Raum (Mathematik) und Schlaginstrument: Unterschied zwischen den Seiten

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{{Doppeltes Bild|rechts|Vector-addition-and-scaling.svg|200|CoordsXYZ.JPG|200|Schematische Darstellung der Vektoraddition und der Multiplikation mit einem Skalar: Der Vektor '''v''' (blau) wird zu einem anderen Vektor '''w''' addiert (rot, unten). Oben wird '''w''' um einen Faktor 2 gestreckt, das Ergebnis ist die Summe {{nowrap|'''v''' + 2·'''w.'''}}|Ein Koordinatenvektor (x,y,z) als Ortsvektor im dreidimensionalen reellen Koordinatenraum}}
Ein '''Schlaginstrument''' ist ein [[Musikinstrument]], das durch [[Stoß (Physik)|Schlagen]] zur Schwingung angeregt wird und so einen [[Ton (Musik)|Ton]] von meist kurzer [[Tondauer|Dauer]] mit bestimmter oder unbestimmter [[Tonhöhe]] oder ein [[Geräusch]] erzeugt. Zur Gruppe der Schlaginstrumente, die nicht nach der heute üblichen [[Hornbostel-Sachs-Systematik|Systematik der Musikinstrumente]], sondern lediglich nach der Art der vom Spieler aufgewendeten Energie, also der ausgeführten Schlagbewegung [[Klassifizierungen von Musikinstrumenten|klassifiziert]] werden, zählen [[Idiophon]]e (Selbstklinger) und [[Membranophon]]e, bei denen der Tonerreger straffgespannte Membrane sind. [[Rahmentrommel]]n mit [[Schellenring|Schellenkranz]] wie das [[Tamburin]] sind zugleich Membranophon und Idiophon. Vor dieser heutigen Unterscheidung bildeten Schlaginstrumente eine der drei alten Kategorien, neben [[Saiteninstrument]]en und [[Blasinstrument]]en.


Ein '''Raum''' ist in der [[Mathematik]] als [[Abstraktion|abstrakte]] Verallgemeinerung des uns gewohnten [[Anschauungsraum]]s als eine [[Menge (Mathematik)|Menge]] [[Mathematisches Objekt|mathematischer Objekte]] mit einer [[Mathematische Struktur|mathematischen Struktur]] definiert. Auf die Anschaulichkeit wird dabei verzichtet.
Die eher geräuschhaften Instrumente werden überwiegend als [[Rhythmus (Musik)|Rhythmusinstrument]] eingesetzt, jene welche auch Tonhöhen produzieren können (wie etwa  [[Metallophon|Glockenspiel]], [[Xylophon]], [[Vibraphon]], [[Celesta]], [[Klavier]]) werden auch als [[Melodie]]instrument bzw. als [[Harmonik|Harmonieinstrument]] musikalisch eingesetzt.


== Vektorraum ==
Die Anzahl an Materialien und Formen, mit denen sich Geräusche oder Töne erzeugen lassen, ist schier endlos und die Klangerzeugung ist so alt wie die Menschheit, da bereits Hände[[klatschen]] als Schlagzeug verwendet werden kann. Die [[Liste der Schlaginstrumente]] zeigt typische Beispiele auf, wobei [[Schlagzeug]], [[Pauke]] und [[Trommel]] oftmals als rhythmische Hauptinstrumente bezeichnet werden.
Ein '''Vektorraum''' besteht aus einer Menge von mathematischen Objekten, die '''Vektoren''' (von [[lat.]] ''vector'' „Träger, Fahrer“) genannt werden und addiert, subtrahiert oder mit einem [[Skalar]] (z.B. einer [[Zahl]]) multipliziert werden können, sodass der daraus resultierende Vektor wiederum ein Element desselben Vektorraums ist und die [[Assoziativgesetze]] und [[Distributivgesetze]] erfüllt sind. Die Vektoren werden geometrisch-symbolisch in der Regel als Pfeile mit bestimmter Länge und Richtung dargestellt. Als mathematische Objekte können dafür beispielsweise [[Reelle Zahlen|reelle]] oder [[komplexe Zahlen]], [[Zahlentupel]], [[Matrix (Mathematik)|Matrizen]] oder [[Funktion (Mathematik)|Funktionen]] verwendet werden. Die Skalare entstammen einem bestimmten [[Körper (Mathematik)|Körper]], z.B. dem Körper <math>\mathbb R</math> der reellen Zahlen oder dem Körper <math>\mathbb C</math> der komplexen Zahlen, weshalb ein Vektorraum stets ''über'' einem bestimmten Körper definiert ist. Im gegebenen Fall handelt es sich dann beispielsweise um einen '''reellen''' oder '''komplexen Vektorraum'''.


