Körper (Algebra): Unterschied zwischen den Versionen

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Ein '''Körper''' ist eine [[algebraische Struktur]], die aus einer [[Menge (Mathematik)|Menge]] und zwei [[Verknüpfung (Mathematik)|zweistelligen Verknüpfungen]] <math>+</math> und <math>\cdot</math> („Addition“ und „Multiplikation“) besteht, sodass gilt:
Ein '''Körper''' ist eine [[algebraische Struktur]], die aus einer [[Menge (Mathematik)|Menge]] und zwei [[Verknüpfung (Mathematik)|zweistelligen Verknüpfungen]] <math>+</math> und <math>\cdot</math> („Addition“ und „Multiplikation“) besteht, sodass gilt:


* <math>\left(K,+,0)</math> ist eine [[abelsche Gruppe]],
# <math>\left(K,+,0)</math> ist eine [[abelsche Gruppe]],
* <math>(K\setminus\{0\},\cdot,1)</math> ist eine [[abelsche Gruppe]]; ist die Multiplikation nicht notwendig kommutativ, spricht man von einem '''Schiefkörper''' oder '''Divisionsring''' <math>(S\setminus\{0\},\cdot,1)</math>
# <math>(K\setminus\{0\},\cdot,1)</math> ist eine [[abelsche Gruppe]]; ist die Multiplikation nicht notwendig kommutativ, spricht man von einem '''Schiefkörper''' oder '''Divisionsring''' <math>(S\setminus\{0\},\cdot,1)</math>
* Es gelten folgende '''Distributivgesetze''':
# Es gelten folgende '''Distributivgesetze''':
:<math>a\cdot\left(b+c\right) = a\cdot b+a\cdot c\,</math> für alle <math>a, b, c \in K</math>,
:<math>a\cdot\left(b+c\right) = a\cdot b+a\cdot c\,</math> für alle <math>a, b, c \in K</math>,
:<math>\left(a+b\right)\cdot c = a\cdot c+b\cdot c\,</math> für alle <math>a, b, c \in K</math>.
:<math>\left(a+b\right)\cdot c = a\cdot c+b\cdot c\,</math> für alle <math>a, b, c \in K</math>.

Version vom 30. März 2018, 19:56 Uhr

Ein Körper ist eine algebraische Struktur, die aus einer Menge und zwei zweistelligen Verknüpfungen und („Addition“ und „Multiplikation“) besteht, sodass gilt:

  1. Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle \left(K,+,0)} ist eine abelsche Gruppe,
  2. ist eine abelsche Gruppe; ist die Multiplikation nicht notwendig kommutativ, spricht man von einem Schiefkörper oder Divisionsring
  3. Es gelten folgende Distributivgesetze:
für alle ,
für alle .

Die wichtigsten Beispiele sind der Körper der rationalen Zahlen, der Körper der reellen Zahlen und der Körper der komplexen Zahlen.

Siehe auch