[[Datei:FibonacciBlocks.svg|mini|Kachelmuster aus Quadraten, deren Kantenlängen der Fibonacci-Folge entsprechen]]
Ein '''Schlaginstrument''' ist ein [[Musikinstrument]], das durch [[Stoß (Physik)|Schlagen]] zur Schwingung angeregt wird und so einen [[Ton (Musik)|Ton]] von meist kurzer [[Tondauer|Dauer]] mit bestimmter oder unbestimmter [[Tonhöhe]] oder ein [[Geräusch]] erzeugt. Zur Gruppe der Schlaginstrumente, die nicht nach der heute üblichen [[Hornbostel-Sachs-Systematik|Systematik der Musikinstrumente]], sondern lediglich nach der Art der vom Spieler aufgewendeten Energie, also der ausgeführten Schlagbewegung [[Klassifizierungen von Musikinstrumenten|klassifiziert]] werden, zählen [[Idiophon]]e (Selbstklinger) und [[Membranophon]]e, bei denen der Tonerreger straffgespannte Membrane sind. [[Rahmentrommel]]n mit [[Schellenring|Schellenkranz]] wie das [[Tamburin]] sind zugleich Membranophon und Idiophon. Vor dieser heutigen Unterscheidung bildeten Schlaginstrumente eine der drei alten Kategorien, neben [[Saiteninstrument]]en und [[Blasinstrument]]en.
Die '''Fibonacci-Folge''' ist die unendliche [[Folge (Mathematik)|Folge]] von [[Natürliche Zahl|natürlichen Zahlen]], die (ursprünglich) mit zweimal der Zahl 1 beginnt oder (häufig, in moderner Schreibweise) zusätzlich mit einer führenden Zahl 0 versehen ist.<ref name=OESI2C>{{OEIS|A000045}}</ref> Im Anschluss ergibt jeweils die Summe zweier aufeinanderfolgender Zahlen die unmittelbar danach folgende Zahl:
Die darin enthaltenen Zahlen heißen '''Fibonacci-Zahlen.''' Benannt ist die Folge nach [[Leonardo Fibonacci]], der damit im Jahr 1202 das Wachstum einer Kaninchenpopulation beschrieb. Die Folge war aber schon in der Antike sowohl den [[Antikes Griechenland|Griechen]] als auch den [[Indien|Indern]] bekannt.<ref>{{Cite journal |first=Parmanand |last=Singh |title=The So-called Fibonacci numbers in ancient and medieval India |journal=Historia Mathematica |volume=12 |issue=3 |pages=229–244 |year=1985 |doi=10.1016/0315-0860(85)90021-7}}</ref>
Weitere Untersuchungen zeigten, dass die Fibonacci-Folge auch noch zahlreiche andere [[#Fibonacci-Folgen in der Natur|Wachstumsvorgänge der Pflanzen]] beschreibt. Es scheint, als sei sie eine Art Wachstumsmuster in der Natur.<ref name=GoSecEu>Ruben Stelzner (in Zusammenarbeit mit Wolfgang Schad): ''[http://www.golden-section.eu/kapitel5.html Der Goldene Schnitt. Das Mysterium der Schönheit.]'' In: ''golden-section.eu.'' Abgerufen am 26. Oktober 2015.</ref>
Die eher geräuschhaften Instrumente werden überwiegend als [[Rhythmus (Musik)|Rhythmusinstrument]] eingesetzt, jene welche auch Tonhöhen produzieren können (wie etwa [[Metallophon|Glockenspiel]], [[Xylophon]], [[Vibraphon]], [[Celesta]], [[Klavier]]) werden auch als [[Melodie]]instrument bzw. als [[Harmonik|Harmonieinstrument]] musikalisch eingesetzt.
