Sechshundertsechsundsechzig und Abelsche Gruppe: Unterschied zwischen den Seiten

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| '''Abelsche Gruppe'''
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Dieser Artikel setzt folgende mathematischen Begriffe voraus:
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* [[Funktion (Mathematik)|Funktion]]
* [[Ganze Zahl]]
* [[Rationale Zahl]]
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ist Spezialfall von
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* [[Gruppe (Mathematik)|Gruppe]]
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Eine '''abelsche Gruppe''' ist eine [[Gruppe (Mathematik)|Gruppe]], für die zusätzlich das [[Kommutativgesetz]] gilt.
 
Der mathematische Begriff '''abelsche Gruppe''', auch '''kommutative Gruppe''' genannt, verallgemeinert das Rechnen mit Zahlen. Addition rationaler Zahlen und die Multiplikation rationaler Zahlen <math> \neq 0 </math> erfüllen eine Reihe gemeinsamer Gesetze. Diese Regeln kommen oft in Geometrie und Algebra vor. So zum Beispiel bei Verschiebungen, Drehungen der Ebene um einen Punkt, Addition von Funktionen. Ornamente in Kunst und Natur zeichnen die Spuren abelscher Gruppen.
Deswegen wird von der speziellen Bedeutung des Additionszeichens <math> + </math> und des Multiplikationszeichens <math> \cdot </math> abstrahiert und der Begriff der kommutativen oder abelschen Gruppe geschaffen. Der Name ist zu Ehren des norwegischen Mathematikers [[Niels Henrik Abel]] gewählt worden.
 
== Definition ==
 
Sei <math>G</math> eine [[Menge (Mathematik)|Menge]]. Jedem Paar <math>(a, b) \in G\times G</math> sei genau ein Element <math>a * b \in G</math> zugeordnet. Das Paar <math>(G, *)</math> heißt ''abelsche Gruppe'', wenn die Verknüpfung <math>*\colon\, G\times G \to G, (a, b) \mapsto a * b</math> die folgenden Gesetze erfüllt:
# [[Assoziativgesetz]]:&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; Für alle <math>a, b, c \in G</math> gilt: <math>a * (b * c) = (a * b) *c</math>.
# [[Kommutativgesetz]]:&nbsp;                  Für alle <math>a, b \in G</math> gilt: <math>a * b = b * a</math>.
# [[Neutrales Element]]:&nbsp;                  Es gibt ein Element <math>e \in G</math>, so dass für alle <math>a \in G</math> gilt: <math>a * e = a</math>.
# [[Inverses Element]]:&nbsp;&nbsp;&nbsp;      Zu jedem <math>a \in G</math> gibt es ein <math>a^{-1} \in G</math> mit <math>a * a^{-1} = e</math>.<ref>Làzlò Fuchs: '' Abelian Groups'' Springer, ISBN 978-3-319-19421-9, S. 1.</ref>
Eine [[Gruppe (Mathematik)|Gruppe]] <math>(G, *)</math> heißt '''nichtabelsch''', wenn in ihr mindestens ein Paar <math>(a, b)</math> existiert mit <math>a * b \ne b * a</math>.
 
== Erläuterungen ==
* Wird bei den Axiomen das Kommutativgesetz weggelassen, so ergibt sich eine [[Gruppe (Mathematik)|Gruppe]]. Eine abelsche Gruppe ist daher nichts anderes als eine Gruppe, für die zusätzlich das Kommutativgesetz gilt.
* Das neutrale Element und das inverse Element eines jeden Gruppenelementes sind eindeutig bestimmt, wie sich aus den Axiomen zeigen lässt.
* Meist wird eine abelsche Gruppe additiv mit dem Verknüpfungszeichen <math>+</math> geschrieben und dann ein ''Modul'' genannt. In diesem Falle heißen <math>a + b</math> die Summe von <math>a</math> und <math>b</math>, das neutrale Element Nullelement oder einfach Null und wird <math>0</math> geschrieben. Das Inverse von <math>a</math> wird dann als dessen [[Inverses Element#Additiv Inverses|Entgegengesetztes]] mit <math>-a</math> bezeichnet.
* Eine kommutative Gruppe kann auch multiplikativ mit dem Verknüpfungszeichen <math>\cdot</math> geschrieben werden. Dann heißt <math>a \cdot b</math> oder einfach <math>ab</math> das Produkt von <math>a</math> und <math>b</math>. In diesem Falle heißt das neutrale Element Einselement oder einfach Eins und wird <math>1</math> geschrieben. Das Inverse von <math>a</math> bezeichnet man nun mit <math>a^{-1}</math>.
* In einem Modul wird die Differenz zweier Elemente erklärt als <math>a - b := a + (-b)</math>. Es gelten dann die Regeln: <math>-(a + b) = (-a) + (-b), -(a - b) = (-a) + b</math>. Wird die abelsche Gruppe multiplikativ geschrieben, so definiert man entsprechend den Quotienten <math>a/b := a \cdot b^{-1}</math>.
 
== Beispiele ==
# <math> (\Z,+) </math> ist die wichtigste abelsche Gruppe. Dabei ist <math> \Z </math> die Menge der ganzen Zahlen und <math> + </math> die gewöhnliche Addition.
# <math> (\Q^{*},\cdot) </math> ist eine abelsche Gruppe. Dabei ist <math> \Q^{*} </math> die Menge der rationalen Zahlen ohne die <math> 0 </math> und <math> \cdot </math> ist die gewöhnliche Multiplikation.
# Die Menge der endlichen Dezimalzahlen sind bezüglich der Multiplikation keine abelsche Gruppe. Zum Beispiel hat die Zahl <math> 3 </math> kein Inverses bezüglich der Multiplikation. <math> \frac{1}{3} </math> lässt sich nicht als endlicher Dezimalbruch schreiben. Bezüglich der normalen Addition bilden die endlichen Dezimalbrüche eine abelsche Gruppe.
# Die Menge der [[Parallelverschiebung|Verschiebungen]] in der euklidischen Ebene bilden eine abelsche Gruppe. Die Verknüpfung ist die Hintereinanderausführung der Verschiebungen.[[Datei:Vektoren.svg|mini|Ein  Dreieck wird um den Verschiebungsvektor <math> \vec{v} </math> verschoben]]
# Die Menge der [[Drehung]]en in einer Ebene um einen Punkt bilden eine abelsche Gruppe. Die Verknüpfung ist die Hintereinanderausführung der Drehungen.
# Die Menge der [[Drehstreckung]]en in einer Ebene bilden eine abelsche Gruppe.
# Von genügend kleinen Gruppen lässt sich  die Verknüpfungstafel aufschreiben.
 
<math> \begin{matrix}*| & e| & a| &b| \\ \hline\hline
e | &e | &a|& b|\\\hline
a | &a | &b| &e| \\\hline
b | &b | &e| & a|\\\hline \end{matrix} </math>.
 
