Ziegenproblem und Schlaginstrument: Unterschied zwischen den Seiten

Aus AnthroWiki
(Unterschied zwischen Seiten)
imported>Joachim Stiller
 
imported>Joachim Stiller
 
Zeile 1: Zeile 1:
[[Datei:Monty open door.svg|mini|hochkant=1.7|In der Hoffnung, das Auto zu gewinnen, wählt der Kandidat Tor 1. Der Showmaster öffnet daraufhin Tor 3, hinter dem eine Ziege steht, und bietet dem Kandidaten an, das Tor zu wechseln. Ist es vorteilhaft für den Kandidaten, seine erste Wahl zu ändern und sich für Tor 2 zu entscheiden?]]
Ein '''Schlaginstrument''' ist ein [[Musikinstrument]], das durch [[Stoß (Physik)|Schlagen]] zur Schwingung angeregt wird und so einen [[Ton (Musik)|Ton]] von meist kurzer [[Tondauer|Dauer]] mit bestimmter oder unbestimmter [[Tonhöhe]] oder ein [[Geräusch]] erzeugt. Zur Gruppe der Schlaginstrumente, die nicht nach der heute üblichen [[Hornbostel-Sachs-Systematik|Systematik der Musikinstrumente]], sondern lediglich nach der Art der vom Spieler aufgewendeten Energie, also der ausgeführten Schlagbewegung [[Klassifizierungen von Musikinstrumenten|klassifiziert]] werden, zählen [[Idiophon]]e (Selbstklinger) und [[Membranophon]]e, bei denen der Tonerreger straffgespannte Membrane sind. [[Rahmentrommel]]n mit [[Schellenring|Schellenkranz]] wie das [[Tamburin]] sind zugleich Membranophon und Idiophon. Vor dieser heutigen Unterscheidung bildeten Schlaginstrumente eine der drei alten Kategorien, neben [[Saiteninstrument]]en und [[Blasinstrument]]en.


Das '''Ziegenproblem''', '''Drei-Türen-Problem''', '''Monty-Hall-Problem''' oder '''Monty-Hall-Dilemma''' ist eine Fragestellung mit Bezug zur [[Wahrscheinlichkeitstheorie]]. Es geht dabei um die Frage, ob eine Wahl, die zunächst zufällig unter drei a priori gleich wahrscheinlichen Möglichkeiten getroffen wurde, geändert werden sollte, wenn zusätzliche Informationen verfügbar werden.
Die eher geräuschhaften Instrumente werden überwiegend als [[Rhythmus (Musik)|Rhythmusinstrument]] eingesetzt, jene welche auch Tonhöhen produzieren können (wie etwa  [[Metallophon|Glockenspiel]], [[Xylophon]], [[Vibraphon]], [[Celesta]], [[Klavier]]) werden auch als [[Melodie]]instrument bzw. als [[Harmonik|Harmonieinstrument]] musikalisch eingesetzt.


Die Aufgabenstellung ist lose der von [[Monty Hall]] moderierten [[Spielshow]] ''Let’s Make a Deal'' nachempfunden, die im deutschen Sprachraum in der Variante ''[[Geh aufs Ganze!]]'' bekannt wurde. Die erstgenannten Bezeichnungen beziehen sich auf die Problemformulierung, bei der den Entscheider Ziegen als Trostpreise hinter zwei von drei Türen erwarten, wenn er nicht jene Tür gewählt hat, die für den Hauptpreis steht, ein Auto.
Die Anzahl an Materialien und Formen, mit denen sich Geräusche oder Töne erzeugen lassen, ist schier endlos und die Klangerzeugung ist so alt wie die Menschheit, da bereits Hände[[klatschen]] als Schlagzeug verwendet werden kann. Die [[Liste der Schlaginstrumente]] zeigt typische Beispiele auf, wobei [[Schlagzeug]], [[Pauke]] und [[Trommel]] oftmals als rhythmische Hauptinstrumente bezeichnet werden.


Verschiedene Auffassungen des Ziegenproblems werden oft als Beispiel dafür herangezogen, dass der menschliche [[Verstand]] zu [[Fehlschluss|Trugschlüssen]] neigt, wenn es um das Bestimmen von Wahrscheinlichkeiten geht, und wurden Gegenstand lang anhaltender öffentlicher Diskussionen.
Tonhöhe und Klangfarbe können bei Trommeln durch Veränderung der Membranspannung variiert werden.  Man unterscheidet Schlaginstrumente mit definierbarer Tonhöhe wie zum Beispiel [[Pauke]]n, [[Xylophon]]e und [[Vibraphon]]e und solche, die ein weniger definierbares [[Klangspektrum]] (Geräusch) erzeugen, wie [[kleine Trommel]], [[Becken (Musikinstrument)|Becken]] und [[Kastagnette]]n. Aufgrund der Art der Tonerzeugung (anschlagen) kann man auch das [[Klavier]] zu den Schlaginstrumenten zählen. Die indische [[Tabla]] erzeugt sowohl melodische als auch unmelodiöse Klänge. Für unterschiedliche Musik werden jeweils verschiedene Schlaginstrumente zu einer Gruppe zusammengestellt, die oft einen eigenen Namen bekommt.


Die gestellte Aufgabe geht auf den Biostatistiker [[Steve Selvin]] zurück, der sie 1975 im ''American Statistician'' in einem Leserbrief vorstellte. Weiteren Kreisen bekannt und zum Gegenstand einer kontroversen Debatte wurde das Problem 1990 durch Publikation in [[Marilyn vos Savant]]s Kolumne „Ask Marilyn“ im Magazin ''[[Parade (Magazin)|Parade]].'' Diese Version beruhte auf einem Leserbrief, den vos Savant erhalten hatte von Craig F. Whitaker aus Columbia, Maryland:<ref>Jason Rosenhouse: ''The Monty Hall Problem''. Oxford University Press 2009, ISBN 978-0-19-536789-8, S. IX, 20–26.</ref>
== Schlagzeug ==
[[Datei:Platin Drums PTCL2016 AF.jpg|mini|Schlagzeug im Standardaufbau]]
Das [[Schlagzeug]] ist eine Kombination verschiedener Schlaginstrumente. Im Standardaufbau besteht es aus fünf verschiedenen Trommeln und drei Becken, die im Sitzen mit verschiedenen Arten von Stöcken, Jazz-Besen oder Filzschlegeln und Pedalen bespielt werden.


{{Zitat|Nehmen Sie an, Sie wären in einer Spielshow und hätten die Wahl zwischen drei Toren. Hinter einem der Tore ist ein Auto, hinter den anderen sind Ziegen. Sie wählen ein Tor, sagen wir, Tor Nummer 1, und der Showmaster, der weiß, was hinter den Toren ist, öffnet ein anderes Tor, sagen wir, Nummer 3, hinter dem eine Ziege steht. Er fragt Sie nun: ‚Möchten Sie das Tor Nummer 2?‘ Ist es von Vorteil, die Wahl des Tores zu ändern?|ref=<ref>Craig F. Whitaker: ''Ask Marilyn.'' In: ''Parade Magazine.'' 9. September 1990, S. 16.</ref>}}
In den verschiedenen Musikstilen findet man diverse Konfigurationen des Schlagzeugs vor. Während beim [[Jazz]] meist kleinere Trommeln benutzt werden, findet man in [[Rockmusik|Rock-]] und [[Popmusik]], durch die das Drumset sehr bekannt wurde, oft größere Sets, auch mit zwei Bass Drums ([[Double Bass]]), mit einer dementsprechend größeren Bandbreite an Trommeln, Becken und Perkussionelementen.


Die Fragestellung in dieser Form ist unterbestimmt; die richtige Antwort hängt davon ab, welche Zusatzannahmen getroffen werden.
== Perkussion ==
Vos Savant gab die Antwort „Ja, Sie sollten wechseln. Das zuerst gewählte Tor hat die Gewinnchance von {{Bruch|3}}, aber das zweite Tor hat eine Gewinnchance von {{Bruch|2|3}}“. Vos Savants Antwort ist, obwohl unter Zusatzannahmen richtig, auch unter diesen Zusatzannahmen für viele Menschen kontraintuitiv. In der Folge erhielt vos Savant nach ihrer eigenen Schätzung zehntausend Briefe, die ganz überwiegend die Richtigkeit ihrer Antwort bezweifelten.<ref name="tierney">John Tierney: [http://query.nytimes.com/gst/fullpage.html?res=9D0CEFDD1E3FF932A15754C0A967958260 ''Behind Monty Hall’s Doors: Puzzle, Debate and Answer?''] In: ''The New York Times.'' 21. Juli 1991.</ref>
{{Hauptartikel|Perkussion (Musik)}}


== Die erfahrungsbezogene Antwort ==
Perkussion ist ein sehr weit gefasster Begriff für kleinere Schlaginstrumente, zu denen auch die indirekt geschlagenen [[Rassel]]n gehören. Gelegentlich werden – angelehnt an die umfassendere englische und französische Bezeichnung ''percussion'' – Schlaginstrumente allgemein als Perkussion bezeichnet. Bekannte Perkussionsinstrumente sind [[Waschbrett]], [[Maracas]], [[Eggshaker]], [[Conga (Trommel)|Conga]], [[Kuhglocke]] und [[Claves]], die zumeist aus dem afrikanischen oder südamerikanischen Raum stammen.
Wenn man die Frage Personen stellt, die sich noch nicht mit dem Problem beschäftigt hatten, vermuten diese häufig, dass die Gewinnchancen für die Tore 1 und 2 gleich hoch seien. Als Grund dafür wird oft angegeben, dass man ja nichts über die Motivation des Showmasters wisse, das Tor 3 mit einer Ziege dahinter zu öffnen und einen Wechsel anzubieten. Es greife daher das [[Indifferenzprinzip]].


Die Intuition beim Verständnis des Leserbriefs geht davon aus, dass es sich bei der Problemstellung um die Beschreibung einer einmaligen Spielsituation handelt. Außerdem zeugt die Antwort von einer gewissen Vertrautheit mit Spielshows wie ''[[Geh aufs Ganze]]'', in denen der Showmaster (Moderator) eine aktive und unberechenbare Rolle spielt. Im Gegensatz zu den Problemvarianten, in denen der Moderator auf einen an fixe Verhaltensregeln gebundenen „Handlanger“ reduziert wird, darf realistischerweise angenommen werden, dass er völlig frei in seinen Entscheidungen ist (Monty Hall: „Ich bin der Hausherr!“). Diese Freiheit kann anhand einiger Beispiele illustriert werden, wobei vor jedem Spiel Auto und Ziegen hinter den drei Toren zufällig neu verteilt wurden. Weil die Kandidaten diese Spielshow, für die sie sich als Teilnehmer beworben haben, kennen, ist ihnen die Unberechenbarkeit des Moderators natürlich bewusst.<ref name="tierney" />
Darüber hinaus zählen zur Perkussion auch einige Nicht-Schlaginstrumente wie z.&nbsp;B. die [[Trillerpfeife]] im [[Samba (Musik)|Samba]].