Als '''Ortsvektor''' (auch '''Radiusvektor''' oder '''Positionsvektor''') eines Punktes <math>\overrightarrow P</math> wird ein Vektor <math>\overrightarrow{OP}</math> bezeichnet, der von einem festgelegten Punkt <math>\overrightarrow O</math> (meist dem Ursprung des [[Koordinatensystem]]s) zu diesem Punkt zeigt.
Tonhöhe und Klangfarbe können bei Trommeln durch Veränderung der Membranspannung variiert werden.  Man unterscheidet Schlaginstrumente mit definierbarer Tonhöhe wie zum Beispiel [[Pauke]]n, [[Xylophon]]e und [[Vibraphon]]e und solche, die ein weniger definierbares [[Klangspektrum]] (Geräusch) erzeugen, wie [[kleine Trommel]], [[Becken (Musikinstrument)|Becken]] und [[Kastagnette]]n. Aufgrund der Art der Tonerzeugung (anschlagen) kann man auch das [[Klavier]] zu den Schlaginstrumenten zählen. Die indische [[Tabla]] erzeugt sowohl melodische als auch unmelodiöse Klänge. Für unterschiedliche Musik werden jeweils verschiedene Schlaginstrumente zu einer Gruppe zusammengestellt, die oft einen eigenen Namen bekommt.


== Vektorrechnung ==
== Schlagzeug ==
[[Bild:Epsilontensor.svg|mini|Matrixdarstellung des dreidimensionalen [[w:Levi-Civita-Symbol|Levi-Civita-Symbol]] ]]
[[Datei:Platin Drums PTCL2016 AF.jpg|mini|Schlagzeug im Standardaufbau]]
[[Datei:Cross product parallelogram.svg|miniatur|Veranschaulichung des Kreuzprodukts]]
Das [[Schlagzeug]] ist eine Kombination verschiedener Schlaginstrumente. Im Standardaufbau besteht es aus fünf verschiedenen Trommeln und drei Becken, die im Sitzen mit verschiedenen Arten von Stöcken, Jazz-Besen oder Filzschlegeln und Pedalen bespielt werden.


In der '''Vektorrechnung''' sind verschiedene Rechenoperationen für Vektoren definiert. Die Vektoren können dazu als '''Spaltenvektor''' oder in Komponentenschreibweise angeschrieben werden. Die wichtigsten Rechenoperationen zeigt die nachstehende Tabelle:
In den verschiedenen Musikstilen findet man diverse Konfigurationen des Schlagzeugs vor. Während beim [[Jazz]] meist kleinere Trommeln benutzt werden, findet man in [[Rockmusik|Rock-]] und [[Popmusik]], durch die das Drumset sehr bekannt wurde, oft größere Sets, auch mit zwei Bass Drums ([[Double Bass]]), mit einer dementsprechend größeren Bandbreite an Trommeln, Becken und Perkussionelementen.


