Metrischer Raum und 2. Juli: Unterschied zwischen den Seiten

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Ein '''metrischer Raum''' ist eine abstrakte [[Mathematik|mathematische]] [[Menge]], auf der eine '''Metrik''', d.h. eine '''Abstandsfunktion''' definiert ist, die je zwei Elementen dieses Raumes einen nicht negativen [[Reelle Zahl|reellen Zahlenwert]] zuordnet, der als ''Abstand'' dieser beiden Elemente interpretiert wird. Eine [[Abbildung]], die zwei metrische Räume so aufeinander abbildet, dass die Metrik erhalten bleibt, heißt '''Isometrie'''. Eine '''isometrische''' Abbildung ist also '''abstandsherhaltend''' bzw. '''längentreu''', d.h. der [[Abstand]] zweier Punkte <math>P</math> und <math>Q</math> ist gleich dem Abstand der zugehörigen Bildpunkte <math>P'</math> und <math>Q'</math>.
{{Kalender Jahrestage|Juli}}


Das klassische Beispiel eines metrischen Raumes ist der aus unserer unmittelbaren [[Anschauung]] bekannte [[dreidimensional]]e [[Euklidischer Raum|Euklidische Raum]]. Aber etwa auch die [[Reelle Zahl|reellen Zahlen]] bilden mit der Distanzfunktion <math>d(x,y) = \vert y - x \vert</math> mathematisch betrachtet einen metrischen Raum.
Der '''2. Juli''' ist der 183. Tag des [[Gregorianischer Kalender|gregorianischen Kalenders]] (der 184. in [[Schaltjahr]]en), somit bleiben 182 Tage bis zum Jahresende.


== Formale Definition ==
Am 2. Juli um 13 Uhr (wegen der Sommerzeit) ist genau die Hälfte des Jahres vorbei (in Schaltjahren um 1 Uhr).
 
Ein metrischer Raum ist ein [[geordnetes Paar]] <math>(M,d)</math> aus einer [[Menge]] <math>M</math> und einer auf dieser definierten Metrik
 
:<math>d \colon M \times M \to \mathbb{R}</math>
 
sodass für alle <math>x, y, z \in M</math> gilt<ref>B. Choudhary: ''The Elements of Complex Analysis'', New Age International 1992, p. 20, ISBN 978-81-224-0399-2 [https://books.google.com/books?id=5K9i2YwgTjYC&pg=PA20 google]</ref>
 
: <math>d(x,y) \ge 0 </math> ([[Nicht-Negativität]])
: <math>d(x,y) = 0 \Leftrightarrow x = y</math> ([[Identität]])
: <math>d(x,y)  = d(y,x) </math> ([[Symmetrie]])
: <math>d(x,z) \le d(x,y) + d(y, z)</math> ([[Dreiecksungleichung]])
 
Die Nicht-Negativität folgt aus den anderen Bedingungen und kann daher weggelassen werden:
 
: <math>d(x,y) + d(y,x) \ge d(x,x)</math> (Dreiecksungleichung)
: <math>d(x,y) + d(x,y) \ge d(x,x)</math> (Symmetrie)
: <math>2d(x,y) \ge 0</math> (Identität)
 
woraus unmittelbar folgt:
 
: <math>d(x,y) \ge 0</math> (Nicht-Negativität)


== Siehe auch ==
== Siehe auch ==
* {{WikipediaDE|2. Juli}}


* {{WikipediaDE|Metrischer Raum}}
[[Kategorie:Datum|G02]]
 
== Einzelnachweise ==
 
<references />


[[Kategorie:Metrische Geometrie]] [[Kategorie:Metrischer Raum|!]]
{{Wikipedia}}

Aktuelle Version vom 3. November 2018, 00:50 Uhr

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Der 2. Juli ist der 183. Tag des gregorianischen Kalenders (der 184. in Schaltjahren), somit bleiben 182 Tage bis zum Jahresende.

Am 2. Juli um 13 Uhr (wegen der Sommerzeit) ist genau die Hälfte des Jahres vorbei (in Schaltjahren um 1 Uhr).

Siehe auch


Dieser Artikel basiert (teilweise) auf dem Artikel 2. Juli aus der freien Enzyklopädie Wikipedia und steht unter der Lizenz Creative Commons Attribution/Share Alike. In Wikipedia ist eine Liste der Autoren verfügbar.