; Spiel 1: Kandidat Alfred wählt Tor 1, der Moderator öffnet das Tor 1 mit einer Ziege dahinter; Alfred verliert.
Auch wenn das Spielen von Perkussionsinstrumenten teilweise sehr einfach aussieht, erfordern die meisten jedoch eine ausgefeilte Technik, um den vollen Klang zu entfalten. Dennoch sehen fast alle Instrumentenhersteller insbesondere die Kleinperkussion-Instrumente nicht als vollwertige Instrumente an, da sie nicht so häufig gekauft werden und mit ihnen im Vergleich zu größeren Rhythmusinstrumenten ([[Surdo]], Congas) etc. nicht sehr viel Geld zu verdienen ist. Das hat zur Folge, dass im Kleinperkussionbereich selbst namhafte Hersteller sehr oft qualitativ minderwertige Instrumente verkaufen.
; Spiel 2: Kandidatin Berta wählt Tor 1, der Moderator öffnet Tor 2 mit einer Ziege dahinter und bietet Berta an, ihre Wahl zu ändern. Berta möchte wechseln, aber der Moderator öffnet kein Tor, sondern bietet 5000 Euro dafür, dass Berta bei ihrer ersten Wahl bleibt. Diese ändert ihre Wechsel-Entscheidung nicht, und der Moderator öffnet Tor 3 mit einer Ziege dahinter; Berta verliert.
== Schlagwerk ==
; Spiel 3: Kandidatin Conny wählt Tor 1, der Moderator öffnet kein Tor, sondern bietet der Kandidatin 1000 Euro dafür, dass sie auf das Öffnen des Tors verzichtet; Conny nimmt das Geld und gewinnt 1000 Euro.
Unter [[Schlagwerk (Musik)|Schlagwerk]] versteht man die im [[Orchester]] verwendeten Schlaginstrumente. Bekannt sind die [[Pauke]], die [[Große Trommel]], [[Kleine Trommel]] und die [[Becken (Musikinstrument)|Becken]].
; Spiel 4: Kandidatin Doris wählt Tor 1, der Moderator öffnet daraufhin Tor 3 mit einer Ziege dahinter und bietet Doris an, ihre Wahl zu überdenken …


Angesichts der verschiedenen Verhaltensmöglichkeiten des Moderators sollte Doris ihre Gewinnchancen sorgfältig abwägen. Wenn sie glaubt, dass der Moderator nett zu ihr sei und sie von ihrer ersten falschen Wahl abbringen möchte, dann sollte sie wechseln. Wenn sie allerdings meint, dass ihr der Moderator nicht gut gesinnt sei und sie nur von ihrer ersten, richtigen Wahl ablenken möchte, dann sollte sie bei Tor 1 bleiben. Wenn Doris den Moderator nicht einschätzen kann – auch im Leserbrief werden keine entsprechenden Hinweise gegeben –, hat sie keine Möglichkeit, ihre Gewinnchance korrekt zu berechnen. Insbesondere kann sie sich nach dem Eingreifen des Moderators nicht mehr auf das Indifferenzprinzip berufen, und die Antwort auf die Frage „Ist es von Vorteil, die Wahl des Tores zu ändern?“ lautet in ihrem Fall also: „Nicht unbedingt.“
== Stabspiele ==
 
[[Stabspiel]]e, auch Mallet-Instrumente (von engl. ''mallet'', „Schlägel“) genannt, sind mehrtönige, gestimmte Aufschlag[[idiophon]]e. Gespielt werden sie mit bis zu vier Schlegeln mit einem Kern aus [[Kork]], [[Holz]], [[Metalle|Metall]] oder [[Kunststoff]], der bei manchen mit Faden umwickelt ist. Der Tonumfang ist bei größeren Instrumenten nahe dem des Klaviers, auch sieht die Anordnung der Platten aus wie eine [[Klaviatur]]. Die Stabspiele werden in Orchestern häufig als Solo- oder Begleitstimmen eingesetzt.
Obwohl die Frage des Leserbriefs damit bereits beantwortet ist, wurde der Vorschlag gemacht, Doris bei ihrer Entscheidung zu unterstützen und ihr eine echte 50:50-Chance auf den Gewinn zu verschaffen. Dazu wird angenommen, dass sie die Möglichkeit hat, sich nach dem Wurf einer fairen Münze für eines der beiden verbleibenden Tore zu entscheiden. Auf diese Weise kann sie sicherstellen, dass ihre Gewinnwahrscheinlichkeit unabhängig von den Absichten des Moderators genau {{Bruch|2}} beträgt.<ref name="steinbach">Marc C. Steinbach: [http://opus4.kobv.de/opus4-zib/files/608/ZR-00-40.pdf ''Von Autos, Ziegen und Streithähnen.''] (PDF; 228&nbsp;KB) Kapitel 4.2</ref>
 
== Antwort von Marilyn vos Savant ==
Durch die Antwort von Marilyn vos Savant auf den Leserbrief erzielte das Problem international auch außerhalb der Fachwelt hohe Aufmerksamkeit und führte zu heftigen Kontroversen. Ihre Antwort lautete:
 
{{Zitat|Ja, Sie sollten wechseln. Das zuerst gewählte Tor hat die Gewinnchance von {{Bruch|3}}, aber das zweite Tor hat eine Gewinnchance von {{Bruch|2|3}}. Hier ist ein guter Weg, sich das Geschehen vorzustellen. Nehmen Sie an, es gäbe 1 Million Tore und Sie wählen Tor Nummer 1. Dann öffnet der Moderator, der weiß, was hinter den Toren ist, und der das eine Tor mit dem Preis immer vermeidet, alle Tore bis auf Tor Nummer 777777. Sie würden doch sofort zu diesem Tor wechseln, oder nicht?|ref=<ref>{{Webarchiv|url=http://www.marilynvossavant.com/articles/gameshow.html |wayback=20100310140547 |text=Game-Show-Problem}} – gesammelte Leserbriefe und Antworten innerhalb des Webauftritts von Marilyn vos Savant</ref>}}
 
Marilyn vos Savant berücksichtigt dabei nicht eine bestimmte Motivation des Moderators; es ist laut Leserbrief nicht ausgeschlossen, dass der Moderator nur deswegen ein Ziegentor öffnet, um den Kandidaten von seiner ersten, erfolgreichen Wahl abzulenken. Stattdessen fasst vos Savant den Leserbrief offensichtlich so auf, dass die Spielshow immer wieder nach demselben Muster abläuft:
 
: '''Verlauf der Spielshow:''' Der jeweilige Kandidat wählt ein Tor, der Moderator öffnet daraufhin immer ein anderes Tor mit einer Ziege dahinter und lässt danach dem Kandidaten noch einmal die Wahl zwischen den beiden noch geschlossenen Toren. Der Kandidat erhält das Auto, wenn es sich hinter dem von ihm zuletzt gewählten Tor befindet.
 
Somit erhält sie als Lösung die durchschnittliche Gewinnwahrscheinlichkeit aller möglichen Kombinationen von Toren, die von den jeweiligen Kandidaten gewählt werden und vom Moderator daraufhin geöffnet werden können. Weil die erste Wahl eines Kandidaten als beliebig und die Verteilung von Auto und Ziegen hinter den Toren als zufällig angesehen wird, darf jede der neun Möglichkeiten als gleich wahrscheinlich betrachtet werden:
 
:: {| class="wikitable left" style="text-align:center;"
|-
! Tor 1 gewählt || Tor 2 || Tor 3 || Moderator öffnet … || Ergebnis beim Wechseln || Ergebnis beim Behalten
|-
| Auto || Ziege || Ziege || Tor 2 oder Tor 3 || Ziege || '''Auto'''
|-
| Ziege || Auto || Ziege || Tor 3 || '''Auto''' || Ziege
|-
| Ziege || Ziege || Auto || Tor 2 || '''Auto''' || Ziege
|-
! Tor 1 || Tor 2 gewählt || Tor 3 ||  ||  ||
|-
| Auto || Ziege || Ziege || Tor 3 || '''Auto''' || Ziege
|-
| Ziege || Auto || Ziege || Tor 1 oder Tor 3 || Ziege || '''Auto'''
|-
| Ziege || Ziege || Auto || Tor 1 || '''Auto''' || Ziege
|-
! Tor 1 || Tor 2 || Tor 3 gewählt ||  ||  ||
|-
| Auto || Ziege || Ziege || Tor 2 || '''Auto''' || Ziege
|-
| Ziege || Auto || Ziege || Tor 1 || '''Auto''' || Ziege
|-
| Ziege || Ziege || Auto || Tor 1 oder Tor 2 || Ziege || '''Auto'''
|}
 
Drei von neun Kandidaten gewinnen, wenn sie bei ihrer ersten Wahl bleiben, während sechs von neun Kandidaten durch Wechseln das Auto bekommen. Ein Kandidat hat durch Wechseln also eine durchschnittliche Gewinnchance von p = {{Bruch|2|3}}.
 
Diese Lösung kann auch grafisch veranschaulicht werden<ref name="bewersdorff">[[Jörg Bewersdorff]]: ''Glück, Logik und Bluff: Mathematik im Spiel – Methoden, Ergebnisse und Grenzen''. Springer Spektrum, 6. Auflage 2012, ISBN 978-3-8348-1923-9, [[doi:10.1007/978-3-8348-2319-9]], S. 34–38.</ref><ref name="behrends">Ehrhard Behrends: ''Fünf Minuten Mathematik'', Vieweg, 1. Auflage 2006, ISBN 978-3-8348-0082-4, [[doi:10.1007/978-3-8348-9013-9]], S. 32–39</ref>. In den Bildern der folgenden Tabelle ist das gewählte Tor ''willkürlich'' als das linke Tor dargestellt:
 
:: {| class="wikitable left" style="text-align:center;"
|-
!colspan="2" width="50%"| Hinter dem zunächst gewählten Tor steht das Auto
!width="50%"| Hinter dem zunächst gewählten Tor steht eine Ziege
|-
!colspan="2" width="50%"| Wahrscheinlichkeit '''{{Bruch|3||}}'''
!width="50%"| Wahrscheinlichkeit '''{{Bruch|2|3|}}'''
|-
|colspan="2" | [[Datei:Monty-LeftCar.svg|150px|Player has picked Door 1 and the car is behind it]]
| [[Datei:Monty-MiddleCar.svg|150px|Player has picked Door 1 and the car is behind Door 2]]
|-
|colspan="2" | Der Moderator öffnet eines der Tore mit einer Ziege (egal welches!)
| Der Moderator kann nur das andere Tor mit Ziege öffnen
|-
|width="25%" | [[Datei:Monty-LeftCarSwitch2.svg|88px|Host opens Door 2 half the time if the player picks Door 1 and the car is behind it]]
|width="25%" | [[Datei:Monty-LeftCarSwitch1.svg|88px|Host opens Door 3 half the time if the player picks Door 1 and the car is behind it]]
| [[Datei:Monty-MiddleCarSwitch.svg|177px|Host must open Door 3 if the player picks Door 1 and the car is behind Door 2]]
|-
!colspan="2"| Wechseln führt zum Gewinn einer Ziege
! Wechseln führt zum Gewinn des Autos
|-
!colspan="3"| Wechseln ist mit einer Wahrscheinlichkeit von nur '''{{Bruch|3||}}''' nachteilig, doch in '''{{Bruch|2|3|}}''' vorteilhaft
|}
 
=== Strategische Lösung ===
Wegen der Auffassung von vos Savant und unter Berücksichtigung der von ihr vorgeschlagenen Wechselstrategie lässt sich eine alternative Sicht des Ablaufs der Spielshow formulieren:
: Der jeweilige Kandidat darf zwei frei gewählte Tore bestimmen, die der Moderator öffnen muss, und erhält das Auto, falls es sich hinter einem dieser beiden Tore befindet.
 
Beispielsweise möchte ein Kandidat Tor&nbsp;2 und Tor&nbsp;3 öffnen lassen. Er zeigt daher zunächst auf Tor&nbsp;1, das verschlossen bleibt, und wechselt dann zu Tor&nbsp;2, wenn der Moderator Tor&nbsp;3 geöffnet hat, oder umgekehrt. Der Kandidat hat damit offensichtlich eine durchschnittliche Gewinnchance von p = {{Bruch|2|3}}. Demnach wäre es für einen Kandidaten, der mehrmals an dieser Spielshow teilnehmen dürfte, von Vorteil, die Wahl des Tors immer zu ändern.
 
