Matrix (Mathematik) und Zirkulationsleben: Unterschied zwischen den Seiten

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Als '''Matrix''' ([[Wikipedia:Plural|pl.]] ''Matrizen''; von [[lat.]] ''matrix'' „Gebärmutter“, eigentlich „Muttertier“) wird in der [[Mathematik]] eine tabellarische, aus Zeilen und Spalten bestehende Anordnung von Elementen (z.B. [[Zahl]]en, [[Variable]]n usw.) bezeichnet, die namentlich in der [[Lineare Algebra|linearen Algebra]] zur einfachen Beschreibung [[Lineare Abbildung|linearer Abbildungen]] und in Form der '''Koeffizientenmatrix''' zur Lösung [[Lineares Gleichungssystem|linearer Gleichungssysteme]] verwendet wird. Die Anzahl der Zeilen <math>m</math> und der Spalten <math>n</math> bezeichnet dabei den '''Typ''' (<math>m \times n</math>) der Matrix. Die Bezeichnung „Matrix“ wurde erstmals [[1850]] von dem englichen Mathematiker [[w:James Joseph Sylvester|James Joseph Sylvester]] (1814-1897) verwendet.  
Das '''Zirkulationsleben''' ist die vierte und mittlere Stufe der [[sieben Lebensstufen]], durch die sich das [[Leben]] mithilfe des [[Ätherleib]]s entfaltet. Es bildet das Zentrum der Lebenstätigkeit und vermittelt im [[Rhythmus|rhythmischen]] Ausgleich zwischen den vom [[Kopf]] ausstrahlenden [[Abbaukräfte]]n und den aus dem [[Stoffwechsel]]bereich heraufwirkenden [[Aufbaukräfte]]n. Organisch ist es im [[Herz]] und [[Kreislauf]]system verankert. Das ihm unmittelbar vorangehende [[Atmungsleben]] entwirft Organbilder, deren Formen aus dem ganzen [[Tierkreis]] genommen werden. Diese Organbilder werden nun durch das Zirkulationsleben im ganzen Organismus verbreitet.


== Schreibweise ==
{{GZ|Die menschliche Form, sie ist, wie wir gesehen haben, gebildet nach
dem Tierkreis. Indem gerade dieses bildende Leben, das durch das
Atmen vermittelt wird, in der Form des Menschen lebt, nimmt es auch
teil an der gesamten äußeren, aus dem Sternenhimmel herausgebildeten
Form. Dadurch gliedert sich diese Form auch in das Innere des Menschen
hinein. Und es beruht dann auf dem Atmen, daß aus dem
Atmungsprozeß nicht nur herauskommt, was der Mensch im Bewußtsein
hat, sondern daß herauskommen aus dem Atmungsprozeß zunächst
die Bilder sämtlicher innerer Organe in der Nachbildung an die
äußere Form. Die inneren Organe werden also auf dem Umwege durch
den Atmungsprozeß zunächst als Bilder gebildet. Da sind sie noch nicht
substantiell. Der Atem bildet zunächst ein Bild des Menschen, ein Bild des inneren Menschen.


Die <math>m \times n</math> Elemente der Matrix werden in runden oder eckigen Klammern wie folgt aufgelistet:
[[Datei:GA208 088.gif|center|300px|Zeichnung aus GA 208, S. 89 (Tafel 8) - Tierkreis]]


<math>\boldsymbol A= (a_{ij}) =\begin{pmatrix}
Indem wir atmen - wir atmen ja in der Welt,
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
bewegen uns mit der Erde im Tierkreis —, atmen wir fortwährend die
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
Bilder unserer inneren Organisation ein. Aus dem äußeren Leben
\vdots & \vdots &        & \vdots \\
atmen wir die Bilder unserer inneren Organisation ein. So daß wir sagen können: Hier haben wir das bildende Leben. - Diese Bilder, die da
a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \\
eingeatmet werden, die werden nun durch das Zirkulationsleben über
\end{pmatrix} =\begin{bmatrix}
den ganzen Organismus verbreitet. Zirkulationsleben und Atmungsleben
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
zusammen führen den Menschen dazu, innerlich Bild der Welt zu
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
sein. Wir können also sagen: Hier das bildende Leben, und dann können
\vdots & \vdots &        & \vdots \\
wir sagen: die sich verbreitenden Bilder, das sich Verbreitende, die
a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \\
sich verbreitenden Organbilder.|208|87f}}
\end{bmatrix}</math>


