s \neq 0 </math> folgt nach Division: <math>t = \frac{s_0}{v_a - v_s}</math>.  
des Tagwachens haben, das durfte während des alten Saturndaseins
nicht vorhanden sein. Wäre das schon beim alten Saturndasein
vorhanden gewesen, dann hätte sich überhaupt niemals die
erste Anlage unseres physischen Leibes bilden können. Denn man
kann natürlich nichts bilden, wenn man anfängt zu zerstören. Die
Saturntätigkeit mußte an unserem Leib eine aufbauende sein. Dafür
war während des Saturndaseins gesorgt. Die Zerstörungsprozesse
in unserem Leib, sie vollziehen sich ja gerade während des Tages,
während des Einflusses des Lichtes; das Licht war aber noch nicht
vorhanden während des alten Saturndaseins. So war also die Saturntätigkeit
für unseren physischen Leib eine aufbauende [...]


Wir müssen also festhalten, daß, wenn wir unser gegenwärtiges
Letzteres zeigt die im Text behauptete Proportionalität der Zeit <math>t</math> zum Vorsprung <math>s_0</math> der Schildkröte und die umgekehrte Proportionalität von <math>t</math> zur Geschwindigkeitsdifferenz <math>v_a - v_s</math>.</ref> und bei gleichbleibendem Verhältnis dieser beiden Geschwindigkeiten umgekehrt proportional zu jeder derselben.<ref group="Anm." name="anm2">(Mit <math>v_a \neq 0</math>) sei weiter <math>q = \frac{v_s}{v_a}</math> das Verhältnis der Geschwindigkeiten, sodass <math> v_s = q \cdot v_a </math>, (mit <math> v_s \neq 0</math>) auch <math>\frac{1}{v_a}=\frac{q}{v_s}</math>. Wegen <math>v_a - v_s \neq 0 </math> ist <math>q \neq 1 </math>, und der Ausdruck für <math>t</math> lässt sich weiter umformen:
Dasein betrachten, wir dieses Zusammenspiel sozusagen von sonnenhafter
Lichtkraft und saturnischer Dunkelkraft als eine Notwendigkeit
unseres Daseins ansehen müssen. Wenn die Elohim also
über das Weben der Lichtkraft, über jene Arbeit, welche geleistet
wird an uns Menschen oder an den Wesenheiten der Erde überhaupt
während der Einwirkung des Lichtes, die Geister der Persönlichkeit
als ihre Unterwesen einsetzten, so mußten sie ihnen als
Genossen die zurückgebliebenen saturnischen Wesenheiten beigeben.
Sie mußten die gesamte Arbeit des Universums zusammenweben
lassen aus den richtig fortgeschrittenen und den zurückgebliebenen
Archai. Die zurückgebliebenen Archai wirken in der
Finsternis. Daher stellen die Elohim, trivial gesprochen, nicht bloß
die Wesenheiten an, die mit jom bezeichnet werden, sondern sie
stellen ihnen entgegen diejenigen, die in der Dunkelkraft wirken.
Und es heißt daher mit wunderbar realistischer Schilderung des
Tatbestandes: Und die Elohim, sie nannten das, was als Geister im
Licht wob, [[jom]], Tag; das aber, was in der Finsternis wob, das nannten
sie [[lajlah]]. — Und das ist nicht unsere abstrakte Nacht, das sind
die saturnischen Archai, die damals nicht bis zur Sonnenstufe vorgedrungen
waren, und das sind auch diejenigen, die heute noch in
uns wirksam sind während des Nachtschlafes, indem sie an unserem
physischen und Ätherleib als aufbauende Kräfte wirken.|122|101f}}


Im [[Leben zwischen Tod und neuer Geburt]] wird mit diesen Kräften hingegen ganz bewusst die nächste irdische [[Inkarnation]] vorbereitet.
<math>t = \frac{s_0}{v_a - v_s} = \frac{s_0}{v_a - q \cdot v_a} = \frac{s_0}{v_a \cdot (1 - q)} = \frac{q \cdot s_0}{v_s \cdot (1 - q)} </math>;
für konstantes Verhältnis <math>q</math> der beiden Geschwindigkeiten zeigen die letzten beiden Brüche die im Text behauptete umgekehrte Proprotionalität der Zeit <math>t</math> zu <math>v_a</math> bzw. <math>v_s</math>. Die umgekehrte Proportionalität von <math>t</math> zu <math>v_s</math> bedeutet, dass Achilles die Schildkröte ''eher'' trifft, wenn jene  ''schneller'' läuft. Das könnte zunächst verwundern; vorausgesetzt ist hier aber, dass in diesem Fall auch Achilles ''um den gleichen Faktor'' schneller läuft wie die Schildkröte (da <math>q</math> als konstant vorausgesetzt wird).</ref>
[[Image:Race_between_Achilles_and_the_tortoise.gif|thumb|250px| Ein geometrischer Beweis mittels des [[Strahlensatz]]es, der auch den Griechen möglich war. (Optimalerweise wählt man am Ursprung für Achilles einen 45°-Winkel.)]]
Zenons Trugschluss beruht auf zwei Fehlern:<ref>Nach Peter Janich:„Achilles und die Schildkröte“, in: Jürgen Mittelstraß (Hrsg.): ''Enzyklopädie Philosophie und Wissenschaftstheorie'', Band&nbsp;1, Metzler Stuttgart 1995, Nachdruck 2004, Seite&nbsp;41, ISBN 3-476-02012-6</ref>
# Er berücksichtigt nicht, dass eine unendliche [[Reihe (Mathematik)|Reihe]] eine endliche Summe haben kann.<ref name="anm3" group="Anm.">Es ist – heute – möglich, auch mit Zenons Ansatz die Zeit <math>t</math> auszurechnen, nach der Achilles die Schildkröte einholt. - Sei <math>s_0</math> wie oben der Vorsprung der Schildkröte zu Beginn des Rennens, <math>t_0</math> die Zeit, die Achilles benötigt, um <math>s_0</math> zurückzulegen. Ferner sei die Schildkröte <math>q</math>-mal langsamer als Achilles.
Dann holt Achilles die Schildkröte nach der Zeit <math>t_0 \cdot q</math> ein weiteres Mal ein, nach der Zeit <math>(t_0 \cdot q) \cdot q = t_0 \cdot q^2</math> ein drittes Mal usw.
Mit <math>q^0 = 1</math> ist die Summe aller von Zenon betrachteten Zeiten, die Achilles zurücklegt:


