Riemannsche Geometrie und Brodmann-Areal: Unterschied zwischen den Seiten

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[[Datei:Brodmann-Areale Mensch 1909.jpg|mini|300px|Brodmann-Areale, nach der Zeichnung von K. Brodmann (1909)]]
Die '''Brodmann-Areale''' ('''BA''') sind benannt nach dem deutschen [[Anatom]]en [[Korbinian Brodmann]] (1868–1918), der die [[Großhirnrinde]] nach histologisch-topographischen Kriterien in zunächst 52 Felder einteilte, denen später großteils konkrete [[Funktion]]en zugeordnet werden konnten.


Die '''riemannsche Geometrie''' ist ein Teilgebiet der [[Differentialgeometrie]] und wurde nach [[Bernhard Riemann]] benannt. In dieser Theorie werden die geometrischen Eigenschaften einer [[Riemannsche Mannigfaltigkeit|riemannschen Mannigfaltigkeit]] untersucht. Dies sind [[glatte Mannigfaltigkeit|glatte Mannigfaltigkeiten]] mit einer Art [[Skalarprodukt]]. Mit Hilfe dieser Funktion kann man Winkel, Längen, Abstände und Volumen messen.
In der Einleitung zu seiner ''Vergleichenden Lokalisationslehre'' (1909) schreibt Brodmann:


== Entstehung ==
{{Zitat|Weder die Einteilung nach Rindenschichten noch diejenige
Die ersten Arbeiten der Differentialgeometrie gehen auf [[Carl Friedrich Gauß]] zurück. Er begründete die Theorie der gekrümmten [[Reguläre Fläche|Flächen]], die im dreidimensionalen Raum eingebettet waren. Die riemannsche Geometrie erhielt ihren entscheidenden Anstoß 1854 in Riemanns Habilitationsvortrag mit dem Titel „Über die Hypothesen, die der Geometrie zugrunde liegen“. In dieser Arbeit führte er die riemannschen Metriken ein, die später nach ihm benannt wurden. Im Gegensatz zu Gauß betrachtete er nicht nur Flächen, sondern höherdimensionale, gekrümmte Räume. Diese Räume waren jedoch immer noch in einen [[Euklidischer Raum|euklidischen Raum]] eingebettet. Die abstrakte topologische Definition von differenzierbaren und damit insbesondere von riemannschen Mannigfaltigkeiten wurde erst in den 1930er Jahren von [[Hassler Whitney]] entwickelt. Besonders bekannt ist die Aussage, dass ''jede'' differenzierbare Mannigfaltigkeit eingebettet werden kann. Dieses Resultat ist heute unter dem Namen [[Einbettungssatz von Whitney]] bekannt.
nach histologischen Elementen kann ...
zurzeit als erfolgversprechender Weg einer Rindenlokalisation
angesehen werden. Für eine auf dem Boden der Wirklichkeit
bleibende und dem Stande unserer Histotechnik Rechnung tragende
Betrachtungsweise bleibt demnach vorläufig nur die dritte Art
der histologischen Cortexgliederung, nämlich die '''topographische Lokalisation''', d. h. die örtliche Zerlegung der Großhirnrinde
in strukturelle Rindenfelder oder was dasselbe heißt,
die Einteilung nach flächenhaft ausgedehnten, regionär
umschriebenen, in sich einheitlich, unter sich verschiedenartig
gebauten räumlichen Bezirken der Hemisphärenoberfläche.
Solche differente Strukturbezirke nennen
wir ''Arcae anatomicae''.


Riemanns Ideen wurden in der zweiten Hälfte des 19. Jahrhunderts durch [[Elwin Bruno Christoffel]] ([[Kovariante Ableitung|kovariante Ableitung]], [[Christoffelsymbole]]) und im Rahmen des [[Tensoranalysis|Tensorkalküls]] von [[Gregorio Ricci-Curbastro]] und [[Tullio Levi-Civita]] weiterentwickelt.
Ausgangspunkt und Grundlage einer derartigen Cortexgliederung,
gleichviel ob sie sich auf den Zell- oder Faseraufbau
stützt, ist der Rindenquerschnitt, insonderheit die an diesem
hervortretende Schichtung. Die Cytoarchitektonik im speziellen
knüpft an die Zellschichtung an, d. h. an die Tatsache, daß die
die Rinde zusammensetzenden zellulären Elemente auf einem
zur Oberfläche senkrecht geführten Querschnitte eine etagenförmig übereinander angeordnete Gruppierung in Lagen verschiedener
Zusammensetzung erkennen lassen und an die weitere
Tatsache, daß diese Zellstrata vielfach ein regionär äußerst verschiedenes
Verhalten zeigen.