Die Fibonacci-Zahlen weisen einige bemerkenswerte mathematische Besonderheiten auf:
Die Anzahl an Materialien und Formen, mit denen sich Geräusche oder Töne erzeugen lassen, ist schier endlos und die Klangerzeugung ist so alt wie die Menschheit, da bereits Hände[[klatschen]] als Schlagzeug verwendet werden kann. Die [[Liste der Schlaginstrumente]] zeigt typische Beispiele auf, wobei [[Schlagzeug]], [[Pauke]] und [[Trommel]] oftmals als rhythmische Hauptinstrumente bezeichnet werden.
* Aufgrund der [[#Beziehungen zwischen den Folgegliedern|Beziehung zur vorherigen und zur folgenden Zahl]] scheint Wachstum in der Natur einem Additionsgesetz zu folgen.
* Die Fibonacci-Folge steht in einem unmittelbaren [[#Verwandtschaft mit dem Goldenen Schnitt|Zusammenhang zum Goldenen Schnitt]]. Je weiter man in der Folge fortschreitet, desto mehr nähert sich der [[Quotient]] aufeinanderfolgender Zahlen dem [[Goldener Schnitt|Goldenen Schnitt]] (1,618033…) an (beispielsweise 13:8=1,6250; 21:13≈1,6154; 34:21≈1,6190; 55:34≈1,6176; etc).
* Diese Annäherung ist alternierend, d. h. die Quotienten sind abwechselnd kleiner und größer als der Goldene Schnitt.<ref name=GoSecEu />
== Definition der Fibonacci-Folge ==
Tonhöhe und Klangfarbe können bei Trommeln durch Veränderung der Membranspannung variiert werden. Man unterscheidet Schlaginstrumente mit definierbarer Tonhöhe wie zum Beispiel [[Pauke]]n, [[Xylophon]]e und [[Vibraphon]]e und solche, die ein weniger definierbares [[Klangspektrum]] (Geräusch) erzeugen, wie [[kleine Trommel]], [[Becken (Musikinstrument)|Becken]] und [[Kastagnette]]n. Aufgrund der Art der Tonerzeugung (anschlagen) kann man auch das [[Klavier]] zu den Schlaginstrumenten zählen. Die indische [[Tabla]] erzeugt sowohl melodische als auch unmelodiöse Klänge. Für unterschiedliche Musik werden jeweils verschiedene Schlaginstrumente zu einer Gruppe zusammengestellt, die oft einen eigenen Namen bekommt.
Die Fibonacci-Folge <math>f_1,\,f_2,\,f_3,\ldots</math> ist durch das [[Rekursion|rekursive]] Bildungsgesetz
== Schlagzeug ==
[[Datei:Platin Drums PTCL2016 AF.jpg|mini|Schlagzeug im Standardaufbau]]
Das [[Schlagzeug]] ist eine Kombination verschiedener Schlaginstrumente. Im Standardaufbau besteht es aus fünf verschiedenen Trommeln und drei Becken, die im Sitzen mit verschiedenen Arten von Stöcken, Jazz-Besen oder Filzschlegeln und Pedalen bespielt werden.
In den verschiedenen Musikstilen findet man diverse Konfigurationen des Schlagzeugs vor. Während beim [[Jazz]] meist kleinere Trommeln benutzt werden, findet man in [[Rockmusik|Rock-]] und [[Popmusik]], durch die das Drumset sehr bekannt wurde, oft größere Sets, auch mit zwei Bass Drums ([[Double Bass]]), mit einer dementsprechend größeren Bandbreite an Trommeln, Becken und Perkussionelementen.
mit den Anfangswerten
== Perkussion ==
{{Hauptartikel|Perkussion (Musik)}}
: <math>f_1 = f_2 = 1</math>
Perkussion ist ein sehr weit gefasster Begriff für kleinere Schlaginstrumente, zu denen auch die indirekt geschlagenen [[Rassel]]n gehören. Gelegentlich werden – angelehnt an die umfassendere englische und französische Bezeichnung ''percussion'' – Schlaginstrumente allgemein als Perkussion bezeichnet. Bekannte Perkussionsinstrumente sind [[Waschbrett]], [[Maracas]], [[Eggshaker]], [[Conga (Trommel)|Conga]], [[Kuhglocke]] und [[Claves]], die zumeist aus dem afrikanischen oder südamerikanischen Raum stammen.
definiert. Das bedeutet in Worten:
Darüber hinaus zählen zur Perkussion auch einige Nicht-Schlaginstrumente wie z. B. die [[Trillerpfeife]] im [[Samba (Musik)|Samba]].
