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| '''Zahlen''' (von {{ahd|zala}} „eingekerbtes Merkzeichen“; {{EnS|numbers}}) bilden eine [[Kategorien|Grundkategorie]] menschlichen Denkens. In der [[sinnlich]]-[[Physische Welt|physischen Welt]] dienen sie als [[abstrakt]]e [[Mathematik|mathematische]] Objekte, die [[Quantität]]en (z.B. die [[Anzahl]] oder [[Größe]] von Gegenständen) repräsentieren, dem [[Zählen]], [[Messung|Messen]] und der [[Nummerierung]]. Für die [[geistige Welt]] hat das Zählen keine Bedeutung, wohl aber der individuelle [[wesen]]hafte Charakter der einzelnen Zahlen, die zueinander in einem [[Harmonie|harmonischen]] „[[musik]]alischen“ Verhältnis stehen. [[Rudolf Steiner]] sprach diesbezüglich gelegentlich vom «[[Geheimnis der Zahl]]», das die zweite [[Weltentwicklungsstufen|planetarische Entwicklungsstufe]], die [[alte Sonne]], regierte und bis heute nachklingt und sich als [[Ordnung]]sprinzip in den [[Rhythmus|Rhythmen]] der [[Natur]] offenbart. | | Die '''Tria Principia''' ([[Latein|lat.]] die ''drei Prinzipien'') sind ein wichtiges Grundkonzept der [[Alchemie]], das allmählich immer deutlicher ergänzend und erweiternd aus der [[Vier-Elemente-Lehre]] abgeleitet wurde. Die drei ''philosophischen'' Prinzipen oder [[Substanz]]en sind: [[Sulphur]] ([[Feuer]] und [[Luft]] umfassend), [[Mercurius]] ([[Wasser]]) und [[Sal]] ([[Erdelement]]). ''Sulphur'' steht für das brennbare, ''Mercurius'' für das flüchtig-flüssige und ''Sal'' für das feste, formgebende, stabile Prinzip. Der [[Wikipedia:Chemiker|Chemiker]] und Chemiehistoriker [[John Read]] (1884–1963) gibt folgende tabellarische Übersicht über die grundlegenden Eigenschaften der drei Prinzipen<ref>John Read: ''Prelude to |
| | Chemistry: An Outline of Alchemy, Its Literature and Relationships'', The Macmillan Company, New York 1937</ref>: |
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| {{GZ|Es gibt innerhalb der esoterischen Wissenschaft verschiedene | | {|align="center" width="600px" |
| prinzipielle Begriffe, die wie Leitmotive durch die ganze esoterische
| | |- |
| Bewegung gehen. Ein solcher ist der Begriff der rhythmischen
| | ! Mercurius !! Sulphur !! Sal |
| Zahl, ein anderer der des Mikrokosmos und Makrokosmos. Das Geheimnis
| | |- |
| der Zahl drückt sich aus darin, daß gewisse Erscheinungen so
| | | metallisch, schmelzbar<br> |
| aufeinanderfolgen, daß die siebente Wiederholung als Abschluß eines
| | flüchtiges Prinzip<br> |
| Ereignisses, die achte als Anfang eines neuen Ereignisses bezeichnet
| | alkoholisch<br> |
| werden kann. Abgebildet ist diese Tatsache innerhalb der physischen
| | [[Geist]]<br> |
| Welt in dem Verhältnis der Oktave zum Grundton. Für diejenigen,
| | Wasser |
| welche versuchen, in okkulte Welten einzudringen, wird dieses Prinzip
| | | brennbar<br> |
| die Grundlage zu einer umfassenden Weltanschauung. Es sind nicht
| | fixes Prinzip<br> |
| nur die Töne nach dem Gesetz der Zahl angeordnet, sondern auch die
| | ölig, fettig<br> |
| Ereignisse in der Zeit. Die Ereignisse der geistigen Welt sind so angeordnet,
| | [[Seele]]<br> |
| daß man ein Verhältnis findet wie in dem Rhythmus des Tones.|150|58}}
| | Luft, Feuer |
| | | unbrennbar, beständig<br> |
| | in der Asche enthalten<br> |
| | salzig, erdig<br> |
| | [[Körper]]<br> |
| | Erde |
| | |} |
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| == Erkenntnistheoretische Überlegungen zum Wesen der Zahlen ==
| | Derartige eindeutige Zuordnungen, namentlich die Zuteilung der Prinzipien zu [[Leib]], [[Seele]] und [[Geist]], sind allerdings mit großer Vorsicht zu nehmen und werden der inherenten Dynamik dieser Prinzipien nicht gerecht. Je nach Zusammenhang und Betrachtungswinkel sind auch ganz andere Zuordnungen geboten. Das Konzept der drei Prinzipien verlangt eine sehr flexible, der jeweiligen Situation angepasste Handhabung. |
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| [[Rudolf Steiner]] hat darauf hingewiesen, dass dem [[Allgemeinbegriff]] „Zahl“ - im Gegensatz zu den einzelnen konkreten Zahlen - keine eigenständige [[geist]]ige [[Wirklichkeit]] entspricht. „Zahl“ ist insofern ein bloßer Name und der [[Nominalismus]], der später ungerechtfertigterweise auf alle [[Universalien]] ausgedehnt wurde, ist hier berechtigt. Eine geistige [[Realität]] kommt nur den einzelnen, in ihrem [[Wesen]] wohlunterschiedenen Zahlen zu. | | Alle Stoffe, namentlich alle [[Wikipedia:Metall|Metall]]e, entstehen nach alchemistischer Auffassung durch ein jeweils spezifisches Zusammenwirken dieser drei Prinzipien. Durch geeignete Eingriffe in diese 3 substanzbildenden Prozesse sollte die Bereitung des [[Stein der Weisen|Steins der Weisen]] und die [[Transmutation]] unedler Metalle zu [[Gold]] möglich sein. |
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| {{GZ|Es gibt ein ganzes Gebiet im Umkreis unserer äußeren Erfahrung,
| | [[Paracelsus]] hat die ''Lehre von den drei Prinzipien'' vor allem auf die Beurteilung von Krankheitsprozessen und auf die richtige Bereitung der [[Spagyrik|spagyrischen]] Heilmittel bezogen. |
| für welches der Nominalismus, das heißt die Vorstellung, daß das
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| Zusammenfassende nur ein Name ist, seine volle Berechtigung hat.
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| Es gibt «eins», es gibt «zwei», es gibt «drei», «vier», «fünf» und so weiter.
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| Aber unmöglich kann jemand, der die Sachlage überschaut, in
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| dem Ausdruck «Zahl» etwas finden, was wirklich eine Existenz hat.