== Kontroversen ==
Es sind vor allem die folgenden Hauptargumente, die zu Zweifeln an vos Savants Antwort führen. Während das erste Argument nicht stichhaltig ist und auf falsch angewandter Wahrscheinlichkeitstheorie basiert, verdeutlichen die weiteren Argumente, dass das Originalproblem eine Vielzahl von Interpretationen zulässt:
 
* Unter der Voraussetzung, dass der Showmaster den im nächsten Abschnitt ausgeführten Spielregeln folge, sei ein Wechsel des Tores nicht schlecht. Die Gewinnchance für das zweite Tor sei aber niemals {{Bruch|2|3}}, sondern generell nur {{Bruch|2}}, weil nach dem Öffnen eines Tores mit einer Ziege dahinter nur noch zwei geschlossene Tore zur Auswahl stünden. Die Chancen seien deshalb auf beide Tore immer gleichverteilt.
* Die Fragestellung im Leserbrief enthält keinerlei Hinweise darauf, dass der Showmaster einer bestimmten Verhaltensregel folgt. Solch eine Regel ließe sich nur unter der Annahme ableiten, dass das Spiel mehrmals unter den gleichen Bedingungen wiederholt würde: ''Sie wählen ein beliebiges Tor, der Showmaster öffnet ein anderes Tor, hinter dem eine Ziege steht, und Sie dürfen die Wahl Ihres Tores ändern.'' Von solch einer Wiederholung des Spiels ist aber im Leserbrief keine Rede. Also basiert vos Savants Antwort auf zusätzlichen Annahmen, die sich in dieser Form nicht zwingend aus dem Leserbrief ergeben.<ref name="mueser granberg">Peter R. Mueser, Donald Granberg: {{Webarchiv|url=http://129.3.20.41/eps/exp/papers/9906/9906001.html | wayback=20120722023727 | text=''The Monty Hall Dilemma Revisited: Understanding the Interaction of Problem Definition and Decision Making.''}} In: ''University of Missouri Working Paper.'' 1999-06.</ref>
* Marilyn vos Savants Interpretation bezieht sich nicht auf die in der Fragestellung konkret benannten Tore, und damit lässt sie möglicherweise vorhandene Präferenzen des Moderators bzgl. einzelner Tore außer Acht. Deshalb erhält sie als Gewinnwahrscheinlichkeit {{Bruch|2|3}} durch Wechseln, die nicht bei jedem Moderatorverhalten gültig ist. Dementsprechend bildet auch die obige Tabelle, welche nur Durchschnittswahrscheinlichkeiten veranschaulicht, solche Präferenzen nicht korrekt ab.
 
Das erste Argument wird durch den [[#Der ausgeglichene Moderator|ausgeglichenen Moderator]] widerlegt, das zweite wird anhand der [[#Die erfahrungsbezogene Antwort|erfahrungsbezogenen Antwort]] und das dritte anhand des [[#Der faule Moderator|faulen Moderators]] ausgeführt.
 
== Das Monty-Hall-Standard-Problem ==
Weil die im Leserbrief von Whitaker formulierte Aufgabe einigen Wissenschaftlern nicht eindeutig lösbar erschien, wurde von ihnen eine Neuformulierung des Ziegenproblems vorgeschlagen. Diese als Monty-Hall-Standard-Problem bezeichnete Umformulierung, die zur gleichen Lösung wie der von Marilyn vos Savant führen soll, stellt bestimmte Zusatzinformationen bereit, welche die erfahrungsbezogene Antwort ungültig machen, und berücksichtigt im Unterschied zur Interpretation von vos Savant auch die konkrete Spielsituation:<ref name="mueser granberg" />
 
{{Zitat|Angenommen, Sie befinden sich in einer Spielshow und haben die Wahl zwischen drei Toren. Hinter einem Tor ist ein Auto, hinter den anderen befindet sich jeweils eine Ziege. Das Auto und die Ziegen sind vor der Show zufällig auf die Tore verteilt worden, und Sie haben keine Information über die Position des Autos. Die Regeln lauten: Nachdem Sie ein Tor gewählt haben, bleibt dieses zunächst geschlossen. Der Showmaster Monty Hall, der weiß, was sich hinter den Toren befindet, muss nun eines der beiden verbleibenden Tore öffnen. Hinter dem von ihm geöffneten Tor muss sich eine Ziege befinden. Nachdem Monty Hall ein Tor mit einer Ziege geöffnet hat, fragt er Sie, ob Sie bei Ihrer ersten Wahl bleiben oder zum letzten verbliebenen Tor wechseln möchten. Nehmen Sie an, Sie wählen Tor 1, und der Showmaster öffnet Tor 3 mit einer Ziege. Er fragt Sie dann: ‚Möchten Sie zu Tor 2 wechseln?‘. Ist es vorteilhaft, Ihre Wahl zu ändern?}}
 
Insbesondere hat der Moderator die Möglichkeit, frei darüber zu entscheiden, welches Tor er öffnet, wenn er die Auswahl zwischen zwei Ziegentoren hat (Sie haben also zuerst das Auto-Tor gewählt). Aufgeteilt in Einzelschritte, ergeben sich damit die folgenden Spielregeln, die dem Kandidaten, der ein Auto gewinnen kann, bekannt sind:<ref name="savant_brainpower">Marilyn vos Savant: ''Brainpower – Die Kraft des logischen Denkens''. Rowohlt Verlag GmbH, 2001, ISBN 3-499-61165-1</ref>
 
# Ein Auto und zwei Ziegen werden zufällig auf drei Tore verteilt.
# Zu Beginn des Spiels sind alle Tore verschlossen, sodass Auto und Ziegen nicht sichtbar sind.
# Der Kandidat, dem die Position des Autos völlig unbekannt ist, wählt ein Tor aus, das aber vorerst verschlossen bleibt.
# ''Fall A:'' Hat der Kandidat das Tor mit dem Auto gewählt, öffnet der Moderator eines der beiden anderen Tore, hinter dem sich immer eine Ziege befindet. Der Moderator hat dabei die freie Wahl. Bei den nachfolgenden Lösungen werden allerdings Zusatzannahmen über die Art des Auswahlprozesses, die der Moderator verwendet, gemacht.
# ''Fall B:'' Hat der Kandidat ein Tor mit einer Ziege gewählt, dann ''muss'' der Moderator dasjenige der beiden anderen Tore öffnen, hinter dem die zweite Ziege steht.
# Der Moderator bietet dem Kandidaten an, seine Entscheidung zu überdenken und das andere ungeöffnete Tor zu wählen.
# Das vom Kandidaten letztlich gewählte Tor wird geöffnet, und er erhält das Auto, falls es sich hinter diesem Tor befindet.
 
'''Bedeutung der Zusatzannahme zum Verhalten des Moderators:'''
: Für den ''Fall A'', bei dem der Moderator zwischen zwei Toren mit Ziege wählen kann, sind zusätzliche Annahmen darüber möglich, wie der Moderator seine Entscheidung fällt: Beispielsweise kann sich der Moderator gleich wahrscheinlich zwischen den beiden Toren entscheiden. Oder er entscheidet sich für das Tor mit der höchsten Nummer.
 
Mit einer solchen Zusatzannahme entsteht jeweils ein anderes Problem, das zu unterschiedlichen Gewinnchancen bei der Torauswahl des Kandidaten führen kann. Dazu wird immer vorausgesetzt, dass der Kandidat die dem Moderator unterstellte Entscheidungsprozedur kennt.
 
=== Der ausgeglichene Moderator ===
Für diese Lösung wird die folgende Zusatzannahme gemacht:
* ''Fall A:'' Hat der Kandidat das Tor mit dem Auto gewählt, öffnet der Moderator ''zufällig ausgewählt mit der gleichen Wahrscheinlichkeit'' eines der beiden anderen Tore, hinter dem sich immer eine Ziege befindet.
 
Wie soll sich der Kandidat im vorletzten Schritt entscheiden, wenn er zunächst Tor 1 gewählt und der Moderator daraufhin Tor 3 mit einer Ziege dahinter geöffnet hat?<ref name="krauss_wang">Stefan Krauss, X. T. Wang: {{Webarchiv|url=http://www.usd.edu/~xtwang/Papers/MontyHallPaper.pdf | wayback=20090530100031 | text=''The Psychology of the Monty Hall Problem: Discovering Psychological Mechanisms for Solving a Tenacious Brain Teaser.''}} In: ''Journal of Experimental Psychology: General.'' 132 (1)2003.</ref>
 
==== Einfache Erklärung ====
Das Auto ist mit der Wahrscheinlichkeit {{Bruch|3}} hinter dem vom Kandidaten zunächst gewählten Tor 1. Wegen der Symmetrie im Regelwerk, insbesondere wegen der Spielregeln 4 und 5, wird diese Wahrscheinlichkeit durch das Öffnen eines anderen Tors mit einer Ziege dahinter nicht beeinflusst.<ref name="rosenthal">Jeffrey S. Rosenthal: [http://probability.ca/jeff/writing/montyfall.pdf ''Monty Hall, Monty Fall, Monty Crawl.''] (PDF; 70&nbsp;kB) In: ''Math Horizons.'' September 2008, S. 5–7.</ref> Deshalb ist nach dem Öffnen des Tors 3 das Auto mit {{Bruch|2|3}}-Wahrscheinlichkeit hinter Tor 2, und ein Wechsel führt mit der Wahrscheinlichkeit {{Bruch|2|3}} zum Erfolg.
 
==== Tabellarische Lösung ====
Für die Erklärung wird angenommen, dass der Kandidat zu Anfang Tor 1 gewählt hat und sich anschließend umentscheidet. Für die Situationen, in denen der Kandidat die Tore 2 oder 3 gewählt hat und der Moderator dementsprechend andere Tore öffnet, gilt eine analoge Erklärung. Es müssen sechs Fälle betrachtet werden, um die Gleichwahrscheinlichkeit des Öffnens der Tore 2 und 3 durch den Moderator gemäß Regel 4 modellieren zu können. Das entspricht einem Zufallsexperiment, bei dem die beiden Ziegen voneinander unterschieden werden können und jede Verteilung von Auto und Ziegen hinter den drei Toren gleich wahrscheinlich ist ([[Laplace-Experiment]]).
 
:: {| class="wikitable"
!colspan="6"| Kandidat wählt Tor 1 und wechselt, sobald der Moderator ein anderes Tor öffnet
|-
!colspan="3"| Moderator möchte Tor 2 öffnen
!colspan="3"| Moderator möchte Tor 3 öffnen
|-
|- style="vertical-align:middle"
! 1 [[Datei:Thumb down icon.svg|33px]]
| [[Datei:Monty-LeftCarSwitch2.svg|150px|Der Moderator öffnet Tor 2]]
| '''Auto hinter Tor 1'''<br />Der Moderator öffnet Tor 2 mit einer Ziege (Regel 4).<br />Bei einem Wechsel verliert der Kandidat.
! 4 [[Datei:Thumb down icon.svg|33px]]
| [[Datei:Monty-LeftCarSwitch1.svg|150px|Der Moderator öffnet Tor 3]]
| '''Auto hinter Tor 1'''<br />Der Moderator öffnet Tor 3 mit einer Ziege (Regel 4).<br />Bei einem Wechsel verliert der Kandidat.
|- style="vertical-align:middle"
! 2 [[Datei:Thumb up icon.svg|33px]]
| [[Datei:Monty-MiddleCarSwitch.svg|150px|Der Moderator öffnet Tor 3]]
| '''Auto hinter Tor 2'''<br />Der Moderator öffnet Tor 3 mit einer Ziege (Regel 5).<br />Bei einem Wechsel gewinnt der Kandidat.
! 5 [[Datei:Thumb up icon.svg|33px]]
| [[Datei:Monty-MiddleCarSwitch.svg|150px|Der Moderator öffnet Tor 3]]
| '''Auto hinter Tor 2'''<br />Identisch mit Fall 2, da der Moderator Tor 2 nicht<br />öffnen kann.
|- style="vertical-align:middle"
! 3 [[Datei:Thumb up icon.svg|33px]]
| [[Datei:Monty-RightCarSwitch.svg|150px|Der Moderator öffnet Tor 2]]
| '''Auto hinter Tor 3'''<br />Der Moderator öffnet Tor 2 mit einer Ziege (Regel 5).<br />Bei einem Wechsel gewinnt der Kandidat.
! 6 [[Datei:Thumb up icon.svg|33px]]
| [[Datei:Monty-RightCarSwitch.svg|150px|Der Moderator öffnet Tor 2]]
| '''Auto hinter Tor 3'''<br />Identisch mit Fall 3, da der Moderator Tor 3 nicht<br />öffnen kann.
|}
 
Zur Auswertung der Tabelle müssen nun die Fälle betrachtet werden, in denen der Moderator das Tor 3 öffnet (das ist die Bedingung). Das sind die Fälle 2, 4 und 5. Man sieht, dass in zwei dieser drei Fälle der Kandidat durch Wechseln gewinnt. Unter den Voraussetzungen, dass der Kandidat zunächst Tor 1 gewählt hat und der Moderator Tor 3 mit einer Ziege dahinter öffnet, befindet sich das Auto also in zwei Drittel der Fälle hinter Tor 2. Der Kandidat sollte also seine Wahl zugunsten von Tor 2 ändern. Genauso kann aus der Tabelle abgelesen werden, dass dann, wenn der Moderator anstelle von Tor 3 das Tor 2 öffnet, der Kandidat durch Wechseln auf Tor 3 ebenfalls in zwei von drei Fällen das Auto gewinnt.
 
