Funktionentheorie und Andrei Kolmogorow: Unterschied zwischen den Seiten

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[[Datei:Color complex plot2.jpg|mini|Funktionsgraph von f(z)=(z<sup>2</sup>-1)(z-2-i)<sup>2</sup>/(z<sup>2</sup>+2+2i) in [[Polarkoordinaten]]. Der Farbton gibt den Winkel an, die Helligkeit den Betrag der komplexen Zahl.]]
#WEITERLEITUNG [[Andrei Nikolajewitsch Kolmogorow]]
 
Die '''Funktionentheorie''' ist ein [[Teilgebiet der Mathematik]]. Sie befasst sich mit der Theorie differenzierbarer [[Komplexwertige Funktion|komplexwertiger Funktionen]] mit komplexen Variablen. Da insbesondere die Funktionentheorie einer komplexen Variablen reichlich Gebrauch von Methoden aus der reellen [[Analysis]] macht, nennt man das Teilgebiet auch '''komplexe Analysis'''.
 
Zu den Hauptbegründern der Funktionentheorie gehören [[Augustin-Louis Cauchy]], [[Bernhard Riemann]] und [[Karl Weierstraß]].
 
== Komplexe Funktionen ==
Eine ''komplexe Funktion'' ordnet einer [[Komplexe Zahl|komplexen Zahl]] eine weitere komplexe Zahl zu. Da jede komplexe Zahl durch zwei reelle Zahlen in der Form <math>x + iy </math> geschrieben werden kann, lässt sich eine allgemeine Form einer komplexen Funktion durch
 
:<math>x + iy \mapsto f(x+iy) = u(x,y) + i v(x,y)</math>
 
darstellen. Dabei sind <math>\,u(x,y)</math> und <math>\,v(x,y)</math> reelle Funktionen, die von zwei reellen Variablen <math>x</math> und <math>y</math> abhängen. <math>\,u(x,y)</math> heißt der ''Realteil'' und <math>\,v(x,y)</math> der ''Imaginärteil'' der Funktion. Insofern ist eine komplexe Funktion nichts anderes als eine Abbildung von <math>\mathbb{R}^2</math>  nach <math>\mathbb{R}^2</math> (also eine Abbildung, die zwei reellen Zahlen wieder zwei reelle Zahlen zuordnet). Tatsächlich könnte man die Funktionentheorie auch mit Methoden
der reellen Analysis aufbauen. Der Unterschied zur reellen Analysis wird erst deutlicher, wenn man komplex-differenzierbare Funktionen betrachtet und dabei die multiplikative Struktur des Körpers der komplexen Zahlen ins Spiel bringt, die dem Vektorraum <math>\mathbb{R}^2</math> fehlt. Die grafische Darstellung komplexer Funktionen ist etwas umständlicher als gewohnt, da nun vier Dimensionen wiedergegeben werden müssen. Aus diesem Grund behilft man sich mit Farbtönen oder -sättigungen.
 