== Quadratische Matrix ==
[[Datei:GA208 089.gif|center|550px|Zeichnung aus GA 208, S. 89 - Die 7 Lebensstufen]]
[[Datei:Matrix diagonals qtl1.svg|miniatur|Hauptdiagonale (rot) und Nebendiagonalen (blau) einer (4×4)-Matrix]]


Eine '''quadratische Matrix''' hat <math>n \times n</math> Elemente, d.h. die Zahl der Zeilen ist gleich der Zahl der Spalten ( <math>m = n</math> ).
== Siehe auch ==


Die '''Hauptdiagonale''' einer quadratischen Matrix umfasst alle Elemente, die auf der von ''links oben'' nach ''rechts'' unten verlaufenden Diagonalen der Matrix liegen (siehe Zeichnung). Parallel dazu liegen die '''Nebendiagonalen'''. Die '''Gegendiagonale''' verläuft entsprechend von rechts oben nach links unten.
* [[Sieben Lebensprozesse]]
* [[Sieben Lebenszustände]]
== Literatur ==


=== Orthogonale Matrix ===
* {{Literatur|Autor = Matthias Girke|Titel = Innere Medizin: Grundlagen und therapeutische Konzepte der Anthroposophischen Medizin|Herausgeber = |Sammelwerk = |Band = |Nummer = |Auflage = 2.|Verlag = salumed|Ort = Berlin|Jahr = 2012|Seiten = 1168|ISBN = 978-3928914291}}
* {{Literatur|Autor=[[Volker Fintelmann]]|Titel=Intuitive Medizin: Theorie und Praxis der Anthroposophischen Medizin|Verlag=Hippokrates Verlag|Auflage=6. überarb.|Ort=Stuttgart|Jahr=2016|ISBN=978-3132400795}}
* Volker Fintelmann: ''Die Wiedergewinnung des Heilens: Wege zu einer christlichen Medizin'', Info3-Verlag 2017, ISBN 978-3957790521
* Johannes W. Rohen: ''Eine funktionelle und spirituelle Anthropologie: unter Einbeziehung der Menschenkunde Rudolf Steiners'', 1. Aufl., Verlag Freies Geistesleben, Stuttgart 2009, ISBN 978-3772520983
* Johannes W. Rohen: ''Morphologie des menschlichen Organismus'', 4. Aufl., Verlag Freies Geistesleben, Stuttgart 2016, ISBN 978-3772519987
* Rudolf Steiner: ''Anthroposophie als Kosmosophie – Zweiter Teil'', [[GA 208]] (1992), ISBN 3-7274-2080-4 {{Vorträge|208}}
* Rudolf Steiner: ''Nordische und mitteleuropäische Geistimpulse'', [[GA 209]] (1982), ISBN 3-7274-2090-1 {{Vorträge|209}}
* Beiträge zur Rudolf Steiner Gesamtausgabe, Heft 58/59: ''Aufzeichnungen von Rudolf Steiner zur Heilkunst und zu den Lebensstufen'' {{BE|58/59}}


Eine '''orthogonale Matrix''' ist eine [[Reelle Zahlen|reelle]] quadratische Matrix, deren Zeilen- und Spaltenvektoren bezüglich des [[Skalarprodukt|Standardskalarprodukts]] [[orthonormal]] sind.
{{GA}}


== Einheitsmatrix ==
{{Navigationsleiste Lebensstufen}}
 
Die '''Eiheitsmatrix''' oder '''Identitätsmatrix''' ist eine quadratische Matrix, deren Hauptdiagonalelemente gleich [[eins]] und alle anderen Elemente gleich [[null]] sind:
 
: <math>I_n = \begin{pmatrix} 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & \ddots & \vdots \\ \vdots & \ddots & \ddots & 0 \\ 0 & \cdots  & 0 & 1 \end{pmatrix}</math>.
 
