Absolutismus und Gruppe (Mathematik): Unterschied zwischen den Seiten

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[[Datei:Louis XIV of France.jpg|thumb|400px||hochkant=1.5|Inszenierung des absoluten Herrschers im Staatsporträt [[Wikipedia:.Ludwig XIV.|Ludwigs XIV.]] von Hyacinthe Rigaud (um 1700). Die selbstbewusste Pose des mit allen Insignien seiner Macht dargestellten französischen Königs versinnbildlicht seinen durch göttlichen Auftrag legitimierten Herrschaftsanspruch. Das Ölgemälde wurde zum Vorbild für die Porträts absolutistischer Herrscher in ganz Europa.]]
[[Datei:Rubik's cube.svg|mini|Auch die Drehungen eines [[Wikipedia:Zauberwürfel|Zauberwürfel]]s ({{EnS|Rubik’s Cube}}) bilden eine Gruppe.]]
Mit '''Absolutismus''' (auch '''absolute Monarchie''' genannt; lat. ''absolutus'': „losgelöst“, im Sinne von ''legibus absolutus'' = ''von den Gesetzen losgelöst'') wird eine [[Herrschaftsform]] in [[Monarchie]]n bezeichnet, die von der Regierung eines aus eigener Machtvollkommenheit handelnden [[Wikipedia:herrscher|Herrscher]]s ohne oder ohne wesentliche politische Mitentscheidung [[Wikipedia:Ständeordnung|ständischer]] oder [[Wikipedia:Demokratie|demokratischer]] Institutionen bestimmt ist (Alleinherrschaft). Diese Regierungsform wurde von [[Wikipedia:Jean Bodin|Jean Bodin]] systematisch dargestellt und gerechtfertigt.


Zugleich bezeichnet der Begriff auch eine von dieser Regierungsform geprägte [[Wikipedia:Frühe Neuzeit|frühneuzeitliche]] Epoche europäischer Geschichte zwischen den Religionskriegen des 16. und frühen 17. Jahrhunderts und den Revolutionen des späten 18. Jahrhunderts.  
Als '''Gruppe''' wird in der [[Mathematik]] eine [[Menge (Mathematik)|Menge]] von [[Element (Mathematik)|Elementen]] zusammen mit einer zweistelligen [[Verknüpfung (Mathematik)|Verknüpfung]] (z.B. Addition, Multiplikation), durch die jeweils zwei Elementen ein drittes Element derart zugeodnet wird, dass dabei folgende drei '''Gruppenaxiome''' erfüllt sind:


Seit dem Ende des 20. Jahrhunderts wird der Begriff als Beschreibung eines Zeitalters in Frage gestellt, weil neben absolutistischen Fürstentümern auch Republiken wie die [[Republik der Sieben Vereinigten Provinzen|Niederlande]] oder [[konstitutionelle Monarchie]]n wie [[Königreich England|England]] eine Blütezeit erlebten. Aus diesem Grund wird als Epochenbezeichnung mittlerweile der Begriff „[[Barock|Zeitalter des Barock]]“ gewählt, der neben den politischen Unterschieden auch zeitgenössische religiöse, philosophische und ästhetische Erscheinungen mit einbezieht.
# Es gilt das [[Assoziativgesetz]], d.h. <math> a \star \left( b \star c \right) = \left( a \star b \right) \star c </math>
# Es existiert ein '''neutrales Element''' <math>e</math>, sodass <math>e \star a = a</math> (linksneutral) oder <math>a \star e = a</math> (rechtsneutral). Wird auch das [[Kommutativgesetz]] erfüllt, ist <math>e \star a = a \star e = a</math>.
# Es gibt '''inverse Elemente''' <math>a^{-1}</math>, sodass <math>a^{-1} \star a = e</math> und/oder <math>a \star a^{-1} = e</math>


Absolutistische Regierungsformen gibt es auch in der Gegenwart, so in der jeweils aus religiösen Prinzipien abgeleiteten Herrschaft des [[Papst]]es im [[Vatikanstaat]] und des Königs von [[Saudi-Arabien]].


