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Ein '''Tensor''' (von [[lat.]] ''tendere'' „spannen“) ist eine [[Algebra|algebraische]] Verallgemeinerung der [[Mathematik|mathematischen]] Begriffe von [[Skalar]], [[Vektor]] und [[Matrix (Mathematik)|Matrix]]. Im heute gebräuchlichen, erstmals von dem deutschen Physiker [[Wikipedia:Woldemar Voigt|Woldemar Voigt]] geprägten Sinn<ref>Woldemar Voigt: ''Die fundamentalen physikalischen Eigenschaften der Krystalle in elementarer Darstellung'', Verlag von Veit & Comp., Leipzig 1898 [https://archive.org/details/bub_gb__Ps4AAAAMAAJ/page/n0 archive.org]</ref> versteht man darunter eine [[multilineare Abbildung]] von Skalaren, Vektoren und Tensoren auf einen resultierenden Tensor. Der '''Rang''' bzw. die '''Stufe''' eines Tensors gibt dessen [[Dimension]]alität an. So hat etwa ein Skalar den Rang 0, ist also ein Tensor 0-ter Stufe. Ein Vektor hat entsprechend den Rang 1, eine Matrix den Rang 2 usw. Ein klassisches Beispiel für einen Tensor zweiter Stufe ist der von [[Wikipedia:Augustin-Louis Cauchy|Augustin-Louis Cauchy]] eingeführte '''Spannungstensor''' <math>\boldsymbol{\sigma}</math>, der in Matrixschreibweise wie folgt angegeben werden kann:
 
<div style="margin-left:20px">
<math>
\boldsymbol{\sigma}
=
\begin{pmatrix}
\sigma_{x}&\tau_{xy}&\tau_{xz}\\
\tau_{yx}&\sigma_{y}&\tau_{yz}\\
\tau_{zx}&\tau_{zy}&\sigma_{z}
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
\sigma_{11}&\sigma_{12}&\sigma_{13}\\
\sigma_{21}&\sigma_{22}&\sigma_{23}\\
\sigma_{31}&\sigma_{32}&\sigma_{33}
\end{pmatrix}
</math>
</div>
 
Der Spannungstensor bildet einen Normalvektor <math>\hat n</math> auf den entsprechenden Spannungsvektor <math>\vec T^{\hat n}</math> ab:
 
:<math>\vec T^{(\hat n)}=\boldsymbol{\sigma} \cdot\hat n</math>
 
== Siehe auch ==
 
* {{WikipediaDE|Tensor}}
* {{WikipediaDE|Spannungstensor}}
 
== Einzelnachweise ==
 
<references />
 
[[Kategorie:Algebra]]

Version vom 13. Oktober 2018, 09:50 Uhr

Der Spannungstensor von Cauchy in schematisch-räumlicher Darstellung

Ein Tensor (von lat. tendere „spannen“) ist eine algebraische Verallgemeinerung der mathematischen Begriffe von Skalar, Vektor und Matrix. Im heute gebräuchlichen, erstmals von dem deutschen Physiker Woldemar Voigt geprägten Sinn[1] versteht man darunter eine multilineare Abbildung von Skalaren, Vektoren und Tensoren auf einen resultierenden Tensor. Der Rang bzw. die Stufe eines Tensors gibt dessen Dimensionalität an. So hat etwa ein Skalar den Rang 0, ist also ein Tensor 0-ter Stufe. Ein Vektor hat entsprechend den Rang 1, eine Matrix den Rang 2 usw. Ein klassisches Beispiel für einen Tensor zweiter Stufe ist der von Augustin-Louis Cauchy eingeführte Spannungstensor , der in Matrixschreibweise wie folgt angegeben werden kann:

Der Spannungstensor bildet einen Normalvektor auf den entsprechenden Spannungsvektor ab:

Siehe auch

Einzelnachweise

  1. Woldemar Voigt: Die fundamentalen physikalischen Eigenschaften der Krystalle in elementarer Darstellung, Verlag von Veit & Comp., Leipzig 1898 archive.org