{{GZ|Da, wo es mit Bezug auf
::<math>t =  t_0 \cdot \sum_{n=0}^\infty q^n  =  t_0 \cdot \lim_{n \to \infty} \sum_{k=0}^{n} q^{k} = t_0 \cdot \lim_{n \to \infty} \frac{1 - q^{n+1}}{1 -q}  = \frac{t_0}{1 -q}</math>.
das Paradiesesleben heißt: Der göttliche Geist beschloß, daß der
Mensch, nachdem er sich dieses oder jenes angeeignet hat, zum Beispiel
die Urteilsfähigkeit über Gut und Böse, nicht auch erhalten solle
einen Einblick in die Kräfte des Lebens. - Da ist die Stelle, wo in der
Bibel aufmerksam gemacht wird, daß der Mensch nicht mit ansehen
soll die Wiederbelebung seines Wesens während des Schlafes, überhaupt
nicht mit ansehen soll die Wiederbelebung seines Wesens während
seines physischen Erdendaseins. Dessen soll er nicht Zeuge sein.
Und wenn der Mensch aufwacht, ist der ganze Lebensprozeß eigentlich
ein Zerstörungsprozeß, ein Abnutzungsprozeß [...]


Das wird nun anders in dem [[Leben zwischen dem Tode und der neuen Geburt]]. Dieses ganze Leben zwischen dem Tode und der
Es ist möglich, aber nicht zwingend erforderlich, <math>q</math> wie oben als Quotienten <math>\frac{v_s}{v_a}</math> zweier Geschwindigkeiten aufzufassen. Dann ist mit <math>t_0 = \frac{s_0}{v_a}</math> weiter:
neuen Geburt ist ja dazu bestimmt, in die menschliche Wesenheit die
Kräfte hereinzubekommen, welche dem Aufbau des nächsten Lebens
dienen können, diese Kräfte sozusagen hereinzusaugen in die menschliche
Wesenheit aus der gesamten Sternenwelt. Nun aber ist es bei
diesem Vorgang nicht so, wie es auf der Erde ist, daß man sozusagen
sich als Mensch selber gar nicht kennt. Denn auf der Erde kennt man
sich ja nicht. Was weiß der Mensch von den Vorgängen, die in seinem
Organismus stattfinden? Nichts weiß er davon durch unmittelbare Anschauung;
und was durch die Anatomie, durch die Biologie und so
weiter gewonnen wird, ist ja kein wirkliches Wissen von der menschlichen
Wesenheit, sondern etwas ganz anderes. Aber in dem Leben
zwischen Tod und neuer Geburt schaut der Mensch an, wie die
Kräfte aus der Sternenwelt auf ihn, auf seine Wesenheit wirken, wie sie
ihn nach und nach wieder aufbauen.|141|73}}


{{GZ|Dieser Baum des Lebens und
::<math>t = \frac{t_0}{1 -q} =
dieser Baum der Erkenntnis muß mit dem Menschenwesen selbst etwas
\frac{s_0}{v_a -q \cdot v_a} = \frac{s_0}{v_a -v_s};</math>
zu tun haben. Das Verbot, von dem Baum der Erkenntnis zu essen,
das heißt ja - das werden Sie zuletzt herausbekommen -, daß die
Seele des Menschen nicht Erkenntnis suchen soll, die am physischen
Leib haftet; daraus ist ja die jetzige sinnliche Anschauung entstanden.
«Essen von dem Baum der Erkenntnis» heißt, eben so sich verbinden
mit dem physischen Leib, daß dadurch die jetzige - und ich
habe sie ja neulich geschildert - von Luzifer bewirkte Art von Erkenntnis
entstanden ist. Also meinten die Elohim etwas am Menschenwesen
selber, indem sie vom Baum der Erkenntnis sprachen.
Und wiederum müssen sie etwas am Menschenwesen selber meinen,
wenn sie vom Baum des Lebens sprechen. Da muß man sich
fragen: Ja, wodurch sieht denn der Mensch so, wie er heute sieht?
Wodurch nimmt er denn so wahr? Indem sein Geistig-Seelisches,
durchtränkt von Luzifers Wesenheit, eingebettet ist in den physischen
Leib und an diesem zehrt. Dies war nicht von vornherein bestimmt,
daß die Seele so wie jetzt eingebettet ist in den physischen
Leib. Dieser physische Leib ist der Baum der Erkenntnis, und der
Baum des Lebens ist der Ätherleib. Die Menschen sollten, nachdem
sie sich von Luzifer haben verführen lassen, ihren physischen Leib
zu der uns gewohnten Erkenntnis benützen, nun wenigstens nicht
auch noch dazu haben die Erkenntnis durch den Ätherleib. Es wird
ihnen dies verwehrt.


Wenn man wirklich denkt, meine lieben Freunde, so kann man
die [[Geometrische Reihe#Konvergenz und Wert der geometrischen Reihe|konvergente geometrischen Reihe]] <math>t_0 \cdot \sum_{n=0}^\infty q^n </math> ergibt also das gleiche Ergebnis für <math>t</math> wie die Rechnung in Anmerkung 1 ohne Zerlegung von <math>t</math> nach Zenons Ansatz. Die Reihe erfüllt wegen <math>0<q<1</math> ein [[Konvergenzkriterium]], sodass [[Grenzwert (Folge)|Grenzwertrechnung]] ihr genau eine (exakte, als "Grenzwert" bezeichnete) Zahl zuordnet, die sie ''im Unendlichen erreicht''.
zu solchen Gedankengängen kommen. Und dann muß man sich fragen:
Warum aber nennen denn nun die Götter in ihrer Sprache den
physischen Leib den Baum der Erkenntnis? Warum sprechen sie
von einem Baum? Und warum nennen sie denn den Ätherleib den
Baum des Lebens? Warum sprechen sie denn von Bäumen?