== Typisierungversuche: Kennzeichen des „Absolutismus“ ==
== Abelsche Gruppe ==
Als Kennzeichen für den „Absolutismus“ wird der Verstaatlichungsprozess bezeichnet, der sich unter anderem in der Aufstellung [[Stehendes Heer|stehender Heere]], dem Aufbau eines allein vom Herrscher abhängigen Beamtenapparats, der Einbindung der [[Kirche (Organisation)|Kirche]] in das Staatswesen und einem [[Merkantilismus|merkantilistischen]] Wirtschaftssystem manifestierte. Darüber hinaus hätte ein Wandel im Selbstverständnis des barocken Fürsten zu einer Intensivierung des höfischen Lebens stattgefunden, das seine Hochblüte am Versailler Hof [[Ludwig XIV.|Ludwigs XIV.]] fand.
Für eine '''abelsche Gruppe''' ist zusätzlich auch das [[Kommutativgesetz]] erfüllt, d.h. <math>a \star b = b \star a</math>. Die wichtigste und bekannteste abelsche Gruppe ist <math> (\mathbb Z,+,0) </math>, die aus der Menge der [[Ganze Zahlen|ganzen Zahlen]] <math>\{\ldots, -3, -2, -1, 0, +1, +2, +3, \ldots\}</math> und der gewöhnlichen Addition <math> + </math> besteht.


Der absolute Monarch beanspruchte zwar die unbeschränkte und ungeteilte [[Staatsgewalt]] ohne Mitwirkung von [[Ständegesellschaft|Ständen]] oder [[Parlament]]; Theoretiker der absoluten Monarchie wie [[Thomas Hobbes]] oder [[Jean Bodin]] betonten aber auch Beschränkungen der Herrschaft, etwa dass der Monarch in seinem Handeln an die Gebote der Religion, an das [[Naturrecht]] und gegebenenfalls auch an die Staatsgrundgesetze zu halten hat.<ref>[[Alexander Schwan]]: ''Politische Theorien des Rationalismus und der Aufklärung.'' In: Hans-Joachim Lieber (Hrsg.): ''Politische Theorien von der Antike bis zur Gegenwart'', Bundeszentrale für politische Bildung/bpb, Bonn 1993, S. 164–172; [[Wolfgang Weber (Historiker, 1950)|Wolfgang Weber]]: ''Absolutismus.'' In: Dieter Nohlen (Hrsg.): ''Lexikon der Politik, Band 7: Politische Begriffe.'' Directmedia, Berlin 2004, S. 21.</ref> Jedoch sollte der Monarch keinen [[Positives Recht|positiven]] [[Gesetz]]en unterworfen sein.<ref>Martin Peters: ''Altes Reich und Europa. Der Historiker, Statistiker und Publizist August Ludwig (v.) Schlözer (1735–1809).'' 2., korr. Aufl., Lit Verlag, Münster 2005, S. 8.</ref>
== Halbgruppe ==
Eine '''Halbgruppe''' erfüllt nur die beiden ersten Bedingungen. So bildet etwa die Menge der [[Natürliche Zahl|natürlichen Zahlen]] <math>\mathbb N_0 = \{0, 1, 2, 3, \ldots\}</math> zusammen mit der gewöhnlichen Addition die kommutative (abelsche) Halbgruppe <math>(\mathbb N_0,+,0)</math>. Im Gegensatz zur der abelschen Gruppe <math>(\mathbb Z,+,0)</math> der [[Ganze Zahl|ganzen Zahlen]] <math>\mathbb Z = \{\ldots, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, \ldots\}</math> fehlt hier die ganze „Hälfte“ der ''negativen Zahlen'' und damit die inversen Elemente.


In der zumeist als „aufgeklärter Absolutismus“ bezeichneten Spätphase „absolutistischer Herrschaft“ hätte sich der Fürst als „erster Diener des Staates“ verstanden und eine am Gemeinwohl orientierte Reformpolitik verfolgt, die sich unter anderem in religiöser Toleranz, Reformen des Erziehungs- und Schulwesens und Maßnahmen zur Verbesserung der Rechtspflege widerspiegelte.
== Gruppentheorie ==
{{WikipediaDE|Gruppentheorie}}