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| Die Zahl hat keine Existenz. «Eins», «zwei», «drei», «fünf», «sechs»
| |
| und so weiter, das hat Existenz. Das aber, was ich gestern gesagt
| |
| habe, daß man, um den allgemeinen Begriff zu finden, das Entsprechende
| |
| in Bewegung übergehen lassen soll, kann man bei dem
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| Begriffe Zahl nicht machen. Denn die Eins geht nie in die Zwei
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| über; man muß immer eins dazugeben. Auch nicht im Gedanken
| |
| geht die Eins in die Zwei über, die Zwei in die Drei auch nicht. Es existieren
| |
| nur einzelne Zahlen, nicht die Zahl im allgemeinen. Für das,
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| was in den Zahlen vorhanden ist, ist der Nominalismus absolut richtig;
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| für das, was so vorhanden ist wie das einzelne Tier gegenüber
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| seiner Gattung, ist der Realismus absolut richtig. Denn unmöglich
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| kann ein Hirsch und wieder ein Hirsch und wieder ein Hirsch existieren,
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| ohne daß die Gattung Hirsch existiert. «Zwei» kann für sich
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| existieren, «eins», «sieben» und so weiter kann für sich existieren. Insofern
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| aber das Wirkliche in der Zahl auftritt, ist das, was Zahl ist,
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| ein Einzelnes, und der Ausdruck Zahl hat keine irgendwie geartete
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| Existenz. Ein Unterschied ist eben zwischen den äußeren Dingen
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| und ihrer Beziehung zu den allgemeinen Begriffen, und das eine
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| muß im Stile des Nominalismus, das andere im Stile des Realismus
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| behandelt werden.|151|33f}}
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| Tatsächlich ist der Allgemeinbegriff ''„Zahl“'' mathematisch nicht definiert, sondern eine gemeinsprachliche [[Bezeichnung]] für verschiedene mathematische Konzepte. Vielmehr legt die Mathematik bestimmte wohldefinierte ''Zahlbereiche'' (siehe unten) mit genau definierten Eigenschaften fest. Deshalb macht es auch keinen Sinn, mathematischen ganz allgemein von einer ''Menge aller Zahlen'' zu sprechen.
| | [[Rudolf Steiner]] hat die Tria Principa insbesonders auch im Zusammenhang mit der [[Dreigliederung des menschlichen Organismus]] betrachtet. Jürg Himmelbach gibt in den ''Beiträgen zur Rudolf Steiner Gesamtausgabe'' 118/119 über die Bedeutung der Tria Principa aus [[Anthroposophie|anthroposophischer]] Sicht: |
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| Daran können sich folgende [[Erkenntnistheorie|erkenntnistheoretischen]] Überlegungen anschließen. Es beginnt mit der [[Unterscheidung]], die der Zwei entspricht. Umstritten ist, inwiefern die sog. objektive [[Realität]] auch nach solchem Zahlenraster bestimmt sein soll. Ist die Zahl ein objektives Merkmal einer Realität, die einem erkennenden Menschen faßbar ist, oder kann ein Mensch [[Wirklichkeit]] nur fassen bei der Voraussetzung der Zahl, die exemplarisch in der 2 gegeben ist, - die objektive Realität fügt sich den Zahlen "in Wirklichkeit" aber nicht? Die Zahlen sind ein Kategoriensystem des Menschen, das wegen seiner unbegreiflichen Unhintergehbarkeit im [[Erkennen]] es schwierig macht, den Kosmos anders als ein Zahlenräderwerk zu verstehen.
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| Das gilt übrigens auch für Fragen hinsichtlich des [[Monotheismus]], der [[Trinität]] usw., denn es wird da vorausgesetzt ein System der Zahlen: es gibt die Eins, die Zwei usw. Was hat es damit auf sich, und wie kann sich eine Forschung dem zuwenden, wenn sie das Zahlensystem schon voraussetzt, voraussetzen ''muß''?
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| Diese Frage ist auch an die Experten der sog. [[Voraussetzungslosigkeit|voraussetzungslosen]] Erkenntnis zu stellen. Man hat viel schlaue Einwendungen gemacht gegen [[Kant]], aber wie ist es mit den Zahlen? Der Mensch ist notwendigerweise als Erkennender von der Umwelt getrennt, unterscheidet sich von ihr, daher ist er uneins, und im Erkennen wird er eins mit ihr. Das ist aber das System der Zahl. D.h. der Mensch kann nichts [[wissen]] ohne die Zahl vorauszusetzen, oder aber sie im Erkennen zumindest mit zu [[Konstitution|konstituieren]]. Kann er aber auch wissen, wie die Wahrheit oder Realität jenseits eines Zahlenrasters aussieht?
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| Es handelt sich bei dieser schwierigen Erkenntnisfrage nicht etwa um eine fragliche erste richtige, ''bestimmte'' Unterscheidung, wie sie das Denken trifft, etwa die zwischen [[Subjekt]] und [[Objekt]]. Wenn das Denken wohl jenseits solcher bestimmter Unterscheidung liegt, denn es bringt diese erst hervor, so kann das Denken doch nichts anderes hervorbringen als eine Unterscheidung. Das Denken kann nicht zuerst die Einheit denken. Es beginnt notwendigerweise mit der Zwei. Insofern ist die traditionelle Auffassung, daß das Denken aus einem Subjektiven anhebe, nachvollziebar, denn das Denken beginnt aus dem Unterschied zur Welt, und nicht aus einer Einheit der Welt. Im Erkennen findet es wohl zur Einheit zurück, kann aber diese Differenz selbst damit nicht fassen. Der [[Monismus]] ist insofern genauso wie der [[Dualismus]] eine dogmatische Position, denn nicht nur die Idee der [[Einheit]] wirbt suggestiv für ihren Vorrang, sondern auch die Idee einer [[Ursprung|ursprünglichen]] Differenz, aus der allein Welt entstehen konnte, hat Plausibilität. Welt wäre demnach in ihrer Grundstruktur dualistisch.
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| Die weiteren [[a priori|apriorischen]] Denknotwendigkeiten führen dann entweder zum [[Paradox]], einer ursprünglichen Einheit der Eins und der Zwei<ref>"Die sorgfältige Beschreibung des Veränderungsphänomens führt in ein Widerspruchsproblem. Veränderung muss nämlich als ein Zugleich von Identität und Nicht-Identität ausgesagt werden. Wenn sich etwas verändert, bleibt es dasselbe und ist doch zugleich nicht dasselbe. Veränderung besteht also in einer Einheit voneinander ausschließenden Gegensätzen und stellt ein Beispiel dafür dar, dass alles in der Welt (und auch die Welt als ganze) die Struktur einer Einheit von Gegensätzen aufweist. Hierin liegt die letzte logisch-ontologische Erklärungsbedürftigkeit der Welt, weil angegeben werden können muss, wie sich ein Widerspruchsproblem von einem echten Widerspruch, der durch die universale Geltung des Nichtwiderspruchsprinzips ausgeschlossen ist, unterscheiden lässt." (Zitat aus wikipedia: [[wikipedia:Veränderung#Auffassung der Dialektik|Veränderung]])</ref>, oder, wie es auch die Zahlenfolge angibt, zur Dreiheit. Im Begriff des Paradoxes ist freilich schon enthalten, was den Zahlen als solchen nicht zukommt: Das Moment der Spannung, der [[Übergang]] und die [[Prozeß]]förmigkeit, der [[Bewegung]]scharakter des Denkens. Die Dreiheit entspricht im [[Dialektik|dialektischen]] Denken der [[Synthese]]. In der Dreiheit oder Synthese kommt das Denken zu einer ersten Ruhe, weshalb der dritte Gott der Trinität, der [[heiliger Geist|heilige Geist]], auch mit [[Frieden]] assoziiert ist.