* Für die beiden ersten Zahlen wird der Wert ''eins'' vorgegeben.
Auch wenn das Spielen von Perkussionsinstrumenten teilweise sehr einfach aussieht, erfordern die meisten jedoch eine ausgefeilte Technik, um den vollen Klang zu entfalten. Dennoch sehen fast alle Instrumentenhersteller insbesondere die Kleinperkussion-Instrumente nicht als vollwertige Instrumente an, da sie nicht so häufig gekauft werden und mit ihnen im Vergleich zu größeren Rhythmusinstrumenten ([[Surdo]], Congas) etc. nicht sehr viel Geld zu verdienen ist. Das hat zur Folge, dass im Kleinperkussionbereich selbst namhafte Hersteller sehr oft qualitativ minderwertige Instrumente verkaufen.
* Jede weitere Zahl ist die Summe ihrer beiden Vorgänger in der Folge.
== Schlagwerk ==
Unter [[Schlagwerk (Musik)|Schlagwerk]] versteht man die im [[Orchester]] verwendeten Schlaginstrumente. Bekannt sind die [[Pauke]], die [[Große Trommel]], [[Kleine Trommel]] und die [[Becken (Musikinstrument)|Becken]].
Daraus ergibt sich:
== Stabspiele ==
[[Stabspiel]]e, auch Mallet-Instrumente (von engl. ''mallet'', „Schlägel“) genannt, sind mehrtönige, gestimmte Aufschlag[[idiophon]]e. Gespielt werden sie mit bis zu vier Schlegeln mit einem Kern aus [[Kork]], [[Holz]], [[Metalle|Metall]] oder [[Kunststoff]], der bei manchen mit Faden umwickelt ist. Der Tonumfang ist bei größeren Instrumenten nahe dem des Klaviers, auch sieht die Anordnung der Platten aus wie eine [[Klaviatur]]. Die Stabspiele werden in Orchestern häufig als Solo- oder Begleitstimmen eingesetzt.
Darüber hinaus ist eine [[Verallgemeinerte Fibonacci-Folge|Verallgemeinerung der Fibonacci-Zahlen]] auf [[komplexe Zahl]]en, [[proendliche Zahl]]en<ref>Hendrik Lenstra: [http://www.math.leidenuniv.nl/~hwl/papers/fibo.pdf ''Profinite Fibonacci numbers''.] (PDF)</ref> und auf [[Vektorraum|Vektorräume]] möglich.
* Je zwei benachbarte Fibonaccizahlen sind teilerfremd, d. h. <math>\operatorname{ggT}(f_n,f_{n+1})=1</math>.
* <math>m\mid n\Rightarrow f_m\mid f_n</math>; für <math>m>2</math> gilt auch die Umkehrung. Insbesondere kann <math>f_n</math> für <math>n>4</math> nur dann eine [[Primzahl]] sein, wenn <math>n</math> eine Primzahl ist.
* <math>2 \mid f_n \Leftrightarrow 3 \mid n</math> (Genau jede dritte Fibonacci-Zahl ist durch 2 teilbar.)
* <math>3 \mid f_n \Leftrightarrow 4 \mid n</math> (Genau jede vierte Fibonacci-Zahl ist durch 3 teilbar.)
* <math>4 \mid f_n \Leftrightarrow 6 \mid n</math> (Genau jede sechste Fibonacci-Zahl ist durch 4 teilbar.)
* <math>5 \mid f_n \Leftrightarrow 5 \mid n</math> (Genau jede fünfte Fibonacci-Zahl ist durch 5 teilbar.)