Auftrieb erhielt die Theorie durch die [[Allgemeine Relativitätstheorie|allgemeine Relativitätstheorie]] von [[Albert Einstein]] (1916), deren Grundlage die [[Pseudo-Riemannsche Mannigfaltigkeit|pseudo-riemannschen Mannigfaltigkeiten]] sind. In diesem Zusammenhang wurde die Theorie insbesondere von [[Hermann Weyl]] und [[Élie Cartan]] weiterentwickelt, die die Rolle affiner [[Zusammenhang (Differentialgeometrie)|Zusammenhänge]] und des [[Paralleltransport]]s herausstellten.
Eine vergleichende Cortexlokalisation wird nun in erster
Linie das örtliche Verhalten dieser zellulären Schichtung in der
Säugetierreihe zu untersuchen haben und in zweiter Reihe erst an
die Frage herantreten können, wie man auf Grund der zellulären
Tektonik zu einer topographischen Oberflächengliederung der
Hirnrinde beim Menschen und bei Tieren gelangt.|Korbinian Brodmann|''Vergleichende Lokalisationslehre der Grosshirnrinde'' (1909), [https://archive.org/stream/b28062449#page/8/mode/2up S. 9f.]}}


== Wichtige Objekte und Aussagen ==
== Literatur ==
Das zentrale Objekt der riemannschen Geometrie ist die riemannsche Mannigfaltigkeit. Dies ist eine glatte Mannigfaltigkeit <math>M</math> zusammen mit einer Abbildung <math>g</math>, die in jedem Punkt <math>p \in M</math> ein [[Skalarprodukt]] des [[Tangentialraum]]s <math>T_pM</math> definiert, das heißt eine [[Definitheit|positiv definite]], symmetrische [[Bilinearform]]
:<math> g_p\colon T_pM\times T_pM\to\mathbb R.</math>
Mit Hilfe dieser riemannschen Metrik erhält man wie in üblichen [[Prähilbertraum|Vektorräumen mit Skalarprodukt]] die Begriffe der [[Bogenlänge]], des [[Metrischer Raum|Abstands]] und des [[Winkel]]s.


Eine Abbildung zwischen riemannschen Mannigfaltigkeiten, die die riemannsche Metrik erhält (und damit auch die Längen und Winkel von Tangentialvektoren und die Länge von Kurven), heißt [[Isometrie (Riemannsche Geometrie)|riemannsche Isometrie]]. So eine Abbildung braucht jedoch nicht den Abstand zwischen Punkten zu erhalten und ist deshalb im Allgemeinen keine [[Isometrie]] im Sinn der metrischen Räume.
* [[Korbinian Brodmann]]: ''Vergleichende Lokalisationslehre der Grosshirnrinde. In ihren Principien dargestellt auf Grund des Zellenbaues.'' Johann Ambrosius Barth Verlag, Leipzig 1909 (2. unveränderte Auflage. ebenda 1925; Reprint der Original-Ausgabe von 1909, mit einem Nachwort und einem Literaturverzeichnis von Ernst Winkelmann und Karl Seidel. ebenda 1985, ISBN 3-335-00010-2).
 
Ein weiteres durch die riemannsche Metrik induziertes Objekt ist die [[Riemannsche Volumenform|riemannsche Volumenform]]. Diese ermöglicht es, Volumen auf Mannigfaltigkeiten zu messen, und ist deshalb zentraler Bestandteil der [[Integralrechnung|Integrationstheorie]] auf [[Orientierung (Mathematik)|orientierten]] riemannschen Mannigfaltigkeiten.
 