Nun, man kann leicht begreifen, was in der Sprache der Götter
Eine solche [[Mathematik]] war Zenon augenscheinlich nicht bekannt.</ref><ref name="anm3.2" group="Anm.">Sainsbury zeigt in ''Paradoxien'' die Unbestimmtheit des Problems anhand der Zweiteilung: Die Länge zwei wird halbiert, in zwei Längen eins, dann weiter eine Länge eins in zwei halbe, davon wieder eine halbe in zwei viertel und so weiter. Es ist offensichtlich, dass dabei die Zwei nicht überschritten wird, noch sich die Zeit dehnt. Es ist vielmehr der verbleibende Rest stehts klar: identisch mit dem letzten Teilungsglied (oben ein viertel). (Es scheint somit kein Ziel Zenons zu sein, zu zeigen, dass das Rennen ewig währt noch unbestimmt lang ist. Als Argument bleibt, ähnlich wie beim Pfeilparadoxon, die Unmöglichkeit (in Einklang mit den fehlenden Aussagen der Mathematik über Unendlich bzw. ggf. Null) das Ziel zu erreichen.) </ref>
gemeint ist, wenn man bedenkt, daß die Götter, von denen die Rede
# Der Weg, den Achilles von seinem Ausgangspunkt bis zum Zusammentreffen mit der Schildkröte zurücklegt, kann beliebig oft –&nbsp;formal unendlich oft&nbsp;– in Vorsprünge der Schildkröte unterteilt werden. Aus der Tatsache, dass diese Teilungshandlung beliebig oft vorgenommen werden kann, folgt aber nicht, dass die zu durchlaufende Strecke unendlich wäre,<ref name="anm4" group="Anm.">Mit Zenons Ansatz lässt sich auch der Weg <math>s</math> ausrechnen, den Achilles im Zeitraum <math>t</math> (von seinem Startpunkt bis zum Einholen der Schildkröte) zurücklegt. - In der Rechnung in Anmerkung 3 ist nur <math>t</math> bzw. <math>t_0</math> durch <math>s</math> bzw. <math>s_0</math> zu ersetzen:
ist, ihre besondere Evolution während der Sonnenzeit hatten, also
gerade vom Sonnenwesen etwas Wesentliches aufgenommen haben.
Nun überlegen Sie sich einmal: alte Saturnzeit - alles steht auf dem
Standpunkt des Mineralischen; alte Sonnenzeit - alles steht auf der
Stufe des Pflanzlichen. Wenn die Götter, die wir die Elohim nennen,
sich den Charakter ihrer Sprache also während der Sonnenzeit
angeeignet haben, so werden sie, wenn sie sich aussprechen, nicht
von dem sprechen, was man erst auf dem Mond und auf der Erde erleben
kann, sondern von dem, wozu sich der Kosmos bis zur Sonnenzeit
entwickelt hat, nämlich dem Pflanzenhaften. Deshalb sprechen
sie, wenn sie in ihrer Sprache sprechen, von Bäumen, weil sie
in der Sonnensprache sprechen.|253|60f}}


Durch den Sündenfall wurde [[Adam]] also ein Teil der Kräfte seines [[Ätherleib]]s entzogen; nachdem er vom [[Baum der Erkenntnis]] gegessen hatte, sollte er nicht auch noch vom Baum des Lebens kosten. Der [[luziferisch]]e Einfluss erstreckte seine Wirkungen auch in den Astralleib dieses Hauptpaares Adam und [[Eva]], so dass es unmöglich war, alle die Kräfte, die in Adam und Eva waren, auch herunterfließen zu lassen durch das [[Blut]] der Nachkommen. Den [[Physischer Leib|physischen Leib]] musste man durch alle die Geschlechter herunter sich fortpflanzen lassen, aber von dem Ätherleib behielt man in der Leitung der Menschheit etwas zurück.  
::<math>s =  s_0 \cdot \sum_{n=0}^\infty q^n  =  \frac{s_0}{1 -q}</math>.
Werden Geschwindigkeiten eingeführt, so ist ohne Zerlegung in Teilwege unter Benutzung obiger Darstellung von <math>t</math>:
:: <math>s = v_a \cdot t = \frac{v_a  \cdot s_0}{v_a -v_s} </math>;
Ausklammern von <math>v_a</math> im Nenner und Kürzen liefert das gleiche Ergebnis wie die konvergente Reihe.
</ref> oder dass unendlich viel Zeit erforderlich wäre, sie zurückzulegen.


Adam wurde nun auch viel tiefer in die irdische [[Stoff]]lichkeit versetzt, als das vorher der Fall gewesen war. Nun erst begann die Zeit, wo sich der Mensch bis in das feste [[Erdenelement]] hinein [[inkarnieren]] konnte, in jenes kristalline Erdelement, das überhaupt erst durch den [[Mond]]austritt entstanden war. Diese tiefergehende Verkörperung war dadurch möglich, dass mit dem Mond die gröbsten, die sprödesten [[Substanz]]en aus der [[Erde (Planet)|Erde]] herausgegangen waren. Jetzt beginnt aber auch erst die Zeit, von der an der Mensch sein eigenständiges [[Ich]] zu entwickeln begann, das vorher noch ganz im Schoß der [[Geistige Welt|geistigen Welt]] beschlossen war.
Es gibt unterschiedliche Ansichten darüber, was Zenon mit seinen „Paradoxien“ zeigen wollte. Häufig wird vermutet, dass sie die Eleatische These (siehe [[Parmenides von Elea]]) stützen sollten, der zufolge es in der Wirklichkeit keine Vielheit, sondern nur ein einziges unveränderliches und unzerstörbares Ganzes gebe, und dass die Alltagswahrnehmung von Vielfalt und Bewegung bloßer Schein sei. Sicher ist jedoch, dass diese antike Überlegung zur Begriffsbildung der [[Unendlichkeit]] beigetragen hat und auch heute noch als Lehrbeispiel verwendet wird.