* <math>7 \mid f_n \Leftrightarrow 8 \mid n</math> (Genau jede achte Fibonacci-Zahl ist durch 7 teilbar.)
* <math>16 \mid f_n \Leftrightarrow 12 \mid n</math> (Genau jede zwölfte Fibonacci-Zahl ist durch 16 teilbar.)<ref>Nicolai N. Vorobiev: ''Fibonacci Numbers.'' Birkhäuser, Basel 2002. ISBN 3-7643-6135-2. S. 59, [http://books.google.de/books?id=uVE_LiXbSpoC&pg=PA59#v=onepage&q&f=false Online-Version].</ref>
:Für die Teilbarkeit durch Primzahlen <math>p</math> gilt unter Verwendung des [[Quadratischer Rest#Legendre- und Jacobi-Symbol|Jacobi-Symbols]]:
Es gibt noch zahlreiche weitere derartige Formeln.
=== Verwandtschaft mit dem Goldenen Schnitt ===
Wie von [[Johannes Kepler]] festgestellt wurde, nähert sich der [[Quotient]] zweier aufeinander folgender Fibonacci-Zahlen dem [[Goldener Schnitt|Goldenen Schnitt]] <math>\Phi</math> an. Dies folgt unmittelbar aus der [[Fibonacci-Folge#Näherungsformel für große Zahlen|Näherungsformel]] für große <math>n:</math>
Die Zahl <math>\Phi</math> ist [[irrationale Zahl|irrational]]. Das bedeutet, dass sie sich nicht durch ein Verhältnis zweier ganzer Zahlen darstellen lässt. Am besten lässt sich <math>\Phi</math> durch Quotienten zweier aufeinanderfolgender Fibonacci-Zahlen approximieren. Dies gilt auch für verallgemeinerte Fibonaccifolgen, bei denen <math>f_0</math> und <math>f_1</math> beliebige natürliche Zahlen annehmen.
=== Zeckendorf-Theorem ===
Das nach [[Edouard Zeckendorf]] benannte Zeckendorf-Theorem besagt, dass jede natürliche Zahl <math>n > 0</math> eindeutig als Summe voneinander verschiedener, nicht direkt aufeinanderfolgender Fibonacci-Zahlen geschrieben werden kann. Das heißt, es gibt für jedes <math>n \in \mathbb{N}, n > 0</math> eine eindeutige Darstellung der Form
:<math>n = \sum_{i=2}^{k} c_i f_i</math> mit <math>c_i\in \{0, 1\}</math> und <math>c_ic_{i+1}=0</math> für alle <math>i</math>.
Die entstehende Folge <math>(c)_i</math> von Nullen und Einsen wird Zeckendorf-Sequenz genannt. Da aufeinanderfolgende Fibonacci-Zahlen ausgeschlossen sind, können keine zwei Einsen in einer Zeckendorf-Sequenz unmittelbar hintereinander stehen.
Allgemeiner ist die verwandte Aussage, dass sich jede ''ganze'' Zahl ''z'' eindeutig als Summe verschiedener, nicht direkt aufeinanderfolgender ''negaFibonacci''-Zahlen (<math>f_{-k}</math> mit <math>k\geq 1</math>) darstellen lässt:
:<math>z = \sum_{i=1}^{k} c_i f_{-i}</math> mit <math>c_i\in \{0, 1\}</math> und <math>c_ic_{i+1}=0</math> für alle <math>i</math>.
So wäre zum Beispiel <math>-2 = f_{-1} + f_{-4} = 1-3</math> als Binärsequenz <code>1001</code> darstellbar.<ref>{{Literatur |Autor=Donald E. Knuth |Titel=The Art Of Computer Programming Vol. IV}}</ref>
== Zu weiteren Themen siehe auch ==
* {{WikipediaDE|Fibonacci-Folge}}
== Siehe auch ==
== Siehe auch ==
* {{WikipediaDE|Fibonacci-Folge}}
* {{WikipediaDE|Kategorie:Schlaginstrument}}
* {{WikipediaDE|Schlaginstrument}}
== Literatur ==
== Literatur ==
* John H. Conway, Richard K. Guy: ''The Book of Numbers.'' Copernicus NY 1996, ISBN 0-387-97993-X.