Immer noch landläufig wird der „Absolutismus“ als weit verbreitete Herrschaftsform in Europa beschrieben, die im Zeitalter des [[Barock]]s zur höchsten Blüte gelangte. Diese Form der Typisierung begann mit dem Historiker [[Wilhelm Roscher]], der im 19. Jahrhundert erstmals den Versuch unternahm, das „absolutistische Zeitalter“ zu periodisieren und der aufgeklärten Epoche eine gesonderte historische Stellung zuzuweisen. Er stellte die These einer Stufenfolge, die mit ''„konfessionellem Absolutismus“'' beginnt, in einen ''„höfischen Absolutismus“'' übergeht und schließlich im ''„[[Aufgeklärter Absolutismus|aufgeklärten Absolutismus]]“'' mündet.<ref>[[Wilhelm Roscher]]: ''Geschichte der National-Oekonomik in Deutschland.'' R. Oldenbourg, München 1874, [https://archive.org/stream/geschichtedernat00roscuoft#page/380/mode/2up S. 380 f.]</ref> Das Musterbeispiel für den „höfischen Absolutismus“ ist die Herrschaft des französischen Königs [[Ludwig XIV.|Ludwig XIV]]. Später habe sich aus dem reinen „Absolutismus“ der so genannte „aufgeklärte Absolutismus“ entwickelt, in dem das allgemeine Wohlergehen zum Primärziel des ansonsten absolut regierenden Monarchen wurde: Der König habe sich selbst als der ''erste Diener seines Staates'' (Selbstbeschreibung [[Friedrich II. (Preußen)|Friedrich II. von Preußen)]] verstanden.
Die mathematische Disziplin, die sich mit den Gruppen beschäftigt, heißt '''Gruppentheorie'''.
 
Neben dieser traditionellen Epocheneinteilung wurde seit dem 19. Jahrhundert das Roschersche Modell zunehmend auf Teilgebiete der Geschichte der [[Frühe Neuzeit|Frühen Neuzeit]] bezogen. So sprach man vom praktischen, bürokratischen, [[Germanen|germanischen]] und dem [[Romanen|romanischen]] „Absolutismus“, ohne den Begriff zu hinterfragen beziehungsweise die komplexen Unterschiede aufzuzeigen.<ref>{{Literatur |Autor=[[Heinz Duchhardt]] |Titel=Barock und Aufklärung. 16.–18. Jahrhundert |Seiten=169 f |Auflage=4. |Verlag=R. Oldenbourg Verlag |Ort=München |Jahr=2007 |ISBN=978-3-486-49744-1}}</ref>
 
Während der Begriff „Zeitalter des Absolutismus“ als Epochenbezeichnung für die Phase europäischer Geschichte vom [[Westfälischer Friede|Westfälischen Frieden]] (1648) bis zum Ausbruch der [[Französische Revolution|Französischen Revolution]] (1789) lange Zeit unumstritten war, hat man am Ende des 20. Jahrhunderts die Vorstellung von einer unumschränkten Machtausübung des „absoluten Herrschers“ unter Ausschaltung aller der [[Zentralismus|Zentralisierung]] entgegenstehenden Kräfte vielfach relativiert und zunehmend nach dem „Nichtabsolutistischen im Absolutismus“ (Gerhard Oestreich) gefragt.<ref>Vgl. dazu den Forschungsüberblick bei Kunisch, ''Absolutismus'', S. 179–206.</ref> Als Gegenströmung zum „Zeitalter des Absolutismus“ gilt die Epoche der [[Aufklärung]].
 
Inzwischen wird sogar vom „Mythos Absolutismus“ gesprochen.<ref>Nicholas Henshall: The Myth of Absolutism. Change and Continuity in Early Modern European Monarchy, London 1993 [erstmals 1992]. Rezension von Heinz Durchhard: Absolutismus – Abschied von einem Epochenbegriff?, in: HZ 258 (1994), S. 113–122.</ref> Hauptthese ist, dass auch im Frankreich eines Ludwigs XIV. ohne Klientelwirtschaft und traditionelle Eliten und ohne dezentrale regionale und lokale Strukturen politische Macht niemals durchsetzbar gewesen wäre. Gleichzeitig wird der „Sonderweg“ Englands – in Abgrenzung zum sonstigen „absolutistischen“ Europa – in Frage gestellt.<ref>{{Literatur |Autor=Jonathan Clark |Titel=English Society 1688–1832 |TitelErg=Ideology, Social Structure and Political Practice During the Ancien Regime |Auflage=2. |Verlag=Cambridge University Press |Ort=Cambridge |Jahr=1985 |ISBN=0-521-30922-0 |Kommentar=Rezension: http://www.history.ac.uk/reviews/review/41b}}</ref>
 