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| Insofern man zwischen [[Form]] und [[Struktur]] unterscheiden will, ist die Zahl eher der Struktur zuzuordnen, ihre [[Geometrie|geometrische]] Entsprechung (Punkt, Linie, Fläche, Tetraeder usw.) der [[Form]]. [[Gestalt]] ist ein Begriff, den man der Struktur und der Form gleichermaßen zuordnen kann, oder, über sie hinausgehend, ihrem [[Spiel|Zusammenspiel]]<ref>Der Begriff des Spiels ist andererseits umfassender, enthält die Komponente [[Bewegung]].</ref>.
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| {{GZ|Aber warum können wir denn überhaupt
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| zählen? Ja, in Wirklichkeit machen wir es nämlich nicht anders
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| als die Wilden, nur haben die Wilden das mit ihren fünf Fingern
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| gemacht, mit ihren fünf physischen Fingern. Wir zählen auch, nur
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| zählen wir mit den Fingern unseres Ätherleibes und wissen nichts
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| mehr davon. Das spielt sich im Unterbewußtsein ab, da abstrahieren
| |
| wir. Denn dasjenige, wodurch wir zählen, das ist eigentlich der
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| Ätherleib, und eine Zahl ist noch immer nichts anderes in Wirklichkeit
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| als ein Vergleichen mit demjenigen, was in uns ist. Die ganze
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| Arithmetik ist in uns, und wir haben sie in uns hineingeboren durch
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| unseren Astralleib, so daß sie eigentlich aus unserem Astralleib
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| herauskommt, und unsere zehn Finger sind nur der Abdruck dieses.
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| Astralischen und Ätherischen. Und dieser beiden bedient sich
| |
| nur dieser äußere Finger, während wir, wenn wir rechnen, dasjenige,
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| was durch den Astralleib bewirkt Inspiration von der Zahl, im Ätherleib
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| ausdrücken und dann durch den Ätherleib, mit dem wir überhaupt
| |
| denken, zählen. So daß wir sagen können: Äußerlich ist heute
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| für uns das Zählen etwas recht Abstraktes, innerlich hängt es damit
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| zusammen - und es ist sehr interessant, die verschiedenen Zählungsmethoden
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| nach der Zehnzahl, nach dem Dezimalsystem oder nach
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| der Zwölfzahl bei den verschiedenen Völkern zu verfolgen, wie das
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| mit der verschiedenen Konstitution ihres Ätherischen und Astralischen
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| zusammenhängt - , innerlich hängt es damit zusammen, daß
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| wir zählen, weil wir selbst erst gezählt sind; wir sind aus der Weltenwesenheit
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| heraus gezählt und nach der Zahl geordnet. Die Zahl ist
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| uns eingeboren, einverwoben von dem Weltenganzen. Draußen
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| werden uns nach und nach die Zahlen gleichgültig; in uns sind sie
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| nicht gleichgültig, in uns hat jede Zahl ihre bestimmte Qualität.
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| Versuchen Sie es nur einmal, die Zahlen herauszuwerfen aus dem
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| Weltenall, und sehen Sie sich an, was der Zahl gemäß gestaltet wird,
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| wenn einfach eins zu dem anderen hinzugesetzt würde; sehen Sie
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| sich an, wie dann Ihre Hand ausschauen würde, wenn da der
| |
| Daumen wäre, und nachher würde einfach das Nächste hinzugesetzt
| |
| als die gleiche Einheit, dann wiederum, wiederum: Sie hätten fünf
| |
| Daumen an der Hand, an der anderen Hand auch wiederum fünf
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| Daumen! - Das würde dann entsprechen dem abstrakten Zählen.
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| So zählen die Geister des Weltenalls nicht. Die Geister des Weltenalls
| |
| gestalten nach der Zahl und sie gestalten in jenem Sinne nach
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| der Zahl, den man früher mit der Zahl verband, wie gesagt, noch in
| |
| der ersten, noch in der zweiten Periode der nachatlantischen Zeit.
| |
| Das Herausentwickeln der abstrakten Zahl aus der ganz konkreten
| |
| Vorstellung des Zahlenhaften, des Zahlenmäßigen, das hat sich erst
| |
| im Laufe der Menschheitsentwickelung gebildet. Und darüber muß
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| man sich klar sein, daß es eine tiefe Bedeutung hat, wenn aus den
| |
| alten Mysterien heraus überliefert wird: Die Götter haben den Menschen
| |
| nach der Zahl gebildet. - Die Welt ist voller Zahl, das heißt,
| |
| alles wird nach der Zahl gebildet, und der Mensch ist nach der Zahl
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| herausgestaltet, so daß unser Zählen in jenen alten Zeiten nicht
| |
| vorhanden war; aber ein bildhaftes Denken in den Qualitäten der
| |
| Zahl, das war vorhanden.|204|134f}}
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| == Positive und negative Zahlen ==
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| Eine '''positive Zahl''' ist größer [[Null]] und wird optional durch ein vorangestelltes positives Vorzeichen <math>+</math> (Plus) gekennzeichnet. Eine '''negative Zahl''' ist kleiner Null und wird stets durch ein vorangestelltes negatives Vorzeichen <math>-</math> (Minus) kenntlich gemacht. Eine Zahl <math>x</math> ist '''nicht-negativ''', wenn <math>x \ge 0</math> bzw. '''nicht-positiv''', wenn <math>x \le 0</math>.
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| Eine Zahl <math>-x</math> ist die '''Gegenzahl''' der Zahl <math>x</math> und umgekehrt.