Ein Teil der Kräfte des Ätherleibs wurde also Adam genommen und ging folglich auch nicht auf seine Nachkommen über. Dieser Teil wurde, wie sich [[Rudolf Steiner]] ausdrückt, aufbewahrt in der ''großen Mutterloge der Menschheit''. Der unschuldige Teil der Adamseele, gleichsam der unschuldigen himmlischen Schwesterseele des irdischen Adam, wurde später, viel später, dem [[Nathanischer Jesus|nathanischen Jesusknaben]] als „provisorisches Ich“, wie Rudolf Steiner sagt, eingegliedert. Der von den luziferischen Mächten frei gebliebene Teil des Stammvaters der Menschheit, der alte Adam, wurde nun als neuer Adam in dem nathanischen Jesuskindlein wiedergeboren. Zurecht spricht Rudolf Steiner hier von einem provisorischen Ich, denn von einem eigentlichen menschlichen Ich kann ja zunächst nicht die Rede sein, da diese unschuldige Schwesterseele des irdischen Adam vor der Zeitenwende noch niemals in irdischen Verhältnissen inkarniert gewesen war, die Entfaltung des menschlichen Ichs aber ohne irdische [[Inkarnation]] nicht möglich ist.
Das Paradoxon ist nicht direkt überliefert, sondern findet sich in [[Aristoteles]]’ [[Physik (Aristoteles)|Physik]]<ref>VI,9,239b14-240a18 in der Formulierung, dass „auch das langsamste Tier im Laufe nicht eingeholt werden könne vom schnellsten, da der Verfolger immer erst dahin kommen müsse, von wo das fliehende Tier fortgelaufen ist, so daß das langsamere immer einen Vorsprung behalte“.</ref><ref>{{Internetquelle |url=http://remacle.org/bloodwolf/philosophes/Aristote/physique6gr.htm#144 |titel=Altgriechischer Originaltext in ''Aristoteles: Physik.'' (siehe im Bildschirmausschnitt §4) |archiv-url=https://web.archive.org/web/20080516213308/http://remacle.org/bloodwolf/philosophes/Aristote/physique6gr.htm#144 |archiv-datum=2008-05-16 |zugriff=2013-10-16 }}</ref> und [[Simplikios]]’ Kommentar<ref>Simplicius: ''On Aristotle’s Physics'' 1014,10, vgl.: Readings in Ancient Greek Philosophy From Thales to Aristotle, hg. S. M. Chohen / P. Curd / C. D. C. Reeve, Indianapolis/Cambridge: Hackett 1995, 58f</ref> dazu.


{{GZ|Die Menschen haben genossen von dem Baume der Erkenntnis des Guten und Bösen, das heißt, was von dem luziferischen Einfluß kam; aber es wurde auch gesagt: Jetzt müssen wir ihnen die Möglichkeit nehmen, auch zu genießen von dem Baume des Lebens! Das heißt, es wurde eine gewisse Summe von Kräften des Ätherleibes zurückbehalten. Die flossen jetzt nicht auf die Nachkommen herunter. Es war also in Adam eine gewisse Summe von Kräften, die ihm nach dem Sündenfalle genommen wurden. Dieser noch unschuldige Teil des Adam wurde aufbewahrt in der großen Mutterloge der Menschheit, wurde dort gehegt und gepflegt. Das war sozusagen die Adam-Seele, die noch nicht berührt war von der menschlichen Schuld, die noch nicht verstrickt war in das, wodurch die Menschen zu Fall gekommen sind. Diese Urkräfte der Adam-Individualität wurden aufbewahrt. Sie waren da, und sie wurden jetzt als "provisorisches Ich" dahin geleitet, wo dem Joseph und der Maria das Kind geboren wurde, und in den ersten Jahren hatte dieses Jesuskind die Kraft des ursprünglichen Stammvaters der Erdenmenschheit in sich.|114|89}}
Verwandte Paradoxa, die Zenon zugeschrieben werden, sind das [[Teilungsparadoxon]] und das [[Pfeil-Paradoxon]]. Inhaltlich nicht verwandt mit dem Zenonischen Paradox ist ein von [[Lewis Carroll]] in seinem kurzen Dialog ''[[What the Tortoise Said to Achilles]]''<ref>Mind&nbsp;'''1'''(1895), S.&nbsp;278–280.</ref> (''Was die Schildkröte zu Achilles sagte'') vorgestelltes Argument, mit dem er den Unterschied zwischen objekt- und metasprachlicher [[Implikation]] thematisiert und das gelegentlich als Carroll-Paradox bezeichnet wird.<ref>hierzu siehe zum Beispiel Pascal Engel: ''[http://jeannicod.ccsd.cnrs.fr/ijn_00000571/en/ Dummett, Achilles and the tortoise]'', In: L. Hahn / R. Auxier (Hgg.): ''The philosophy of Michael Dummett (Library of Living philosophers)'', La Salle, Ill.: Open Court 2005.</ref>