* Richard A. Dunlap: ''The Golden Ratio and Fibonacci Numbers.'' 2. Auflage. World Scientific, Singapur, 1999, ISBN 981-02-3264-0.
* Karl Peinkofer, Fritz Tannigel: ''Handbuch des Schlagzeugs.'' Schott Music, Mainz 1981, ISBN 978-3-7957-2641-6.
* Huberta Lausch: ''Fibonacci und die Folge(n).'' Oldenbourg 2010, ISBN 978-3-486-58910-8.
* Hugo Pinksterboer: ''Pocket-Info, Drums.'' Mainz: Schott, Mainz 2000, ISBN 978-3-7957-5127-2.
* Paulo Ribenboim: ''The New Book of Prime Number Records.'' Springer-Verlag 1996, ISBN 0-387-94457-5.
* [http://www.fq.math.ca/list-of-issues.html ''The Fibonacci Quarterly.''] Seit 1963 vierteljährlich erscheinende Zeitschrift, die sich der Fibonacci- und verwandten Folgen widmet.
* [http://www.ijon.de/mathe/fibonacci/index.html Fibonacci-Zahlen] – sehr ausführliche Seite mit weiterführenden Themen
* [http://www.mcs.surrey.ac.uk/Personal/R.Knott/Fibonacci/fib.html Fibonacci Numbers and the Golden Section] (englisch)
* [http://chorgiessen.altervista.org/jab/goldfibo/goldfibo.pdf Fibonacci und der Goldene Schnitt] (PDF; 1,22 MB)
* Video: [https://www.br.de/fernsehen/ard-alpha/sendungen/mathematik-zum-anfassen/mathematik-zum-anfassen-fibonacci-zahlen100.html Die Fibonacci-Zahlen] (aus der Fernsehsendung ''Mathematik zum Anfassen'' des Senders BR-alpha) von Albrecht Beutelspacher
* [http://milan.milanovic.org/math/ Fibonacci Numbers and the Pascal Triangle] (englisch, deutsch, serbisch)
* [https://www.youtube.com/watch?v=R8w4l3f3g58 Die Fibonacci-Zahlen und ihre Bedeutung in der Natur] YouTube
== Einzelnachweise ==
{{Navigationsleiste Klassifikation von Musikinstrumenten nach Benutzung durch den Spieler}}
<references />
{{Normdaten|TYP=s|GND=4137283-9}}
{{SORTIERUNG:Fibonaccifolge}}
[[Kategorie:Schlaginstrument|!]]
[[Kategorie:Folgen und Reihen]]
[[Kategorie:Musikinstrument|L]]
[[Kategorie:Zahlentheorie]]
[[Kategorie:Biologie]]
[[Kategorie:Goldener Schnitt]]
{{Wikipedia}}
{{Wikipedia}}
Version vom 17. Juli 2019, 18:03 Uhr
Ein Schlaginstrument ist ein Musikinstrument, das durch Schlagen zur Schwingung angeregt wird und so einen Ton von meist kurzer Dauer mit bestimmter oder unbestimmter Tonhöhe oder ein Geräusch erzeugt. Zur Gruppe der Schlaginstrumente, die nicht nach der heute üblichen Systematik der Musikinstrumente, sondern lediglich nach der Art der vom Spieler aufgewendeten Energie, also der ausgeführten Schlagbewegung klassifiziert werden, zählen Idiophone (Selbstklinger) und Membranophone, bei denen der Tonerreger straffgespannte Membrane sind. Rahmentrommeln mit Schellenkranz wie das Tamburin sind zugleich Membranophon und Idiophon. Vor dieser heutigen Unterscheidung bildeten Schlaginstrumente eine der drei alten Kategorien, neben Saiteninstrumenten und Blasinstrumenten.
