Eugen Drewermann und Satz des Pythagoras: Unterschied zwischen den Seiten

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'''Eugen Drewermann''' (* 20. Juni 1940 in Bergkamen) ist ein katholischer Theologe, suspendierter Priester, [[Psychoanalytiker]] und Schriftsteller. Er ist ein wichtiger Vertreter der [[Biblische Exegese#Tiefenpsychologische Exegese|tiefenpsychologischen Exegese]] und als kirchenkritischer Publizist regelmäßig in den Medien präsent.
Der '''Satz des Pythagoras''' ist einer der fundamentalen [[Satz (Mathematik)|Sätze]] der [[Euklidische Geometrie|euklidischen Geometrie]]. Er besagt, dass in allen ebenen [[Rechtwinkliges Dreieck|rechtwinkligen Dreiecken]] die Summe der [[Flächeninhalt]]e der Kathetenquadrate gleich dem Flächeninhalt des Hypotenusenquadrates ist. Sind <math>a</math> und <math>b</math> die [[Länge (Mathematik)|Längen]] der am [[Rechter Winkel|rechten Winkel]] anliegenden Seiten, der [[Kathete]]n, und <math>c</math> die Länge der dem rechten Winkel gegenüberliegenden Seite, der [[Hypotenuse]], dann lautet der Satz als [[Gleichung]] ausgedrückt:


== Werke (Auswahl) ==
: <math>a^2 + b^2 = c^2</math>
* 1978: Strukturen des Bösen (zugleich 1977 als Habilitationsschrift angenommene Promotion), Schöningh Verlag 1988 ISBN 3-506-72100-3 (mit Imprimatur Paderborn 1976)
 
* 1981: Eugen Drewermann, Ingritt Neuhaus: ''[[Wikipedia:Das Mädchen ohne Hände|Das Mädchen ohne Hände]]. Märchen Nr. 31 aus der Grimmschen Sammlung.'' Walter, Olten, ISBN 3-530-16860-2.
Der Satz ist nach [[Pythagoras|Pythagoras von Samos]] benannt, der als Erster dafür einen [[Beweis (Mathematik)|mathematischen Beweis]] gefunden haben soll, was allerdings in der Forschung umstritten ist. Die Aussage des Satzes war schon lange vor der Zeit des Pythagoras in [[Babylon]] und Indien bekannt, es gibt jedoch keinen Nachweis dafür, dass man dort auch einen Beweis hatte.
* 1984:
 
** [[Psychoanalyse]] und [[Wikipedia:Moraltheologie|Moraltheologie]] (3 Bände), Verlag: M. Grünewald, Mainz; Auflage: N.-A. (1992) ISBN 3-786-70989-0
== Beweise ==
** Das Eigentliche ist unsichtbar. [[Wikipedia:Der kleine Prinz|Der kleine Prinz]] tiefenpsychologisch gedeutet, Herder, Freiburg; Auflage: 19 (1984) ISBN 3-451-04894-9
Für den Satz sind mehrere hundert verschiedene Beweise bekannt. Der Satz des Pythagoras ist damit der meistbewiesene mathematische Satz. Exemplarisch werden nachfolgend vier geometrische Beweise sowie ein Beweis durch Addition abgeleiteter Volumina vorgestellt. Ein fünfter Beweis aus dem Jahr 1875 von [[James A. Garfield]] findet sich unter [[Beweis des Satzes des Pythagoras nach Garfield]], der dem Beweis durch Ergänzung stark ähnelt.
* 1985: Tiefenpsychologie und Exegese (2 Bände) Walter-Verlag; Auflage: 6. Aufl. (1992), ISBN 3-530-16852-1
 
* 1988:
=== Geometrischer Beweis durch Ergänzung ===
** Das [[Markusevangelium]], Walter Distribution, Neuauflage 1992, ISBN 3-530-16871-8
[[Datei:Pythagorasergänzung.svg|mini|Positionierung von vier Dreiecken in einem Quadrat mit der Seitenlänge <math>a+b</math>]]
** ''[[Kleriker]]: Psychogramm eines Ideals'', Walter-Verlag AG, Olten, 7. Auflage 1990, 900 S. ISBN 3-530-16902-1
In ein [[Quadrat]] mit der Seitenlänge <math>a + b</math> werden vier gleiche ([[Kongruenz (Geometrie)|kongruente]]) rechtwinklige Dreiecke mit den Seiten <math>a</math>, <math>b</math> und <math>c</math> (Hypotenuse) eingelegt. Dies kann auf zwei Arten geschehen, wie im Diagramm dargestellt ist.
** Ich steige hinab in die Barke der Sonne. Meditationen zu Tod und Auferstehung, Walter-Verlag; Auflage: 6., Aufl. (1993) ISBN 3-530-16901-3
 