Dass der Mensch die Herrschaft über die höchsten Ätherkräfte verloren hat, beeinflusst auch sein [[Seelenleben]] entscheidend, denn die [[Seelenfähigkeiten]] des Menschen korrespondieren mit den Ätherkräften. Drei Seelentätigkeiten des Menschen können wir zunächst unterscheiden, nämlich [[Denken]], [[Fühlen]] und [[Wollen]]. Diese Tätigkeiten spielen sich im [[Astralleib]] ab, hängen aber wie folgt mit den verschiedenen Ätherkräften zusammen: Das Wollen mit dem [[Wärmeäther]], das Fühlen mit dem [[Lichtäther]]. Diese beiden Ätherarten sind unter die Herrschaft des Menschen gestellt und können vom Menschen willkürlich benutzt werden. Fühlen und Wollen tragen daher ein individuelles Gepräge.
== Siehe auch ==
* {{WikipediaDE|Achilles und die Schildkröte}}
* {{WikipediaDE|Infinitesimalrechnung}}


<center>
== Literatur ==
{| width="600px" |
* Max Black: ''Achilles and the Tortoise'', in: Analysis 11 (1950), S. 91–101.
|-
* Simon Blackburn: ''Practical Tortoise Raising'', in: Mind 104 (1995), S. 696–711.
| <poem>[[Lebensäther]]
* S. Brown: ''What the Tortoise taught us'', in: Mind 63 (1954), S. 170–179.
[[Klangäther]]
* Florian Cajori: ''The Purpose of Zeno’s Arguments on Motion'', in: Isis 3/1 (1920), S. 7–20.
[[Lichtäther]]
* L. Carroll (C.L. Dogson): ''What the Tortoise said to Achilles'', in: Mind 104 (1995), S. 278–280.
[[Wärmeäther]]</poem>
* M. Clark: ''Paradoxes, from A to Z'', Routledge, London 2000.
|| <poem>innerer Sinn der Gedanken
* Pascal Engel: ''[http://jeannicod.ccsd.cnrs.fr/ijn_00000571/en/ Dummett, Achilles and the tortoise]'', in: L. Hahn / R. Auxier (Hrsg.): ''The philosophy of Michael Dummett (Library of Living philosophers)'', La Salle, Ill.: Open Court 2005.
[[Denken]], [[Sprache]]
* Adolf Grünbaum: ''Modern Science and Zeno’s Paradoxes'', Middletown: Wesleyan University Press 1967.
[[Fühlen]]
* Andrew Harrison: ''Zeno’s Paper Chase'', in: Mind 76/304 (1967), S. 568–575.
[[Wollen]]</poem>
* J. M. Hinton / C. B. Martin: ''Achilles and the Tortoise'', in: Analysis 14/3 (1954), S. 56–68.
|| <poem>noch nicht individualisiert
* C. V. Jones: ''Zeno’s paradoxes and the first foundations of mathematics'' (Spanish), in: Mathesis 3/1 1987.
 
* S. Makin: Art. ''Zeno of Elea'', in: Routledge Encyclopedia of Philosophy 9, London 1998, S. 843–853.
individuell
* R. Morris: ''Achilles in the Quantum Universe'', Redwood Books, Trowbridge, Wiltshire 1997.
 
* Jorge Luis Borges: Zwei Essays in ''Kabbala und Tango'', S. Fischer Verlag, 1991.
</poem>
* Aloys Müller: ''Das Problem des Wettlaufs zwischen Achill und der Schildkröte'', in: Archiv für Philosophie 2 (1948), S. 106–111.
|}
* Stanislaus Quan: ''The Solution of Zeno’s First Paradox'', in: Mind 77/306 (1968), S. 206–221.
</center>
* W. D. Ross: ''Aristotle’s Physics'', Oxford: Clarendon 1936, xi-xii <small>Bibliographie älterer Literatur zu den Paradoxien der Bewegung</small>, S. 70–85 u.ö.<small> Kommentar zu den Abschnitten bei Aristoteles</small>.
 
* Bertrand Russell: ''Our Knowledge of the External World'', Open Court, London/Chicago 1914, Kap. 5 und 6.
Nicht so ist es mit dem [[Denken]]. Wir können zwar den Gedanken willentlich eine bestimmte Richtung geben, die Denkgesetze selbst aber – und insbesondere der innere Sinn der Gedanken, die eigentlich [[begriff]]lichen Elemente - sind überindividuell, sind allgemein-menschlich. Wirklich wach sind wir im Denken nur dort, wo wir logische Schlüsse ziehen. Schon indem wir uns [[Urteil]]e bilden, träumen wir nur und die Begriffsbildung wird in Wahrheit verschlafen.  
* Richard Mark Sainsbury: ''Paradoxien'', Reclam, Stuttgart 2001 (=Reclams Universal-Bibliothek 18135), ISBN 3-15-018135-6.
 
* Wesley C. Salmon (Hrsg.): ''Zeno’s paradoxes'', Hacket, Indianapolis 1970, Nachdruck 2001, ISBN 0-87220-560-6.
Das gilt auch für den sprachlichen Ausdruck der Gedanken. Die [[Sprache]] ist heute noch Volkssprache und nicht eine individuell schöpferisch hervorgebrachte. Das wird sich aber in Zukunft ändern, wenn wir die Kräfte des Baums des Lebens, also die höheren Ätherarten, unter unsere individuelle Herrschaft bringen. Dann werden wir in der Sprache und auch im Denken bis in den inneren Sinn der Gedanken hinein schöpferisch tätig werden. {{GZ||114|147ff}}
* Wesley C. Salmon: ''Space, Time and Motion'', Enrico, California and Belmont, California, Dickenson Publishing Co., Inc. 1975, Kap. 2
* T. Smiley: ''A Tale of Two Tortoises'', in: Mind 104 (1995), S. 725–736.
* Roy Sorensen: ''A Brief History of the Paradox'', Oxford University Press 2003.
* L. E. Thomas: ''Achilles and the Tortoise'', in: Analysis 12/4 (1952), S. 92–94.
* J. F. Thomson: ''What Achilles should have said to the Tortoise'', in: Ratio 3 (1960), S. 95–105.