Da auf ([[Zusammenhängender Raum|zusammenhängenden]]) riemannschen Mannigfaltigkeiten ein Abstand definiert ist, kann man auch das Konzept der [[Vollständiger Raum|Vollständigkeit]] übertragen. Der [[Satz von Hopf-Rinow]] ist dabei zentral. Er besagt unter anderem, dass die verallgemeinerte (geodätische) Vollständigkeit auf der Mannigfaltigkeit äquivalent zur Vollständigkeit als metrischer Raum ist. Eine andere wichtige Aussage ist der [[Einbettungssatz von Nash]]. Analog zum [[Einbettungssatz von Whitney]] sagt er, dass man jede riemannsche Mannigfaltigkeit in einen <math>\R^n</math> genügend großer Dimension einbetten kann. Jedoch im Vergleich zum Einbettungssatz von Whitney macht er eine stärkere Aussage, denn er besagt weiter, dass die Einbettung Längen und Winkel erhält. Einbettung heißt hier, dass die Mannigfaltigkeit als Teilmenge des <math>\R^n</math> verstanden werden kann.
 
Neben den metrischen Eigenschaften interessiert man sich in der riemannschen Geometrie für Krümmungsgrößen. In der Theorie der [[reguläre Fläche|Flächen]] wurde schon vor Riemanns Arbeiten die [[Gaußkrümmung]] untersucht. Bei höherdimensionalen Mannigfaltigkeiten ist die Untersuchung der Krümmung komplexer. Zu diesem Zweck wurde der [[Riemannscher Krümmungstensor|riemannsche Krümmungstensor]] eingeführt. Mit Hilfe dieses Tensors definiert man die [[Schnittkrümmung]], diese kann als Verallgemeinerung der Gaußkrümmung verstanden werden und ist der wichtigste Krümmungsbegriff der riemannschen Geometrie, der insbesondere in der [[Vergleichstheorie]] Anwendung findet. Lineare [[Zusammenhang (Differentialgeometrie)|Zusammenhänge]] auf [[Vektorbündel]]n spielen ebenfalls eine wichtige Rolle in der Krümmungstheorie, insbesondere schon für die Definition des riemannschen Krümmungstensors. Auf riemannschen Mannigfaltigkeiten gibt es einen eindeutigen linearen Zusammenhang, der [[Torsionstensor|torsionsfrei]] und mit der [[metrischer Zusammenhang|riemannschen Metrik verträglich]] ist. Diese Aussage wird oftmals als [[Hauptsatz der riemannschen Geometrie]] bezeichnet. Der entsprechende Zusammenhang heißt [[Levi-Civita-Zusammenhang]].
 
== Vergleichstheorie ==
In der riemannschen Geometrie gibt es einige Aussagen, die man traditionell als Vergleichssätze bezeichnet. Bei diesen Aussagen untersucht man zum Beispiel riemannsche Mannigfaltigkeiten, deren Schnittkrümmung oder Ricci-Krümmung nach oben oder nach unten beschränkt ist. So macht zum Beispiel der [[Satz von Bonnet]] eine Aussage über Mannigfaltigkeiten, deren Schnittkrümmung durch eine positive Zahl nach unten beschränkt ist. Eine stärkere Aussage ist der [[Satz von Myers]], der die gleiche Aussage aus der schwächeren Bedingung der durch eine positive Zahl nach unten beschränkten [[Ricci-Tensor|Ricci-Krümmung]] ableitet. Der [[Satz von Cartan-Hadamard]] hingegen zeigt einen Zusammenhang zwischen Mannigfaltigkeiten mit nicht negativer Schnittkrümmung und deren [[Universelle Überlagerung|universellem Überlagerungsraum]] auf. Einer der wichtigsten Vergleichssätze in der riemannschen Geometrie ist der [[Sphärensatz]]. Dieser besagt, dass kompakte, [[Einfach zusammenhängender Raum|einfach zusammenhängende]], [[riemannsche Mannigfaltigkeit|riemannsche Mannigfaltigkeiten]], für deren Schnittkrümmung <math>K</math> die Ungleichung <math>0 < \tfrac{1}{4} < K \leq 1</math> gilt, [[Homöomorphismus|homöomorph]] zur [[Sphäre (Mathematik)|Sphäre]] sind.
 