Ist es die Tafel einer abelschen Gruppe, so ist die Tafel symmetrisch zur [[Hauptdiagonale]]. Diese Tafel ergibt sich beispielsweise, wenn man die Drehungen eines gleichseitigen Dreiecks um den Schwerpunkt betrachtet, die das Dreieck in sich überführen. <math> e </math> ist die Drehung um <math> 0^\circ </math>, <math> a </math> ist die Drehung um <math> 120^\circ </math> und <math> b </math> ist die Drehung um <math> 240^\circ </math>.
# Sind <math> A,B </math> abelsche Gruppen, so wird <math> A \times B = \{ (a,b) | a\in A, \ b \in B \} </math> zu einer abelschen Gruppe durch <math> (a,b) + (a',b'):= (a+a',b+b') </math>.
# Ist <math> I </math> eine Menge und <math> A </math> eine abelsche Gruppe, so ist <math> A^I:= \{f| f\colon I \to A \} </math> eine Gruppe, wenn definiert wird: <math> (f+g)(i):= f(i) + g(i) </math>. Es heißt <math> f(i) </math> die <math>i</math>te Komponente von <math>f</math>.  Oft wird <math> f </math> als Vektor geschrieben  der Form <math> (a_i) </math>. Dabei ist <math> a_i=f(i) </math>. Ist <math> I= \N </math>, so ist <math> A^{\N} </math> die Menge der Folgen, wobei die Folgenglieder Elemente aus <math> A </math> sind. Ist <math> I= \{1,\dots ,n\} </math>, so ist <math> \Z^n= \{(a_1,\dots,a_n)| \text{ mit } a_i \in \Z \} </math>.
# Die [[Reelle Zahlen|reellen Zahlen]] bilden mit der Addition eine abelsche Gruppe; ohne die Null bilden sie mit der Multiplikation eine abelsche Gruppe.
# Allgemeiner liefert jeder [[Körper (Algebra)|Körper]] <math>(K, +, \cdot)</math> in derselben Weise zwei abelsche Gruppen <math>\left(K, +\right)</math> und <math>(K\setminus\{0\}, \cdot)</math>.
# Hingegen ist die Gruppe <math>(\mathrm{GL}_n(K), \cdot)</math> der invertierbaren <math> (n\times n)</math>-Matrizen über einem [[Körper (Algebra)|Körper]] <math>K</math> für <math>n > 1</math> ein Beispiel für eine ''nicht''abelsche Gruppe. Die kleinste ''nicht''abelsche Gruppe ist übrigens die [[symmetrische Gruppe]] [[S3 (Gruppe)|S<sub>3</sub>]] mit sechs Elementen.
 
== Untergruppen ==
Eine nicht leere Teilmenge <math> U </math>  der abelschen Gruppe <math> A </math> heißt ''Untergruppe'', wenn sie bezüglich der Gruppenoperation selber eine Gruppe ist. Dies ist genau dann der Fall, wenn für alle <math> a,b \in  U </math> gilt: <math> a-b \in U </math>.<ref>Làzlò Fuchs: '' Abelian Groups'' Springer, ISBN 978-3-319-19421-9, Seite 2.</ref> In diesem Artikel wird die folgende Bezeichnung gewählt:<math> U \hookrightarrow A </math>.
#<math> \Z </math> ist Untergruppe von <math> \Q </math>.
# Der Durchschnitt von Untergruppen ist eine Untergruppe.
# Jede Teilmenge <math> U \subset A </math> ist enthalten in einer kleinsten Untergruppe, die <math> U </math> enthält. Diese Untergruppe heißt die von <math> U </math> ''erzeugte Untergruppe'' von <math> A </math>. Sie wird mit <math> \left \langle U \right \rangle </math> bezeichnet.
# Sind <math> U, V </math> Untergruppen von <math> A </math>, so ist die Menge <math> U+V:= \{u+v\vert u\in U, v\in V \} </math> eine Untergruppe von <math> A </math>. Allgemeiner: Ist <math> (U_i |i \in I) </math> eine Familie von Untergruppen, so ist <math> \sum\limits_{i \in I} U_i:=\{\sum_{i\in I}u_i\vert u_i\in U_i \} </math> eine Untergruppe von <math> A </math>. Sie heißt die ''Summe der Untergruppen ''.
# Ist <math> U \subset A </math>, so ist die von <math> U </math> erzeugte Untergruppe <math> \left \langle U \right \rangle= \sum_{u\in U} \left \langle u \right \rangle </math>. Ist <math> \left \langle U \right \rangle = A </math> so heißt <math> U </math> ein ''Erzeugendensystem'' von <math> A </math>.
# Eine abelsche Gruppe <math> A </math> heißt ''endlich erzeugt '', wenn es eine endliche Teilmenge <math> U \subset A </math> gibt, so dass <math> \left \langle U \right \rangle = A </math> gilt. Ist <math> A </math> von einem Element <math> a \in A </math> erzeugt, so heißt <math> A </math> ''zyklisch''. Es wird  <math> A= a\cdot \Z </math> geschrieben. {{Anker|zyklisch}}
## Jede Untergruppe von <math> \Z </math> ist zyklisch.
## Das heißt beispielsweise: Die Summe zweier zyklischer Untergruppen von <math> \Z </math> ist wieder zyklisch. Es gilt <math> a\cdot \Z + b\cdot \Z = \operatorname{ggT}(a,b) \cdot \Z </math>. Dabei ist <math> \operatorname{ggT}(a,b) </math> der [[Größter gemeinsamer Teiler|größte gemeinsamer Teiler]] von <math> a,b </math>. z.&nbsp;B. <math> 6\cdot \Z + 9\cdot \Z = 3\cdot \Z </math>.
## Sind <math> a\cdot \Z, b\cdot \Z </math> Untergruppen von <math> \Z </math>, dann ist <math> a\cdot \Z \cap b\cdot \Z =\operatorname{kgV}(a,b) \cdot \Z </math>. Dabei ist <math> \operatorname{kgV}(a,b)</math> das [[Kleinstes gemeinsames Vielfaches|kleinste gemeinsame Vielfache]] von <math> a,b </math>. Zum Beispiel <math> 3\Z \cap 5\Z = 15\Z</math>.
## <math> (\Q,+) </math> ist nicht endlich erzeugt. Genauer: Ist <math> U </math> ein Erzeugendensystem von <math> (\Q,+) </math> und ist <math> u \in U </math>, so ist auch noch <math> U\setminus \{u\} </math> ein Erzeugendensystem.
 
<gallery caption="Einige Gruppen in Kunst und Natur" widths="200" heights="200" mode="packed">
Sacrestia-di-santa-maria-in-Organo-Verona.jpg|Fra Giovanni da Verona malte dieses Bild als Intarsie in der Sacrestia die Santa Maria in Organo. Es veranschaulicht eine zyklische Gruppe der Ordnung 8 samt einer Untergruppe der Ordnung 4.
SaintPierre.svg|Der Entwurf von [[Bramante]] zum Petersdom. Unter anderem ist es eine Drehgruppe der Ordnung 4. Tatsächlich ist mathematisch noch mehr darin versteckt. Es ist ein Fraktal.
Boretschblüte.jpg|Die Blüte zeigt die Symmetrie der Drehgruppe der Ordnung 5. Auch das entstehende  [[Pentagramm]] ist deutlich zu erkennen.
</gallery>
 
== Faktorgruppen ==
Ist <math> U \hookrightarrow A </math> eine Untergruppe, so definiert <math> a\sim a' \iff a-a'\in U </math> eine Äquivalenzrelation. Sind <math> a,a',b,b' \in A </math> und sind <math> a\sim a', b \sim b' </math> so ist <math> a+b \sim a' + b' </math>. Die Äquivalenzrelation heißt verträglich mit der Addition. Sei <math> A/U: = \{ a+U | a\in A\}=</math> Menge der Äquivalenzklassen. Auf <math> A/U </math> wird eine Addition erklärt.
 
: <math> (a+U)+ (b+U)\colon= (a+b)+U </math>.<ref>Làzlò Fuchs: '' Abelian Groups'' Springer, ISBN 978-3-319-19421-9, S. 3.</ref>
 
Wollen wir tatsächlich in <math> A/U </math> rechnen, so genügt es sich auf ein Repräsentantensystem von <math> A/U </math> zu beschränken. Denn jede Äquivalenzklasse ist durch ein Element aus der Äquivalenzklasse eindeutig bestimmt. Es ist <math> a\sim a' \iff a+U = a'+U </math>.
 
