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| [[Datei:Triangles (spherical geometry).jpg|mini|400px|Die Sphäre kann mit mehreren Abbildungen „plattgedrückt“ werden. Entsprechend kann die Erdoberfläche in einem Atlas dargestellt werden.]]
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| Unter einer '''Mannigfaltigkeit''' versteht man in der [[Mathematik]] einen [[topologischer Raum|topologischen Raum]], der lokal dem [[euklidischer Raum|euklidischen Raum]] <math>\mathbb{R}^n</math> gleicht. Global muss die Mannigfaltigkeit jedoch ''nicht'' einem euklidischen Raum gleichen (nicht zu ihm [[Homöomorphismus|homöomorph]] sein). Der Begriff wurde von [[w:Bernhard Riemann|Bernhard Riemann]] in seinem Habilitationsvortrag ''Ueber die Hypothesen welche der Geometrie zu Grunde liegen'', den er 1854 unter anderem vor [[Carl Friedrich Gauß]] hielt.
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| Mannigfaltigkeiten sind der zentrale Gegenstand der [[Differentialgeometrie]] und haben bedeutende Anwendungen in der [[Theoretische Physik|theoretischen Physik]].
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| == Beispiel ==
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| Ein gern gewähltes Beispiel für eine Mannigfaltigkeit ist eine [[Topologische Sphäre|Sphäre]] (= Kugeloberfläche), anschaulich etwa die Erdoberfläche:
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| Jede Region der Erde kann mit einer [[w:Atlas (Mathematik)|Karte]] auf eine [[Ebene (Mathematik)|Ebene]] (<math>\mathbb{R}^2</math>) abgebildet werden.
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| Nähert man sich dem Rand der Karte, soll zu einer anderen Karte gewechselt werden, die das angrenzende Gebiet darstellt. So kann eine Mannigfaltigkeit durch einen vollständigen Satz von Karten vollständig beschrieben werden; man braucht dabei Regeln, wie sich beim Kartenwechsel die Karten überlappen. Dagegen gibt es keine einzelne Karte, auf der die gesamte Kugeloberfläche vollständig dargestellt werden kann, ohne letztere zu „zerreißen“; [[w:Karte (Kartographie)|Weltkarten]] haben ebenfalls stets „Ränder“, oder sie bilden Teile der Erde zweimal ab.
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| Die Dimension einer Mannigfaltigkeit entspricht der Dimension einer lokalen Karte; alle Karten haben die gleiche Dimension.
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| Ein anderes Beispiel ist der [[Torus]] („[[w:Rettungsring|Rettungsring]]“, „[[w:Donut|Donut]]“).
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| == Siehe auch == | | == Siehe auch == |
| | * {{WikipediaDE|1021}} |
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| * {{WikipediaDE|Manigfaltigkeit}}
| | [[Kategorie:Jahreszahlen]] |
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| [[Kategorie:Topologie]] | |
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