Demgegenüber monieren einige Wissenschaftler einen [[Revisionismus]], mit einer verbreiten {{"|Neigung zur fast vollständigen Demontage des früheren Absolutismus-Bildes}}<ref>So {{Literatur |Autor=Ulrich Muhlack |Herausgeber=Johannes Kunisch |Titel=Absoluter Fürstenstaat und Heeresorganisation in Frankreich im Zeitalter Ludwigs XIV. |Sammelwerk=Staatsverfassung und Heeresverfassung in der europäischen Geschichte der frühen Neuzeit |Verlag=Duncker & Humblot |Ort=Berlin |Jahr=1986 |Seiten=249–278 |ISBN=3-428-05964-6}}</ref>
 
[[Datei:Friedrich Zweite Alt.jpg|mini|[[Friedrich II. (Preußen)|Friedrich II. von Preußen]] als Vertreter des „aufgeklärten Absolutismus“]]
Insgesamt scheint sich aber eine Abkehr vom Begriff des „Absolutismus“ in der Geschichtswissenschaft durchzusetzen. So wurde Band 11 ''Das Zeitalter des Absolutismus'' des Standardwerks ''Oldenbourg Grundriss der Geschichte'' in seiner 4. Auflage in ''Barock und Aufklärung'' umbenannt.<ref>{{Literatur |Autor=[[Heinz Duchhardt]] |Titel=Barock und Aufklärung. 16.–18. Jahrhundert |Seiten=169 f |Auflage=4. |Verlag=R. Oldenbourg |Ort=München |Jahr=2007 |ISBN=978-3-486-49744-1}}</ref>
 
=== Höfischer Absolutismus ===
Im Begriff des „höfischen Absolutismus“ wird dem [[König]] eine absolute Herrschaft über seinen [[Staat]] durch Gottes Gnade zugesprochen. Danach lebt er an einem prunkvollen Hof und bestimmt die Religion seiner Untertanen. Er bemüht sich, die Adligen seines Landes an seinen Hof zu ziehen und sie dadurch nicht nur unter seine Kontrolle zu bringen, sondern auch durch das kostspielige Hofleben, das sich die meisten nur durch großzügige Schenkungen des Monarchen leisten konnten, in eine Abhängigkeit von ihm zu treiben. Das Strafsystem sieht strenge Strafen – inklusive [[Tortur]] – vor. Es gibt die [[Leibeigenschaft]] und [[Fronarbeit]]. Adel und Kirche genießen Privilegien wie zum Beispiel Steuerfreiheit. Der Staat besitzt große Mengen Geld und [[Edelmetall]]e.
 
Als größte Ausprägungsform des höfischen „Absolutismus“ wird der Hof [[Ludwig XIV.|Ludwigs XIV.]] in [[Schloss Versailles|Versailles]] angesehen. Der Adel wurde durch ein prunkvolles Hofleben abhängig vom König, da dieser die Kosten für die Feste übernahm und dem [[Adel]] [[Geld]] lieh. Dadurch konnte der [[König]] losgelöst vom Adel regieren. Den Klerus beeinflusste er durch zahlreiche Unterstützungen der [[Kirche (Organisation)|Kirche]]. Zudem berief er sich darauf, ein „Herrscher von Gottes Gnaden“ zu sein. Den dritten Stand kontrollierte Ludwig durch die [[Fürst]]en und durch die Gunst der höheren Bürgerschaft, wodurch er die Macht über die untere Arbeiterschaft gewann. Zudem wurde jedweder Zweifel an der Autorität des Monarchen mit äußerster Härte bestraft.
 
Diesem Bild des Hofes als ein „Disziplinierungs- und Sakralisierungselement“ wird aber selbst für Frankreich in Frage gestellt. So sprechen einige Historiker davon, dass selbst Ludwig XIV. eine absolute Macht nur als Lichtgestalt in der Repräsentation erreicht habe.<ref>So {{Literatur |Autor=Louis Marin |Titel=Das Portrait des Königs |Verlag=diaphanes |Ort=Zürich |Jahr=2005 |ISBN=978-3-935300-62-9 |Originalsprache=fr |Originaltitel=Le Portrait du roi |Übersetzer=Heinz Jatho}}</ref> Die Abhängigkeit und Vernetzung der „absolutistischen“ Fürsten von Ständen, Kreditgebern, Künstlern und Kirchen ließen aber vor allem außerhalb Frankreichs kein geschlossenes System entstehen. Insbesondere in kleineren Fürstentümern und vor allem in geistlichen Staaten kann keineswegs von einer „absolutistischen“ Herrschaft gesprochen werden.<ref>{{Literatur |Titel=Barock und Aufklärung |Autor=[[Heinz Duchhardt]] |Seiten=172 f |Auflage=4. |Verlag=R. Oldenbourg |Ort=München |Jahr=2007 |ISBN=978-3-486-49744-1}}</ref>
 