=== Der faule Moderator ===
Für diese Lösung wird die folgende Zusatzannahme gemacht:
* ''Fall A:'' Der Moderator, der nicht gerne große Wege zurücklegt, öffnet am liebsten Tor 3, weil er dort in der Nähe seinen Standort als Showmaster hat. Wenn also hinter dem vom Kandidaten gewählten Tor 1 das Auto stünde, dann würde er mit Sicherheit Tor 3 öffnen, auf keinen Fall aber Tor 2.<ref name="rosenthal">Jeffrey S. Rosenthal: [http://probability.ca/jeff/writing/montyfall.pdf ''Monty Hall, Monty Fall, Monty Crawl.''] (PDF; 70&nbsp;kB) In: ''Math Horizons.'' September 2008, S. 5–7.</ref>
 
==== Tabellarische Lösung ====
Für die folgende Erklärung wird angenommen, dass der Kandidat zu Anfang Tor 1 gewählt hat. Für die Situationen, in denen der Kandidat die Tore 2 bzw. 3 gewählt hat und der Moderator dementsprechend andere Tore öffnet, gilt eine analoge Erklärung. Obwohl es hier ausreichen würde, die drei ersten Spielsituationen zu betrachten, werden sechs Fälle unterschieden, um die Problemstellung vergleichbar mit der obigen tabellarischen Lösung beim ausgeglichenen Moderator modellieren zu können. Jede Spielsituation wird also zweimal betrachtet. Das entspricht einem Zufallsexperiment, bei dem die beiden Ziegen voneinander unterschieden werden können und jede Verteilung von Auto und Ziegen hinter den drei Toren gleich wahrscheinlich ist ([[Laplace-Experiment]]).
 
:: {| class="wikitable"
!colspan="6"| Kandidat wählt Tor 1 und wechselt, sobald der Moderator ein anderes Tor öffnet
|-
!colspan="3"| Moderator möchte Tor 3 öffnen
!colspan="3"| Moderator möchte Tor 3 öffnen
|- style="vertical-align:middle"
! 1 [[Datei:Thumb down icon.svg|33px]]
| [[Datei:Monty-LeftCarSwitch1.svg|150px|Der Moderator öffnet Tor 3]]
| '''Auto hinter Tor 1'''<br />Der Moderator öffnet Tor 3 mit einer Ziege.<br />Bei einem Wechsel verliert der Kandidat.
! 4 [[Datei:Thumb down icon.svg|33px]]
| [[Datei:Monty-LeftCarSwitch1.svg|150px|Der Moderator öffnet Tor 3]]
| '''Auto hinter Tor 1'''<br />Identisch mit Fall 1. Der Moderator ''hätte'' ja die Möglichkeit,<br />Tor 2 zu öffnen, vermeidet dies jedoch.
|- style="vertical-align:middle"
! 2 [[Datei:Thumb up icon.svg|33px]]
| [[Datei:Monty-MiddleCarSwitch.svg|150px|Der Moderator öffnet Tor 3]]
| '''Auto hinter Tor 2'''<br />Der Moderator öffnet Tor 3 mit einer Ziege.<br />Bei einem Wechsel gewinnt der Kandidat
! 5 [[Datei:Thumb up icon.svg|33px]]
| [[Datei:Monty-MiddleCarSwitch.svg|150px|Der Moderator öffnet Tor 3]]
| '''Auto hinter Tor 2'''<br />Identisch mit Fall 2. Der Moderator ''muss'' Tor 3 öffnen
|- style="vertical-align:middle"
! 3 [[Datei:Thumb up icon.svg|33px]]
| [[Datei:Monty-RightCarSwitch.svg|150px|Der Moderator öffnet Tor 2]]
| '''Auto hinter Tor 3'''<br />Der Moderator ''muss'' Tor 2 mit einer Ziege öffnen.<br />Bei einem Wechsel gewinnt der Kandidat.
! 6 [[Datei:Thumb up icon.svg|33px]]
| [[Datei:Monty-RightCarSwitch.svg|150px|Der Moderator öffnet Tor 2]]
| '''Auto hinter Tor 3'''<br />Identisch mit Fall 3. Der Moderator ''muss'' Tor 2 öffnen
|}
 
Zur Auswertung der Tabelle müssen nun die Fälle betrachtet werden, in denen der Moderator das Tor 3 öffnet (das ist die Bedingung). Das sind die Fälle 1, 2, 4 und 5. Man sieht, dass nur in zwei von vier dieser Fälle der Kandidat durch Wechseln gewinnt. Seine Gewinnwahrscheinlichkeit ist demnach hier nur p = {{Bruch|2}}. Es kann ebenso leicht aus der Tabelle abgelesen werden, dass, wenn der Moderator Tor 2 öffnet, der Kandidat sicher gewinnt, wenn er zu Tor 3 wechselt.
 
=== Der unausgeglichene Moderator ===
Bei dieser Lösung wird von der folgenden Zusatzannahme ausgegangen:
* ''Fall A:'' Wenn der Moderator die Möglichkeit hat, aus zwei Toren mit jeweils einer Ziege dahinter ein Tor auszusuchen (der Kandidat hat also das Tor mit dem Auto dahinter ausgewählt), dann öffnet er das Tor mit der höchstmöglichen Nummer mit der Wahrscheinlichkeit <math>q</math> und das Tor mit der niedrigeren Nummer mit der Wahrscheinlichkeit <math>1-q</math>.
Dann gelten folgende mathematische Beziehungen unter Berücksichtigung der oben definierten Ereignismengen:
 
:<math>
\begin{align}
P(G_1) = P(G_2) = P(G_3) &= \tfrac{1}{3}  \\
P(M_3|G_1) &= q \\
P(M_3|G_2) &= 1 \\
P(M_3|G_3) &= 0 \\
\end{align}
</math>
 
Die Anwendung des Satzes von Bayes ergibt dann für die bedingte Wahrscheinlichkeit, dass sich das Auto hinter Tor 2 befindet:
 
: <math>
\begin{align}
P(G_2|M_3) & = \frac{P(M_3|G_2)P(G_2)}{P(M_3|G_1)P(G_1)+P(M_3|G_2)P(G_2)+P(M_3|G_3)P(G_3)}\\
& = \frac{ 1 \cdot \tfrac{1}{3} } { q \cdot \tfrac{1}{3} + 1 \cdot \tfrac{1}{3} + 0 \cdot \tfrac{1}{3}} = \frac{1}{q + 1}.\end{align}</math>
 
Diese Berechnung beschreibt den allgemeinen Fall, aus dem sich der „ausgeglichene Moderator“ (<math>q = \tfrac{1}{2}</math>) und der „faule Moderator“ (<math>q=1</math>) als Spezialfälle ableiten lassen.<ref name="morgan">J. P. Morgan, N. R. Chaganty, R. C. Dahiya and M. J. Doviak: ''Let’s Make a Deal: The Player’s Dilemma''. In: The American Statistician, Band 45, Heft 4, 1991, S. 284–287 ({{JSTOR|2684453}})</ref>
 
=== Die allgemeine Lösung ===
Aus der Betrachtung des unausgeglichenen Moderators lässt sich ableiten, dass unabhängig von seiner jeweiligen Vorliebe für ein bestimmtes Ziegentor die Gewinnwahrscheinlichkeit durch Wechseln nach dem Öffnen eines Ziegentores immer mindestens {{Bruch|2}}, im Durchschnitt sogar {{Bruch|2|3}} beträgt. Solange der Moderator gemäß den Spielregeln gezwungen ist, immer ein nichtgewähltes Ziegentor zu öffnen und daraufhin einen Wechsel anzubieten, sollte ein Kandidat also in jedem Fall seine Wahl des Tors ändern.
 
== Klärungsversuch der New York Times im Jahr 1991 ==
In einem Artikel auf der ersten Seite der Sonntagsausgabe der ''New York Times''<ref name="tierney" /> im Jahr 1991 wurde über den Versuch der Klärung der damals schon seit 10 Monaten währenden Debatte zur Lösung des „Monty-Hall-Problems“ berichtet. Zu diesem Klärungsversuch waren die folgenden vier Personen um ihren Beitrag gebeten worden: [[Martin Gardner]], [[Persi Diaconis]], [[Monty Hall]] und [[Marilyn vos Savant]]. Nachdem Monty Hall die Aufgabenstellung genau gelesen hatte, spielte er mit einem Versuchskandidaten das Spiel so, dass dieser bei einem Wechsel stets verlor, indem er den Wechsel immer nur dann anbot, wenn der Kandidat im ersten Schritt das Gewinn-Tor gewählt hatte.
 
Gardner bestätigte diese Variante mit den Worten: {{"|Das Problem ist nicht gut formuliert, wenn nicht klar gemacht wird, dass der Moderator immer eine Ziegentür öffnet und einen Wechsel anbietet.}} Sonst könnte der Moderator den Wechsel auch nur dann anbieten, wenn es zu seinem Vorteil wäre, den Kandidaten wechseln zu lassen, wodurch die Chancen bei einem Wechsel auf Null sinken würden. Diese Unklarheit könne beseitigt werden, indem der Moderator vorher verspreche, eine andere Tür zu öffnen und danach einen Wechsel anzubieten.
 
Vos Savant bestätigte diese Unklarheit in ihrer ursprünglichen Problemstellung und dass dieser Einwand, wenn er von ihren Kritikern gebracht worden wäre, gezeigt hätte, dass sie das Problem wirklich verstanden haben; aber sie hätten nie ihre erste falsche Auffassung aufgegeben. In ihrem später veröffentlichten Buch<ref name="savant_brainpower" /> schreibt sie, dass sie auch Briefe von Lesern erhalten habe, die auf diese Unklarheit hingewiesen hatten. Diese Briefe seien aber nicht veröffentlicht worden.
 
Diaconis sagte zur Aufgabenstellung: {{"|Das strikte Argument lautet, dass die Frage nicht beantwortet werden kann, ohne die Motivation des Moderators zu kennen.}} Das stand ganz im Gegensatz zu den Veröffentlichungen, die ihre Lösung gerade auf exakte Mathematik im Gegensatz zur „Intuition“ gründeten.
 
Monty Hall selbst gab folgenden Rat: {{"|Wenn der Moderator immer eine Tür öffnen und einen Wechsel anbieten muss, dann sollten Sie wechseln. Aber wenn er die Wahl hat, einen Wechsel anzubieten oder nicht, heißt es aufgepasst: Keine Gewähr! Alles hängt von seiner Laune ab.}}
 
== Paul Erdős und das Ziegenproblem ==
[[Andrew Vázsonyi]]<ref name="vaszonyi">Andrew Vázsonyi: ''The Real-Life Adventures of a Decision Scientist, Which Door Has the Cadillac?''. In: ''Decision Line'', December/January 1999; {{Webarchiv|url=http://www.decisionsciences.org/DecisionLine/Vol30/30_1/vazs30_1.pdf | wayback=20140309021212 | text=decisionsciences.org}}</ref> schildert, wie der berühmte Mathematiker [[Paul Erdős]] im Jahr 1995 auf das Ziegenproblem und die Behauptung der {{Bruch|2|3}}-Lösung reagiert hat. Nachdem Vázsonyi zunächst von einem Freund von dem Problem, direkt angelehnt an vos Savants Originalversion, gehört hatte, löste er es mit einem Entscheidungsbaum und konnte die {{Bruch|2|3}}-Lösung, die sich ergab, kaum glauben. Als er dann Problem und Lösung Erdős vorlegte, sagte „einer der größten Experten in Wahrscheinlichkeitstheorie“: ''Nein, das ist unmöglich. Da besteht kein Unterschied.'' Die Reaktion auf die Lösung mit dem Entscheidungsbaum beschreibt Vázsonyi so: ''Zu meiner Verblüffung überzeugte ihn das nicht. Er wollte eine einfache Lösung ohne Entscheidungsbäume. Ich gab an diesem Punkt auf, weil ich keine Erklärung auf der Basis des gesunden Menschenverstands habe.'' Es sei „hoffnungslos“ für jemanden, der sich in Entscheidungsbäumen und mit dem Satz von Bayes nicht auskenne, die Lösung zu verstehen. Als Vázsonyi von Erdős nach einer Stunde noch einmal gebeten wurde, ihm den Grund für den Wechsel zu nennen, führte er ihm schließlich eine Computersimulation vor. Laut Vázsonyi wandte Erdős ein, dass er den Grund immer noch nicht verstehe, er sei aber widerwillig überzeugt gewesen.
 