== Spur einer Matrix ==
 
Die '''Spur''' ({{EnS}} ''Trace'') einer quadratischen <math>m \times n</math>-Matrix ist die Summe ihrer Hauptdiagonalelemente. Für eine Matrix
 
<math>A=\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}
\end{pmatrix}</math>
 
ergibt sich also
 
:<math>\operatorname{Spur}(A)=\sum_{j=1}^n a_{jj} = a_{11}+a_{22}+\dotsb+a_{nn}</math>
 
== Transponierte Matrix ==
[[Datei:Matrix transpose.gif|mini|Animation zur Transponierung einer Matrix]]
Aus einer Matrix <math>A</math>
 
:<math>A = (a_{ij}) = \begin{pmatrix} a_{11} & \dots & a_{1n} \\ \vdots & & \vdots \\ a_{m1} & \dots & a_{mn} \end{pmatrix}</math>
 
ergibt sich die '''transponierte Matrix''' <math>A^\mathrm{T}</math> durch Vertauschung der Zeilen und Spalten (was ihrer Spiegelung an der Hauptdiagonalen entspricht):
 
:<math>A^\mathrm{T} = (a_{ji}) = \begin{pmatrix} a_{11} & \dots & a_{m1} \\ \vdots & & \vdots \\ a_{1n} & \dots & a_{mn} \end{pmatrix}</math>
 
== Determinante ==
[[Datei:Sarrusovo_pravidlo.png|mini|Regel von Sarrus]]
Die '''Determinante''' (von [[lat.]] ''determinare'' „bestimmen“) ist ein [[Skalar]], d.h. eine [[Zahl]], die aus den Elementen einer quadratischen Matrix errechnet werden kann und hilfreich bei der Lösung [[Lineares Gleichungssystem|linearer Gleichungssysteme]] ist. Diese sind lösbar, wenn die Determinante der '''Koeffizientenmatrix''' ungleich [[null]] ist. Die Determinante einer 2 x 2-Matrix errechnet sich wie folgt:
 
<math>\det A=\det \begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} \\
a_{21} & a_{22} \\
\end{pmatrix} = \begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} \\
a_{21} & a_{22} \\
\end{vmatrix} = a_{11} a_{22} - a_{12} a_{21}</math>
 
Für 3 x 3-Matrizen ist die '''Regel von Sarrus''' hilfreich (siehe nebenstehendes Schema):
 
<math>
\det A &= \det
\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33}
\end{pmatrix} = \\
\\&= a_{11} a_{22} a_{33} +a_{12} a_{23} a_{31} + a_{13} a_{21} a_{32} - a_{13} a_{22} a_{31} - a_{12} a_{21} a_{33} - a_{11} a_{23} a_{32}</math>
 
== Matrizenaddition ==
[[Datei:Matrix addition qtl1.svg|miniatur|Bei der Matrizenaddition müssen alle beteiligten Matrizen die gleiche Spalten- und Zeilenzahl haben. Die Elemente der Summenmatrix entstehen durch Addition der entsprechenden Elemente der Summandenmatrizen: <math>c_{ij) = a_{ij} + b_{ij}</math>]]
 
Die '''Matrizenaddition''' ist die [[Addition|additive]] [[Verknüpfung (Mathematik)|Verknüpfung]] von Matrizen gleicher größer, d.h. gleicher Spalten- und Zeilenanzahl. Die '''Summenmatrix''' (auch '''Matrixsumme''' oder '''Matrizensumme''') wird durch die komponentenweise [[Addition]] der einander entsprechenden Matrixelemente gebildet, d.h.:
 