* Ist <math> U \hookrightarrow \Z  </math> eine Untergruppe von <math> \Z </math>, so ist <math> U </math> zyklisch. Das heißt es gibt ein <math> n\in \N </math> mit <math> U= n\cdot \Z</math>. Ist <math> a\in U </math>, so gibt es einen positiven Repräsentanten in der Äquivalenzklasse von <math> a </math>. Es ist daher keine Einschränkung, wenn wir <math> a\in \N </math> voraussetzen. Wir erhalten einen Repräsentanten von <math> a+U </math> durch Teilen mit Rest. Es ist für zwei positive <math> a \sim a' </math> genau dann, wenn sie beim Teilen durch <math> n </math> den gleichen Rest lassen.  Es ist dann <math> \{0, \dots, n-1 \} </math> ein Repräsentantensystem von <math> \Z/n\cdot \Z </math>. Bezeichnet <math> a \mod n  </math> der Rest, der beim Teilen von <math> a </math> durch <math> n </math> sich ergibt, so entspricht dem Rechnen in <math> \Z/n\cdot \Z </math> folgende 'Addition':  <math> a+_n b:= (a+b) \mod n </math> für <math> a,b \in \{0,\dots ,n-1\} </math>. Den Index <math> n </math> beim <math> + </math> Zeichen lässt man weg. So ergibt in <math> \Z/11\cdot \Z</math> zum Beispiel <math>  7+ 5 = 1\bmod 11 </math>.<ref>Andreas Bartholomé, Josef Rung, Hans Kern: "Zahlentheorie für Einsteiger" Vieweg+Teubner, 7. Auflage, 2010, ISBN 978-3-8348-1213-1, Seite 44ff</ref>
 
* <math> \Z </math> ist eine Untergruppe von <math> \R </math>. Ein Repräsentantensystem von <math> \R/\Z </math> ist das rechts offene Einheitsintervall <math> [0,1[ </math>. In diesem Repräsentantesystem rechnet man folgendermaßen: <math> (a+b)\bmod 1= (a+b) - [a+b] </math>. Dabei ist <math> [x]:= </math> größte ganze Zahl <math> \le x </math>. Es ist daher für
 
<math> a,b\in [0,1[ </math>: <math> (a+b) \bmod 1 = \begin{cases} a+b \text{ falls } a+b<1\\ a+b -1 \text{ falls } a+b\ge 1 \end{cases}</math>
 
* Die besonderen Eigenschaften der Untergruppe <math>\Q/\Z </math> von <math> \R/ \Z </math> kommen etwas weiter unten zur Sprache.
 
== Homomorphismen ==
=== Definition ===
Sind <math> A,B </math> abelsche Gruppen, so heißt eine Abbildung <math> f\colon A \rightarrow B </math> '''Homomorphismus ''', wenn für alle <math> a,b \in A </math> gilt: <math> f(a+b) = f(a) + f(b) </math>.<ref>Làzlò Fuchs: '' Abelian Groups'' Springer, ISBN 978-3-319-19421-9, Seite 6.</ref>
=== Beispiele  für Homomorphismen ===
* Die Identität und die Nullabbildung <math> A\ni a \mapsto 0 \in B </math> sind  stets Homomorphismen. Zu jeder abelschen Gruppe <math> A </math> gibt es genau einen Morphismus <math> 0 \to A </math>. Genauso gibt es genau einen Homomorphismus <math> A \to 0 </math>.
* Ist <math> U \hookrightarrow A</math>  eine Untergruppe von <math> A </math>, so ist die Inklusionsabbildung ein Homomorphismus.
* Die Abbildung <math> 2*\colon \Z \ni x \mapsto 2\cdot x \in \Z</math> ist ein Homomorphismus. Allgemein: Ist <math> a\in \Z </math> so ist die Multiplikation mit <math> a </math>, also die Abbildung <math> a*\colon \Z \ni x \mapsto a\cdot x \in \Z </math>, ein Homomorphismus. Dies ist äquivalent zum [[Distributivgesetz]], welches besagt: Für alle <math> a,b,c\in \Z </math> gilt: <math> a\cdot (b+c) = a\cdot b + a\cdot c </math>. Die Multiplikationen sind auch die einzigen Homomorphismen  <math> \Z \to \Z </math> das heißt: Ist <math> f\colon \Z \to \Z </math> ein Homomorphismus, so gibt es ein <math> a\in \Z </math> mit <math> f(z)= a\cdot z </math> für alle <math> z \in \Z </math>.
* Ist <math> a\in \Q^{*}</math>, so ist die Abbildung <math> \Z \ni x \mapsto a^{x}\in \Q </math> ein Homomorphismus, von der additiven Gruppe <math>\Z </math> in die multiplikative Gruppe <math> \Q^{*} </math>.
* Die natürliche [[Exponentialfunktion]]: <math> \exp\colon \R \ni x \mapsto \exp(x)= e^x \in \R^+ </math>  ist ein Homomorphismus abelscher Gruppen. Sie bildet die additive Gruppe <math> \R </math> bijektiv in die multiplikative Gruppe <math> \R^+ </math> ab. Die Umkehrabbildung ist der natürliche [[Logarithmus|natürlicher Logarithmus]].
* Die Verkettung von Homomorphismen ist ein Homomorphismus. Die Klasse der abelschen Gruppen, zusammen mit den Homomorphismen bilden eine [[Kategorie (Mathematik)]] <math>\mathcal{A}</math>. Diese ist der Prototyp einer [[Abelsche Kategorie|abelschen Kategorie]].
 
=== Universelle Eigenschaft der ganzen Zahlen ===
* {{Anker|Modul}}Zu jeder Gruppe <math>A</math> und jedem <math>a \in A</math> gibt es genau einen Homomorphismus <math>\Phi_a\colon\, \Z \to A</math> mit <math>\Phi_a(1) = a</math>.
 
Es ist dann <math>\Phi_a(2)= a * a</math>, und
 
<math>\Phi_a(-1) = a^{-1}</math>.
 
Allgemein ist
 
: <math>\Phi_a(z) = \left\{\begin{matrix} \underbrace{a+a+\ldots+a}_{z\ \mathrm{ mal }}&\text{falls }  &z \ge 0,\\ -(\Phi_a(|z|)) &\text{ falls } &z < 0.\\ \end{matrix}\right.</math>.
 
Es ist <math>(\Z,+)</math> eine [[freie abelsche Gruppe]] mit Basis <math>\{1\}</math>.
* Es liegt nahe für <math>z \in \Z</math> und <math>a \in A</math> zu definieren: <math>a \cdot z := \Phi_a(z)</math>. Es gilt dann:
# <math> a\cdot 0 = 0 </math>. (Achtung! Es kann verwirren, dass auf beiden Seiten der Gleichung das gleiche Zeichen <math>0</math> verwendet wird. Auf der linken Seite der Gleichung steht das neutrale Element in <math>\Z</math>. Auf der rechten Seite der Gleichung steht das neutrale Element in <math>A</math>. Beide Male sind die verschiedenen neutralen Elemente mit <math>0</math> geschrieben.)
# Für alle <math>a \in A</math> ist <math>a \cdot 1 = a</math>.
# Für alle <math>z_1, z_2 \in \Z</math> und alle <math>a \in A</math> ist <math>a\cdot (z_1 \cdot z_2) = (a \cdot z_1) \cdot z_2</math>.
# Für alle <math>a \in A </math> und alle <math>z_1, z_2 \in \Z</math> ist <math>a\cdot (z_1 + z_2) = a \cdot z_1 + a \cdot z_2</math>.
# Für alle <math>a_1, a_2 \in A</math> und alle <math>z \in \Z</math> ist <math>(a_1 + a_2) \cdot z = a_1 \cdot z + a_2 \cdot z</math>.
 
* Jeder Modul wird auf diese Weise zu einem [[Modul (Mathematik)|<math>\Z</math>-Modul]]. Ist <math>f\colon\, A \to B</math> ein Homomorphismus, so ist für alle <math>a \in A, z \in Z</math>: <math>f(a\cdot z) = f(a) \cdot z</math>.
 