=== Aufgeklärter Absolutismus ===
Im [[Aufgeklärter Absolutismus|„aufgeklärten Absolutismus“]] sieht sich der König als der „erster Diener des Staates“ an (Zitat Friedrichs II. von Preußen). Sein Hof wird einfach gehalten, um die Effizienz des Staatsapparates zu erhöhen. Der Einfluss von Adel und Klerus (Kirche) ist geringer, das Volk hat eine freie Religionswahl. Die [[Leibeigenschaft]] wird verboten, die [[Fronarbeit]] gemildert und das Strafsystem sieht weniger strenge Strafen vor. Der Reichtum des Staates ist sein Grund und Boden ([[Physiokratismus]]). Die praktische Umsetzung wird vor allem in der [[Haus Österreich|österreichischen Habsburgermonarchie]] durch [[Maria Theresia]] sowie deren Sohn [[Joseph II. (HRR)|Josef II.]], und in [[Preußen]] durch [[Friedrich II. (Preußen)|Friedrich II.]] zugeschrieben.


== Siehe auch ==
== Siehe auch ==
* {{WikipediaDE|Absolutismus}}
* {{WikipediaDE|Aufgeklärter Absolutismus}}
== Literatur ==
'''Allgemeines und Forschungskonzept'''
* Perry Anderson: ''Die Entstehung des absolutistischen Staates.'' Suhrkamp, Frankfurt am Main 1984, ISBN 3-518-10950-2.
* Ronald G. Asch, Heinz Duchhardt (Hrsg.): ''Der Absolutismus – ein Mythos? Strukturwandel monarchischer Herrschaft in West- und Mitteleuropa (ca. 1550–1700).'' Böhlau, Köln 1996, ISBN 3-412-06096-8. Darin: Nicholas Henshall: ''Early Modern Absolutism 1550–1700. Political Reality or Propaganda.'' S. 25–53 ([http://www.uibk.ac.at/geschichte-ethnologie/_old_geschichte-ethnologie/virtuelles-museum/literatur/nicholas-henshall_early-modern-absolutism_25-53.pdf Digitalisat]).
* Peter Baumgart: ''Absolutismus ein Mythos? Aufgeklärter Absolutismus ein Widerspruch? Reflexionen zu einem kontroversen Thema gegenwärtiger Frühneuzeitforschung.'' In: ''Zeitschrift für historische Forschung.'' Bd. 27, 2000, S. 573–589.
** Dazu die Replik von Heinz Duchhardt: ''Die Absolutismusdebatte – eine Antipolemik.'' In: ''Historische Zeitschrift.'' Bd. 275, 2002, S. 323–331.
* Richard Bonney: ''L’absolutisme'' (= ''Que sais-je?'' Bd. 2486). PUF, Paris 1989, ISBN 2-13-042616-6.
* Dagmar Freist: ''Absolutismus'' (= ''Kontroversen um die Geschichte''). Wissenschaftliche Buchgesellschaft, Darmstadt 2008, ISBN 978-3-534-14724-3.
* Nicholas Henshall: ''The Myth of Absolutism. Change and Continuity in Early Modern European Monarchy.'' Longman, London 1992, ISBN 0-582-05618-7.
** Dazu die Rezension von Heinz Duchhardt: ''Absolutismus. Abschied von einem Epochenbegriff?'' In: ''Historische Zeitschrift.'' Bd. 258, 1994, S. 113–122.
* Ernst Hinrichs: ''Fürsten und Mächte. Zum Problem des europäischen Absolutismus.'' Vandenhoeck & Ruprecht, Göttingen 2000, ISBN 3-525-36245-5.
* Leonhard Horowski: ''Das Europa der Könige. Macht und Spiel an den Höfen des 17. und 18. Jahrhunderts.'' Rowohlt, Reinbek bei Hamburg 2017, ISBN 978-3498028350.
* Georg Seiderer: ''Über die Rechtmäßigkeit politischer Herrschaft: Die Staatslehre des Absolutismus.'' In: ''Welt und Kulturgeschichte.'' Bd. 9: ''Zeitalter des Absolutismus.'' Zeitverlag 2006, ISBN 3-411-17599-0, S. 162–172.
* Lothar Schilling (Hrsg.): ''Absolutismus, ein unersetzliches Forschungskonzept? Eine deutsch-französische Bilanz. = L’absolutisme, un concept irremplaçable?'' (= ''Pariser Historische Studien.'' Bd. 79). Oldenbourg, München 2008, ISBN 978-3-486-58095-2 ([http://www.perspectivia.net/content/publikationen/phs/schilling_absolutismus Digitalisat]).
* Martin Wrede: ''Absolutismus.'' In: Friedrich Jaeger (Hrsg.): ''Enzyklopädie der Neuzeit.'' Bd. 1. Metzler, Stuttgart / Weimar 2005, Sp. 24–34.
'''Epochendarstellungen'''