Einige Tage später teilte Erdős laut Vázsonyi mit, er habe die Lösung jetzt verstanden, nachdem ihm der Mathematiker [[Ron Graham]] die Begründung für die Antwort gegeben habe. Vázsonyi schreibt jedoch, dass er selbst diese Begründung nicht verstand.
 
In seinem Buch über Paul Erdős gibt Paul Hoffmann Grahams Begründung wieder:<ref name="paul_hoffmann">Paul Hoffman: ''The Man Who Loved Only Numbers: The Story of Paul Erdős and the Search for Mathematical Truth''. Hyperion, 1998.</ref> „Der Schlüssel zum Monty-Hall-Problem ist, dass man im Voraus weiß, dass der Moderator einem immer die Möglichkeit gibt, eine andere Tür zu wählen. Das gehört zu den Spielregeln und muss in die Betrachtungen einbezogen werden.“
 
Am Ende seines Artikels schreibt Vázsonyi im Abschnitt „Marilyn weiß es am besten“, dass er später durch einen Artikel zum Thema im ''[[Skeptical Inquirer]]'' aus dem Jahr 1991<ref name="skeptical_inquirer">''[[Skeptical Inquirer]]'', Vol. 15, Summer 1991, S. 342–345; [http://www.gpposner.com/vos_Savant.html gpposner.com]</ref> einen tieferen Einblick in das Problem bekommen habe. In diesem Artikel, durch den auch Gero von Randow auf das Problem gestoßen war,<ref name="randow_buch" /> wird exakt die Originalaufgabe vos Savants aus dem Magazin ''Parade'' gestellt.
 
== Das ältere Monty-Hall-Problem ==
Im Februar 1975 veröffentlichte die akademische Zeitschrift ''The American Statistician'' einen Brief von Steve Selvin, damals Assistenzprofessor für Biostatistik an der Universität von Kalifornien in Berkeley, an den Editor. In diesem Brief, überschrieben mit „A Problem in Probability“, schlug er eine Textaufgabe als Übung in Wahrscheinlichkeitsrechnung vor.<ref>Steve Selvin: [http://www.jstor.org/pss/2683689?cookieSet=1 1. Leserbrief.] ''The American Statistician'' (Februar 1975) (JSTOR)</ref> Die von ihm gegebene Lösung ähnelt der Tabelle, wie sie im Abschnitt zu vos Savants Antwort dargestellt ist. Im August desselben Jahres erschien ein weiterer Brief vom selben Autor mit dem Titel „On the Monty Hall Problem“, in dem er sich auf seinen ersten Brief bezog und auf Einwände seitens der Leser bezüglich seines Lösungsvorschlags reagierte. Zu diesem Zeitpunkt tauchte also zum ersten Mal der Begriff „Monty Hall Problem“ im medialen Raum auf.<ref>Steve Selvin: [http://montyhallproblem.com/as.html 2. Leserbrief.] Excerpted from ''The American Statistician'' (August 1975)</ref>
 
In seinem zweiten Brief präsentierte Selvin weitere Argumente zugunsten seiner Lösung, einschließlich einer formalen mathematischen Berechnung mithilfe bedingter Wahrscheinlichkeiten. Er fügte hinzu, dass seine Berechnungen auf bestimmten, nicht expliziten, Annahmen bzgl. des Verhaltens des Moderators Monty Hall beruhten. Außerdem zitierte er einen Leser, der darauf hinwies, dass die kritischen Annahmen bzgl. des Moderatorverhaltens notwendig seien, um das Problem überhaupt lösen zu können, und dass die Anfangsverteilung nur ein Teil des Problems darstellte, während es sich hier doch um ein subjektives Entscheidungsproblem handelte.
 
Es liegt nahe, dieses frühe Monty-Hall-Problem als einen Vorläufer der heute als Ziegenproblem bekannten Fragestellung anzusehen, einschließlich des Disputs über die damals schon umstrittenen zusätzlichen Annahmen bzgl. der Verhaltensregeln des Moderators.
 
== Übersicht über die Fachliteratur zu „dem“ Ziegenproblem ==
 
=== Hinweise zur Literatur ===
In den Publikationen zum Ziegenproblem (Monty-Hall-Problem) werden, manchmal sogar innerhalb einer Publikation, unterschiedliche Fragestellungen und Modelle untersucht.<ref name="lucas" /><ref name="gill" />
 
Autoren wie Gill<ref name="gill" /> und Krauss & Wang<ref name="krauss_wang" /> sowie Krauss & Atmaca<ref name="krauss_atmaca">S. Krauss, S. Atmaca: ''Wie man Schülern Einsicht in schwierige stochastische Probleme vermitteln kann. Eine Fallstudie über das „Drei-Türen-Problem“''. In: ''Unterrichtswissenschaft'', 2004, 1, S. 38–57</ref> legen ihrer Lösung vos Savants Originaltext zugrunde und machen ihre Zusatzannahmen erst im Laufe ihrer Analyse explizit. Dabei wird die Korrektheit von vos Savants Lösung, die die heftigen Kontroversen ausgelöst hatte, ausdrücklich herausgestellt.
 
Im Anhang von vos Savants Buch<ref name="savant_brainpower" /> schreibt Donald Granberg, es sei Konsens, dass vos Savants Antwort im Wesentlichen korrekt sei, vorausgesetzt, man mache sieben „hoch plausible“ Annahmen. Darunter befindet sich die Annahme, dass der Moderator verpflichtet ist, nach der ersten Wahl eine nichtgewählte Ziegentür zu öffnen, sowie die Annahme, dass der Moderator ehrlich ist.
 
Krauss & Wang<ref name="krauss_wang" /> fügen der Aufgabe vos Savants, die sie als „Standardversion“ bezeichnen, mehrere Annahmen hinzu, damit sich die Lösung vos Savants präzise herleiten lässt. Auch in Krauss & Atmaca<ref name="krauss_atmaca" /> wird mit dem Originalproblem vos Savants begonnen, wobei der Moderator, bevor er die Ziegentür öffnet, entsprechend der Formulierung Gero von Randows<ref name="randow_buch">Gero von Randow: ''Das Ziegenproblem – Denken in Wahrscheinlichkeiten''. Rowohlt, Reinbek 1992, ISBN 3-499-19337-X, Neuauflage: Rowohlt, Reinbek 2004, ISBN 3-499-61905-9.</ref> noch sagt ''Ich zeige Ihnen mal was.'' Nach Steinbach<ref name="steinbach" /> sind diese Worte des Moderators aus der Sicht des Kandidaten „unsinnig“, wenn er auf Grund der Spielregeln sowieso erwartet, eine Ziege gezeigt zu bekommen. Auch Henze<ref name="henze_buch" /> lässt in seiner Aufgabenformulierung den Moderator, bevor er die Ziegentür öffnet, sagen ''Soll ich Ihnen mal was zeigen?'', und schreibt, nachdem er die Lösung vos Savants als korrekt dargestellt hat: ''Bei allen diesen Betrachtungen ist natürlich entscheidend, dass der Moderator die Autotür geheimhalten muss, aber auch verpflichtet ist, eine Ziegentür zu öffnen.'' In einer Vorlesung im Sommersemester 2014<ref name="henze_ss2014">Norbert Henze: [http://www.youtube.com/watch?feature=player_detailpage&v=NcCGgdornVs#t=4150 ''Einführung in die Stochastik für Studierende des gymnasialen Lehramts Mathematik''.] Vorlesung, Lektion 5, 2. Mai 2014 (SS2014);</ref> schreibt er diesen Zusatz zu Beginn in die Aufgabenstellung und stellt ausführlich heraus, dass vos Savant recht hatte.
 
Lucas<ref name="lucas" /> verwendet eine Problemformulierung, die dem Moderator von vornherein gewisse Verhaltensregeln vorschreibt. Bei der Beurteilung der heftigen Reaktionen auf vos Savants Lösung spielt es für Lucas<ref name="lucas" /> jedoch keine Rolle, dass diese Verhaltensregeln in dem von vos Savant vorgelegten Problem nicht formuliert worden waren.
 
Morgan et al.<ref name="morgan" /> sowie Gill<ref name="gill" /> wiederum thematisieren nicht, dass in vos Savants Originalfragestellung die Regel fehlte, dass der Moderator verpflichtet ist, nach der ersten Wahl eine nicht gewählte Ziegentür zu öffnen und einen Wechsel anzubieten. Den einzigen Fehler in vos Savants Lösung sehen Morgan et al. darin, dass sie nicht explizit angenommen hat, dass der Moderator dann, wenn der Kandidat die Autotür gewählt hat, beide möglichen Ziegentüren mit gleicher Wahrscheinlichkeit öffnet. Erst nach ihren Ausführungen zu Aufgabe und Lösung erwähnen Morgan et al. und Gill andere Möglichkeiten des Spielablaufs. Morgan et al. gehen nun sogar davon aus, dass der Moderator, ohne den Spieler zu informieren, auch die Autotür öffnen darf, was bei einem „plausiblen Szenario“ zur „populären Antwort {{Bruch|2}}“ für den Fall führe, dass er eine nicht gewählte Ziegentür öffnet. Sie schreiben sogar, dass es die Perspektive des Moderators verlangt, das „vos-Savant-Szenario“ nicht zu befolgen, um Spieler davon abzuhalten, immer zu wechseln. Dem Moderator zu erlauben, sofort auch die vom Kandidaten gewählte Tür zu öffnen, nennen sie eine „Verallgemeinerung“, die an den Betrachtungen der bedingten Wahrscheinlichkeiten nichts ändere.
 
Götz (2006)<ref name="goetz" /> sieht „das berühmte ‚Ziegenproblem‘“ als „hinreichend diskutiert“ an. In seiner Beschreibung der Problemstellung heißt es: ''Jetzt kommt der entscheidende Punkt. Der Spielleiter fragt die Kandidatin, ob sie bei ihrer ursprünglichen Wahl der Türe bleiben möchte oder auf die andere, noch geschlossene Türe wechseln möchte.'' Zur Lösung schreibt er, ''dass die Strategie „Wechseln“ mit Wahrscheinlichkeit {{Bruch|2|3}} zum Auto führt''. Nach verschiedenen Lösungsansätzen erwähnt er, dass „R. Grothmann (2005)“ darauf hingewiesen habe, ''dass es klar sein muss, ob der Spielleiter eine nicht gewählte Tür öffnen muss oder auch die gewählte öffnen kann''.
 
„Das aus den Medien bekannte umstrittene Ziegenproblem“ wird von Steinbach<ref name="steinbach" /> „vollständig analysiert und gelöst“. Dabei geht er von Gero von Randows<ref name="randow_buch" /> Problemformulierung aus. Steinbach vermutet, dass die unterschiedlichen Antworten auf die Originalfrage darauf zurückzuführen sind, dass die Befürworter der {{Bruch|2|3}}-Lösung die Perspektive des „Denksportlers“, die Befürworter der Lösung {{Bruch|2}} die des Kandidaten einnehmen: ''Allein aus den Worten des Moderators und dem Anblick der Ziege kann der Kandidat nämlich nicht erkennen, ob irgendeine Spielregel gilt – und schon gar nicht, welche. […] Es bleibt nur der Münzwurf: so erwischt der Kandidat – unabhängig vom Verhalten des Moderators! – mit Wahrscheinlichkeit {{Bruch|2}} die richtige Tür.''
 
Gigerenzer und Grams stellen heraus, dass ein Großteil der Debatte zum Ziegenproblem darauf zurückgeht, dass von den Autoren nicht ausreichend zwischen „Entscheidung bei Risiko“ und „Entscheidung bei Ungewissheit“ unterschieden wird: „Unter den Tausenden von Artikeln, die über das Monty-Hall-Problem veröffentlicht wurden, blieb der Unterschied zwischen Risiko und Ungewissheit praktisch unbeachtet“ (Gigerenzer).
 
