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Die Fourier-Transformation (FT), benannt nach dem französischen Mathematiker und Physiker Jean Baptiste Joseph Fourier| (1768-1830), ist eine mathematische Methode, um aus einer beliebigen [[Funktion (Mathematik)|Funktion ${\displaystyle f(x)}$ periodische harmonische Funktionen zu erzeugen, aus denen sie wieder aufgebaut werden kann, ähnlich wie etwa ein musikalischer Akkord in die darin zusammenklingenden Töne aufgespalten, also gleichsam analysiert werden kann. In diesem Sinn spricht man auch von einer Fourier-Analyse bzw. einer klassischen harmonischen Analyse. Die Umkehrfunktion, also der Wiederaufbau des Akkords aus den einzelnen Tönen, wird dementsprechend Fourier-Synthese genannt. Die Fourier-Transformation wird in der Physik häufig dazu verwendet, um eine durch empirisch gewonnene Messdaten aufgespannte Funktion in ihre harmonischen Bestandteile zu zerlegen.

Definition

Für eine beliebige integrierbare Funktion ${\displaystyle f:\mathbb {R} \mapsto \mathbb {C} }$ ist die Fourier-Transformierte für alle ${\displaystyle \Xi \in \mathbb {R} }$ wie folgt definiert:

${\displaystyle {\hat {f}}(\xi )=\int _{-\infty }^{\infty }f(x)\ e^{-2\pi ix\xi }\,dx,}$

Für die inverse Transformation gilt entsprechend für alle ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$:

${\displaystyle f(x)=\int _{-\infty }^{\infty }{\hat {f}}(\xi )\ e^{2\pi ix\xi }\,d\xi ,}$

wobei nach der Eulerschen Formel die komplexen harmonischen Funktionen erzeugt werden:

${\displaystyle \mathrm {e} ^{\mathrm {i} \,x}=\cos \left(x\right)+\mathrm {i} \,\sin \left(x\right)}$

Siehe auch

• Fourier-Transformation - Artikel in der deutschen Wikipedia
• Vorlage:WikipediaDE-Fourier-Analysis