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| Ein '''Vorzeichen''' ([[lat.]] '''Signum''' „[[Zeichen]]“) kann mathemathisch auch durch die '''Vorzeichenfunktion''' oder '''Signumfunktion''' <math> sgn(x) = \frac{x}{|x|}</math> dargestellt werden:
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| <div style="margin-left:20px"> | | <div style="margin-left:20px"> |
| <math> \sgn(x) = \begin{cases}
| | "In den alchemistischen Bezeichnungen Sal, Mercur, Sulfur steckt auch das aristotelische |
| -1 & \text{falls } x < 0, \\ | | Form- und Stoffprinzip als eine Urpolarität darinnen. Der Stoff (Sulfur) als |
| ~~\, 0 & \text{falls } x = 0, \\
| | gleichsam «zerbrochene Form», als «Füllmaterial der Form» steht am einen Pol, die |
| ~~\, 1 & \text{falls } x > 0. \end{cases}</math>
| | Form (Sal) als solche steht am andern. Haben wir irgendeinen sinnlich wahrnehmbaren |
| </div>
| | Gegenstand im Raum vor uns, können wir an ihm diese Polarität Stoff (Sulfur) |
| | und Form (Sal) feststellen. Da die räumliche, den Sinnen erscheinende Welt nicht |
| | eine starre ist, sondern Form wie Stoff fluktuieren (Metamorphose-Metabolismus), |
| | muß noch ein drittes Prinzip (Mercur) da sein, das zwischen den Polen vermittelt |
| | und Balance hält: Es ist Ausdruck des «Panta rhei» des Heraklit (das Merkurielle), |
| | des «Alles fließt» oder, wenn man noch die Richtung des Fließens berücksichtigt, |
| | das «Solve» (das Auflösen, das Sulfurischwerden) «et coagula» (das Verfestigen, das |
| | Kristallisieren, das Salinischwerden) der Spagyriker. Auch in den Aggregatzuständen: |
| | fest (Sal) - flüssig (Mercur) - gasförmig, wärmehaft (Sulfur) kommen die Tria- |
| | Principia zum Ausdruck, oder, wenn wir die alchemistischen Bezeichnungen für die |
| | Aggregatzustände, die die Alchemisten Elemente nannten, verwenden, finden wir |
| | diese wieder in: der Erde (Sal) - dem Wasser (Mercur) - der Luft, dem Feuer (Sulfur). |
| | Etwas weniger offensichtlich sind die Tria-Principia bei den menschlichen |
| | Temperamenten; das cholerische und sanguinische ist sulfurisch, das phlegmatische |
| | ist merkuriell und das melancholische ist salinisch. Den Temperamenten entsprechen |
| | die menschlichen Säfte (Humores), aus denen die Antike und später auch die |
| | mittelalterliche Medizin die Organe und Organsysteme hervorgehen läßt. Ist ihr |
| | Mischungsverhältnis im Gleichgewicht (Synkrasis), ist der Mensch gesund; ist es |
| | gestört (Dyskrasis), ist der Mensch krank. Auch hier kann man die Tria-Principia |
| | erkennen. Blut und gelbe Galle entsprechen dem Sulfur, der Schleim entspricht dem |
| | Merkur und die schwarze Galle entspricht dem Sal. |
|
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| Für die [[Multiplikation]] positiver und negativer Zahlen gelten folgende Regeln:
| | Blicken wir auf den dreigliedrigen Menschen in seiner Gesamtheit so, wie er ist in |
| | seiner jeweiligen Dreigliedrigkeit auf der geistigen, seelischen und leiblichen Ebene, |
| | so können wir hier die folgende Zuordnung nach dem Tria-Principia feststellen: |
| | Der sulfurische Pol zeigt sich zunächst im Geist, dann auf der geistigen Ebene im |
| | planvollen Handeln, auf der seelischen Ebene im Wollen und im leiblichen Bereich |
| | im Stoffwechsel-Gliedmaßen-System. |
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| : Minus x Minus = Plus
| | Der salinische Gegenpol zeigt sich zuerst im Leibe, dann auf geistiger Ebene im |
| : Plus x Plus = Plus
| | Gedächtnis, im Erinnern, auf seelischer Ebene im Vorstellen und auf leiblicher Ebene |
| : Plus x Minus = Minus x Plus = Minus
| | im Nerven-Sinnes-System. |
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| == Gerade und ungerade Zahlen ==
| | Das verbindende, Gleichgewicht herstellende und erhaltende Prinzip, das Merkurielle, |
| | finden wir auf der obersten Ebene in der Seele, auf der geistigen Ebene in der |
| | Geistesgegenwart, im seelischen Bereich im Fühlen und auf der Leibesebene im |
| | rhythmischen System. |
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| Als '''gerade Zahl''' wird eine [[Natürliche Zahl|natürliche]] oder [[ganze Zahl]] bezeichnet, die ohne Rest durch [[2]] teilbar ist. Andernfalls handelt es sich um eine '''ungerade Zahl'''. Die Menge der natürlichen bzw. ganzen Zahlen wird dadurch in zwei disjunkte [[Mächtigkeit (Mathematik)|gleichmächtige]] [[Menge]]n zerlegt, was in der Mathematik als '''Parität''' (von [[lat.]] ''paritas'' „Gleichheit, gleich stark“) bezeichnet wird.
| | Gehen wir nun den Tria-Principia in den Naturreichen unterhalb des Menschen |
| | nach: |
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| == Zahlbereiche ==
| | Im Tierreich finden wir als Repräsentanten für das sulfurische Prinzip Tiere, die |
| [[Datei:Zahlbereiche update.svg|mini|hochkant=1.25|Übersicht über einige gängige Zahlbereiche.<math>A\subset B</math> bedeutet, dass die Elemente des Zahlbereiches <math>A</math> unter Beibehaltung wesentlicher Beziehungen auch als Elemente des Zahlbereichs <math>B</math> aufgefasst werden können. [[Wikipedia:Echte Klasse|Echte Klasse]]n sind in blau markiert.]]