{|class="wikitable"
== Perkussion ==
!Rechenoperation
{{Hauptartikel|Perkussion (Musik)}}
!Spaltenvektoren
!Komponentenschreibweise
|Beschreibung
|-
|Addition/Subtraktion
|<math>
\vec c = \vec{a} \pm \vec{b} = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix} \pm \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}a_1\pm b_1 \\ a_2\pm b_2 \\ a_3 \pm b_3\end{pmatrix}
</math>
|<math> c_i = a_i \pm b_i</math>
|
|-
|Multiplikation mit einem Skalar
|<math>
\vec c = r\vec{a} = r \, \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}ra_1 \\ ra_2 \\ ra_3\end{pmatrix}
</math>
|<math>c_i = r a_i </math>
|
|-
|Skalarprodukt
|<math>
c = \vec{a}\cdot\vec{b} = \begin{pmatrix}a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{pmatrix} =
a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3</math>
|<math>c = \sum_i a_i b_i </math>
|
|-
|Betrag
|<math>a = |\vec{a}| = \sqrt{{a_1}^2 + {a_2}^2 + {a_3}^2}</math><ref>nach dem [[Satz von Pythagoras]]</ref>
|<math>a = \sqrt{\sum_i a_i^2}</math>
|
|-
|Kreuzprodukt<br />(Vektorprodukt)
|<math>
\vec c = \vec{a}\times\vec{b} = \begin{pmatrix}a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}a_2b_3 - a_3b_2 \\ a_3b_1 - a_1b_3 \\ a_1b_2 - a_2b_1 \end{pmatrix}
</math>
| <math>c_i = \sum_{jk} \varepsilon_{ijk}a_{j}b_{k}</math><ref><math>\varepsilon_{ijk}</math> ist das [[w:Levi-Civita-Symbol|Levi-Civita-Symbol]] und ist +1 für gerade Permutationen von (1, 2, 3), −1 für ungerade Permutationen und sonst 0.</ref>
|Der Betrag des Vektorprodukts entspricht der Fläche des von den beiden Vektoren aufgespannten [[Parallelogramm]]s:


<math>|\vec{a} \times \vec{b}| = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot |{\sin\theta}|</math>
Perkussion ist ein sehr weit gefasster Begriff für kleinere Schlaginstrumente, zu denen auch die indirekt geschlagenen [[Rassel]]n gehören. Gelegentlich werden – angelehnt an die umfassendere englische und französische Bezeichnung ''percussion'' – Schlaginstrumente allgemein als Perkussion bezeichnet. Bekannte Perkussionsinstrumente sind [[Waschbrett]], [[Maracas]], [[Eggshaker]], [[Conga (Trommel)|Conga]], [[Kuhglocke]] und [[Claves]], die zumeist aus dem afrikanischen oder südamerikanischen Raum stammen.
|-
|Spatprodukt
|<math>(\vec{a},\vec{b},\vec{c}) = (\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c}</math>
|
|Der Betrag des Spatprodukts entspricht dem [[Volumen]] des von den drei Vektoren aufgespannten [[Parallelepiped]]s:


<math>V = |\vec{a} \times \vec{b}| = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot |{\sin\theta}|,</math>
Darüber hinaus zählen zur Perkussion auch einige Nicht-Schlaginstrumente wie z.&nbsp;B. die [[Trillerpfeife]] im [[Samba (Musik)|Samba]].
|-
 
|Dyadisches Produkt<br />(tensorielles Produkt)
Auch wenn das Spielen von Perkussionsinstrumenten teilweise sehr einfach aussieht, erfordern die meisten jedoch eine ausgefeilte Technik, um den vollen Klang zu entfalten. Dennoch sehen fast alle Instrumentenhersteller insbesondere die Kleinperkussion-Instrumente nicht als vollwertige Instrumente an, da sie nicht so häufig gekauft werden und mit ihnen im Vergleich zu größeren Rhythmusinstrumenten ([[Surdo]], Congas) etc. nicht sehr viel Geld zu verdienen ist. Das hat zur Folge, dass im Kleinperkussionbereich selbst namhafte Hersteller sehr oft qualitativ minderwertige Instrumente verkaufen.
|<math>
== Schlagwerk ==
\boldsymbol C = (c_{ij}) = \vec{a}\otimes\vec{b}
Unter [[Schlagwerk (Musik)|Schlagwerk]] versteht man die im [[Orchester]] verwendeten Schlaginstrumente. Bekannt sind die [[Pauke]], die [[Große Trommel]], [[Kleine Trommel]] und die [[Becken (Musikinstrument)|Becken]].
= \begin{pmatrix}a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix}\otimes\begin{pmatrix}b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{pmatrix}
 
