Stabilitätstheorie und Fourier-Reihe: Unterschied zwischen den Seiten

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Die mathematische '''Stabilitätstheorie''' beschäftigt sich mit der Entwicklung von Störungen, die als Abweichung von bestimmten Zuständen [[Dynamisches System|dynamischer Systeme]] auftreten. Ein solcher Zustand kann etwa eine [[Ruhelage]] oder ein bestimmter [[Umlaufbahn|Orbit]] sein, z. B. ein periodischer Orbit. Ein System ist instabil wenn eine kleine Störung zu großen und aufklingenden Abweichungen führt.
#WEITERLEITUNG [[Reihe (Mathematik)#Fourierreihe]]
 
Neben ihrer theoretischen Bedeutung wird die Stabilitätstheorie in der Physik und in der [[Theoretische Biologie|Theoretischen Biologie]] angewendet sowie in technischen Gebieten, z. B. in der [[Technische Mechanik|Technischen Mechanik]] oder der [[Regelungstechnik]].
 
Die Lösungs[[Ansatz (Mathematik)|ansätze]] für die Probleme der Stabilitätstheorie sind [[Gewöhnliche Differentialgleichung|gewöhnliche]] und [[Partielle Differentialgleichung|partielle Differentialgleichungen]].
 
== Mathematische Stabilitätsbegriffe ==
Für die Charakterisierung der Stabilität der [[Ruhelage]] eines dynamischen Systems <math>\dot{\vec{x}} = f(\vec{x})</math> existieren mehrere Stabilitätsbegriffe mit jeweils etwas unterschiedlicher Aussage:
 
* Eine Ruhelage <math>\vec{x}_R</math> heißt '''[[Alexander Michailowitsch Ljapunow|Ljapunow]]-stabil''', wenn eine hinreichend kleine Störung auch stets klein bleibt. Präziser formuliert: Für jedes <math>\varepsilon > 0</math> existiert ein <math>\delta(\varepsilon) > 0</math> derart, dass für alle Zeiten <math>t\ge0</math> und alle [[Phasenraum#Trajektorien im Phasenraum|Trajektorien]] <math>\vec{x}(t)</math> mit <math>\|\vec{x}(0) - \vec{x}_R\| < \delta(\varepsilon)</math> gilt: <math>\|\vec{x}(t) - \vec{x}_R\| < \varepsilon</math>.
* Eine Ruhelage <math>\vec{x}_R</math> heißt '''attraktiv''', wenn es ein <math>\eta> 0</math> derart gibt, dass jede Trajektorie <math>\vec{x}(t)</math> mit <math>\|\vec{x}(0)-\vec{x}_R\| < \eta</math> für alle <math>t\ge0</math> existiert und die folgende Grenzwertbedingung erfüllt: <math> \lim_{t\to\infty}\vec{x}(t)=\vec{x}_R.</math>
* Eine Ruhelage heißt '''asymptotisch stabil''', wenn sie Ljapunow-stabil und attraktiv ist.
* Eine Ruhelage heißt '''neutral stabil''' oder '''marginal stabil''', wenn sie stabil, aber nicht asymptotisch stabil ist.
 
Für den Fall [[Diskretes System|diskreter Systeme]], die durch Differenzengleichungen <math>\vec{x}_{k+1} = f(\vec{x}_k)</math> beschrieben werden, ist die Ruhelage gleichzeitig Fixpunkt der Rekursionsgleichung <math>\vec{x}_{k+1} = f(\vec{x}_k)</math> und es sind ähnliche Stabilitätsdefinitionen üblich.
 
== Siehe auch ==
 
* {{WikipediaDE|Stabilitätstheorie}}
 
== Literatur ==
* {{Literatur|Autor=Herbert Amann|Titel=Gewöhnliche Differentialgleichungen|Auflage=2|Verlag=de Gruyter|ISBN=3-11-014582-0|Jahr=1995|Ort=Berlin}}
* W. Hahn: ''Stability of Motion''. Springer, 1967.
* N. Rouche, P. Habets und M. Laloy: ''Stability Theory by Liapunov's Direct Method''. Springer, 1977.
* {{Literatur|Autor=Gerald Teschl|Titel=Ordinary Differential Equations and Dynamical Systems|Verlag=American Mathematical Society|ISBN=978-0-8218-8328-0|Jahr=2012|Ort=Providence|Online = [http://www.mat.univie.ac.at/~gerald/ftp/book-ode/ freie Onlineversion]}}
 
== Weblinks ==
 
{{Wikiversity|Kurs:Lineare_Algebra_(Osnabrück_2017-2018)/Teil_II/Vorlesung_53|Eine Einführung in Stabilitätsbegriffe für Matrizen}}
{{Commonscat|Stability theory}}
* {{Scholarpedia|http://www.scholarpedia.org/article/Stability|Stability}}
 
{{SORTIERUNG:Stabilitatstheorie}}
 
[[Kategorie:Stabilitätstheorie| ]]
 
{{Wikipedia}}

Aktuelle Version vom 10. Februar 2020, 10:25 Uhr