Diese sprachschöpferischen Kräfte bringt der [[Nathanischer Jesus|nathanische Jesusknabe]] bereits bei seiner irdischen Geburt mit.  
== Weblinks ==
{{wikiquote|Arnfrid Astel}}
* Christoph Bock: [http://www.drchristophbock.de/ElAna.pdf Elemente der Analysis] (PDF; 1,2&nbsp;MB) S. 59f
* {{SEP|http://plato.stanford.edu/entries/paradox-zeno/#3.2|Zeno’s Paradoxes|Nick Huggett}}
* [http://mathworld.wolfram.com/ZenosParadoxes.html Eintrag] in Wolfram’s Math World (Englisch, mit weiterer Literatur)
* [http://www.philosophy.ubc.ca/faculty/savitt/Courses/Phil462A/ZENO.pdf Lecture Notes] von S. Savitt (Philosophiedozent an der University of British Columbia, englisch; PDF-Datei; 71&nbsp;kB)
* [http://philsci-archive.pitt.edu/archive/00001197/1/Zeno_s_Paradoxes_-_A_Timely_Solution.pdf Peter Lynds]: Zeno‘s Paradoxes: A Timely Solution (Englisch mit weiterer Literatur; PDF-Datei; 166&nbsp;kB)
* [http://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/article.php?sid=950 Matheplanet-Artikel]
* Ulrich Eckhardt: [http://itwiki.math.uni-hamburg.de/home/eckhardt/Zenon.pdf Die Schildkröte des Zenon von Elea. Gedanken eines Mathematikers über das Unendliche] (PDF; 320&nbsp;kB)
* ''Zenon und die Zeitlupe.'' in: Wolfram Heinrich: ''Zenon, Achilles und die Schildkröte. Der vergessene Denker Costabile Matarazzo.'' [http://www.theodor-rieh.de/heinrich/Matarazzo.html]@theodor-rieh.de und [https://www.freitag.de/autoren/wolfram-heinrich/der-vergessene-denker-costabile-matarazzo]@freitag.de


{{GZ|Daher jenes wunderbare
== Einzelnachweise ==
Ereignis, das uns die Akasha-Chronik enthüllt, daß dieses
<references />
Kind, der nathanische Jesusknabe, unmittelbar nach seiner Geburt nur
seiner Mutter verständliche Laute hervorbrachte, Laute, die nicht ähnlich
waren einer der gesprochenen Sprachen der damaligen Zeit oder
irgendeiner Zeit, aus denen aber herausklang für die Mutter etwas wie
eine Botschaft aus Welten, die nicht die Erdenwelten sind, eine Botschaft
aus höheren Welten. Daß dieses Jesuskind sprechen konnte, bei
seiner Geburt alsbald sprechen konnte, das ist das Wunderbare!|150|108}}


Was der nathanische Jesus so unmittelbar aus seinem Inneren heraus sprach, ohne dabei eine äußere Sprache nachzuahmen, war unmittelbar aus dem [[Weltenwort]], aus dem [[Logos]], also dem [[Christus]], geschöpft. Im höchsten Sinn erfüllte sich hier das paulinische Wort. „[[Nicht ich, sondern der Christus in mir]].“
== Anmerkungen ==
 
<references group="Anm." />
== Siehe auch ==
* [[Paradieses-Imagination]]
* [[Paradiesesbaum]]
* [[Lebensbaum]]
* [[Weltenbaum]]
* [[Weltesche Yggdrasil]]
* [[Ask und Embla]]
 
== Literatur ==
* [[Rudolf Steiner]]: ''Das Lukas-Evangelium'', [[GA 114]] (2001) {{Vorträge|114}}
* [[Rudolf Steiner]]: ''Die Geheimnisse der biblischen Schöpfungsgeschichte'', [[GA 122]] (1984), ISBN 3-7274-1220-8 {{Vorträge|122}}
* [[Rudolf Steiner]]: ''Das Leben zwischen dem Tode und der neuen Geburt im Verhältnis zu den kosmischen Tatsachen'', [[GA 141]] (1997), ISBN 3-7274-1410-3 {{Vorträge|141}}
* [[Rudolf Steiner]]: ''Die Welt des Geistes und ihr Hereinragen in das physische Dasein'', [[GA 150]] (1980) {{Vorträge|150}}
* [[Rudolf Steiner]]: ''Probleme des Zusammenlebens in der Anthroposophischen Gesellschaft'', [[GA 253]] (1989) {{Vorträge|253}}
* [[Rudolf Steiner]]: ''Zur Geschichte und aus den Inhalten der erkenntniskultischen Abteilung der Esoterischen Schule von 1904 bis 1914'', [[GA 265]] (1987), ISBN 3-7274-2650-0 {{Schule|265}}


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Version vom 11. Juni 2019, 19:16 Uhr

Als Paradoxon von Achilles und der Schildkröte wird einer von mehreren bekannten Trugschlüssen bezeichnet, die dem antiken griechischen Philosophen Zenon von Elea zugeschrieben werden (weitere siehe dort). Darin wird versucht zu belegen, dass ein schneller Läufer wie Achilles bei einem Wettrennen eine Schildkröte niemals einholen könne, wenn er ihr einen Vorsprung gewähre. Der Gang des Arguments ist folgender:

Bevor Achilles die Schildkröte überholen kann, muss er zuerst ihren Vorsprung einholen. In der Zeit, die er dafür benötigt, hat die Schildkröte aber einen neuen, wenn auch kleineren Vorsprung gewonnen, den Achilles ebenfalls erst einholen muss. Ist ihm auch das gelungen, hat die Schildkröte wiederum einen – noch kleineren – Weg-Vorsprung gewonnen und so weiter. Der Vorsprung, den die Schildkröte hat, werde zwar immer kleiner, bleibe aber dennoch immer ein Vorsprung, sodass sich der schnellere Läufer der Schildkröte zwar immer weiter nähere, sie aber niemals einholen und somit auch nicht überholen könne.