* Es lohnt sich die vorletzte  Aussage für eine Gruppe <math>(Q, \cdot)</math> zu übersetzen, die multiplikativ geschrieben wird. In diesem Falle ist das Neutralelement in <math>Q</math> die <math>1</math>. Zu jedem beliebigen <math>q \in Q</math> gibt es genau einen Homomorphismus <math>\Phi_q\colon\, \Z \to Q</math> mit <math>\Phi_q(1) = q</math>. Es ist <math>\Phi_q(2) = q \cdot q = q^2, \Phi_q(-1) = q^{-1}</math>. Allgemein ist <math>\Phi_q(z) = q^z</math>. Die obigen Gesetze besagen dann:
# Für alle <math>q\in Q</math> ist <math> q^{0}=1 </math>.
# Für alle <math>q\in Q, z_1, z_2 \in Z</math> ist <math>q^{(z_1 \cdot z_2)} = (q^{z_1})^{z_2}</math>.
# Für alle <math>q\in Q, z_1, z_2 \in Z</math> ist <math>q^{z_1 + z_2} = q^{z_1} \cdot q^{z_2}</math>.
# Für alle <math>q_1, q_2 \in Q, z\in Z</math> ist <math>(q_1 \cdot q_2)^z = q_1^{z} \cdot q_2^{z}</math>. Wird für <math>Q</math> die Menge der rationalen oder reellen Zahlen <math>\neq 0</math> eingesetzt, so ergeben sich die aus der Schule bekannten Gesetze für das Rechnen mit Exponenten.
 
=== Eigenschaften von Homomorphismen ===
Ist <math> \alpha\colon A \to B </math> ein Homomorphismus, und sind <math> U\hookrightarrow A </math> beziehungsweise <math> V \hookrightarrow B </math> Untergruppen, so sind <math> \alpha^{-1}(V) \hookrightarrow A </math> und <math> \alpha(U)\hookrightarrow B </math> Untergruppen. Insbesondere sind <math> \operatorname{Kern}(\alpha):=\{a|a\in A, \alpha(a)=0\} </math> und <math> \alpha(A):= \operatorname{Bild}(\alpha)=\{\alpha(a)|a\in A\} </math> Untergruppen. Hieraus folgt:
* Ist <math> A </math> eine Gruppe und <math> n </math> eine natürliche Zahl, so ist <math> A\cdot n:=\{a\cdot n| a\in A\} </math> und <math> A[n]:=\{a|a\cdot n =0 \} </math> Untergruppen von <math> A </math>. Dies gilt, da die Multiplikation mit <math> n </math> ein Homomorphismus ist.
* <math> T(A): = \sum\limits_{n \in \N} A[n] = \{a| a\in A \text{ es gibt } n \in \N \text{ mit } a\cdot n=0 \} </math> ist Untergruppe von <math> A </math>. Dies ist die ''Torsionsuntergruppe '' von <math> A </math>. Ist <math> T(A) = 0 </math>, so heißt <math> A </math> ''torsionsfrei''. Für jede Gruppe ist <math> A/T(A) </math> torsionsfrei. Die Torsionsuntergruppe von <math> \R/\Z </math> ist <math> \Q/\Z </math>.
* Ist <math> f\colon A \to B </math> ein Homomorphismus und ist <math> \operatorname{Kern}(f) </math> von <math> n </math> Elementen erzeugt und ist <math> \operatorname{Bild}(f) </math> von <math> m </math> Elementen erzeugt, so ist <math> A </math> von <math> n+m </math> Elementen erzeugt.
* Jede Untergruppe von <math> \Z^n </math> ist von maximal <math> n </math> Elementen erzeugt.
 
==== Injektive Homomorphismen ====
* Ist <math>\alpha\colon A \to B </math> ein bijektiver Homomorphismus, so ist auch die Umkehrabbildung <math> \alpha^{-1}\colon B \to A </math> ein Homomorphismus. In diesem Fall heißt <math> \alpha </math> ''Isomorphismus''. Gibt es einen Isomorphismus zwischen <math> A </math> und <math> B </math> so heißen <math> A,B </math> ''isomorph''.
* Ist <math> \alpha\colon A\to B </math> ein Homomorphismus, so sind folgende Aussagen  äquivalent. In diesem Fall heißt <math> \alpha </math> ''Monomorphismus''.
# <math> \alpha </math> ist als Abbildung injektiv.
# <math> \operatorname{Kern}(\alpha)=0 </math>.
# Für alle abelschen Gruppen <math> C </math> und alle Homomorphismen <math> f,g\colon C\to A </math> mit <math> \alpha \circ f= \alpha \circ g </math> ist <math> f=g </math>. Es ist <math> \alpha </math> links kürzbar.
* Die Verkettung von Monomorphismen ist ein Monomorphismus. Das heißt genauer: Sind <math> \alpha\colon A \to B, \beta\colon B \to C </math> Monomorphismen, so ist <math> \beta \circ \alpha\colon A\to C </math> ein Monomorphismus.
==== Surjektive Homomorphismen ====
Ist <math> \alpha\colon A \to B </math> ein Homomorphismus, so sind die folgenden Aussagen äquivalent. Dann heißt <math> \alpha </math> ''Epimorphismus''.
# <math>\alpha </math> ist als Abbildung surjektiv.
# <math> B/\alpha(A) =0 </math>.
# Für alle Gruppen <math> C </math> und alle <math> f,g\colon B \to C </math> gilt: Ist <math> f\alpha = g\alpha </math>, so ist <math> f=g </math>. Es ist <math> \alpha </math> auf der rechten Seite kürzbar.
* Ist <math> U \hookrightarrow A </math> eine Untergruppe, so ist die Abbildung <math> \pi_{U} \colon A\ni a\mapsto a+U \in A/U </math> ein Epimorphismus.
* Die Verkettung von Epimorphsmen ist ein Epimorphismus. Das heißt genauer: Sind <math> f\colon A\to B </math> und <math> g\colon B \to C </math> Epimorphismen, so ist <math> g\circ f </math> ein Epimorphismus. Er heißt ''kanonischer Epimorphismus''.
* Sind <math> f\colon A\to B </math> und <math> g\colon B \to C </math> Homomorphismen und ist <math> g\circ f </math> ein Epimorphismus, so ist <math> g </math> ein Epimorphismus.
 
==== Isomorphismus, Isomorphiesätze ====
Ein bijektiver Homomorphismus <math> f\colon A \rightarrow B </math> heißt ''Isomorphismus''. Dies ist genau dann der Fall, wenn er monomorph und epimorph ist. Es gelten die folgenden Sätze.
* ''Homomorphiesatz'': Sei <math> \alpha\colon A \rightarrow B </math> ein Homomorphismus. <math> \pi\colon A\rightarrow A/\operatorname{Kern}(\alpha) </math> der kanonische Epimorphismus. Dann ist  <math> \alpha^*\colon A/\operatorname{Kern}(\alpha) \ni \pi(a) \mapsto \alpha(a) \in B </math> ein Monomorphismus mit <math> \alpha^{*} \circ  \pi = \alpha </math>. Insbesondere ist <math> A/\operatorname{Kern}(\alpha)\cong \alpha(A) </math>.<ref>Friedrich Kasch: '' Moduln und Ringe.'' Teubner, Stuttgart 1977, Seite 55, ISBN 3-519-02211-7</ref> Es ist folgendes Diagramm [[Kommutatives Diagramm|kommutativ]]. [[Datei:Bild-zum-Homomorphiesatz.svg|mini|150px|Homomorphiesatz]]
Der [[Homomorphiesatz]] gilt allgemein für Gruppen.
* ''Erster Isomorphiesatz'': Seien <math> B,C </math> Untergruppen von <math> A</math>. Dann gilt: <math> B+C/C \cong B/B\cap C </math>.<ref>Friedrich Kasch: '' Moduln und Ringe.'' Teubner, Stuttgart 1977, Seite 57, ISBN 3-519-02211-7</ref>
* ''Zweiter Isomorphiesatz'':  Seien <math> C\hookrightarrow B \hookrightarrow A </math> Untergruppen. Dann gilt : <math> A/B \cong (A/C)/(B/C) </math>.<ref>Friedrich Kasch: '' Moduln und Ringe.'' Teubner, Stuttgart 1977, Seite 58, ISBN 3-519-02211-7</ref>
 