== Siehe auch ==
* {{WikipediaDE|Riemannsche Geometrie}}
 
== Literatur ==
* P. Petersen: ''Riemannian geometry'', Second Edition, Springer-Verlag, 2006, ISBN 0-387-29403-1
* Manfredo Perdigão do Carmo: ''Riemannian Geometry'', Birkhäuser, Boston 1992, ISBN 0-8176-3490-8
* Marcel Berger: ''A panoramic view of Riemannian geometry''. Springer-Verlag, Berlin, 2003, ISBN 3-540-65317-1
* Sylvestre Gallot, Dominique Hulin, Jacques Lafontaine: ''Riemannian Geometry'' (Second Edition), Springer-Verlag, Berlin/Heidelberg 1990, ISBN 3-540-52401-0
* Martin Schottenloher: ''Geometrie und Symmetrie in der Physik'', vieweg Lehrbuch, 1995, ISBN 3-528-06565-6
* Torsten Fließbach: ''Allgemeine Relativitätstheorie'', Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg 2006, ISBN 3-8274-1356-7
* Siegfried Kästner: ''Vektoren, Tensoren, Spinoren'', Akademie Verlag, Berlin 1964


== Weblinks ==
== Weblinks ==
* [http://www.maths.tcd.ie/pub/HistMath/People/Riemann/Geom/Geom.html Bernhard Riemann: ''Ueber die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen''], Inauguralvorlesung, Thema von Carl Friedrich Gauß vorgeschlagen
{{Commons|Brodmann areas}}
 
[[Kategorie:Geometrie]]


{{Wikipedia}}
[[Kategorie:Gehirn]] [[Kategorie:Nervensystem]] [[Kategorie:Zentrales Nervensystem]]

Version vom 21. Mai 2018, 15:16 Uhr

Brodmann-Areale, nach der Zeichnung von K. Brodmann (1909)

Die Brodmann-Areale (BA) sind benannt nach dem deutschen Anatomen Korbinian Brodmann (1868–1918), der die Großhirnrinde nach histologisch-topographischen Kriterien in zunächst 52 Felder einteilte, denen später großteils konkrete Funktionen zugeordnet werden konnten.

In der Einleitung zu seiner Vergleichenden Lokalisationslehre (1909) schreibt Brodmann:

„Weder die Einteilung nach Rindenschichten noch diejenige nach histologischen Elementen kann ... zurzeit als erfolgversprechender Weg einer Rindenlokalisation angesehen werden. Für eine auf dem Boden der Wirklichkeit bleibende und dem Stande unserer Histotechnik Rechnung tragende Betrachtungsweise bleibt demnach vorläufig nur die dritte Art der histologischen Cortexgliederung, nämlich die topographische Lokalisation, d. h. die örtliche Zerlegung der Großhirnrinde in strukturelle Rindenfelder oder was dasselbe heißt, die Einteilung nach flächenhaft ausgedehnten, regionär umschriebenen, in sich einheitlich, unter sich verschiedenartig gebauten räumlichen Bezirken der Hemisphärenoberfläche. Solche differente Strukturbezirke nennen wir Arcae anatomicae.

Ausgangspunkt und Grundlage einer derartigen Cortexgliederung, gleichviel ob sie sich auf den Zell- oder Faseraufbau stützt, ist der Rindenquerschnitt, insonderheit die an diesem hervortretende Schichtung. Die Cytoarchitektonik im speziellen knüpft an die Zellschichtung an, d. h. an die Tatsache, daß die die Rinde zusammensetzenden zellulären Elemente auf einem zur Oberfläche senkrecht geführten Querschnitte eine etagenförmig übereinander angeordnete Gruppierung in Lagen verschiedener Zusammensetzung erkennen lassen und an die weitere Tatsache, daß diese Zellstrata vielfach ein regionär äußerst verschiedenes Verhalten zeigen.

Eine vergleichende Cortexlokalisation wird nun in erster Linie das örtliche Verhalten dieser zellulären Schichtung in der Säugetierreihe zu untersuchen haben und in zweiter Reihe erst an die Frage herantreten können, wie man auf Grund der zellulären Tektonik zu einer topographischen Oberflächengliederung der Hirnrinde beim Menschen und bei Tieren gelangt.“

– Korbinian Brodmann: Vergleichende Lokalisationslehre der Grosshirnrinde (1909), S. 9f.

Literatur

  • Korbinian Brodmann: Vergleichende Lokalisationslehre der Grosshirnrinde. In ihren Principien dargestellt auf Grund des Zellenbaues. Johann Ambrosius Barth Verlag, Leipzig 1909 (2. unveränderte Auflage. ebenda 1925; Reprint der Original-Ausgabe von 1909, mit einem Nachwort und einem Literaturverzeichnis von Ernst Winkelmann und Karl Seidel. ebenda 1985, ISBN 3-335-00010-2).

Weblinks

Commons: Brodmann areas - Weitere Bilder oder Audiodateien zum Thema
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