| | stark im Stoffwechsel leben. Dafür ist die Kuh der Repräsentant. Für das salinische |
| | Prinzip sind jene Tiere repräsentativ, die im Nerven-Sinnes-System ihre stärkste |
| | Aussprägung haben. Dafür ist der Adler ein gutes Beispiel. Und für die Tiere, die das |
| | merkurielle Prinzip stark ausgeprägt haben, kann der Löwe als Beispiel dienen, da er |
| | sehr stark im rhythmischen System (Atmung und Kreislauf) lebt. |
|
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| === Natürliche Zahlen ===
| | Gehen wir zur Pflanze hinunter, finden wir die Tria-Principia in der Dreigliederung |
| | der Sproßpflanze: Wurzel (Sal) -, Sproß, bestehend aus Stengel und Blatt (Mercur) |
| | -, Blüte, Frucht und Samen (Sulfur). Wenn man den dreigegliederten Menschen |
| | und die dreigliedrige Pflanze, wie sie zum Erdboden stehen, nebeneinanderstellt, |
| | kann man sagen: Der Mensch ist die umgekehrte Pflanze. |
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|
| Die ursprünglichen, zum [[Zählen]] verwendeten Zahlen sind die '''natürlichen Zahlen''' <math>\mathbb N</math>, zu denen je nach Definition auch die [[0]] gezählt wird:
| | Gehen wir zu den Mineralien im weitesten Sinn, das heißt zu den leblosen Stoffen |
| | hinunter, so können wir diese nach den Tria-Principia klassifizieren. Wir haben die |
| | Stoffe, die bei Raumtemperatur dem festen Element (Sal) zuzuordnen sind: Als repräsentativ |
| | dafür kann Quarz, Kochsalz, aber auch Saccharose angesehen werden. |
| | Wir haben dann die Stoffe, die bei Raumtemperatur flüssig (Mercur) sind: Dazu |
| | kann Quecksilber, Wasser, aber auch Alkohol gezählt werden. Als drittes haben wir |
| | Stoffe, die bei Zimmertemperatur flüchtig, gasförmig sind, leicht verdampfen, verduften |
| | oder verbrennen. Dazu gehören Schwefel, Phosphor, aber auch die ätherischen |
| | Öle. |
|
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| :<math>\mathbb N = \{1, 2, 3, \ldots\} \qquad</math> bzw. <math>\qquad \mathbb N = \{0, 1, 2, 3, \ldots\}</math> | | Mit dieser Klassifizierung ist aber die Betrachtung der Mineralien sowie Metalle |
| | nach den Tria-Principia noch keineswegs erschöpft. Jeder mineralische Stoff, sei es |
| | Gold, Quarz, Wasser, Luft, Bienenwachs, Schlangengift oder Lavendelöl hat wieder |
| | die ganzen Tria-Principia in sich, auch wenn man ihn aufgrund seines Verhaltens |
| | bei Raumtemperatur einem einzigen Prinzip zuordnen kann. So ist Gold zunächst |
| | als salinische Substanz anzusprechen. Trotzdem trägt es auch die andern |
| | beiden Prinzipien in sich, und es kommt nur auf die entsprechende Behandlung, |
| | das pharmazeutische Verfahren an, um das sulfurische oder merkurielle Prinzip aus |
| | dem salinischen Gold hervorzuholen. Wir möchten dies an der Substanz Gold für |
| | ein pharmazeutisches Verfahren - dem Potenzieren - exemplifizieren. Das Potenzieren |
| | ist als Verfahren in vitro dem Verdauungsprozeß, einem Prozeß in vivo, |
| | nachgezeichnet: Es ist ein schrittweises Verdünnen einer Substanz, verbunden mit |
| | einem festen Verdünnungsverhältnis (zum Beispiel 1 : 10) und einer rhythmischen |
| | Behandlung der Substanz bei jedem Verdünnungsschritt (Schütteln oder Verreiben), |
| | was der Behandlung einer eingenommenen Substanz - sei es Nahrung oder |
| | Arzneimittel - durch den Speichel, den Magen- und Darmsaft und das Blut, verbunden |
| | mit der Peristaltik beziehungsweise der pulsierenden Blutzirkulation entspricht. |
| | Wenn wir dieses Verfahren auf Gold anwenden, so bringen wir es zustande, |
| | daß allmählich das salinische Prinzip des Goldes der Potenzstufen D 1 - D 10 |
| | ins merkurielle der Potenzstufen D 10 - D 20 übergeht und dann, wenn wir weiterpotenzieren, |
| | können wir sogar das sulfurische Prinzip im Gold zum Vorschein |
| | bringen (Potenzstufen D 20 - D 30). |
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| === Ganze Zahlen ===
| | Ziehen wir ein vorläufiges Fazit unserer bisherigen Betrachtung: Rudolf Steiner |
| | hat uns in den Tria-Principia tatsächlich den Schlüssel für die Aufhebung der geistigen, |
| | seelischen sowie leiblichen Ungleichgewichte, die wir als Krankheiten bezeichnen, |
| | an die Hand gegeben, wenn wir die Entsprechungen zwischen den Prozessen |
| | im menschlichen Organismus, seinen Organsystemen und Organen und den Prozessen |
| | in der außermenschlichen Natur aufsuchen." {{Lit|Beiträge 118/119, S 22ff}} |
|
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| Die '''ganzen Zahlen''' <math>\mathbb Z</math> erweitern die ''natürlichen Zahlen'' (inklusive [[Null]]) um den Bereich der ''negativen ganzen Zahlen'', d.h.:
| | == Quellen == |
|
| |
|
| :<math>\mathbb Z = \{\ldots, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, \ldots\}</math>
| | <references/> |
| | |
| === Rationale Zahlen ===
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| | |
| Die '''rationalen Zahlen''' <math>\mathbb Q</math> umfassen alle Zahlen, die als '''Brüche''' bzw. als Verhältnis ([[lat.]] ''ratio'') ''ganzer Zahlen'' dargestellt werden können; sie heißen daher auch '''Bruchzahlen'''. Die ''ganzen Zahlen'' <math>\mathbb Z</math> und die ''natürlichen Zahlen'' sind im Bereich von <math>\mathbb Q</math> inkludiert.
| |
| | |
| === Reelle Zahlen ===
| |
| | |
| Die '''reellen Zahlen''' <math>\mathbb R</math> erweitern die ''rationalen Zahlen'' <math>\mathbb Q</math> um den Bereich der ''reellen'' '''irrationalen Zahlen'''.
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| | |
| === Irrationale Zahlen ===
| |
| | |
| Die '''irrationalen Zahlen''' lassen sich nicht als Quotient zweier ''ganzer Zahlen'' und damit auch nicht als ''endliche'' oder ''periodische'' [[Dezimalzahl]] darstellen. Dabei werden zwei Arten von irrationalen Zahlen unterschieden:
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| | |
| ==== Algebraische Zahlen ====
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| | |
| Die '''algebraischen Zahlen''' <math>\mathbb\A</math> umfassen alle ''reellen'' oder ''komplexen Zahlen'', die Nullstellen eines [[Polynom]]s vom Grad größer Null, also Lösungen folgender Gleichung sind:
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| | |
| :<math> f(x) = \sum_{i=0}^n a_ix^i = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dotsb + a_1 x + a_0 = 0 \qquad x \in \mathbb\R, \in a_i\in \mathbb\Q, i \in \mathbb\N_0</math>
| |
| | |
| Dazu zählen alle nicht-rationalen Wurzelzahlen, also etwa alle Quadratwurzel aus Nicht-Quadratzahlen, z.B. <math>\sqrt{2} = 1{,}414213562 \dots</math>
| |
| | |
| ==== Transzendente Zahlen ====
| |
| | |
| Alle nicht-algebraischen irrationalen Zahlen werden zusammenfassen als '''transzendente Zahlen''' bezeichnet, z.B. die [[Kreiszahl]] <math>\pi = 3{,}14159\ldots</math> oder die [[Eulersche Zahl]] <math>e = 2{,}71828\ldots</math>
| |
| | |
| === Komplexe Zahlen ===
| |
| | |
| [[Datei:Komplexe zahlenebene.svg|mini|hochkant=1.25|'''Gaußsche Ebene''' mit einer komplexen Zahl in kartesischen Koordinaten (a,b) und in Polarkoordinaten (r,φ)]]
| |
| [[Datei:Komplexe addition.svg|mini|hochkant=1.25|Darstellung der Addition zweier komplexer Zahlen in der komplexen Ebene]]
| |
| [[Datei:Komplexe multiplikation.svg|mini|hochkant=1.25|Die Multiplikation zweier komplexer Zahlen entspricht der Addition ihrer Winkel und der Multiplikation ihrer Beträge]]
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| [[Datei:Komplexe division.svg|mini|hochkant=1.25|Die Division zweier komplexer Zahlen entspricht der Subtraktion ihrer Winkel und der Division ihrer Beträge]]
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| Die '''komplexen Zahlen''' <math>\mathbb C</math> erweitern den Bereich der ''reellen Zahlen'' derart, dass die Gleichung <math>x^2 + 1 = 0</math> lösbar wird. Dazu wird symbolisch eine '''imaginäre Einheit''' <math>i</math> eingeführt, für die gilt: <math>i = \sqrt{-1}</math> bzw. <math>i^2 = -1</math>
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| Eine Zahl der Form <math>i \cdot b</math> wird als '''imaginäre Zahl''' bezeichnet.
