Verknüpfung (Mathematik) und Kommutativgesetz: Unterschied zwischen den Seiten

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Als '''Verknüpfung''' ({{EnS|Operation}}) werden in der [[Mathematik]] zusammenfassend verschiedene [[Arithmetik|arithmetische]] (z.B. Addition, Subtraktion, ...) und [[Geometrie|geometrische]] (z.B. Drehung, Spiegelung, Parallelverschiebung, ...) '''Operationen''' bezeichnet, die auf bestimmte [[Mathematisches Objekt|mathematische Objekte]] (Zahlen, Mengen, geometrische Körper, ...), die '''Operanden''', mittels eines entsprechenden [[Operator (Mathematik)|Operators]] angewendet werden.
Das '''Kommutativgesetz''' ([[Latein|lat.]] ''commutare'' „vertauschen“) oder '''Vertauschungsgesetz''' ist eine elementare Regel der [[Mathematik]]. Es ist ist erfüllt, wenn für eine [[zweistellige Verknüpfung]] auf der [[Menge (Mathematik)|Menge]] <math>A</math> für alle <math>a,b\in A</math> gilt:


== Einstellige Verknüpfung ==
::<math>a*b=b*a</math>


Eine '''einstellige Verknüpfung''' - auch '''unäre''' oder '''monadische''' Verknüpfung genannt - hat demgegenüber nur einen Operanden. Ein einfaches Bespiel dafür ist das '''unäre Minus''', das die [[Gegenzahl]] <math>-x</math> der [[Zahl]] <math>x</math> erzeugt. Weitere Beispiele sind etwa die [[Funktion (Mathematik)|Funktionen]] <math> \sqrt{x},\sin(x),\cos(x),\log(x),\exp(x) </math>.
So sind beispielsweise die ''Addition'' und die ''Multiplikation'' für alle [[reelle Zahlen|reellen Zahlen]] <math>a,b\in\mathbb\R</math> stets '''kommutativ''', d.h.


== Zweistellige Verknüpfung ==
:<math>a + b = b +a</math>
und
:<math>a \cdot b = b \cdot a</math>


Am bekanntesten sind die '''zweistelligen Verknüpfungen''' für die vier [[Grundrechenarten]]:
== Siehe auch ==


{| class="wikitable"
* {{WikipediaDE|Kommutativgesetz}}
|-
! Operator !! Funktion !! Beispiel
|-
| <math>+</math> || Addition || <math>3 + 2 = 5</math>
|-
| <math>-</math> || Subtraktion || <math>5 - 3 = 5 + (-1 \cdot 3) = 2</math>
|-
| <math>\cdot \quad \times</math> || Multiplikation || <math>2 \cdot 3 = 2 \times 3 = 6 </math>
|-
| <math>: \quad \div</math> || Division || <math>6 : 3 = 6 \div 3 = 2</math>
|}
 
== Umkehroperation ==
 
Die zugehörige '''Umkehroperation''' macht eine zweistellige Operation wieder rückgängig, d.h. dass man aus einem der beiden Operanden durch Anwendung des ''Umkehroperators'' den anderen Operanden zurückgewinnt. So ist etwa die [[Subtraktion]] die Umkehroperation der [[Addition]] bzw. die [[Division]] die Umkehroperation der [[Multiplikation]] und das [[Logarithmieren]] die Umkehroperation des [[Potenzieren (Mathematik)|Potenzierens]].
 
== Siehe auch ==
* {{WikipediaDE|Verknüpfung (Mathematik)}}


[[Kategorie:Mathematik]]
[[Kategorie:Mathematik]]

Version vom 3. April 2018, 11:11 Uhr

Das Kommutativgesetz (lat. commutare „vertauschen“) oder Vertauschungsgesetz ist eine elementare Regel der Mathematik. Es ist ist erfüllt, wenn für eine zweistellige Verknüpfung auf der Menge für alle gilt:

So sind beispielsweise die Addition und die Multiplikation für alle reellen Zahlen stets kommutativ, d.h.

und

Siehe auch

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