Fourier-Transformation und Kategorie:Arbeitswelt: Unterschied zwischen den Seiten

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Die '''Fourier-Transformation''' ('''FT'''), benannt nach dem französischen Mathematiker und Physiker [[Wikipedia:Joseph Fourier|Jean Baptiste Joseph Fourier|]] (1768-1830), ist eine [[Mathematik|mathematische]] Methode, um aus einer beliebigen [[Funktion (Mathematik)|Funktion <math>f(x)</math> periodische harmonische Funktionen zu erzeugen, aus denen sie wieder aufgebaut werden kann, ähnlich wie etwa ein [[musik]]alischer Akkord in die darin zusammenklingenden Töne aufgespalten, also gleichsam analysiert werden kann. In diesem Sinn spricht man auch von einer '''Fourier-Analyse''' bzw. einer '''klassischen harmonischen Analyse'''. Die Umkehrfunktion, also der Wiederaufbau des Akkords aus den einzelnen Tönen, wird dementsprechend '''Fourier-Synthese''' genannt. Die Fourier-Transformation wird in der [[Physik]] häufig dazu verwendet, um eine durch [[Empirie|empirisch]] gewonnene Messdaten aufgespannte Funktion in ihre harmonischen Bestandteile zu zerlegen.
{{Vorlage:Seitenkategorien}}
 
[[Kategorie:Wirtschaftswissenschaften]]
== Definition ==
[[Kategorie:Wirtschaftstheorie]]
 
[[Kategorie:Wirtschaft]]  
Für eine beliebige integrierbare Funktion <math>f: \mathbb{R} \mapsto \mathbb{C}</math> ist die Fourier-Transformierte für alle <math>\Xi \in\mathbb R</math> wie folgt definiert:
[[Kategorie:Arbeitswelt|!]]
 
:<math>\hat{f}(\xi) = \int_{-\infty}^{\infty} f(x)\ e^{-2\pi i x \xi}\,dx,</math>
 
Für die '''inverse Transformation''' gilt entsprechend für alle <math>x \in\mathbb R</math>:
 
:<math>f(x) = \int_{-\infty}^{\infty} \hat f(\xi)\ e^{2 \pi i x \xi}\,d\xi,</math>
 
wobei nach der [[Wikipedia:Eulersche Formel|Eulerschen Formel]] die komplexen harmonischen Funktionen erzeugt werden:
 
:<math>\mathrm{e}^{\mathrm{i}\,x} = \cos\left(x \right) + \mathrm{i}\,\sin\left( x\right)</math>
 
== Siehe auch ==
 
* {{WikipediaDE|Fourier-Transformation}}
* {{WikipediaDE-Fourier-Analysis}}
 
[[Kategorie:Mathematik]] [[Kategorie:Physik]]

Version vom 27. Juni 2018, 01:38 Uhr

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