=== Die Fragestellung ist qualitativ, nicht quantitativ ===
In Bezug auf die verschiedenen Lösungen, wie sie auch oben wiedergegeben wurden, resümiert Götz „WECHSELN IST NIE SCHLECHTER ALS BLEIBEN!“ ([[Versalie]]n gemäß Referenz).<ref name="goetz">Stefan Götz: ''Ziegen, Auto und Bayes – eine never-ending story''. In: ''Stochastik in der Schule'', Band 26, Heft 1, 2006, S. 10–15, [http://www.math.uni-paderborn.de/~agbiehler/sis/sisonline/jahrgang26-2006/heft1/2006-1_g%C3%B6tz.pdf math.uni-paderborn.de] (PDF)</ref> Auf diesen Sachverhalt hatten bereits 1991 Morgan et al., die „Entdecker“ der auf Zusatzannahmen über das Moderatorverhalten basierenden Lösungen, aufmerksam gemacht.<ref name="morgan" /> Trotz dieser qualitativen Übereinstimmung und der Tatsache, dass die Problemstellung „Ist es von Vorteil, die Wahl des Tores zu ändern?“ nach einer Aktion und ''nicht'' nach einer Wahrscheinlichkeit fragt,<ref name="gill" /> sind die Annahmen, die zu unterschiedlichen Wahrscheinlichkeits''werten'' führen, immer wieder Gegenstand heftiger Diskussionen. So enthält allein die Bibliografie des 2009 erschienenen Buchs ''The Monty Hall Problem'' von Rosenhouse über hundert Veröffentlichungen.<ref>Jason Rosenhouse: ''The Monty Hall Problem''. Oxford University Press, 2009, ISBN 978-0-19-536789-8</ref>
 
=== Frequentistische Sicht ===
Georgii<ref name="georgii">Hans-Otto Georgii: ''Stochastik'', 4. Auflage, de Gruyter, 2009, ISBN 978-3-11-021526-7, [[doi:10.1515/9783110215274]], S. 56–58, [http://books.google.de/books?id=m2unQRKR2acC&pg=PA54 Auszug Google Books]<!-- andere Seitenzahlen sind durch andere Auflage bedingt --></ref> kommt zunächst unter der Annahme, dass der Moderator nach der ersten Wahl des Kandidaten zum Öffnen einer nicht gewählten Ziegentür verpflichtet ist, unmittelbar zur Gewinnwahrscheinlichkeit {{Bruch|2|3}} bei einem Türwechsel. Die „Trivialität“ dieser Lösung, die ''genau der Antwort vos Savants'' entspricht, liegt nach Georgii daran, ''dass wir den Moderator auf eine feste Verhaltensweise festgelegt haben, dass er also das Spiel immer so durchführt wie beschrieben''. Den „tieferen Grund“ für diese Festlegung sieht er ''darin, dass wir implizit von einer frequentistischen Interpretation der bedingten Wahrscheinlichkeiten ausgegangen sind, welche die Wiederholbarkeit des Vorgangs und also feste Regeln voraussetzt''. Entsprechend der Bemerkung von Morgan et al.<ref name="morgan" /> die Perspektive des Moderators verlange es, das „vos-Savant-Szenario“ nicht zu befolgen, schreibt auch Georgii: ''Nun wird der Moderator das Spiel aber nicht regelmäßig durchführen.'' Unter diesem Gesichtspunkt sei die „subjektive Interpretation“ angemessener. Als Beispiel nennt er dann die Variante mit Gewinnwahrscheinlichkeit {{Bruch|2}}, bei der der Moderator vor dem Wechselangebot mit gleicher Wahrscheinlichkeit eine der beiden Ziegentüren öffnet, unabhängig davon, welche Tür der Spieler gewählt hat. Nach diesen Ausführungen zieht er folgenden Schluss: ''Ähnlich wie beim Betrand’schen Paradoxon beruhen die verschiedenen Antworten auf einer unterschiedlichen Interpretation einer unscharf gestellten Aufgabe. […] Die philosophische Unsicherheit über die Bedeutung bedingter Wahrscheinlichkeiten kommt dabei erschwerend hinzu.''
 
=== Einfluss des Moderatorverhaltens bei Wahl der Autotür ===
Die Bemerkung Georgiis,<ref name="georgii" /> dass es darauf ankomme, „wie der Spieler das Verhalten des Moderators einschätzt“, lässt sich auch anwenden auf die Frage, mit welcher Wahrscheinlichkeit der Moderator eine bestimmte Ziegentür öffnet, wenn der Kandidat die Autotür gewählt hat. Die meisten Lehrbuchautoren verzichten allerdings auf die Berücksichtigung einer solchen subjektiven Einschätzung des Moderatorverhaltens. Konkret gehen sie davon aus, dass der Moderator ''ausgeglichen'' agiere, das heißt, dass er die Auswahl des Tors gemäß einer [[Gleichverteilung]] vornimmt. Dadurch wird dieser Ansatz zur häufigsten in der Fachliteratur vertretenen Erklärung dafür, dass ein Torwechsel mit der Wahrscheinlichkeit von {{Bruch|2|3}} zum Gewinn führt.<ref name="behrends" /><ref name="henze_buch">Norbert Henze: ''Stochastik für Einsteiger: Eine Einführung in die faszinierende Welt des Zufalls''. Vieweg+Teubner Verlag, 2010, ISBN 978-3-8348-0815-8, [[doi:10.1007/978-3-8348-9351-2]], S. 51–52, 98, 104–106</ref><ref>Jörg Rothe, Dorothea Baumeister, Claudia Lindner, Irene Rothe: ''Einführung in Computational Social Choice: Individuelle Strategien und kollektive Entscheidungen beim Spielen, Wählen und Teilen''. Spektrum Akademischer Verlag, 2012, ISBN 978-3-8274-2570-6, [[doi:10.1007/978-3-8274-2571-3]], S. 65–69</ref><ref>Rick Durett: ''Elementary Probability for Applications''. 2009, ISBN 978-0-521-86756-6, S. 84–85</ref><ref>Charles M. Grinstead, J. Laurie Snell: ''Introduction to probability''. 2nd edition. American Mathematical Society, 2003, [http://www.dartmouth.edu/~chance/teaching_aids/books_articles/probability_book/amsbook.mac.pdf dartmouth.edu] (PDF), S. 136–139.</ref> Diese Gewinnwahrscheinlichkeit von {{Bruch|2|3}} bei einem Torwechsel bezieht sich explizit auf den Zeitpunkt ''nach'' dem Öffnen eines Tores durch den Moderator.
 
Untersuchungen, bei denen der Kandidat den Moderator auch dahingehend einschätzt, seine Torauswahl nicht gleichwahrscheinlich vorzunehmen, wurden erstmals 1991 von Morgan et al.<ref name="morgan" /> und unabhängig davon 1992 von Gillmann<ref>Leonard Gillman: ''The Car and the Goats''. The American Mathematical Monthly, Band 99, Heft 1, 1992, S. 3–7 ({{JSTOR|2324540}})</ref> veröffentlicht. Dabei haben Morgan et al.<ref name="morgan" /> vos Savants Aufgabe so abgeändert, dass sich die Fragestellung genau auf die genannten Türnummern bezog, die bei vos Savant nur als erläuternde Beispiele vorkamen. Die Variante vos Savants mit einer Million Türen bezeichneten Morgan et al.<ref name="morgan" /> als „dubiose Analogie“. Die Anwendung des Verfahrens von Morgan et al.<ref name="morgan" /> auf diese Variante liefert ohne Zusatzannahmen dasselbe Ergebnis wie bei nur drei Türen, nämlich einen Wert zwischen {{Bruch|2}} und 1 – gegenüber 99,9999 % bei vos Savant.
 
In ihrer Erwiderung<ref name="savant_morgan_1">The American Satistician, November 1991, Vol. 45, No. 4, S. 347; [[doi:10.1080/00031305.1991.10475834]].</ref> auf Morgan et al. weist vos Savant auf die verkürzte Wiedergabe sowohl ihrer Fragestellung als auch ihrer Antwort hin, deren vollständige Version sie in ihrem Antwortbrief wiedergibt. Morgan et al.<ref name="savant_morgan_1" /> wiederum antworten darauf, dass in dieser Darstellung der Hinweis fehle, dass die Fragestellung von einem „Leser in Columbia, Maryland“ stamme. Das sei deshalb wichtig, weil die Einschränkung, „dass der Moderator eine Ziege zeigen muss“, von vos Savant selbst hinzugefügt worden sei. Vos Savant selbst hat darauf hingewiesen, dass sie den Eindruck hatte, dass diese „bedeutendste“ einschränkende Bedingung in der ursprünglichen Leserfrage nicht genügend hervorgehoben worden war und dass sie sie deshalb in ihrer Antwort hinzugefügt habe.<ref name="savant_brainpower" />
 
Bei den anderen in ihrer ursprünglichen Fragestellung nicht formulierten Voraussetzungen bleibt sie bei ihrer Auffassung, dass sie ihr für ein allgemeines Verständnis des Problems nicht wichtig erscheinen, da Ereignisse standardmäßig als „zufällig“ betrachtet werden.<ref name="savant_morgan_1" /> Diese Auffassung teilt auch Steinbach,<ref name="steinbach" /> der diese Annahmen, bevor er sie unter der Überschrift „Haarspaltereien“ mathematisch untersucht, als „stillschweigend, aber unstrittig und irrelevant“ bezeichnet.
 
=== Bayessche Sicht ===
Nach Georgii reduzieren sich die unterschiedlichen Standpunkte zu der „unscharf gestellten Aufgabe“ auf die Frage, ob es Bestandteil einer festen Spielregel ist, dass der Moderator eine nicht gewählte Ziegentür öffnen und einen Wechsel anbieten muss.<ref name="georgii" />
 
Während bei Georgii die Frage, mit welcher Wahrscheinlichkeit der Moderator eine bestimmte Ziegentür öffnet, wenn der Kandidat die Autotür gewählt hat, nicht thematisiert wird und für seine Lösung keine Rolle spielt, verweist Götz dazu auf zwei „unterschiedliche Wahrscheinlichkeitsbegriffe, die den jeweiligen Betrachtungsweisen zugrunde liegen.“ Die „klassische Lösung“ ohne die Betrachtung dieses Moderatorverhaltens sei „frequentistisch“ zu deuten und empirisch zu überprüfen. Demgegenüber liefere eine „[[Bayesscher Wahrscheinlichkeitsbegriff|Bayesianische Lösung]] […] die Bewertungsgrundlage einer Einzelsituation. Wie soll sich die Kandidatin [[hic et nunc]] verhalten, nachdem der Spielleiter eine Tür geöffnet hat? […] Man fragt also nach Zustandswahrscheinlichkeiten oder Erkenntniswahrscheinlichkeiten (und nicht nach Wahrscheinlichkeiten zukünftiger [[Ereignis (Wahrscheinlichkeitstheorie)|Zufallsereignisse]]).“<ref name="goetz" /> Mit anderen Worten: Die Kandidatin macht ''nach'' der Toröffnung durch den Moderator die Bewertung seiner beiden Handlungsoptionen davon abhängig, welches grundsätzliche Verhalten sie dem Moderator unterstellt. Dabei wird der Extremfall eines ''faulen Moderators'' durch die Antwort auf die folgende Frage charakterisiert: „Hätte der Moderator, nachdem er meine Entscheidung für ein Tor gesehen hat, das von ihm gerade geöffnete Tor auch unter allen anderen Umständen ausgewählt, sofern es ihm nur möglich – kein Auto dahinter – gewesen wäre?“
 
Wenn die Kandidatin nichts über die Vorlieben des Moderators weiß, „bringt Wechseln“ laut Götz „eine Erfolgschance von {{Bruch|2|3}}“. ''Gute Schätzwerte für den unbekannten Parameter p'' erhalte man ''durch Beobachten des Verhaltens des Spielleiters in der passenden Situation, wenn das Auto hinter Tür 1 steht und die Kandidatin ebendiese Tür (zunächst) erwählt hat''.
 
Bayessche Untersuchungen wurden erstmals von Morgan et al.<ref name="morgan" /> durchgeführt, und zwar auf Basis ihrer Ergebnisse, bei denen der Moderator das zu öffnende Tor zufällig gemäß dafür angenommener [[A-priori-Wahrscheinlichkeit]]en auswählt.
 