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| Jede '''komplexe Zahl''' lässt sich dann in allgemeiner Form so darstellen:
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| * <math>z = a + i \cdot b \qquad a,b \in \mathbb R</math>
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| wobei <math>a</math> der '''Realteil''' und <math>b</math> der '''Imaginärteil''' von <math>z</math> ist, wofür folgende Schreibweisen gebräuchlich sind:
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| * <math>a = \operatorname{Re}{(a + b\,\mathrm i)}</math> und <math>b = \operatorname{Im}{(a + b\,\mathrm i)}</math>
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| * <math>a = \Re{(a + b\,\mathrm i)}</math> und <math>b = \Im{(a + b\,\mathrm i)}</math>
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| [[Graphik|Graphisch]] lassen sich komplexe Zahlen und die mit ihnen ausgeführten [[Rechenoperation]]en gut in einem zweidimensionalen Diagramm, der sogenannten '''komplexen Ebene''' - auch '''Gaußsche Zahlenebene''' genannt - veranschaulichen.
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| Anstelle des [[Wikipedia:Kartesisches Koordinatensystem|Kartesischen Koordinaten]] <math>{a,b}</math> kann man dazu sehr gut auch [[Wikipedia:Polarkoordinaten|Polarkoordinaten]] <math>r,\varphi}</math> verwenden. Mit dem Betrag <math>\ r = |z|</math> und dem Winkel <math>\varphi = \arg(z)</math> lässt sich mit der [[Wikipedia:Eulersche Relation|eulerschen Relation]] folgende ''Polardarstellung'' formulieren, die sich aus <math>a = r \cdot \cos \varphi</math> und <math>b = r \cdot \sin \varphi</math> ergibt:
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| * <math>z = r \cdot \mathrm{e}^{\mathrm{i}\varphi} = r \cdot (\cos \varphi + \mathrm{i} \cdot \sin \varphi)</math>
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| === Hyperkomplexe Zahlen ===
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| Die '''hyperkomplexen Zahlen''' sind eine Verallgemeinerung der ''komplexen Zahlen'' auf mehrdimensionale ''komplexe Räume'', die mehr als eine komplexe Komponente enthalten:
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| * <math> a = a_0 + a_1\mathrm i_1 + \dotsb + a_n\mathrm i_n</math> mit <math>i_n = \sqrt{-1}</math>
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| ==== Quaternionen ====
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| ''Die'' hyperkomplexen Zahlen schlechthin sind die ab 1843 von Sir [[William Rowan Hamilton]]<ref name="Beutelspacher-LA-7-30">{{Literatur | Autor=[[Wikipedia:Albrecht Beutelspacher|Albrecht Beutelspacher]] | Titel=Lineare Algebra | Auflage=7 | Verlag=[[Wikipedia:Vieweg+Teubner Verlag|Vieweg+Teubner Verlag]] | Ort=Wiesbaden | Jahr=2010 | ISBN=978-3-528-66508-1 |Seiten=30 }}</ref> entwickelten '''Quaternionen''' <math>\mathbb H</math>, die deshalb auch ''hamiltonsche Quaternionen'' oder '''Hamilton-Zahlen''' bezeichnet werden. Sie haben die allgemeine Form:
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| * <math>x = x_0+x_1\mathrm i+x_2\mathrm j+x_3\mathrm k</math> mit <math>\mathrm i^2=\mathrm j^2=\mathrm k^2=\mathrm{i}\mathrm{j}\mathrm{k}=-1</math>
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| Die '''überimaginären Zahlen''', wie die Quaternionen früher auch genannt wurden, repräsentieren nach [[Rudolf Steiner]] das menschliche [[Ich]]:
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| {{GZ|Und
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| wenn man nun wirklich eingeht im Gebiet der höheren Wirklichkeit
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| auf das Physisch-Wirkliche, und man bezeichnet das Physisch-Wirkliche mit dem positiven Vorzeichen, so ist man genötigt,
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| einfach das Ätherische, das wirkliche Ätherische, wobei man
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| aus dem Räumlichen hinauskommt, also in das Geistige schon
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| hineinkommt, mit dem negativen Vorzeichen zu versehen. Will
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| man aber ins Astrale gehen, so kommt man nicht zurecht mit dem
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| Räumlichen und Unräumlichen, sondern man muß eben zum
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| Dritten gehen, das sich zu dem Positiven und Negativen genau so
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| verhält, wie in der formalen Mathematik das Imaginäre zu dem
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| Positiven und Negativen. Und man würde sogar genötigt sein,
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| wenn man von dem Astralen zur wahren Entität des Ich übergeht,
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| genötigt sein, einen Begriff aufzuschreiben, der überimaginär wäre
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| im Verhältnis zum Begriff des Imaginären. Deshalb war mir immer
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| so unsympathisch die Antipathie gegenüber dem Überimaginären,
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| weil beim Aufsteigen zum Ich man den Begriff wirklich
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| nötig hat. Es ist nicht möglich, ihn auszulassen - es handelt sich
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| nur darum, ob man ihn in der rechten Weise anwendet, wenn man
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| im rein Formalen der Mathematik bleibt -, wenn man so richtig
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| vorgeht mit den mathematischen Formulierungen, daß man nicht
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| aus dem Wirklichen herauskommt.|324a|151}}
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| == Die geistige Realität der Zahlen ==
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| <div style="margin-left:20px">
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| "Sehen Sie, hier in der physisch-sinnlichen Welt kann man zählen:
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| eins, zwei, drei; man kann sogar - wenn auch nicht gerade jetzt - Geld
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| zählen in der physisch-sinnlichen Welt; aber das Zählen hat in der geistigen
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| Welt nicht eigentlich einen Sinn. Da bedeutet die Zahl nichts
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| Besonderes, da ist alles mehr oder weniger Einheit, und jene Unterscheidung,
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| die man haben muß zwischen den Dingen, wenn man sie
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| zählt, wo eins neben dem anderen sein muß, gibt es nicht in der geistigen
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| Welt." {{Lit|{{G|239|156}}}}
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| </div>
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| <div style="margin-left:20px">
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| "Verstehen kann ich die Welt eigentlich nur, wenn ich sie mit Bezug auf die Dreizahl ins Auge fasse. Denn wir haben auf der einen Seite alles dasjenige, was luziferisch ist, auf der anderen Seite alles dasjenige, was ahrimanisch ist, mitten hineingestellt den Menschen, der als ein Drittes, wie im Gleichgewichtszustande zwischen beiden, sein Göttliches empfinden muß."<ref>Diese Dreiheit hat Rudolf Steiner auch in seiner Skulptur des Menschheitsrepräsentanten Christus, zwischen Luzifer und Ahriman, dargestellt, die im Goetheanum steht.</ref>