 
:<math>\begin{pmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & \cdots & a_{mn} \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} b_{11} & \cdots & b_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ b_{m1} & \cdots & b_{mn} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_{11} + b_{11} & \cdots & a_{1n} + b_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} + b_{m1} & \cdots & a_{mn} + b_{mn} \end{pmatrix}</math>
 
 
Die '''Matrixaddition''' gehorcht dem [[Assoziativgesetz]], dem [[Kommutativgesetz]] und bezüglich der Matrizenmultiplikation dem [[Distributivgesetz]]. Zusammen mit der Matrizenaddition bilden die Matrizen eine [[Gruppe (Mathematik)|Gruppe]], deren [[neutrales Element]] die '''Nullmatrix''' ist, deren Elemente alle gleich [[Null]] sind:
 
:<math>0_{mn} = \begin{pmatrix} 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & \cdots & 0 \end{pmatrix}</math>
 
== Matrizenmultiplikation ==
[[Datei:Matrix multiplication qtl1.svg|mini|Bei der Matrizenmultiplikation werden die Zeilenelemente der ersten Matrix mit den Spaltenelementen der zweiten Matrix multipliziert und die Ergebnisse summiert. Die Ergebnismatrix hat die Zeilenzahl der ersten und die Spaltenzahl der zweiten Matrix.]]
 
Die [[Multiplikation|multiplikative]] [[Verknüpfung (Mathematik)|Verknüpfung]] von Matrizen wird als '''Matrizenmultiplikation''' oder '''Matrixmultiplikation''' bezeichnet. Sie ist nur dann ausführbar, wenn die Spaltenanzahl der ersten Matrix mit der Zeilenzahl der zweiten Matrix übereinstimmt. Das '''Matrizenprodukt''' bzw. '''Matrixprodukt''' ist wiederum eine Matrix, welche die Zeilenzahl der ersten und die Spaltenzahl der zweiten Matrix hat. Die Elemente der '''Produktmatrix''' <math>C</math> werden errechnet, indem die Zeilenelemente der ersten Matrix <math>A</math> komponentenweise mit den entsprechenden Spaltenelemente der zweiten Matrix <math>B</math> [[Multiplikation|multipliziert]] und die Ergebnisse [[Summe|summiert]] werden, d.h.:
 
:<math>c_{ik} = \sum_{j=1}^m a_{ij} \cdot b_{jk}</math>
 
Die Matrizenmultiplikation gehorcht dem [[Assoziativgesetz]], aber - von speziellen Fällen abgesehen - nicht dem [[Kommutativgesetz]], d.h. <math>\mathbf A \cdot \mathbf B \not= \mathbf B \cdot \mathbf A</math>. Bezüglich der Matrizenaddition ist die Matrizenmultiplikation [[Distributivgesetz|distributiv]].
 
Das [[Neutrales Element|neutrale Element]] bezüglich der Multiplikation [[Quadratische Matrix|quadratischer Matrizen]] ist die [[Einheitsmatrix]].
 
== Siehe auch ==
* {{WikipediaDE|Kategorie:Matrix}}
* {{WikipediaDE|Matrix (Mathematik)}}
* {{WikipediaDE|Determinante}}
 
== Literatur ==
* Tilo Arens, Frank Hettlich, Christian Karpfinger, Ulrich Kockelkorn, Klaus Lichtenegger, Hellmuth Stachel: ''Mathematik'', 4. Auflage, Springer Spektrum 2018, ISBN 978-3662567401, eBook ISBN 978-3-662-56741-8


[[Kategorie:Lineare Algebra]]
[[Kategorie:Mensch]] [[Kategorie:Anthroposophische Medizin]] [[Kategorie:Lebensstufen|101]] [[Kategorie:Siebenheit]] [[Kategorie:Biologischer Prozess]]
[[Kategorie:Mathematik]]