= \begin{pmatrix}
== Stabspiele ==
a_1 b_1 & a_1 b_2 & a_1 b_3\\
[[Stabspiel]]e, auch Mallet-Instrumente (von engl. ''mallet'', „Schlägel“) genannt, sind mehrtönige, gestimmte Aufschlag[[idiophon]]e. Gespielt werden sie mit bis zu vier Schlegeln mit einem Kern aus [[Kork]], [[Holz]], [[Metalle|Metall]] oder [[Kunststoff]], der bei manchen mit Faden umwickelt ist. Der Tonumfang ist bei größeren Instrumenten nahe dem des Klaviers, auch sieht die Anordnung der Platten aus wie eine [[Klaviatur]]. Die Stabspiele werden in Orchestern häufig als Solo- oder Begleitstimmen eingesetzt.
a_2 b_1 & a_2 b_2 & a_2 b_3\\
a_3 b_1 & a_3 b_2 & a_3 b_3
\end{pmatrix}
</math>
|<math>c_{ij} = a_i b_j</math>
|
|}


== Siehe auch ==
== Siehe auch ==
* {{WikipediaDE|Raum (Mathematik)}}
* {{WikipediaDE|Kategorie:Schlaginstrument}}
* {{WikipediaDE|Vektor}}
* {{WikipediaDE|Schlaginstrument}}


== Literatur ==
== Literatur ==
* Gert Kilian: ''Balafon Beat.'' Verlag Zimmermann, Frankfurt/Main 2003, ISMN M-010-33800-2.
* Karl Peinkofer, Fritz Tannigel: ''Handbuch des Schlagzeugs.'' Schott Music, Mainz 1981, ISBN 978-3-7957-2641-6.
* Hugo Pinksterboer: ''Pocket-Info, Drums.'' Mainz: Schott, Mainz 2000, ISBN 978-3-7957-5127-2.


* Tilo Arens, Frank Hettlich, Christian Karpfinger, Ulrich Kockelkorn, Klaus Lichtenegger, Hellmuth Stachel: ''Mathematik'', 4. Auflage, Springer Spektrum 2018, ISBN 978-3662567401, eBook ISBN 978-3-662-56741-8
== Weblinks ==
 
{{Commonscat|Percussion instruments|Schlaginstrumente}}
== Einzelnachweise und Anmerkungen ==


<references />
{{Navigationsleiste Klassifikation von Musikinstrumenten nach Benutzung durch den Spieler}}
{{Normdaten|TYP=s|GND=4137283-9}}


[[Kategorie:Mathematik]]
[[Kategorie:Schlaginstrument|!]]
[[Kategorie:Geometrie]]
[[Kategorie:Musikinstrument|L]]
[[Kategorie:Raum|201]]


{{Wikipedia}}
{{Wikipedia}}

Version vom 17. Juli 2019, 17:03 Uhr

Ein Schlaginstrument ist ein Musikinstrument, das durch Schlagen zur Schwingung angeregt wird und so einen Ton von meist kurzer Dauer mit bestimmter oder unbestimmter Tonhöhe oder ein Geräusch erzeugt. Zur Gruppe der Schlaginstrumente, die nicht nach der heute üblichen Systematik der Musikinstrumente, sondern lediglich nach der Art der vom Spieler aufgewendeten Energie, also der ausgeführten Schlagbewegung klassifiziert werden, zählen Idiophone (Selbstklinger) und Membranophone, bei denen der Tonerreger straffgespannte Membrane sind. Rahmentrommeln mit Schellenkranz wie das Tamburin sind zugleich Membranophon und Idiophon. Vor dieser heutigen Unterscheidung bildeten Schlaginstrumente eine der drei alten Kategorien, neben Saiteninstrumenten und Blasinstrumenten.

Die eher geräuschhaften Instrumente werden überwiegend als Rhythmusinstrument eingesetzt, jene welche auch Tonhöhen produzieren können (wie etwa Glockenspiel, Xylophon, Vibraphon, Celesta, Klavier) werden auch als Melodieinstrument bzw. als Harmonieinstrument musikalisch eingesetzt.

Die Anzahl an Materialien und Formen, mit denen sich Geräusche oder Töne erzeugen lassen, ist schier endlos und die Klangerzeugung ist so alt wie die Menschheit, da bereits Händeklatschen als Schlagzeug verwendet werden kann. Die Liste der Schlaginstrumente zeigt typische Beispiele auf, wobei Schlagzeug, Pauke und Trommel oftmals als rhythmische Hauptinstrumente bezeichnet werden.