==== Der Funktor Hom(A, –) ====
* Sind <math> A,B </math> Gruppen, so ist die Menge <math> \operatorname{Hom}(A,B) = \{f|f\colon A\to B,\  f \text{ ist Homomorphismus }\}</math> eine Gruppe. Die Addition ist erklärt durch: <math> (f+g)(a): = f(a) + g(a) </math>.
** Es ist <math> \operatorname{Hom}(\Q, A)= 0 </math> für jede endlich erzeugte Gruppe <math> A </math>.
** Ist der größte gemeinsame Teiler zwei Zahlen <math> a,b </math> gleich <math> 1 </math>, so ist <math> \operatorname{Hom}(\Z/a\Z,\Z/b\Z) =0 </math>.
** Für alle abelschen Gruppen <math> A </math> ist <math> A\cong \operatorname{Hom}(\Z,A) </math>. Diese Isomorphie ist ein funktorieller Isomorphismus. Genauer wird dies weiter unten ausgeführt.
* Ist <math> f\colon B \to C </math> ein Homomorphismus, so ist die Zuordnung <math> \operatorname{Hom}(A,f)\colon \operatorname{Hom}(A,B) \ni \alpha \mapsto f\circ \alpha \in \operatorname{Hom}(A,C) </math> ein Homomorphismus. Für <math> f\colon B\to C, g\colon C\to D </math> gilt: <math> \operatorname{Hom}(A,g\circ f) = \operatorname{Hom}(A,g) \circ \operatorname{Hom}(A,f)</math>. Ist <math> 1_B </math> die Identität auf <math> B </math>, so ist <math> \operatorname{Hom}(A,1_B) </math> die Identität auf <math> \operatorname{Hom}(A,B) </math>. Ist <math> f\colon B\to C </math> ein Isomorphismus, so ist <math> \operatorname{Hom}(A,f)\colon \operatorname{Hom}(A,B) \to \operatorname{Hom}(A,C) </math> ein Isomorphismus.  Wird
** Jeder abelschen Gruppe <math> B </math> die abelsche Gruppe <math> \operatorname{Hom}(A,B) </math> und
** jedem Homomorphismus <math> f\colon A\to B </math> der Homomorphismus  <math> \operatorname{Hom}(A,f)</math> zugeordnet, so erhält man den [[Funktor (Mathematik)|Funktor]] <math> \operatorname{Hom}(A,-) </math> von der Kategorie der abelschen Gruppen <math> \cal{A} </math> in die Kategorie <math> \cal{A} </math>.
* Die letzte Aussage wirft ein Licht auf die universelle Eigenschaft von <math> \Z </math>. Da es zu jedem <math> a\in A </math> einen eindeutig bestimmten Homomorphismus <math> \Phi_a\colon \Z \to A </math> mit <math> \Phi_a(1)= a </math> gibt, ist die Zuordnung <math> \Phi(A)\colon A\ni a\mapsto \Phi_a\in \operatorname{Hom}(\Z,A) </math> eine Funktion. Es gilt genauer: Die Familie der Abbildungen: <math> \{ \Phi(A)| A \text{ abelsche Gruppe } \} </math> hat die folgende Eigenschaft: Für alle <math> A,B\in \cal{A} </math> und alle Homomorphismen <math> f\colon A \to B </math> ist <math> \Phi(B) \circ f = \operatorname{Hom}(\Z,f)\circ \Phi(A) </math>. Außerdem ist für alle <math> A\in \cal{A} </math> die Abbildung <math> \Phi(A) </math> ein Isomorphismus. Die Umkehrabbildung ist: <math> \Psi(A)\colon \operatorname{Hom}(\Z,A) \ni \alpha \to \alpha(1) \in A </math>. Das heißt folgendes Diagramm ist kommutativ für alle <math> A,B\in \cal{A} </math> und alle <math> f\colon A\to B </math> mit Isomorphismen <math> \Phi(A), \Phi(B) </math>.[[Datei:File-Funktorieller-Isomorphismus-AnachHom(Z,A).svg|zentriert|300px|Das Diagramm beschreibt den funktoriellen Isomomorphismus A nach Hom(Z,A)]] Das heißt unter anderem <math> f\colon A \to B </math> ist Monomorphismus oder Epimorphismus genau dann, wenn <math> \operatorname{Hom}(\Z,f) </math> dies ist.
* '' Hom(G,-) '' und exakte Folgen: Ist <math> 0 \to A \overset{\alpha}{\longrightarrow} B \overset{\beta}{\longrightarrow} C </math> eine exakte Folge [[exakte Folge]] abelscher Gruppen, so ist für jede Gruppe <math> G </math> die induzierte Folge <math> 0 \to \operatorname{Hom}(G,A) \overset{\alpha^*}{\longrightarrow} \operatorname{Hom}(G,B) \overset{\beta^*}{\longrightarrow} \operatorname{Hom}(G,C) </math> exakt.<ref>Làzlò Fuchs: '' Abelian Groups'' Springer, ISBN 978-3-319-19421-9, S. 217.</ref> Dabei ist <math> \alpha^*=\operatorname{Hom}(G,\alpha)</math>. Der Funktor <math> \operatorname{Hom}(G,-) </math> heißt [[Exakter Funktor|links exakt]]. Ist <math> \beta </math> ein Epimorphismus, so ist normalerweise <math> \operatorname{Hom}(G,\beta) </math> kein Epimorphismus.
* Für <math> \operatorname{End}(A):= \operatorname{Hom}(A,A) </math> gelten die folgenden Gesetze.
** Für alle <math> f,g,h \in \operatorname{End}(A) </math> ist <math> f\circ(g+h) = f\circ g + f\circ h </math> und <math> (f+g)\circ h= f\circ h+ g\circ h </math>.
** Für alle <math> f\in \operatorname{End}(A) </math> ist <math> 1_A\circ f = f </math> und <math> f\circ 1_A = f </math>.
** Für alle <math> f,g,h\in \operatorname{End}(A) </math> ist <math> f\circ (g\circ h) = (f\circ g) \circ h </math>. <math> \operatorname{End}(A) </math> ist ein unitärer [[Ring (Algebra)|Ring]].
 
== Verallgemeinerungen, Weiterführendes ==
Die Theorie der abelschen Gruppen ist reichhaltig. Hier sei auf einige grundlegende Begriffe hingewiesen. Manchmal gibt es zu einem Teilaspekt einen Eintrag in der Wikipedia. Meist nicht.
* Jeder Modul ist ein Modul über dem Ring <math>\Z</math> (siehe [[#Modul|oben]]). Wird <math>\Z</math> durch einen beliebigen [[Ring (Algebra)|Ring]] <math>R</math> ersetzt, erhalten wir einen <math>R</math>-Modul. Sätze über abelsche Gruppen können so oft auf Moduln über [[Hauptidealbereich]]en übertragen werden. Ein Beispiel ist die Klassifikation endlich erzeugter abelscher Gruppen (siehe unten).
* [[Torsionsgruppe]]n: Ein <math>a \in A</math> heißt Torsionselement, wenn es eine natürliche Zahl gibt, so dass <math>a \cdot n = 0</math>. Die Menge aller Torsionselemente in einer Gruppe <math>A</math> bilden eine Untergruppe. Beispielsweise ist <math>\Q/\Z</math> die Torsionsuntergruppe von <math>\R/\Z</math>.
* [[Direkte Summe abelscher Gruppen|Direkte Summen abelscher Gruppen]]: Für den Fall zweier Untergruppen <math>U, V\hookrightarrow A</math> sei der Begriff hier erklärt. Ist <math>A = U + V</math> und <math>U \cap V = 0</math>, so heißt <math>A</math> direkte Summe von <math>U, V</math>.
* Direktes Produkt.
* [[freie abelsche Gruppe]]: Manche abelschen Gruppen haben so etwas wie eine Basis in einem Vektorraum. In der Theorie der <math>R</math>-Moduln spielen die [[Freier Modul|freien Moduln]] eine große Rolle.
* [[Teilbare Gruppe|Teilbare abelsche Gruppe]]
* [[endlich erzeugte abelsche Gruppe]]. Ihre Struktur ist so ziemlich geklärt. Sie sind direkte Summe von unzerlegbaren zyklischen Gruppen.
* Für beliebige abelsche Gruppen kann man analog zum Begriff der [[Dimension (Mathematik)|Dimension]] eines [[Vektorraum]]s jeder abelschen Gruppe ihren ''[[Rang einer abelschen Gruppe|Rang]]'' zuordnen. Er ist definiert als die größte [[Mächtigkeit (Mathematik)|Mächtigkeit]] einer [[Lineare Unabhängigkeit|<math>\mathbb{Z}</math>-linear unabhängigen]] Teilmenge. Die ganzen Zahlen und die rationalen Zahlen <math>\mathbb{Q}</math> haben Rang 1, so wie jede Untergruppe von <math>\mathbb{Q}</math>. Die abelschen Gruppen vom Rang 1 sind gut verstanden, dagegen sind für höhere Ränge noch viele Fragen offen. Abelsche Gruppen mit unendlichem Rang können extrem komplex sein und ihre offenen Fragen sind oft eng verbunden mit Fragen der [[Mengenlehre]].
 