Version vom 9. April 2019, 07:38 Uhr

Das Zirkulationsleben ist die vierte und mittlere Stufe der sieben Lebensstufen, durch die sich das Leben mithilfe des Ätherleibs entfaltet. Es bildet das Zentrum der Lebenstätigkeit und vermittelt im rhythmischen Ausgleich zwischen den vom Kopf ausstrahlenden Abbaukräften und den aus dem Stoffwechselbereich heraufwirkenden Aufbaukräften. Organisch ist es im Herz und Kreislaufsystem verankert. Das ihm unmittelbar vorangehende Atmungsleben entwirft Organbilder, deren Formen aus dem ganzen Tierkreis genommen werden. Diese Organbilder werden nun durch das Zirkulationsleben im ganzen Organismus verbreitet.

„Die menschliche Form, sie ist, wie wir gesehen haben, gebildet nach dem Tierkreis. Indem gerade dieses bildende Leben, das durch das Atmen vermittelt wird, in der Form des Menschen lebt, nimmt es auch teil an der gesamten äußeren, aus dem Sternenhimmel herausgebildeten Form. Dadurch gliedert sich diese Form auch in das Innere des Menschen hinein. Und es beruht dann auf dem Atmen, daß aus dem Atmungsprozeß nicht nur herauskommt, was der Mensch im Bewußtsein hat, sondern daß herauskommen aus dem Atmungsprozeß zunächst die Bilder sämtlicher innerer Organe in der Nachbildung an die äußere Form. Die inneren Organe werden also auf dem Umwege durch den Atmungsprozeß zunächst als Bilder gebildet. Da sind sie noch nicht substantiell. Der Atem bildet zunächst ein Bild des Menschen, ein Bild des inneren Menschen.

Zeichnung aus GA 208, S. 89 (Tafel 8) - Tierkreis
Zeichnung aus GA 208, S. 89 (Tafel 8) - Tierkreis

Indem wir atmen - wir atmen ja in der Welt, bewegen uns mit der Erde im Tierkreis —, atmen wir fortwährend die Bilder unserer inneren Organisation ein. Aus dem äußeren Leben atmen wir die Bilder unserer inneren Organisation ein. So daß wir sagen können: Hier haben wir das bildende Leben. - Diese Bilder, die da eingeatmet werden, die werden nun durch das Zirkulationsleben über den ganzen Organismus verbreitet. Zirkulationsleben und Atmungsleben zusammen führen den Menschen dazu, innerlich Bild der Welt zu sein. Wir können also sagen: Hier das bildende Leben, und dann können wir sagen: die sich verbreitenden Bilder, das sich Verbreitende, die sich verbreitenden Organbilder.“ (Lit.:GA 208, S. 87f)

Zeichnung aus GA 208, S. 89 - Die 7 Lebensstufen
Zeichnung aus GA 208, S. 89 - Die 7 Lebensstufen

Siehe auch

Literatur

Literaturangaben zum Werk Rudolf Steiners folgen, wenn nicht anders angegeben, der Rudolf Steiner Gesamtausgabe (GA), Rudolf Steiner Verlag, Dornach/Schweiz Email: verlag@steinerverlag.com URL: www.steinerverlag.com.
Freie Werkausgaben gibt es auf steiner.wiki, bdn-steiner.ru, archive.org und im Rudolf Steiner Online Archiv.
Eine textkritische Ausgabe grundlegender Schriften Rudolf Steiners bietet die Kritische Ausgabe (SKA) (Hrsg. Christian Clement): steinerkritischeausgabe.com
Die Rudolf Steiner Ausgaben basieren auf Klartextnachschriften, die dem gesprochenen Wort Rudolf Steiners so nah wie möglich kommen.
Hilfreiche Werkzeuge zur Orientierung in Steiners Gesamtwerk sind Christian Karls kostenlos online verfügbares Handbuch zum Werk Rudolf Steiners und Urs Schwendeners Nachschlagewerk Anthroposophie unter weitestgehender Verwendung des Originalwortlautes Rudolf Steiners.