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Der '''Multinomialkoeffizient''' oder auch '''Polynomialkoeffizient''' ist eine Erweiterung des [[Binomialkoeffizient]]en. Für nichtnegative ganze Zahlen <math>k_1, \dotsc, k_r</math> und <math>n:=k_1+\dotsb+k_r</math> ist er definiert als
== Beschreibung ==
 
[[Markus Treichler]]
: <math>{n \choose k_1, \dotsc, k_r} := \frac{n!}{k_1!\dotsm k_r!}
== Lizenz ==
</math>
{{Bild-CC-by-sa/3.0|Bild-CC-by-sa/3.0}}
 
Dabei ist <math> x! </math> die [[Fakultät (Mathematik)|Fakultät]] von <math> x </math>.
 
== Eigenschaften ==
 
Die Multinomialkoeffizienten sind stets ganze Zahlen.
 
Die Multinomialkoeffizienten lassen sich auch mit den Binomialkoeffizienten ausdrücken als
 
: <math>{k_1 + \cdots + k_r \choose k_1, \ldots, k_r} = {k_1\choose k_1}{k_1+k_2\choose k_2}\cdots{k_1+k_2+\cdots+k_r\choose k_r} = \prod_{i=1}^r {\sum_{s=1}^i k_s \choose k_i}</math>.
 
== Anwendungen und Interpretationen ==
 
=== Multinomialsatz ===
 
In Verallgemeinerung des [[Binomischer Satz|binomischen Satzes]] gilt das sogenannte [[Multinomialtheorem]] (auch ''Polynomialsatz'')
 
: <math>(x_1+\dotsb+x_r)^n=\sum_{k_1+\dotsb+k_r=n}{n\choose k_1,\dotsc,k_r}\cdot x_1^{k_1}\dotsm x_r^{k_r}</math>.
 
Aus dem Multinomialsatz folgt sofort:
 
: <math>\forall r\in\mathbb{N}: r^n=\sum_{k_1+\dotsb+k_r=n}{n\choose k_1,\dotsc,k_r}\cdot 1^{k_1}\dotsm 1^{k_r}=\sum_{k_1+\dotsb+k_r=n}{n\choose k_1,\dotsc,k_r}.</math>
 
=== Multinomialverteilung ===
 
Anwendung finden jene Koeffizienten auch in der [[Multinomialverteilung]]
 
: <math>P(X_1=k_1,X_2=k_2,\dotsc, X_r=k_r) \;=\; {n \choose k_1, \dotsc, k_r}\cdot p_1^{k_1} \cdot p_2^{k_2} \dotsm p_r^{k_r}
</math>,
 
einer [[Wahrscheinlichkeitsverteilung]] diskreter Zufallsvariablen.
 
=== Kombinatorische Deutungen ===
 
==== Objekte in Kisten ====
 
Der Multinomialkoeffizient <math>\tbinom{n}{k_1,\dotsc,k_r}</math> gibt die Anzahl der Möglichkeiten an, <math>n</math> Objekte in <math>r</math> Schachteln zu legen, wobei in die erste Schachtel genau <math>k_1</math> Objekte sollen, in die zweite Schachtel <math>k_2</math> Objekte usw.
 
===== Beispiel =====
 
Wie viele verschiedene Möglichkeiten gibt es, von den 32 Karten eines [[Skat|Skatspiels]] je 10 Karten den 3 Spielern sowie 2 Karten in den "Skat" zu geben, wenn die Reihenfolge der Karten nicht beachtet wird?
 
Da es sich um <math>n=32</math> Objekte handelt, die in <math>r=4</math> Schachteln aufzuteilen sind, wobei in die ersten drei Schachteln je <math>k_1=k_2=k_3=10</math> Objekte und in die vierte Schachtel <math>k_4=2</math> Objekte sollen, ist die Anzahl der Möglichkeiten durch folgenden Multinomialkoeffizienten gegeben:
 
: <math>{32 \choose 10,\, 10,\, 10,\, 2} = \frac{32!}{10!\cdot 10!\cdot 10!\cdot 2!} = 2.753.294.408.504.640
</math>
 
==== Anordnung von Dingen ====
 
Der Multinomialkoeffizient <math>\tbinom{n}{k_1,\dotsc,k_r}</math> gibt außerdem die Anzahl der verschiedenen Anordnungen von <math>n</math> Dingen an, wobei das erste <math>k_1</math>-mal (ununterscheidbar) vorkommt, das zweite <math>k_2</math>-mal usw.
 
===== Beispiel =====
 
Wie viele verschiedene „Wörter“ lassen sich aus den Buchstaben MISSISSIPPI bilden?
 
Gesucht ist also die Anzahl der Möglichkeiten, 11 Dinge anzuordnen, wobei das erste ("M") <math>k_1=1</math>-mal, das zweite ("I") <math>k_2=4</math>-mal (ununterscheidbar) vorkommt, das dritte ("S") ebenso und das vierte ("P") <math>k_4=2</math>-mal. Das ist also der Multinomialkoeffizient
: <math>\binom{11}{1,4,4,2}=\frac{11!}{1!\cdot4!\cdot4!\cdot2!}=34.650</math>
 
Zum Vergleich: Die Anzahl der Möglichkeiten, elf komplett verschiedene Dinge in Reihen anzuordnen, ist mit 11! = 39.916.800 wesentlich höher.
 
== Pascalsche Simplizes ==
 
Analog zum [[Pascalsches Dreieck|pascalschen Dreieck]] der Binomialkoeffizienten lassen sich auch die <math>r</math>-ten Multinomialkoeffizienten als geometrische Figuren ([[Simplex (Mathematik)|Simplizes]]) anordnen: Die [[Trinomialkoeffizient]]en führen zur [[Pascalsche Pyramide|pascalschen Pyramide]], die weiteren zu <math>r</math>-dimensionalen [[Pascalsches Simplex|pascalschen Simplizes]].
 
== Weblinks ==
* {{MathWorld |id=MultinomialCoefficient |title=Multinominal Coefficient}}
 
[[Kategorie:Kombinatorik]]
 
{{Wikipedia}}

Version vom 12. Juni 2020, 14:13 Uhr

Beschreibung

Markus Treichler

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