=== Vergleich der verschiedenen Lösungen ===
==== Nummerierung der Tore ====
Die im letzten Abschnitt vorgenommene Charakterisierung des Verhaltens eines ''faulen Moderators'' zeigt, dass eine diesbezügliche Lösung nicht an eine Nummerierung der Tore gebunden ist (üblicherweise „Kandidat wählt Tor 1. Moderator öffnet Tor 3, wenn immer es möglich ist“).<ref name="gill" />
 
==== Empirische Überprüfung einer auf das Moderatorverhalten bezogenen Lösung ====
Soll beispielsweise die für die Variante eines ''faulen Moderators'' gefundene 50:50-Lösung empirisch geprüft werden, so ist dabei zu berücksichtigen, dass sich die auf dieser Basis hergeleitete Aussage auf ein bedingtes Ereignis bezieht. Bei einer Versuchsreihe von 300 Spielshows, die gemäß der Zusatzannahme ''fauler Moderator'' durchgeführt werden, durchlaufen damit ungefähr 100 Shows nicht das Ereignis, das Gegenstand der Untersuchung ist. Konkrete Ursache dafür ist, dass bei einem hinter Tor 3 verborgenen Auto der Moderator gezwungen ist, Tor 2 zu öffnen. Solche Spielverläufe liegen aber außerhalb des Untersuchungsbereichs, so dass die nach einem Torwechsel stets erzielten Gewinne bei der Versuchsreihenauswertung unberücksichtigt bleiben müssen.<ref name="morgan" />
 
==== Entscheidungssituationen mit unterschiedlichen Gewinnchancen ====
[[Datei:Monty Hall frequencies.svg|mini|hochkant=2|Simulation von 1000 Runden des Standardproblems mit ausgeglichenem Moderator: bedingte (rot) und unbedingte (blau) Häufigkeiten für einen Gewinn]]
 
Die „global“ für alle denkbaren Entscheidungssituationen festgelegte Torwechsel-Strategie bringt ''insgesamt'' einen 2:1-Vorteil. Allerdings können durch einen asymmetrischen Spielverlauf Entscheidungssituationen entstehen, bei denen ein Torwechsel gegenüber dem Durchschnitt aussichtsreicher beziehungsweise weniger aussichtsreich ist. Solche Effekte sind im Hinblick auf eine asymmetrische [[Wahrscheinlichkeitsverteilung]] bei der Auslosung des Gewinntors offensichtlich,<ref>Jason Rosenhouse: ''The Monty Hall Problem''. Oxford University Press, 2009, ISBN 978-0-19-536789-8, S. 78–80</ref> aber sie können, wie die Ergebnisse für den ''faulen Moderator'' zeigen, auch durch ein asymmetrisches Moderatorverhalten verursacht werden. Beim Moderatorverhalten sind allerdings die möglichen Abweichungen für die Gewinnwahrscheinlichkeit beim Torwechsel vom A-priori-Wert {{Bruch|2|3}} nach unten begrenzt, da der Wert {{Bruch|2}} nicht unterschritten werden kann, denn „Wechseln ist nie schlechter als Bleiben“ – siehe oben.
 
==== Die beiden einen 2:1-Vorteil prognostizierenden Lösungen ====
Auch wenn die „klassische“ vos-Savant-Lösung übereinstimmend mit der Lösung für den ''ausgeglichenen Moderator'' für einen Torwechsel einen 2:1-Vorteil vorhersagt, sind ihre Betrachtungswinkel und Argumente doch sehr unterschiedlich: Einmal wird eine [[A priori|A-priori]]-Wahrscheinlichkeit für die Situation unmittelbar ''vor'' der Entscheidung des Moderators für ein zu öffnendes Tor angegeben. Das andere Mal bezieht sich die Wahrscheinlichkeit auf den Zeitpunkt, wenn der Moderator „sein“ Tor bereits geöffnet hat, wobei allerdings die Zusatzannahme gemacht wird, dass der Moderator seine Auswahl gleichwahrscheinlich getroffen hat. Der Umstand, dass beide Ansätze die gleiche Gewinnwahrscheinlichkeit liefern, folgt aus einer Symmetriebetrachtung, die den [[A posteriori|A-posteriori]]-Wert aus dem A-priori-Wert herleitet.<ref name="gill" />
 
==== Spieltheoretischer Ansatz ====
Mit unterschiedlichen Annahmen über die Wahrscheinlichkeit, mit der der Moderator eine bestimmte Ziegentür öffnet, wenn der Kandidat die Autotür gewählt hat, lassen sich für den jeweiligen Einzelfall auch unterschiedliche Gewinnwahrscheinlichkeiten errechnen. Dieser Aspekt wurde von einigen Autoren als Ausgangspunkt [[Spieltheorie|spieltheoretischer]] Untersuchungen des Ziegenproblems genommen. Dabei wird die Zusatzannahme über diese Wahrscheinlichkeit als [[gemischte Strategie]] im Sinne eines Zwei-Personen-[[Spiel (Spieltheorie)|Spiels]] aufgefasst,<ref name="gill">Richard D. Gill: ''The Monty Hall problem is not a probability puzzle (it’s a challenge in mathematical modelling)''. Statistica Neerlandica, Band 65, Heft 1, 2011, S. 58–71, [[doi:10.1111/j.1467-9574.2010.00474.x]], {{arXiv|1002.0651}}.</ref><ref name="gill_ency">Richard D. Gill: ''Monty Hall problem: solution''. In: ''International Encyclopedia of Statistical Science'', S. 858–863, Springer, 2011, ISBN 978-3-642-04897-5, [[doi:10.1007/978-3-642-04898-2]], {{arXiv|1002.3878v2}}.</ref> das sogar [[Nullsummenspiel|Nullsummencharakter]] besitzt. Einbezogen in den [[Extensivform (Spieltheorie)|sequentiellen Spielablauf]] wird auch das Verstecken des Autos, das als erster [[Spielzug|Zug]] des Moderators gewertet wird. Mit einem einfachen Argument, das für beide Spieler naheliegende, in Bezug auf die Tore symmetrische Strategien verwendet, konnte Gill zeigen, dass der [[Min-Max-Theorem|Minimax-Wert]] {{Bruch|2|3}} beträgt.<ref name="gill" />
 
Die Menge der [[Minimax-Strategie]]n für beide Spieler wurde von Gnedin bestimmt.<ref>Sasha Gnedin: ''The Mondee Gills Game''. The Mathematical Intelligencer, Band 34, Heft 1, S. 34–41, [[doi:10.1007/s00283-011-9253-0]]</ref> Dabei besitzt der Kandidat nur eine einzige Minimax-Strategie, bei der er sein zuerst gewähltes Tor gemäß einer Gleichverteilung auslost und anschließend immer das Tor wechselt. Die Aussage ist insofern bemerkenswert, da sie ohne A-priori-Annahme über das Verhalten des Moderators auskommt und trotzdem Aussagen für jede einzelne im Spiel auftauchende Entscheidungssituation macht. Ein noch stärkeres Argument für den Kandidaten, nie das anfangs gewählte Tor beizubehalten, ergibt sich aus Gnedins [[Lösungskonzept#Dominanz|Dominanz]]-Analysen für Strategien.
 
== Weitere mathematisch untersuchte Varianten ==
Neben den oben dargestellten Interpretationen „des“ Ziegenproblems gibt es noch weitere Varianten, die in der Fachliteratur untersucht wurden. Generell ist dazu anzumerken, dass bei den Autoren – wie schon im Hinblick auf die oben dargestellten Interpretationen – kein Konsens darüber besteht, welches [[Mathematisches Modell|mathematische Modell]] „dem“ Ziegenproblem und seiner Fragestellung entspricht. Teilweise dienen die Modelle auch nur dem Zweck eines erläuternden Vergleichs:
 
=== Moderator kann auch das Tor mit dem Auto öffnen ===
Lucus, Rosenhouse, Madison und Schepler<ref name="lucas">Stephen Lucas, Jason Rosenhouse, James Madison, Andrew Schepler: ''The Monty Hall Problem, Reconsidered''. In: ''Mathematics Magazine'', Band 82, Heft 5, 2009, S. 332–342, {{JSTOR|27765931}}, [http://educ.jmu.edu/~lucassk/Papers/MHOverview2.pdf Preprint] (PDF), Nachdruck in: Michael Henle, Brian Hopkins (Hrsg.): ''Martin Gardner in the Twenty-First Century'', 2011, ISBN 978-0-88385-913-1, S. 231–242</ref> sowie Morgan et al.<ref name="morgan" /> analysieren unter anderem auch die Variante, bei der der Moderator sein Tor zufällig unter den ''beiden'' verbliebenen Toren wählt und dabei gegebenenfalls auch das Tor mit dem Auto öffnet. Eine kurze Berechnung bestätigt die auch intuitiv naheliegende Vermutung, dass für diese Variante in dem Fall, dass ein Tor mit Ziege geöffnet wird, die Gewinnwahrscheinlichkeit beim Wechseln {{Bruch|2}} beträgt.
 
=== Moderator kann auch das zuerst gewählte Tor öffnen ===
Georgii lässt in einer der zwei von ihm untersuchten Varianten auch zu, dass der Moderator das zuerst vom Spieler gewählte Tor mit einer Ziege öffnet. Wenn der Moderator dabei zufällig mit gleicher Wahrscheinlichkeit zwischen den beiden Ziegentoren auswählt, beträgt die Gewinnwahrscheinlichkeit bei einem Wechsel entsprechend der „Antwort der Kritiker“ auch dann {{Bruch|2}}, wenn er ein nicht gewähltes Ziegentor öffnet.<ref name="georgii" />
 
== Das Ziegenproblem in den Medien ==
Das US-amerikanische Filmdrama [[21 (Film)|21]] (2008) thematisiert das Ziegenproblem als Aufreißer für eine von zwei mathematischen Strategien, mit denen im Verlauf des Films große Geldsummen beim [[Black Jack|Black-Jack-Spielen]] erbeutet werden.
 
[[Jamie Hyneman]] und [[Adam Savage]] untersuchen in Episode 177 ''Mythen ohne Ende'' ihrer Dokumentarserie ''[[Mythbusters]]'' das Ziegenproblem. Dabei wurden die beiden Behauptungen, dass (1) Personen dazu neigen, bei ihrer ersten Wahl zu bleiben und (2) dass das Ändern der ursprünglichen Entscheidung die Gewinnchance signifikant erhöht, bestätigt.<ref>„Mythen ohne Ende“ (orig. „Wheel of Mythfortune“), Jamie Hyneman und Adam Savage, „Mythbusters“, Staffel 9, Episode 21, zuerst ausgestrahlt am 23. November 2011</ref>
 
== Einfluss von Wikipedia ==
Im Rahmen ihrer Mitarbeit bei [[Wikipedia]] fanden W. Nijdam und Martin Hogbin 2010 einen Fehler in der damals knapp 20&nbsp;Jahre alten Arbeit von Morgan et al.<ref name="gill" /><ref name="morgan" /><ref>J. P. Morgan, N. R. Chaganty, R. C. Dahiya, M. J. Doviak: ''Let’s Make a Deal: The Player’s Dilemma''. In: ''The American Statistician'', 1991, 45 (4), S. 284–287. Comment by Hogbin and Nijdam and Response. In: ''The American Statistician'', Band 64, Heft 2, 2010, S. 193–194, [[doi:10.1198/tast.2010.09227]]</ref> Demnach ist, wenn eine [[A-priori-Verteilung#(Nicht-)informative A-priori-Verteilungen|nicht-informative A-priori-Verteilung]] für das Moderatorverhalten zugrunde gelegt wird, die Gewinnwahrscheinlichkeit beim Torwechsel {{Bruch|2|3}} und nicht <math>\operatorname{ln}2\approx0{,}693</math>, wie Morgan et al. berechnet hatten. Die Bestätigung dieses Sachverhalts nutzten Morgan et al., um erstmals die originale Fragestellung aus Craig F. Whitakers Leserbrief an Marilyn vos Savant zu veröffentlichen.