== Siehe auch ==
 
* {{WikipediaDE|Funktionentheorie}}
 
== Literatur ==
* {{Literatur
  |Autor=[[w:Lars Ahlfors|Lars Ahlfors]]
  |Titel=Complex Analysis
  |Verlag=McGraw-Hill
  |Datum=1953}}
* {{Literatur
  |Autor=[[w:Heinrich Behnke|Heinrich Behnke]], Friedrich Sommer
  |Titel=Theorie der analytischen Funktionen einer komplexen Veränderlichen
  |Auflage=3.
  |Verlag=Springer
  |Ort=Berlin
  |Datum=1976
  |ISBN=978-3-540-07768-8}}
* {{Literatur
  |Autor=[[w:Ludwig Bieberbach|Ludwig Bieberbach]]
  |Titel=Lehrbuch der Funktionentheorie
  |Band=2 Bände
  |Verlag=Teubner
  |Datum=1923}}
* {{Literatur
  |Autor=Rolf Busam, [[w:Eberhard Freitag|Eberhard Freitag]]
  |Titel=Funktionentheorie 1
  |Auflage=4.
  |Verlag=Springer
  |Ort=Berlin
  |Datum=2006
  |ISBN=3-540-31764-3}}
* {{Literatur
  |Autor=Heinrich Durege
  |Titel=Elemente der Theorie der Funktionen einer komplexen veränderlichen Grösse
  |Auflage=1.–5.
  |Verlag=Teubner
  |Datum=
  |Kommentar=1882–1906
  |Online={{archive.org|elementedertheor00duruoft}}}}
* {{Literatur
  |Autor=Wolfgang Fischer, Ingo Lieb
  |Titel=Funktionentheorie
  |Auflage=8.
  |Verlag=Vieweg
  |Ort=Braunschweig
  |Datum=2003
  |ISBN=3-528-77247-6}}
* {{Literatur
  |Autor=Joseph Anton Gmeiner, [[w:Otto Stolz (Mathematiker)|Otto Stolz]]
  |Titel=Einleitung in die Funktionentheorie
  |Band=Bände 1. u. 2.
  |Verlag=Teubner
  |Datum=1904}}
* {{Literatur
  |Autor=[[w:Klaus Jänich|Klaus Jänich]]
  |Titel=Funktionentheorie
  |Auflage=6.
  |Verlag=Springer
  |Ort=Berlin
  |Datum=2004
  |ISBN=3-540-20392-3}}
* {{Literatur
  |Autor=[[w:William Fogg Osgood|William Fogg Osgood]]
  |Titel=Lehrbuch der Funktionentheorie
  |Band=Bände 1.2.3.
  |Verlag=Teubner
  |Datum=1923
  |Online=[http://www.hti.umich.edu/cgi/t/text/text-idx?c=umhistmath;idno=ACM2537 hti.umich.edu]}}
* {{Literatur
  |Autor=[[w:Alfred Pringsheim|Alfred Pringsheim]]
  |Titel=Vorlesungen über Funktionenlehre
  |Verlag=Teubner
  |Datum=1925
  |Kommentar=Weierstrasscher Standpunkt}}
* {{Literatur
  |Autor=[[w:Reinhold Remmert|Reinhold Remmert]], Georg Schumacher
  |Titel=Funktionentheorie 1
  |Auflage=5.
  |Verlag=Springer
  |Ort=Berlin
  |Datum=2002
  |ISBN=3-540-59075-7}}
* {{Literatur
  |Autor=Reinhold Remmert, Georg Schumacher
  |Titel=Funktionentheorie 2
  |Auflage=3.
  |Verlag=Springer
  |Ort=Berlin
  |Datum=2007
  |ISBN=3-540-40432-5}}
* {{Literatur
  |Autor=Volker Scheidemann
  |Titel=Introduction to complex analysis in several variables
  |Verlag=Birkhäuser
  |Ort=Basel
  |Datum=2005
  |ISBN=3-7643-7490-X}}
* {{Literatur
  |Autor=[[w:Ian Stewart (Mathematiker)|Ian Stewart]], David Tall
  |Titel=Complex Analysis
  |Verlag=Cambridge University Press
  |Datum=1997
  |ISBN=0-521-24513-3}}
* {{Literatur
  |Autor=[[w:Carl Johannes Thomae|Carl Johannes Thomae]]
  |Titel=Elementare Theorie der analytischen Functionen einer complexen Veränderlichen
  |Verlag=Nebert
  |Ort=Halle (Saale)
  |Datum=1898
  |Online=[http://resolver.library.cornell.edu/math/1934273 resolver.library.cornell.edu]}}
 
== Weblinks ==
{{Wikibooks|Einführung in die Funktionentheorie}}
 
[[Kategorie:Mathematik]]
 
{{Wikipedia}}

Aktuelle Version vom 10. Februar 2020, 11:05 Uhr

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