* Heinz Duchhardt: ''Barock und Aufklärung'' (= ''Oldenbourg Grundriss der Geschichte.'' Bd. 11). 4. Auflage. Oldenbourg, München 2007, ISBN 978-3-486-49744-1 (neu bearbeitete und erweiterte Auflage des Bandes ''Das Zeitalter des Absolutismus'').
* Walther Hubatsch: ''Das Zeitalter des Absolutismus 1600–1789.'' 4., ergänzte Auflage. Westermann, Braunschweig 1975, ISBN 3-14-160357-X.
* Johannes Kunisch: ''Absolutismus. Europäische Geschichte vom Westfälischen Frieden bis zur Krise des Ancien Régime'' (= ''UTB.'' Bd. 1426). Vandenhoeck & Ruprecht, Göttingen 1999, ISBN 3-8252-1426-5.
* Rudolf Vierhaus: ''Staaten und Stände. Vom Westfälischen bis zum Hubertusburger Frieden 1648 bis 1763.'' Propyläen, Frankfurt am Main 1990, ISBN 3-548-33143-2.
* Fritz Wagner: ''Europa im Zeitalter des Absolutismus und der Aufklärung'' (= ''Handbuch der europäischen Geschichte.'' Hrsg. von Theodor Schieder. Band 4). Union, Stuttgart 1968; 3. Auflage: Klett-Cotta, Stuttgart 1996, ISBN 978-3-12-907560-9.
'''Länderspezifisches'''
* Günter Barudio: ''Absolutismus – Zerstörung der „libertären Verfassung“. Studien zur „karolinischen Eingewalt“ in Schweden zwischen 1680 und 1693'' (= ''Frankfurter Historische Abhandlungen.'' Bd. 13). Steiner, Wiesbaden 1976.
* Fanny Cosandey, Robert Descimon: ''L’absolutisme en France. Histoire et historiographie'' (= ''Points Seuil.'' Bd. 313). Edition du Seuil, Paris 2002, ISBN 2-02-048193-6.
* Kersten Krüger: ''Absolutismus in Dänemark. Ein Modell für Begriffsbildung und Typologie'' (1979). Wieder abgedruckt in: ders.: ''Formung der frühen Moderne. Ausgewählte Aufsätze'' (= ''Geschichte: Forschung und Wissenschaft.'' Bd. 14). Lit, Münster 2005, ISBN 3-8258-8873-8, S. 145–178 ([https://books.google.de/books?id=OdtChJ6XHTUC&pg=PA145 Vorschau]).
* Petr Maťa, Thomas Winkelbauer (Hrsg.): ''Die Habsburgermonarchie 1620 bis 1740. Leistungen und Grenzen des Absolutismusparadigmas.'' Franz Steiner, Stuttgart 2006, ISBN 3-515-08766-4.
* Olaf Mörke: ''Die Diskussion um den „Absolutismus“ als Epochenbegriff. Ein Beitrag über den Platz Katharinas II. in der europäischen Politikgeschichte.'' In: Eckhard Hübner, Jan Kusber, Peter Nitsche (Hrsg.): ''Rußland zur Zeit Katharinas II. Absolutismus – Aufklärung – Pragmatismus.'' Böhlau, Köln / Weimar / Wien 1998, ISBN 3-412-13097-4, S. 9–32.
* Volker Press: ''Vom „Ständestaat“ zum Absolutismus. 50 Thesen zur Entwicklung des Ständewesens in Deutschland.'' In: Peter Baumgart (Hrsg.): ''Ständetum und Staatsbildung in Brandenburg-Preußen. Ergebnisse einer Fachtagung.'' Berlin 1983, S. 319–326.
* Sølvi Sogner: ''Krig og fred 1660–1780'' (= ''Aschehougs Norges historie.'' Bd. 6). Oslo 1996, ISBN 82-03-22019-3.
* Günter Vogler: ''Absolutistische Herrschaft und ständische Gesellschaft. Reich und Territorien von 1648 bis 1790'' (= ''UTB.'' Bd. 1898). Ulmer, Stuttgart 1996, ISBN 3-8252-1898-8.
* Adam Wandruszka: ''Zum „Absolutismus“ Ferdinands II.'' In: ''Mitteilungen des Oberösterreichischen Landesarchives.'' Bd. 14, 1984, S. 261–268 ([http://www.ooegeschichte.at/uploads/tx_iafbibliografiedb/mooela_14_0261-0268.pdf Digitalisat]).
== Weblinks ==
{{Wiktionary}}
* [http://archiv.christoph-hoffmann.de/ESS/Geschichte/AbsolutismusinThueringen.pdf Absolutismus in Thüringen] (PDF; 82&nbsp;kB)
* [http://danmarkshistorien.dk/leksikon-og-kilder/vis/materiale/kongeloven/ Kongeloven – Königsgesetz] (dänisch)
* [http://danmarkshistorien.dk/leksikon-og-kilder/vis/materiale/enevoldsarveregeringsakten/ Absolutismus- und Erbkönigtumsdokument] (dänisch)
== Einzelnachweise ==
<references/>
{{Normdaten|TYP=s|GND=4000243-3|LCCN=sh/85/037238}}