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| {{Lit|{{G|194|18}}}}
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| </div>
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| <div style="margin-left:20px">
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| "Die Zwei nennt man im Okkultismus die Zahl der Offenbarung. Mit der Zahl Zwei bekommen wir sozusagen schon etwas Boden unter die Füße, während wir bei der Zahl Eins noch ziemlich im Bodenlosen herumtappen. Wenn wir sagen: Zwei ist die Zahl der Offenbarung -, dann heißt das nichts anderes als: Alles, was uns in der Welt entgegentritt, was nicht in irgendeiner Beziehung verborgen ist, sondern heraustritt in die Welt, steht irgendwie in der Zweiheit. Sie werden nämlich die Zahl Zwei überall in der Natur verbreitet finden. Es kann sich nichts offenbaren, ohne die Zahl Zwei zu berühren. Licht kann sich niemals für sich allein als Einheit offenbaren. Wenn sich Licht offenbart, muß auch Schatten oder Dunkelheit dabei sein, es muß also eine Zweiheit da sein. Es könnte niemals eine Welt geben, die mit offenbartem Licht erfüllt wäre, wenn es nicht auch dementsprechenden Schatten gäbe. Und so ist es mit allen Dingen. Nie könnte sich das Gute offenbaren, wenn es nicht als Schattenbild das Böse hätte. Die Zweiheit von Gut und Böse ist eine Notwendigkeit in der offenbaren Welt. Solche Zweiheiten gibt es unendlich viele, sie erfüllen die ganze Welt, wir müssen sie nur an der richtigen Stelle aufsuchen." {{Lit|{{G|101|170}}}}
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| </div>
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| Geistig beschaut, offenbaren die Zahlen ihr [[Wesen]] durch ihre spezifischen, unverwechselbaren [[Qualität|qualitativen]] gestaltenden Eigenschaften. So wirkt etwa die [[Drei]]zahl vornehmlich gestaltend in der [[Seelenwelt]], die [[Sieben]]zahl in der [[Ätherwelt]] und in der Ordnung des [[Zeit]]enlaufs und die [[Zwölf]]zahl in der Gestaltung des [[Raum]]es in der [[Physische Welt|physischen Welt]].
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| {{GZ|Der Laie in solchen Dingen
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| wird sehr leicht sagen, wenn er hört, daß die Siebenzahl und andere
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| Zahlen eine so große Rolle spielen in unseren Betrachtungen:
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| Nun ja, diese Anthroposophen wärmen wieder jenen alten Aberglauben
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| auf, der sich an die Siebenzahl, an die Zwölfzahl und dergleichen
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| knüpft. — Und schon wenn unsere lieben Zeitgenossen
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| von so etwas hören, was in einer regelmäßigen Weise nach der
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| Siebenzahl vorwärtsschreitet, dann sprechen sie von Aberglauben,
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| obwohl diese unsere Zeitgenossen eigentlich in bezug auf das, wovon
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| sie etwas verstehen, in genau demselben Aberglauben leben,
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| denn unsere Zeitgenossen sprechen zum Beispiel davon, daß der
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| Regenbogen sieben Farben hat, die Tonskala sieben Töne, da der
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| achte nur eine Wiederholung der Prim ist. Und noch auf manch
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| anderem Gebiete spricht man von der Siebenzahl, und mit Recht.
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| In keinem anderen Sinne als der Physiker es tut, wenn er von der
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| Siebenzahl der Farben spricht, und ebenso wie man in der Tonlehre
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| spricht von den sieben Tönen, so sprechen wir, wenn wir
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| die großen Weltenverhältnisse betrachten in bezug auf die Siebenzahl.
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| Die Siebenzahl ist uns dabei gar nichts anderes als ein Ergebnis
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| der okkulten Erfahrung. So wie sich der Mensch hinstellt
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| und die sieben Farben zählt, so zählt der Okkultist sieben aufeinanderfolgende
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| Zustände der Weltenentwickelung. Und weil die
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| Weisheit der Welt immer von diesen Dingen wußte und sprach,
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| deshalb ging das in das allgemeine Bewußtsein über und man fand
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| etwas besonders Bedeutungsvolles in dieser Siebenzahl. Gerade weil
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| die Siebenzahl zum Beispiel in den Weltverhältnissen begründet
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| war, ging sie in den allgemeinen Glauben, natürlich auch Aberglauben,
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| über.|104|191f}}
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| Man kann diese Aussagen Steiners wohl dahin gehend interpretieren, daß er die Zahlenförmigkeit der Welt als eine objektive ansieht. Die Zahlenförmigkeit ist ein objektiv gegebenes Faktum der realen Welt, und nicht etwa nur ein kategoriales Raster. Er spricht allerdings von der Welt als einer "offenbaren". Gemeint ist wohl eine für den Menschen offenbare Welt. Es könnte aber auch die Welt gemeint sein als eine [[Entäußerung|entäußerte]].
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| Eine Unterscheidung von [[Quantität]] und [[Qualität]] mit Bezug auf die Zahlheit ist insofern problematisch, als solche Unterscheidung die Zahl schon voraussetzt. Die grundsätzliche Qualität von Zahlheit dürfte doch das Quantitative sein. Will man von einem besonderen Qualitativen der Zahl sprechen, müßte solche Qualität noch der Unterscheidung von Qualität und Quantität vorgelagert sein. Dies ist jedoch in quantitativem Aspekt der Unterschied zwischen eins und zwei, entspricht also dem Wesen der Zahl. In der Zahl sind Qualität und Quantität zweierlei und sind es doch nicht, weil die Zahlheit als solche beide, die Einheit und die Zweiheit, umfaßt. Eine Zahl ist jedoch nichts für sich allein, sie ist es mit Bezug auf anderes, speziell andere Zahlen. Dieser Bezug unterscheidet sich bei den verschiedenen Zahlen. Die Zwei hat einen anderen Bezug zur Eins als die Drei. In diesem Beziehungscharakter, in den Zahlen''verhältnissen'' könnte der Grund des "Qualitativen" zu suchen sein. Die Beziehungshaftigkeit ist jedoch nur möglich aufgrund eines Einheitlichen, zahlenmäßig ausgedrückt durch die Eins, in der die anderen Zahlen enthalten sind, aber sich als Zahlen von ihr unterscheiden.
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| {{GZ|Wir sind ja im Verlaufe der
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| Zivilisation allmählich dazu gekommen, das Arbeiten mit Zahlen in
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| einer gewissen synthetischen Weise zu behandeln. Wir haben eine Einheit,
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| eine zweite Einheit, eine dritte Einheit, und wir bemühen uns, im
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| Abzählen, im additiven Elemente das eine zu dem anderen hinzuzufügen,
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| so daß dann das eine neben dem anderen liegt, indem wir zählen.