* Viele abelsche Gruppen haben eine natürliche [[Topologischer Raum|Topologie]], durch die sie zu [[Topologische Gruppe|topologischen Gruppen]] werden.
 
== Siehe auch ==
* {{WikipediaDE|Abelsche Gruppe}}
 
== Literatur ==
* Siegfried Bosch: ''Algebra.'' 7., überarbeitete Auflage. Springer, Berlin u.&nbsp;a. 2009, ISBN 978-3-540-92811-9.
* László Fuchs: ''Abelian Groups.'' (= ''Springer Monographs in Mathematics''). Springer International, 2016, ISBN 978-3-319-19421-9.
* Friedrich Kasch: '' Moduln und Ringe.'' Teubner, Stuttgart 1977, ISBN 3-519-02211-7
* Serge Lang: ''Algebra'' (= ''Graduate Texts in Mathematics.'' Band 211). 3., überarb. Auflage. Springer, New York NY u.&nbsp;a. 2002, ISBN 0-387-95385-X.
* Stephan Rosebrock: ''Anschauliche Gruppentheorie – eine computerorientierte geometrische Einführung.'' 3. überarbeitete Auflage, Springer Spektrum, Berlin 2020, ISBN 978-3-662-60786-2.
 
== Einzelnachweise ==
<references />
 
== Weblinks ==
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[[Kategorie:Gruppe (Mathematik)]]
[[Kategorie:Niels Henrik Abel]]
 
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Version vom 8. Februar 2020, 13:56 Uhr

Abelsche Gruppe

Dieser Artikel setzt folgende mathematischen Begriffe voraus:

ist Spezialfall von

Eine abelsche Gruppe ist eine Gruppe, für die zusätzlich das Kommutativgesetz gilt.

Der mathematische Begriff abelsche Gruppe, auch kommutative Gruppe genannt, verallgemeinert das Rechnen mit Zahlen. Addition rationaler Zahlen und die Multiplikation rationaler Zahlen erfüllen eine Reihe gemeinsamer Gesetze. Diese Regeln kommen oft in Geometrie und Algebra vor. So zum Beispiel bei Verschiebungen, Drehungen der Ebene um einen Punkt, Addition von Funktionen. Ornamente in Kunst und Natur zeichnen die Spuren abelscher Gruppen. Deswegen wird von der speziellen Bedeutung des Additionszeichens und des Multiplikationszeichens abstrahiert und der Begriff der kommutativen oder abelschen Gruppe geschaffen. Der Name ist zu Ehren des norwegischen Mathematikers Niels Henrik Abel gewählt worden.

Definition

Sei eine Menge. Jedem Paar sei genau ein Element zugeordnet. Das Paar heißt abelsche Gruppe, wenn die Verknüpfung die folgenden Gesetze erfüllt:

  1. Assoziativgesetz:     Für alle Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle a, b, c \in G} gilt: .
  2. Kommutativgesetz:  Für alle gilt: .
  3. Neutrales Element:  Es gibt ein Element , so dass für alle gilt: .
  4. Inverses Element:    Zu jedem gibt es ein mit .[1]

Eine Gruppe heißt nichtabelsch, wenn in ihr mindestens ein Paar existiert mit .

Erläuterungen

  • Wird bei den Axiomen das Kommutativgesetz weggelassen, so ergibt sich eine Gruppe. Eine abelsche Gruppe ist daher nichts anderes als eine Gruppe, für die zusätzlich das Kommutativgesetz gilt.
  • Das neutrale Element und das inverse Element eines jeden Gruppenelementes sind eindeutig bestimmt, wie sich aus den Axiomen zeigen lässt.
  • Meist wird eine abelsche Gruppe additiv mit dem Verknüpfungszeichen geschrieben und dann ein Modul genannt. In diesem Falle heißen die Summe von und , das neutrale Element Nullelement oder einfach Null und wird geschrieben. Das Inverse von wird dann als dessen Entgegengesetztes mit bezeichnet.
  • Eine kommutative Gruppe kann auch multiplikativ mit dem Verknüpfungszeichen geschrieben werden. Dann heißt oder einfach das Produkt von und . In diesem Falle heißt das neutrale Element Einselement oder einfach Eins und wird geschrieben. Das Inverse von bezeichnet man nun mit .
  • In einem Modul wird die Differenz zweier Elemente erklärt als . Es gelten dann die Regeln: . Wird die abelsche Gruppe multiplikativ geschrieben, so definiert man entsprechend den Quotienten .

Beispiele

  1. ist die wichtigste abelsche Gruppe. Dabei ist die Menge der ganzen Zahlen und die gewöhnliche Addition.
  2. ist eine abelsche Gruppe. Dabei ist die Menge der rationalen Zahlen ohne die und ist die gewöhnliche Multiplikation.
  3. Die Menge der endlichen Dezimalzahlen sind bezüglich der Multiplikation keine abelsche Gruppe. Zum Beispiel hat die Zahl kein Inverses bezüglich der Multiplikation. lässt sich nicht als endlicher Dezimalbruch schreiben. Bezüglich der normalen Addition bilden die endlichen Dezimalbrüche eine abelsche Gruppe.
  4. Die Menge der Verschiebungen in der euklidischen Ebene bilden eine abelsche Gruppe. Die Verknüpfung ist die Hintereinanderausführung der Verschiebungen.
    Ein Dreieck wird um den Verschiebungsvektor verschoben
  5. Die Menge der Drehungen in einer Ebene um einen Punkt bilden eine abelsche Gruppe. Die Verknüpfung ist die Hintereinanderausführung der Drehungen.
  6. Die Menge der Drehstreckungen in einer Ebene bilden eine abelsche Gruppe.
  7. Von genügend kleinen Gruppen lässt sich die Verknüpfungstafel aufschreiben.

.

Ist es die Tafel einer abelschen Gruppe, so ist die Tafel symmetrisch zur Hauptdiagonale. Diese Tafel ergibt sich beispielsweise, wenn man die Drehungen eines gleichseitigen Dreiecks um den Schwerpunkt betrachtet, die das Dreieck in sich überführen. ist die Drehung um , ist die Drehung um und ist die Drehung um .

  1. Sind abelsche Gruppen, so wird zu einer abelschen Gruppe durch .
  2. Ist eine Menge und eine abelsche Gruppe, so ist eine Gruppe, wenn definiert wird: . Es heißt die te Komponente von . Oft wird als Vektor geschrieben der Form . Dabei ist . Ist , so ist die Menge der Folgen, wobei die Folgenglieder Elemente aus sind. Ist , so ist .
  3. Die reellen Zahlen bilden mit der Addition eine abelsche Gruppe; ohne die Null bilden sie mit der Multiplikation eine abelsche Gruppe.
  4. Allgemeiner liefert jeder Körper in derselben Weise zwei abelsche Gruppen und .
  5. Hingegen ist die Gruppe der invertierbaren -Matrizen über einem Körper für ein Beispiel für eine nichtabelsche Gruppe. Die kleinste nichtabelsche Gruppe ist übrigens die symmetrische Gruppe S3 mit sechs Elementen.