Tonhöhe und Klangfarbe können bei Trommeln durch Veränderung der Membranspannung variiert werden. Man unterscheidet Schlaginstrumente mit definierbarer Tonhöhe wie zum Beispiel Pauken, Xylophone und Vibraphone und solche, die ein weniger definierbares Klangspektrum (Geräusch) erzeugen, wie kleine Trommel, Becken und Kastagnetten. Aufgrund der Art der Tonerzeugung (anschlagen) kann man auch das Klavier zu den Schlaginstrumenten zählen. Die indische Tabla erzeugt sowohl melodische als auch unmelodiöse Klänge. Für unterschiedliche Musik werden jeweils verschiedene Schlaginstrumente zu einer Gruppe zusammengestellt, die oft einen eigenen Namen bekommt.

Schlagzeug

Schlagzeug im Standardaufbau

Das Schlagzeug ist eine Kombination verschiedener Schlaginstrumente. Im Standardaufbau besteht es aus fünf verschiedenen Trommeln und drei Becken, die im Sitzen mit verschiedenen Arten von Stöcken, Jazz-Besen oder Filzschlegeln und Pedalen bespielt werden.

In den verschiedenen Musikstilen findet man diverse Konfigurationen des Schlagzeugs vor. Während beim Jazz meist kleinere Trommeln benutzt werden, findet man in Rock- und Popmusik, durch die das Drumset sehr bekannt wurde, oft größere Sets, auch mit zwei Bass Drums (Double Bass), mit einer dementsprechend größeren Bandbreite an Trommeln, Becken und Perkussionelementen.

Perkussion

Perkussion ist ein sehr weit gefasster Begriff für kleinere Schlaginstrumente, zu denen auch die indirekt geschlagenen Rasseln gehören. Gelegentlich werden – angelehnt an die umfassendere englische und französische Bezeichnung percussion – Schlaginstrumente allgemein als Perkussion bezeichnet. Bekannte Perkussionsinstrumente sind Waschbrett, Maracas, Eggshaker, Conga, Kuhglocke und Claves, die zumeist aus dem afrikanischen oder südamerikanischen Raum stammen.

Darüber hinaus zählen zur Perkussion auch einige Nicht-Schlaginstrumente wie z. B. die Trillerpfeife im Samba.

Auch wenn das Spielen von Perkussionsinstrumenten teilweise sehr einfach aussieht, erfordern die meisten jedoch eine ausgefeilte Technik, um den vollen Klang zu entfalten. Dennoch sehen fast alle Instrumentenhersteller insbesondere die Kleinperkussion-Instrumente nicht als vollwertige Instrumente an, da sie nicht so häufig gekauft werden und mit ihnen im Vergleich zu größeren Rhythmusinstrumenten (Surdo, Congas) etc. nicht sehr viel Geld zu verdienen ist. Das hat zur Folge, dass im Kleinperkussionbereich selbst namhafte Hersteller sehr oft qualitativ minderwertige Instrumente verkaufen.

Schlagwerk

Unter Schlagwerk versteht man die im Orchester verwendeten Schlaginstrumente. Bekannt sind die Pauke, die Große Trommel, Kleine Trommel und die Becken.

Stabspiele

Stabspiele, auch Mallet-Instrumente (von engl. mallet, „Schlägel“) genannt, sind mehrtönige, gestimmte Aufschlagidiophone. Gespielt werden sie mit bis zu vier Schlegeln mit einem Kern aus Kork, Holz, Metall oder Kunststoff, der bei manchen mit Faden umwickelt ist. Der Tonumfang ist bei größeren Instrumenten nahe dem des Klaviers, auch sieht die Anordnung der Platten aus wie eine Klaviatur. Die Stabspiele werden in Orchestern häufig als Solo- oder Begleitstimmen eingesetzt.

Siehe auch

Literatur

  • Gert Kilian: Balafon Beat. Verlag Zimmermann, Frankfurt/Main 2003, ISMN M-010-33800-2.
  • Karl Peinkofer, Fritz Tannigel: Handbuch des Schlagzeugs. Schott Music, Mainz 1981, ISBN 978-3-7957-2641-6.
  • Hugo Pinksterboer: Pocket-Info, Drums. Mainz: Schott, Mainz 2000, ISBN 978-3-7957-5127-2.

Weblinks

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