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| Dafür bringt uns, wie man sich wird überzeugen können, das Kind
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| nicht ein innerliches Verständnis entgegen. In dieser Weise hat sich
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| wiederum nicht das elementar Menschliche zum Zählen hin entwickelt.
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| Das Zählen ging allerdings aus von der Einheit; die Zwei war aber
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| nicht ein äußerliches Wiederholen der Einheit, sondern sie lag in der
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| Einheit darinnen. Die Eins gibt die Zwei, und die Zwei sind in der Eins
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| drinnen. Die Eins geteilt, gibt die Drei, und die Drei sind in der Eins darinnen. Fing man an zu schreiben ins Moderne umgesetzt: eins, so
| |
| kam man aus der Einheit nicht heraus, indem man zur Zwei kam. Es
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| war ein innerlich organisches Bilden, indem man zur Zwei kam, und
| |
| die Zwei war in der Einheit drinnen; ebenso die Drei und so weiter. Die
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| Einheit umfaßte alles, und die Zahlen waren organische Gliederungen
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| der Einheit.|303|171}}
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| Neben dem quantitativen und qualitativen Aspekt soll es noch einen weiteren geben: Die Zahl als Zeitgestalt ([[Rhythmus]])<ref>Peter Schönfeld: ''Wie lernen Kinder Rechnen? Das starke Gefühl: Ich kann rechnen!'' Prisma 2/2002, Waldorfschule Chemnitz, S. 7f. [https://waldorfschule-chemnitz.de/schulzeitschrift.html?file=tl_files/waldorfschule/pdf/prisma/Prisma_02_2002.pdf]</ref>.
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| == Zahlen und Zahlenmystik ==
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| - Die innere Systematik der [[Zahlen]] in der Zahlenmystik ist [[7]], [[10]] und [[22]].
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| == Siehe auch ==
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| * {{WikipediaDE|Kategorie:Zahl}}
| |
| * {{WikipediaDE|Kategorie:Ganze Zahl}}
| |
| * {{WikipediaDE|Kategorie:Besondere Zahl}}
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| * {{WikipediaDE|Liste besonderer Zahlen}}
| |
| * {{WikipediaDE|Zahl}}
| |
| *[[Mathematik]]
| |
| *[[Numerologie]]
| |
| *[[wikipedia:Philosophie der Mathematik|Philosophie der Mathematik]]
| |
| *[[Unbestimmte Zweiheit]]
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|
| == Literatur == | | == Literatur == |
| | # ''Beiträge zur Rudolf Steiner Gesamtausgabe'', Heft Nr. 118/119, Rudolf Steiner-Nachlassverwaltung, Dornach 1997 |
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|
| *[[Ernst Bindel]]: ''Die geistigen Grundlagen der Zahlen. Die Zahl im Spiegel der Kulturen. Elemente einer spirituellen Geometrie und Arithmetik''. Freies Geistesleben, Stuttgart 1958
| | [[Kategorie:Alchemie]] |
| **letzte veränderte Neuauflage: Freies Geistesleben (Praxis Anthroposophie 51), Stuttgart 2003, ISBN 3-7725-1251-8, [http://d-nb.info/953552047/04 Inhaltsverzeichnis]
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| ''(Anhand vieler kulturhistorischer Dokumente stellt der Autor die Entwicklung des Zahlenverständnisses vom Altertum bis zur Neuzeit dar und zeigt, wie berechtigt es ist, von den spezifischen Qualitäten der Zahlen zu sprechen. [Eine lebendige Einführung in die Kulturgeschichte der Zahl]. (...)Allgemeinverständlich und kenntnisreich schildert der Autor diese Zahlengeheimnisse und breitet eine Fülle von Beispielen aus. Dabei geht er immer von den Gesetzmäßigkeiten der Zahlen selbst aus: Anschaulich entwickelt er ihre Qualitäten an geometrischen Konstruktionen und aus den mathematischen Verhältnissen heraus. Die Zahlenwelt stellt sich dann als eine sinnvoll strukturierte Ganzheit dar. ) (aus dem Klappentext[http://www.urachhaus.de/buecher/9783772512513/die-geistigen-grundlagen-der-zahlen])''
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| | |
| *Georges Ifrah: ''Universalgeschichte der Zahlen'', Avus Buch & Medien 1998, ISBN 978-3880599567
| |
| *Helmut Werner: ''Lexikon der Numerologie und Zahlenmystik'', Komet, ISBN 3-89836-132-2
| |
| *[[Herbert Witzenmann]]: ''Sinn und Sein. Der gemeinsame Ursprung von Gestalt und Bewegung.'' Verlag Freies Geistesleben, 1989
| |
| *Rudolf Steiner: ''Mythen und Sagen. Okkulte Zeichen und Symbole'', [[GA 101]] (1992), ISBN 3-7274-1010-8 {{Vorträge|101}}
| |
| *Rudolf Steiner: ''Die Apokalypse des Johannes'', [[GA 104]] (1985), ISBN 3-7274-1040-X {{Vorträge|104}}
| |
| *Rudolf Steiner: ''Die Welt des Geistes und ihr Hereinragen in das physische Dasein'', [[GA 150]] (1980), ISBN 3-7274-1500-2 {{Vorträge|150}}
| |
| *Rudolf Steiner: ''Der menschliche und der kosmische Gedanke'', [[GA 151]] (1990), ISBN 3-7274-1510-X {{Vorträge|151}}
| |
| *Rudolf Steiner: ''Die Sendung Michaels'', [[GA 194]] (1994), ISBN 3-7274-1940-7 {{Vorträge|194}}
| |
| *Rudolf Steiner: ''Perspektiven der Menschheitsentwickelung'', [[GA 204]] (1979), ISBN 3-7274-2040-5 {{Vorträge|204}}
| |
| *Rudolf Steiner: ''Esoterische Betrachtungen karmischer Zusammenhänge. Fünfter Band'', [[GA 239]] (1985), ISBN 3-7274-2390-0 {{Vorträge|239}}
| |
| *Rudolf Steiner: ''Die gesunde Entwickelung des Menschenwesens. Eine Einführung in die anthroposophische Pädagogik und Didaktik.'', [[GA 303]] (1978), ISBN 3-7274-3031-1 {{Vorträge|303}}
| |
| *Rudolf Steiner: ''Die vierte Dimension'', [[GA 324a]] (1995), ISBN 3-7274-3245-4 {{Vorträge|324a}}
| |
| * [[Joachim Stiller]]: [http://joachimstiller.de/download/sonstiges_material_mathematik11.pdf Was ist eine Zahl?]] PDF
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| {{GA}}
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| == Einzelnachweise ==
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| <references/>
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| [[Kategorie:Grundbegriffe]] [[Kategorie:Philosophie]] [[Kategorie:Erkenntnistheorie]] [[Kategorie:Zahlen|!]] [[Kategorie:Zahlentheorie]]
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| [[Kategorie:Besondere Zahl|!]] | |