Untergruppen

Eine nicht leere Teilmenge der abelschen Gruppe heißt Untergruppe, wenn sie bezüglich der Gruppenoperation selber eine Gruppe ist. Dies ist genau dann der Fall, wenn für alle gilt: .[2] In diesem Artikel wird die folgende Bezeichnung gewählt:.

  1. ist Untergruppe von .
  2. Der Durchschnitt von Untergruppen ist eine Untergruppe.
  3. Jede Teilmenge ist enthalten in einer kleinsten Untergruppe, die enthält. Diese Untergruppe heißt die von erzeugte Untergruppe von . Sie wird mit bezeichnet.
  4. Sind Untergruppen von , so ist die Menge eine Untergruppe von . Allgemeiner: Ist eine Familie von Untergruppen, so ist eine Untergruppe von . Sie heißt die Summe der Untergruppen .
  5. Ist , so ist die von erzeugte Untergruppe . Ist so heißt ein Erzeugendensystem von .
  6. Eine abelsche Gruppe heißt endlich erzeugt , wenn es eine endliche Teilmenge gibt, so dass gilt. Ist von einem Element erzeugt, so heißt zyklisch. Es wird geschrieben.
    1. Jede Untergruppe von ist zyklisch.
    2. Das heißt beispielsweise: Die Summe zweier zyklischer Untergruppen von ist wieder zyklisch. Es gilt . Dabei ist der größte gemeinsamer Teiler von . z. B. .
    3. Sind Untergruppen von , dann ist . Dabei ist das kleinste gemeinsame Vielfache von . Zum Beispiel .
    4. ist nicht endlich erzeugt. Genauer: Ist ein Erzeugendensystem von und ist , so ist auch noch ein Erzeugendensystem.

Faktorgruppen

Ist eine Untergruppe, so definiert eine Äquivalenzrelation. Sind und sind so ist . Die Äquivalenzrelation heißt verträglich mit der Addition. Sei Menge der Äquivalenzklassen. Auf wird eine Addition erklärt.

.[3]

Wollen wir tatsächlich in rechnen, so genügt es sich auf ein Repräsentantensystem von zu beschränken. Denn jede Äquivalenzklasse ist durch ein Element aus der Äquivalenzklasse eindeutig bestimmt. Es ist .

  • Ist eine Untergruppe von , so ist zyklisch. Das heißt es gibt ein mit . Ist , so gibt es einen positiven Repräsentanten in der Äquivalenzklasse von . Es ist daher keine Einschränkung, wenn wir voraussetzen. Wir erhalten einen Repräsentanten von durch Teilen mit Rest. Es ist für zwei positive genau dann, wenn sie beim Teilen durch den gleichen Rest lassen. Es ist dann ein Repräsentantensystem von . Bezeichnet der Rest, der beim Teilen von durch sich ergibt, so entspricht dem Rechnen in folgende 'Addition': für . Den Index beim Zeichen lässt man weg. So ergibt in zum Beispiel .[4]
  • ist eine Untergruppe von . Ein Repräsentantensystem von ist das rechts offene Einheitsintervall . In diesem Repräsentantesystem rechnet man folgendermaßen: . Dabei ist größte ganze Zahl . Es ist daher für

:

  • Die besonderen Eigenschaften der Untergruppe von kommen etwas weiter unten zur Sprache.

Homomorphismen

Definition

Sind abelsche Gruppen, so heißt eine Abbildung Homomorphismus , wenn für alle gilt: .[5]

Beispiele für Homomorphismen

  • Die Identität und die Nullabbildung sind stets Homomorphismen. Zu jeder abelschen Gruppe gibt es genau einen Morphismus . Genauso gibt es genau einen Homomorphismus .
  • Ist eine Untergruppe von , so ist die Inklusionsabbildung ein Homomorphismus.
  • Die Abbildung ist ein Homomorphismus. Allgemein: Ist so ist die Multiplikation mit , also die Abbildung , ein Homomorphismus. Dies ist äquivalent zum Distributivgesetz, welches besagt: Für alle gilt: . Die Multiplikationen sind auch die einzigen Homomorphismen das heißt: Ist ein Homomorphismus, so gibt es ein mit für alle .
  • Ist , so ist die Abbildung ein Homomorphismus, von der additiven Gruppe in die multiplikative Gruppe .
  • Die natürliche Exponentialfunktion: ist ein Homomorphismus abelscher Gruppen. Sie bildet die additive Gruppe bijektiv in die multiplikative Gruppe ab. Die Umkehrabbildung ist der natürliche natürlicher Logarithmus.
  • Die Verkettung von Homomorphismen ist ein Homomorphismus. Die Klasse der abelschen Gruppen, zusammen mit den Homomorphismen bilden eine Kategorie (Mathematik) . Diese ist der Prototyp einer abelschen Kategorie.

Universelle Eigenschaft der ganzen Zahlen

  • Zu jeder Gruppe und jedem gibt es genau einen Homomorphismus mit .

Es ist dann , und

.

Allgemein ist

.

Es ist eine freie abelsche Gruppe mit Basis .

  • Es liegt nahe für und zu definieren: . Es gilt dann:
  1. . (Achtung! Es kann verwirren, dass auf beiden Seiten der Gleichung das gleiche Zeichen verwendet wird. Auf der linken Seite der Gleichung steht das neutrale Element in . Auf der rechten Seite der Gleichung steht das neutrale Element in . Beide Male sind die verschiedenen neutralen Elemente mit geschrieben.)
  2. Für alle ist .
  3. Für alle und alle ist .
  4. Für alle und alle ist .
  5. Für alle und alle ist .
  • Jeder Modul wird auf diese Weise zu einem -Modul. Ist ein Homomorphismus, so ist für alle : .
  • Es lohnt sich die vorletzte Aussage für eine Gruppe zu übersetzen, die multiplikativ geschrieben wird. In diesem Falle ist das Neutralelement in die . Zu jedem beliebigen gibt es genau einen Homomorphismus mit . Es ist . Allgemein ist . Die obigen Gesetze besagen dann:
  1. Für alle ist .
  2. Für alle ist .
  3. Für alle ist .
  4. Für alle ist . Wird für die Menge der rationalen oder reellen Zahlen eingesetzt, so ergeben sich die aus der Schule bekannten Gesetze für das Rechnen mit Exponenten.

Eigenschaften von Homomorphismen

Ist ein Homomorphismus, und sind beziehungsweise Untergruppen, so sind und Untergruppen. Insbesondere sind und Untergruppen. Hieraus folgt:

  • Ist eine Gruppe und eine natürliche Zahl, so ist und Untergruppen von . Dies gilt, da die Multiplikation mit ein Homomorphismus ist.
  • ist Untergruppe von . Dies ist die Torsionsuntergruppe von . Ist , so heißt torsionsfrei. Für jede Gruppe ist torsionsfrei. Die Torsionsuntergruppe von ist .
  • Ist ein Homomorphismus und ist von Elementen erzeugt und ist von Elementen erzeugt, so ist von Elementen erzeugt.
  • Jede Untergruppe von ist von maximal Elementen erzeugt.

Injektive Homomorphismen

  • Ist ein bijektiver Homomorphismus, so ist auch die Umkehrabbildung ein Homomorphismus. In diesem Fall heißt Isomorphismus. Gibt es einen Isomorphismus zwischen und so heißen isomorph.
  • Ist ein Homomorphismus, so sind folgende Aussagen äquivalent. In diesem Fall heißt Monomorphismus.
  1. ist als Abbildung injektiv.
  2. .
  3. Für alle abelschen Gruppen und alle Homomorphismen mit ist . Es ist links kürzbar.
  • Die Verkettung von Monomorphismen ist ein Monomorphismus. Das heißt genauer: Sind Monomorphismen, so ist ein Monomorphismus.

Surjektive Homomorphismen

Ist ein Homomorphismus, so sind die folgenden Aussagen äquivalent. Dann heißt Epimorphismus.