[[Kategorie:Staatsform]]
* {{WikipediaDE|Gruppentheorie}}
[[Kategorie:Herrschaftsform]]
* {{WikipediaDE|Gruppe (Mathematik)}}
[[Kategorie:Frühe Neuzeit]]
* {{WikipediaDE|Abelsche Gruppe}}
[[Kategorie:Aufklärung]]
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[[Kategorie:Deutsch-Französisch-Angelsächsische Kultur]]
* [[Ring (Algebra)]]
[[Kategorie:Neuzeit]]
* [[Körper (Algebra)]]
[[Kategorie:Monarchie|!]]


{{Wikipedia}}
[[Kategorie:Gruppentheorie]]
[[Kategorie:Mathematik]]

Version vom 20. August 2019, 16:31 Uhr

Auch die Drehungen eines Zauberwürfels (eng. Rubik’s Cube) bilden eine Gruppe.

Als Gruppe wird in der Mathematik eine Menge von Elementen zusammen mit einer zweistelligen Verknüpfung (z.B. Addition, Multiplikation), durch die jeweils zwei Elementen ein drittes Element derart zugeodnet wird, dass dabei folgende drei Gruppenaxiome erfüllt sind:

  1. Es gilt das Assoziativgesetz, d.h.
  2. Es existiert ein neutrales Element , sodass (linksneutral) oder (rechtsneutral). Wird auch das Kommutativgesetz erfüllt, ist .
  3. Es gibt inverse Elemente , sodass und/oder


Abelsche Gruppe

Für eine abelsche Gruppe ist zusätzlich auch das Kommutativgesetz erfüllt, d.h. . Die wichtigste und bekannteste abelsche Gruppe ist , die aus der Menge der ganzen Zahlen und der gewöhnlichen Addition besteht.

Halbgruppe

Eine Halbgruppe erfüllt nur die beiden ersten Bedingungen. So bildet etwa die Menge der natürlichen Zahlen zusammen mit der gewöhnlichen Addition die kommutative (abelsche) Halbgruppe . Im Gegensatz zur der abelschen Gruppe der ganzen Zahlen fehlt hier die ganze „Hälfte“ der negativen Zahlen und damit die inversen Elemente.

Gruppentheorie

Gruppentheorie - Artikel in der deutschen Wikipedia

Die mathematische Disziplin, die sich mit den Gruppen beschäftigt, heißt Gruppentheorie.

Siehe auch