Die Anzahl an Materialien und Formen, mit denen sich Geräusche oder Töne erzeugen lassen, ist schier endlos und die Klangerzeugung ist so alt wie die Menschheit, da bereits Händeklatschen als Schlagzeug verwendet werden kann. Die Liste der Schlaginstrumente zeigt typische Beispiele auf, wobei Schlagzeug, Pauke und Trommel oftmals als rhythmische Hauptinstrumente bezeichnet werden.
Tonhöhe und Klangfarbe können bei Trommeln durch Veränderung der Membranspannung variiert werden. Man unterscheidet Schlaginstrumente mit definierbarer Tonhöhe wie zum Beispiel Pauken, Xylophone und Vibraphone und solche, die ein weniger definierbares Klangspektrum (Geräusch) erzeugen, wie kleine Trommel, Becken und Kastagnetten. Aufgrund der Art der Tonerzeugung (anschlagen) kann man auch das Klavier zu den Schlaginstrumenten zählen. Die indische Tabla erzeugt sowohl melodische als auch unmelodiöse Klänge. Für unterschiedliche Musik werden jeweils verschiedene Schlaginstrumente zu einer Gruppe zusammengestellt, die oft einen eigenen Namen bekommt.
Das Schlagzeug ist eine Kombination verschiedener Schlaginstrumente. Im Standardaufbau besteht es aus fünf verschiedenen Trommeln und drei Becken, die im Sitzen mit verschiedenen Arten von Stöcken, Jazz-Besen oder Filzschlegeln und Pedalen bespielt werden.
In den verschiedenen Musikstilen findet man diverse Konfigurationen des Schlagzeugs vor. Während beim Jazz meist kleinere Trommeln benutzt werden, findet man in Rock- und Popmusik, durch die das Drumset sehr bekannt wurde, oft größere Sets, auch mit zwei Bass Drums (Double Bass), mit einer dementsprechend größeren Bandbreite an Trommeln, Becken und Perkussionelementen.
Perkussion
Perkussion ist ein sehr weit gefasster Begriff für kleinere Schlaginstrumente, zu denen auch die indirekt geschlagenen Rasseln gehören. Gelegentlich werden – angelehnt an die umfassendere englische und französische Bezeichnung percussion – Schlaginstrumente allgemein als Perkussion bezeichnet. Bekannte Perkussionsinstrumente sind Waschbrett, Maracas, Eggshaker, Conga, Kuhglocke und Claves, die zumeist aus dem afrikanischen oder südamerikanischen Raum stammen.
Darüber hinaus zählen zur Perkussion auch einige Nicht-Schlaginstrumente wie z. B. die Trillerpfeife im Samba.
Auch wenn das Spielen von Perkussionsinstrumenten teilweise sehr einfach aussieht, erfordern die meisten jedoch eine ausgefeilte Technik, um den vollen Klang zu entfalten. Dennoch sehen fast alle Instrumentenhersteller insbesondere die Kleinperkussion-Instrumente nicht als vollwertige Instrumente an, da sie nicht so häufig gekauft werden und mit ihnen im Vergleich zu größeren Rhythmusinstrumenten (Surdo, Congas) etc. nicht sehr viel Geld zu verdienen ist. Das hat zur Folge, dass im Kleinperkussionbereich selbst namhafte Hersteller sehr oft qualitativ minderwertige Instrumente verkaufen.
Stabspiele, auch Mallet-Instrumente (von engl. mallet, „Schlägel“) genannt, sind mehrtönige, gestimmte Aufschlagidiophone. Gespielt werden sie mit bis zu vier Schlegeln mit einem Kern aus Kork, Holz, Metall oder Kunststoff, der bei manchen mit Faden umwickelt ist. Der Tonumfang ist bei größeren Instrumenten nahe dem des Klaviers, auch sieht die Anordnung der Platten aus wie eine Klaviatur. Die Stabspiele werden in Orchestern häufig als Solo- oder Begleitstimmen eingesetzt.
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