  1. ist als Abbildung surjektiv.
  2. .
  3. Für alle Gruppen und alle gilt: Ist , so ist . Es ist auf der rechten Seite kürzbar.
  • Ist eine Untergruppe, so ist die Abbildung ein Epimorphismus.
  • Die Verkettung von Epimorphsmen ist ein Epimorphismus. Das heißt genauer: Sind und Epimorphismen, so ist ein Epimorphismus. Er heißt kanonischer Epimorphismus.
  • Sind und Homomorphismen und ist ein Epimorphismus, so ist ein Epimorphismus.

Isomorphismus, Isomorphiesätze

Ein bijektiver Homomorphismus heißt Isomorphismus. Dies ist genau dann der Fall, wenn er monomorph und epimorph ist. Es gelten die folgenden Sätze.

  • Homomorphiesatz: Sei ein Homomorphismus. der kanonische Epimorphismus. Dann ist ein Monomorphismus mit . Insbesondere ist .[6] Es ist folgendes Diagramm kommutativ.
    Datei:Bild-zum-Homomorphiesatz.svg
    Homomorphiesatz

Der Homomorphiesatz gilt allgemein für Gruppen.

  • Erster Isomorphiesatz: Seien Untergruppen von . Dann gilt: .[7]
  • Zweiter Isomorphiesatz: Seien Untergruppen. Dann gilt : .[8]

Der Funktor Hom(A, –)

  • Sind Gruppen, so ist die Menge eine Gruppe. Die Addition ist erklärt durch: .
    • Es ist für jede endlich erzeugte Gruppe .
    • Ist der größte gemeinsame Teiler zwei Zahlen gleich , so ist .
    • Für alle abelschen Gruppen ist . Diese Isomorphie ist ein funktorieller Isomorphismus. Genauer wird dies weiter unten ausgeführt.
  • Ist ein Homomorphismus, so ist die Zuordnung ein Homomorphismus. Für gilt: . Ist die Identität auf , so ist die Identität auf . Ist ein Isomorphismus, so ist ein Isomorphismus. Wird
    • Jeder abelschen Gruppe die abelsche Gruppe und
    • jedem Homomorphismus der Homomorphismus zugeordnet, so erhält man den Funktor von der Kategorie der abelschen Gruppen in die Kategorie .
  • Die letzte Aussage wirft ein Licht auf die universelle Eigenschaft von . Da es zu jedem einen eindeutig bestimmten Homomorphismus mit gibt, ist die Zuordnung eine Funktion. Es gilt genauer: Die Familie der Abbildungen: hat die folgende Eigenschaft: Für alle und alle Homomorphismen ist . Außerdem ist für alle die Abbildung ein Isomorphismus. Die Umkehrabbildung ist: . Das heißt folgendes Diagramm ist kommutativ für alle und alle mit Isomorphismen .
    Das Diagramm beschreibt den funktoriellen Isomomorphismus A nach Hom(Z,A)
    Das Diagramm beschreibt den funktoriellen Isomomorphismus A nach Hom(Z,A)
    Das heißt unter anderem ist Monomorphismus oder Epimorphismus genau dann, wenn dies ist.
  • Hom(G,-) und exakte Folgen: Ist eine exakte Folge exakte Folge abelscher Gruppen, so ist für jede Gruppe die induzierte Folge exakt.[9] Dabei ist . Der Funktor heißt links exakt. Ist ein Epimorphismus, so ist normalerweise kein Epimorphismus.
  • Für gelten die folgenden Gesetze.
    • Für alle ist und .
    • Für alle ist und .
    • Für alle ist . ist ein unitärer Ring.

Verallgemeinerungen, Weiterführendes

Die Theorie der abelschen Gruppen ist reichhaltig. Hier sei auf einige grundlegende Begriffe hingewiesen. Manchmal gibt es zu einem Teilaspekt einen Eintrag in der Wikipedia. Meist nicht.

  • Jeder Modul ist ein Modul über dem Ring (siehe oben). Wird durch einen beliebigen Ring ersetzt, erhalten wir einen -Modul. Sätze über abelsche Gruppen können so oft auf Moduln über Hauptidealbereichen übertragen werden. Ein Beispiel ist die Klassifikation endlich erzeugter abelscher Gruppen (siehe unten).
  • Torsionsgruppen: Ein heißt Torsionselement, wenn es eine natürliche Zahl gibt, so dass . Die Menge aller Torsionselemente in einer Gruppe bilden eine Untergruppe. Beispielsweise ist die Torsionsuntergruppe von .
  • Direkte Summen abelscher Gruppen: Für den Fall zweier Untergruppen sei der Begriff hier erklärt. Ist und , so heißt direkte Summe von .
  • Direktes Produkt.
  • freie abelsche Gruppe: Manche abelschen Gruppen haben so etwas wie eine Basis in einem Vektorraum. In der Theorie der -Moduln spielen die freien Moduln eine große Rolle.
  • Teilbare abelsche Gruppe
  • endlich erzeugte abelsche Gruppe. Ihre Struktur ist so ziemlich geklärt. Sie sind direkte Summe von unzerlegbaren zyklischen Gruppen.
  • Für beliebige abelsche Gruppen kann man analog zum Begriff der Dimension eines Vektorraums jeder abelschen Gruppe ihren Rang zuordnen. Er ist definiert als die größte Mächtigkeit einer -linear unabhängigen Teilmenge. Die ganzen Zahlen und die rationalen Zahlen haben Rang 1, so wie jede Untergruppe von . Die abelschen Gruppen vom Rang 1 sind gut verstanden, dagegen sind für höhere Ränge noch viele Fragen offen. Abelsche Gruppen mit unendlichem Rang können extrem komplex sein und ihre offenen Fragen sind oft eng verbunden mit Fragen der Mengenlehre.

Siehe auch

Literatur

  • Siegfried Bosch: Algebra. 7., überarbeitete Auflage. Springer, Berlin u. a. 2009, ISBN 978-3-540-92811-9.
  • László Fuchs: Abelian Groups. (= Springer Monographs in Mathematics). Springer International, 2016, ISBN 978-3-319-19421-9.
  • Friedrich Kasch: Moduln und Ringe. Teubner, Stuttgart 1977, ISBN 3-519-02211-7
  • Serge Lang: Algebra (= Graduate Texts in Mathematics. Band 211). 3., überarb. Auflage. Springer, New York NY u. a. 2002, ISBN 0-387-95385-X.
  • Stephan Rosebrock: Anschauliche Gruppentheorie – eine computerorientierte geometrische Einführung. 3. überarbeitete Auflage, Springer Spektrum, Berlin 2020, ISBN 978-3-662-60786-2.

Einzelnachweise

  1. Làzlò Fuchs: Abelian Groups Springer, ISBN 978-3-319-19421-9, S. 1.
  2. Làzlò Fuchs: Abelian Groups Springer, ISBN 978-3-319-19421-9, Seite 2.
  3. Làzlò Fuchs: Abelian Groups Springer, ISBN 978-3-319-19421-9, S. 3.
  4. Andreas Bartholomé, Josef Rung, Hans Kern: "Zahlentheorie für Einsteiger" Vieweg+Teubner, 7. Auflage, 2010, ISBN 978-3-8348-1213-1, Seite 44ff
  5. Làzlò Fuchs: Abelian Groups Springer, ISBN 978-3-319-19421-9, Seite 6.
  6. Friedrich Kasch: Moduln und Ringe. Teubner, Stuttgart 1977, Seite 55, ISBN 3-519-02211-7
  7. Friedrich Kasch: Moduln und Ringe. Teubner, Stuttgart 1977, Seite 57, ISBN 3-519-02211-7
  8. Friedrich Kasch: Moduln und Ringe. Teubner, Stuttgart 1977, Seite 58, ISBN 3-519-02211-7
  9. Làzlò Fuchs: Abelian Groups Springer, ISBN 978-3-319-19421-9, S. 217.

Weblinks

Commons: Parallelverschiebung - Weitere Bilder oder Audiodateien zum Thema


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