Tatsächlich wird ein Schnellerer einen Langsameren aber immer einholen, sofern er dafür nur genügend Zeit hat. Die zum Einholen benötigte Zeit ist proportional zum Vorsprung und umgekehrt proportional zur Differenz der Geschwindigkeiten der beiden Läufer[Anm. 1] und bei gleichbleibendem Verhältnis dieser beiden Geschwindigkeiten umgekehrt proportional zu jeder derselben.[Anm. 2]

Ein geometrischer Beweis mittels des Strahlensatzes, der auch den Griechen möglich war. (Optimalerweise wählt man am Ursprung für Achilles einen 45°-Winkel.)

Zenons Trugschluss beruht auf zwei Fehlern:[1]

  1. Er berücksichtigt nicht, dass eine unendliche Reihe eine endliche Summe haben kann.[Anm. 3][Anm. 4]
  2. Der Weg, den Achilles von seinem Ausgangspunkt bis zum Zusammentreffen mit der Schildkröte zurücklegt, kann beliebig oft – formal unendlich oft – in Vorsprünge der Schildkröte unterteilt werden. Aus der Tatsache, dass diese Teilungshandlung beliebig oft vorgenommen werden kann, folgt aber nicht, dass die zu durchlaufende Strecke unendlich wäre,[Anm. 5] oder dass unendlich viel Zeit erforderlich wäre, sie zurückzulegen.

Es gibt unterschiedliche Ansichten darüber, was Zenon mit seinen „Paradoxien“ zeigen wollte. Häufig wird vermutet, dass sie die Eleatische These (siehe Parmenides von Elea) stützen sollten, der zufolge es in der Wirklichkeit keine Vielheit, sondern nur ein einziges unveränderliches und unzerstörbares Ganzes gebe, und dass die Alltagswahrnehmung von Vielfalt und Bewegung bloßer Schein sei. Sicher ist jedoch, dass diese antike Überlegung zur Begriffsbildung der Unendlichkeit beigetragen hat und auch heute noch als Lehrbeispiel verwendet wird.

Das Paradoxon ist nicht direkt überliefert, sondern findet sich in Aristoteles’ Physik[2][3] und Simplikios’ Kommentar[4] dazu.

Verwandte Paradoxa, die Zenon zugeschrieben werden, sind das Teilungsparadoxon und das Pfeil-Paradoxon. Inhaltlich nicht verwandt mit dem Zenonischen Paradox ist ein von Lewis Carroll in seinem kurzen Dialog What the Tortoise Said to Achilles[5] (Was die Schildkröte zu Achilles sagte) vorgestelltes Argument, mit dem er den Unterschied zwischen objekt- und metasprachlicher Implikation thematisiert und das gelegentlich als Carroll-Paradox bezeichnet wird.[6]

Siehe auch

Literatur

  • Max Black: Achilles and the Tortoise, in: Analysis 11 (1950), S. 91–101.
  • Simon Blackburn: Practical Tortoise Raising, in: Mind 104 (1995), S. 696–711.
  • S. Brown: What the Tortoise taught us, in: Mind 63 (1954), S. 170–179.
  • Florian Cajori: The Purpose of Zeno’s Arguments on Motion, in: Isis 3/1 (1920), S. 7–20.
  • L. Carroll (C.L. Dogson): What the Tortoise said to Achilles, in: Mind 104 (1995), S. 278–280.
  • M. Clark: Paradoxes, from A to Z, Routledge, London 2000.
  • Pascal Engel: Dummett, Achilles and the tortoise, in: L. Hahn / R. Auxier (Hrsg.): The philosophy of Michael Dummett (Library of Living philosophers), La Salle, Ill.: Open Court 2005.
  • Adolf Grünbaum: Modern Science and Zeno’s Paradoxes, Middletown: Wesleyan University Press 1967.
  • Andrew Harrison: Zeno’s Paper Chase, in: Mind 76/304 (1967), S. 568–575.
  • J. M. Hinton / C. B. Martin: Achilles and the Tortoise, in: Analysis 14/3 (1954), S. 56–68.
  • C. V. Jones: Zeno’s paradoxes and the first foundations of mathematics (Spanish), in: Mathesis 3/1 1987.
  • S. Makin: Art. Zeno of Elea, in: Routledge Encyclopedia of Philosophy 9, London 1998, S. 843–853.
  • R. Morris: Achilles in the Quantum Universe, Redwood Books, Trowbridge, Wiltshire 1997.
  • Jorge Luis Borges: Zwei Essays in Kabbala und Tango, S. Fischer Verlag, 1991.
  • Aloys Müller: Das Problem des Wettlaufs zwischen Achill und der Schildkröte, in: Archiv für Philosophie 2 (1948), S. 106–111.
  • Stanislaus Quan: The Solution of Zeno’s First Paradox, in: Mind 77/306 (1968), S. 206–221.
  • W. D. Ross: Aristotle’s Physics, Oxford: Clarendon 1936, xi-xii Bibliographie älterer Literatur zu den Paradoxien der Bewegung, S. 70–85 u.ö. Kommentar zu den Abschnitten bei Aristoteles.
  • Bertrand Russell: Our Knowledge of the External World, Open Court, London/Chicago 1914, Kap. 5 und 6.
  • Richard Mark Sainsbury: Paradoxien, Reclam, Stuttgart 2001 (=Reclams Universal-Bibliothek 18135), ISBN 3-15-018135-6.
  • Wesley C. Salmon (Hrsg.): Zeno’s paradoxes, Hacket, Indianapolis 1970, Nachdruck 2001, ISBN 0-87220-560-6.
  • Wesley C. Salmon: Space, Time and Motion, Enrico, California and Belmont, California, Dickenson Publishing Co., Inc. 1975, Kap. 2
  • T. Smiley: A Tale of Two Tortoises, in: Mind 104 (1995), S. 725–736.
  • Roy Sorensen: A Brief History of the Paradox, Oxford University Press 2003.
  • L. E. Thomas: Achilles and the Tortoise, in: Analysis 12/4 (1952), S. 92–94.
  • J. F. Thomson: What Achilles should have said to the Tortoise, in: Ratio 3 (1960), S. 95–105.