== Siehe auch ==
== Siehe auch ==
* {{WikipediaDE|Ziegenproblem}}
* {{WikipediaDE|Kategorie:Schlaginstrument}}
* {{WikipediaDE|Gefangenenparadoxon}}
* {{WikipediaDE|Schlaginstrument}}
* {{WikipediaDE|Problem der 100 Gefangenen}}
* {{WikipediaDE|Geburtstagsparadoxon}}


== Literatur ==
== Literatur ==
=== Bücher ===
* Gert Kilian: ''Balafon Beat.'' Verlag Zimmermann, Frankfurt/Main 2003, ISMN M-010-33800-2.
* Gero von Randow: ''Das Ziegenproblem – Denken in Wahrscheinlichkeiten.'' Rowohlt, Reinbek 1992, ISBN 3-499-19337-X, Neuauflage: Rowohlt, Reinbek 2004, ISBN 3-499-61905-9.
* Karl Peinkofer, Fritz Tannigel: ''Handbuch des Schlagzeugs.'' Schott Music, Mainz 1981, ISBN 978-3-7957-2641-6.
* Jason Rosenhouse: ''The Monty Hall Problem''. Oxford University Press 2009, ISBN 978-0-19-536789-8.
* Hugo Pinksterboer: ''Pocket-Info, Drums.'' Mainz: Schott, Mainz 2000, ISBN 978-3-7957-5127-2.
 
=== Buchkapitel ===
* Jörg Bewersdoff: ''Glück, Logik und Bluff: Mathematik im Spiel – Methoden, Ergebnisse und Grenzen''. Springer Spektrum, 7. Auflage 2018, ISBN 978-3-658-21764-8, [[doi:10.1007/978-3-658-21765-5]], S. 34–38, 334–345.
* Hans-Otto Georgii: ''Stochastik, Einführung in Wahrscheinlichkeitstheorie und Stochastik.'' de Gruyter 2004, 5. Auflage 2015, ISBN 978-3-11-035970-1, [[doi:10.1515/9783110359701]], S. 61–64 ({{Google Buch|BuchID=iKXPRcYMR7MC|Seite=56|Linktext=Auszug (Google)|KeinText=ja}})
* Gerd Gigerenzer: ''Das Einmaleins der Skepsis – Über den richtigen Umgang mit Zahlen und Risiken.'' Berlin-Verlag, Berlin 2002, ISBN 3-8270-0079-3.
* Gerd Gigerenzer: Risiko. Wie man die richtigen Entscheidungen trifft. C. Bertelsmann, München 2013, ISBN 978-3-570-10103-2.
* Timm Grams: Klüger irren - Denkfallen vermeiden mit System. Springer, Berlin, Heidelberg 2016, ISBN 978-3-662-50279-2, [[doi:10.1007/978-3-662-50280-8]], S. 186–197.
* {{Literatur
  |Autor=Charles M. Grinstead, J. Laurie Snell
  |Titel=Grinstead and Snell’s Introduction to Probability
  |Datum=2006-07-04
  |Sprache=en
  |Kommentar=Online version of ''Introduction to Probability, 2nd edition'', American Mathematical Society, Copyright (C) 2003 Charles M. Grinstead and J. Laurie Snell
  |Online=[http://www.math.dartmouth.edu/~prob/prob/prob.pdf#page=144 math.dartmouth.edu]
  |Format=PDF
  |Seiten=136–139
  |KBytes=
  |Abruf=2008-04-02}}.
* Norbert Henze: ''Stochastik für Einsteiger.'' 12. Auflage, Springer Spektrum 2018, ISBN 978-3-658-22044-0, [[doi:10.1007/978-3-658-22044-0]], S. 48, 100–106. ({{Google Buch|BuchID=PfXpHDT_eDwC|Seite=105|Linktext=Auszug (Google) der 8. Aufl.|KeinText=ja}})
* Henk Tijms: ''Understanding Probability, Chance Rules in Everyday Life.'' University Press, 2nd edition, Cambridge 2007, ISBN 978-0-521-70172-3, [[doi:10.1017/CBO9780511619052]]. S. 15 f., 206–220.
 
=== Artikel ===
* Christoph Drösser: [http://www.zeit.de/2010/30/N-Ziegenproblem ''Der maliziöse Moderator'']. Die Zeit, 22. Juli 2010
* Christoph Drösser: [http://www.zeit.de/2011/34/Ziegenproblem ''Und ewig meckert die Ziege'']. Die Zeit, 19. August 2011
* <span id="refGnedin2011">Sasha Gnedin:</span> ''The Mondee Gills Game''. In: ''The Mathematical Intelligencer'', 2011, [[doi:10.1007/s00283-011-9253-0]] (OpenAccess).
* Jochen Paulus: [http://www.zeit.de/2004/48/N-Ziegenproblem ''Das Rätsel der drei Türen'']. Die Zeit, 18. November 2004
* Marc C. Steinbach: ''Autos, Ziegen und Streithähne''. Mathematische Semesterberichte (2000) 47/1, [[doi:10.1007/s005910070014]], S. 107–117, [http://webdoc.sub.gwdg.de/ebook/e/2003/zib/reports/ZR-00-40.pdf Preprint].


== Weblinks ==
== Weblinks ==
{{Commons|Monty Hall problem|Ziegenproblem}}
{{Commonscat|Percussion instruments|Schlaginstrumente}}
{{Wiktionary}}
* [http://www.matheprisma.uni-wuppertal.de/Module/Ziegen/ Matheprisma der Uni Wuppertal: Ziegenproblem]: ''Online Simulation, bedingte und totale Wahrscheinlichkeit, Bayes-Formel''
* Gerhard Keller: [http://www.gfksoftware.de/Ziegenproblem Ein Auto und zwei Ziegen] ''Kritische Analyse der Rezeptionsgeschichte des Ziegenproblems''
* DorFuchs: [https://www.youtube.com/watch?v=DWdcupH_p34 Ziegenproblem] (Mathesong auf YouTube)


== Einzelnachweise ==
{{Navigationsleiste Klassifikation von Musikinstrumenten nach Benutzung durch den Spieler}}
<references />
{{Normdaten|TYP=s|GND=4137283-9}}


[[Kategorie:Wahrscheinlichkeitsrechnung]]
[[Kategorie:Schlaginstrument|!]]
[[Kategorie:Musikinstrument|L]]


{{Wikipedia}}
{{Wikipedia}}

Version vom 17. Juli 2019, 17:03 Uhr

Ein Schlaginstrument ist ein Musikinstrument, das durch Schlagen zur Schwingung angeregt wird und so einen Ton von meist kurzer Dauer mit bestimmter oder unbestimmter Tonhöhe oder ein Geräusch erzeugt. Zur Gruppe der Schlaginstrumente, die nicht nach der heute üblichen Systematik der Musikinstrumente, sondern lediglich nach der Art der vom Spieler aufgewendeten Energie, also der ausgeführten Schlagbewegung klassifiziert werden, zählen Idiophone (Selbstklinger) und Membranophone, bei denen der Tonerreger straffgespannte Membrane sind. Rahmentrommeln mit Schellenkranz wie das Tamburin sind zugleich Membranophon und Idiophon. Vor dieser heutigen Unterscheidung bildeten Schlaginstrumente eine der drei alten Kategorien, neben Saiteninstrumenten und Blasinstrumenten.

Die eher geräuschhaften Instrumente werden überwiegend als Rhythmusinstrument eingesetzt, jene welche auch Tonhöhen produzieren können (wie etwa Glockenspiel, Xylophon, Vibraphon, Celesta, Klavier) werden auch als Melodieinstrument bzw. als Harmonieinstrument musikalisch eingesetzt.

Die Anzahl an Materialien und Formen, mit denen sich Geräusche oder Töne erzeugen lassen, ist schier endlos und die Klangerzeugung ist so alt wie die Menschheit, da bereits Händeklatschen als Schlagzeug verwendet werden kann. Die Liste der Schlaginstrumente zeigt typische Beispiele auf, wobei Schlagzeug, Pauke und Trommel oftmals als rhythmische Hauptinstrumente bezeichnet werden.

Tonhöhe und Klangfarbe können bei Trommeln durch Veränderung der Membranspannung variiert werden. Man unterscheidet Schlaginstrumente mit definierbarer Tonhöhe wie zum Beispiel Pauken, Xylophone und Vibraphone und solche, die ein weniger definierbares Klangspektrum (Geräusch) erzeugen, wie kleine Trommel, Becken und Kastagnetten. Aufgrund der Art der Tonerzeugung (anschlagen) kann man auch das Klavier zu den Schlaginstrumenten zählen. Die indische Tabla erzeugt sowohl melodische als auch unmelodiöse Klänge. Für unterschiedliche Musik werden jeweils verschiedene Schlaginstrumente zu einer Gruppe zusammengestellt, die oft einen eigenen Namen bekommt.

Schlagzeug

Schlagzeug im Standardaufbau

Das Schlagzeug ist eine Kombination verschiedener Schlaginstrumente. Im Standardaufbau besteht es aus fünf verschiedenen Trommeln und drei Becken, die im Sitzen mit verschiedenen Arten von Stöcken, Jazz-Besen oder Filzschlegeln und Pedalen bespielt werden.

In den verschiedenen Musikstilen findet man diverse Konfigurationen des Schlagzeugs vor. Während beim Jazz meist kleinere Trommeln benutzt werden, findet man in Rock- und Popmusik, durch die das Drumset sehr bekannt wurde, oft größere Sets, auch mit zwei Bass Drums (Double Bass), mit einer dementsprechend größeren Bandbreite an Trommeln, Becken und Perkussionelementen.

Perkussion

Perkussion ist ein sehr weit gefasster Begriff für kleinere Schlaginstrumente, zu denen auch die indirekt geschlagenen Rasseln gehören. Gelegentlich werden – angelehnt an die umfassendere englische und französische Bezeichnung percussion – Schlaginstrumente allgemein als Perkussion bezeichnet. Bekannte Perkussionsinstrumente sind Waschbrett, Maracas, Eggshaker, Conga, Kuhglocke und Claves, die zumeist aus dem afrikanischen oder südamerikanischen Raum stammen.

Darüber hinaus zählen zur Perkussion auch einige Nicht-Schlaginstrumente wie z. B. die Trillerpfeife im Samba.

Auch wenn das Spielen von Perkussionsinstrumenten teilweise sehr einfach aussieht, erfordern die meisten jedoch eine ausgefeilte Technik, um den vollen Klang zu entfalten. Dennoch sehen fast alle Instrumentenhersteller insbesondere die Kleinperkussion-Instrumente nicht als vollwertige Instrumente an, da sie nicht so häufig gekauft werden und mit ihnen im Vergleich zu größeren Rhythmusinstrumenten (Surdo, Congas) etc. nicht sehr viel Geld zu verdienen ist. Das hat zur Folge, dass im Kleinperkussionbereich selbst namhafte Hersteller sehr oft qualitativ minderwertige Instrumente verkaufen.

Schlagwerk

Unter Schlagwerk versteht man die im Orchester verwendeten Schlaginstrumente. Bekannt sind die Pauke, die Große Trommel, Kleine Trommel und die Becken.

Stabspiele

Stabspiele, auch Mallet-Instrumente (von engl. mallet, „Schlägel“) genannt, sind mehrtönige, gestimmte Aufschlagidiophone. Gespielt werden sie mit bis zu vier Schlegeln mit einem Kern aus Kork, Holz, Metall oder Kunststoff, der bei manchen mit Faden umwickelt ist. Der Tonumfang ist bei größeren Instrumenten nahe dem des Klaviers, auch sieht die Anordnung der Platten aus wie eine Klaviatur. Die Stabspiele werden in Orchestern häufig als Solo- oder Begleitstimmen eingesetzt.

Siehe auch

Literatur

  • Gert Kilian: Balafon Beat. Verlag Zimmermann, Frankfurt/Main 2003, ISMN M-010-33800-2.
  • Karl Peinkofer, Fritz Tannigel: Handbuch des Schlagzeugs. Schott Music, Mainz 1981, ISBN 978-3-7957-2641-6.
  • Hugo Pinksterboer: Pocket-Info, Drums. Mainz: Schott, Mainz 2000, ISBN 978-3-7957-5127-2.

Weblinks

Commons: Schlaginstrumente - Weitere Bilder oder Audiodateien zum Thema


Dieser Artikel basiert (teilweise) auf dem Artikel Schlaginstrument aus der freien Enzyklopädie Wikipedia und steht unter der Lizenz Creative Commons Attribution/Share Alike. In Wikipedia ist eine Liste der Autoren verfügbar.