Weblinks

 Wikiquote: Arnfrid Astel – Zitate

Einzelnachweise

  1. ↑ Nach Peter Janich:„Achilles und die Schildkröte“, in: Jürgen Mittelstraß (Hrsg.): Enzyklopädie Philosophie und Wissenschaftstheorie, Band 1, Metzler Stuttgart 1995, Nachdruck 2004, Seite 41, ISBN 3-476-02012-6
  2. ↑ VI,9,239b14-240a18 in der Formulierung, dass „auch das langsamste Tier im Laufe nicht eingeholt werden könne vom schnellsten, da der Verfolger immer erst dahin kommen müsse, von wo das fliehende Tier fortgelaufen ist, so daß das langsamere immer einen Vorsprung behalte“.
  3. ↑ Altgriechischer Originaltext in Aristoteles: Physik. (siehe im Bildschirmausschnitt §4). Archiviert vom Original am 16. Mai 2008; abgerufen am 16. Oktober 2013.
  4. ↑ Simplicius: On Aristotle’s Physics 1014,10, vgl.: Readings in Ancient Greek Philosophy From Thales to Aristotle, hg. S. M. Chohen / P. Curd / C. D. C. Reeve, Indianapolis/Cambridge: Hackett 1995, 58f
  5. ↑ Mind 1(1895), S. 278–280.
  6. ↑ hierzu siehe zum Beispiel Pascal Engel: Dummett, Achilles and the tortoise, In: L. Hahn / R. Auxier (Hgg.): The philosophy of Michael Dummett (Library of Living philosophers), La Salle, Ill.: Open Court 2005.

Anmerkungen

  1. ↑ Sei die Zeit, die vom Beginn des Rennens bis zu dem Zeitpunkt verstreicht, zu dem Achilles die Schildkröte einholt, der Weg, den Achilles während der Zeit zurücklegt. der Weg, den die Schildkröte während der Zeit zurücklegt, der Vorsprung der Schildkröte zu Beginn des Rennens, die Geschwindigkeit Achilles', die Geschwindigkeit der Schildkröte. Dann lässt sich t wie folgt berechnen:
    , also ; mit folgt nach Division: .
    Letzteres zeigt die im Text behauptete Proportionalität der Zeit zum Vorsprung der Schildkröte und die umgekehrte Proportionalität von zur Geschwindigkeitsdifferenz .
  2. ↑ (Mit ) sei weiter das Verhältnis der Geschwindigkeiten, sodass , (mit ) auch . Wegen ist , und der Ausdruck für lässt sich weiter umformen: ; für konstantes Verhältnis der beiden Geschwindigkeiten zeigen die letzten beiden Brüche die im Text behauptete umgekehrte Proprotionalität der Zeit zu bzw. . Die umgekehrte Proportionalität von zu bedeutet, dass Achilles die Schildkröte eher trifft, wenn jene schneller läuft. Das könnte zunächst verwundern; vorausgesetzt ist hier aber, dass in diesem Fall auch Achilles um den gleichen Faktor schneller läuft wie die Schildkröte (da als konstant vorausgesetzt wird).
  3. ↑ Es ist – heute – möglich, auch mit Zenons Ansatz die Zeit auszurechnen, nach der Achilles die Schildkröte einholt. - Sei wie oben der Vorsprung der Schildkröte zu Beginn des Rennens, die Zeit, die Achilles benötigt, um zurückzulegen. Ferner sei die Schildkröte -mal langsamer als Achilles. Dann holt Achilles die Schildkröte nach der Zeit ein weiteres Mal ein, nach der Zeit ein drittes Mal usw. Mit ist die Summe aller von Zenon betrachteten Zeiten, die Achilles zurücklegt:
    .
    Es ist möglich, aber nicht zwingend erforderlich, wie oben als Quotienten zweier Geschwindigkeiten aufzufassen. Dann ist mit weiter:
    die konvergente geometrischen Reihe ergibt also das gleiche Ergebnis für wie die Rechnung in Anmerkung 1 ohne Zerlegung von nach Zenons Ansatz. Die Reihe erfüllt wegen ein Konvergenzkriterium, sodass Grenzwertrechnung ihr genau eine (exakte, als "Grenzwert" bezeichnete) Zahl zuordnet, die sie im Unendlichen erreicht. Eine solche Mathematik war Zenon augenscheinlich nicht bekannt.
  4. ↑ Sainsbury zeigt in Paradoxien die Unbestimmtheit des Problems anhand der Zweiteilung: Die Länge zwei wird halbiert, in zwei Längen eins, dann weiter eine Länge eins in zwei halbe, davon wieder eine halbe in zwei viertel und so weiter. Es ist offensichtlich, dass dabei die Zwei nicht überschritten wird, noch sich die Zeit dehnt. Es ist vielmehr der verbleibende Rest stehts klar: identisch mit dem letzten Teilungsglied (oben ein viertel). (Es scheint somit kein Ziel Zenons zu sein, zu zeigen, dass das Rennen ewig währt noch unbestimmt lang ist. Als Argument bleibt, ähnlich wie beim Pfeilparadoxon, die Unmöglichkeit (in Einklang mit den fehlenden Aussagen der Mathematik über Unendlich bzw. ggf. Null) das Ziel zu erreichen.)
  5. ↑ Mit Zenons Ansatz lässt sich auch der Weg ausrechnen, den Achilles im Zeitraum (von seinem Startpunkt bis zum Einholen der Schildkröte) zurücklegt. - In der Rechnung in Anmerkung 3 ist nur bzw. durch bzw. zu ersetzen:
    .
    Werden Geschwindigkeiten eingeführt, so ist ohne Zerlegung in Teilwege unter Benutzung obiger Darstellung von :
    ;
    Ausklammern von im Nenner und Kürzen liefert das gleiche Ergebnis wie die konvergente Reihe.


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