** ''"An ihren Früchten sollt ihr sie erkennen"'' Antwort auf Rudolf Peschs und Gerhard Lohfinks "Tiefenpsychologie und keine Exegese", Walter-Verlag AG, Olten 1988, ISBN 3-530-16857-2
Die Flächen des linken und des rechten Quadrates sind gleich (Seitenlänge <math>a + b</math>). Das linke besteht aus den vier rechtwinkligen Dreiecken und einem Quadrat mit Seitenlänge <math>c</math>, das rechte aus den gleichen Dreiecken sowie einem Quadrat mit Seitenlänge <math>a</math> und einem mit Seitenlänge <math>b</math>. Die Fläche <math>c^2</math> entspricht also der Summe der Fläche <math>a^2</math> und der Fläche <math>b^2</math>, also
* 1990: Über die Unsterblichkeit der Tiere, Walter-Verlag, ISBN 3-530-16874-2
 
* 1991:
: <math>a^2 + b^2 = c^2</math>.
** Die Spirale der Angst. Der Krieg und das Christentum Herder, Freiburg. ISBN 3-451-04003-4
 
** Reden gegen den Krieg: Patmos (erweiterte Neuauflage 2002). ISBN 3-491-72466-X
[[Datei:Pythagoras-2a.gif|mini|Geometrischer Beweis des Satzes des Pythagoras (Animation)]]
* 1992:
 
** ''Worum es eigentlich geht. Protokoll einer Verurteilung''. 2. Auflage 1992 (21-40Tsd.), Kösel Verlag GmbH & Co., München, 511 S., ISBN 3-466-20356-2
Eine algebraische Lösung ergibt sich aus dem linken Bild. Das große Quadrat hat die Seitenlänge <math>a+b</math> und somit die Fläche <math>(a+b)^2</math>. Zieht man von dieser Fläche die vier Dreiecke ab, die jeweils eine Fläche von <math>\tfrac{ab}2</math> (also insgesamt <math>2ab</math>) haben, so bleibt die Fläche <math>c^2</math> übrig. Es ist also
** Giordano Bruno oder Der Spiegel des Unendlichen. Roman Dtv (1999) ISBN 3-423-30747-1
 
** Wenn der Himmel die Erde berührt. Meditationen zu den Gleichnissen Jesu Patmos; Überarb. Neuausg. (Januar 2004) ISBN 3-491-69407-8
: <math>(a+b)^2 = 2ab+c^2</math>.
* 1993: Glauben in Freiheit oder Tiefenpsychologie und Dogmatik, Band 1, 1. Auflage, ISBN 3-530-16896-3, 2.te Auflage 1993 Walter Verlag AG, 719 S.
 
* 1998: Band 2 Jesus von Nazareth, Befreiung zum Frieden, 819 S. ISBN 3-530-16897-1,
Auflösung der Klammer liefert
* 1998: Daß auch der Allerniedrigste mein Bruder sei: [[Dostojewski]] – Dichter der Menschlichkeit. Walter, ISBN 3-530-40048-3
 
* 1998: Von Tieren und Menschen. Moderne Fabeln. Walter, Neuauflage 2002 Patmos, ISBN 3491690471
: <math>a^2+2ab+b^2 = 2ab+c^2</math>.
* 1999: und es geschah so – Die moderne Biologie und die Frage nach Gott.
 
* 2002: Im Anfang…, Glaube in Freiheit, bisher 6 Bände
Zieht man nun auf beiden Seiten <math>2ab</math> ab, bleibt der Satz des Pythagoras übrig.
* 2003:
 
** Religiös bedingte neurotische Erkrankungen, Pabst Science Publishers, 2003 ISBN 978-3-89967-045-5
=== Scherungsbeweis ===
** Eugen Drewermann – Rebell oder Prophet? Der unbequeme Theologe im Gespräch mit Felizitas von Schönborn (edition q)
[[Datei:Pythagorasanimation.gif|mini|Zweifache Scherung der Kathetenquadrate und Drehung in das Hypotenusenquadrat]]
* 2004:
Eine Möglichkeit ist die [[Scherung (Geometrie)|Scherung]] der Kathetenquadrate in das Hypotenusenquadrat. Unter Scherung eines Rechtecks versteht man in der Geometrie die Überführung des Rechtecks in ein Parallelogramm unter Beibehaltung der Höhe. Bei der Scherung ist das sich ergebende Parallelogramm zu dem Ausgangsrechteck flächengleich. Über zwei Scherungen können die beiden kleineren Quadrate dann in zwei Rechtecke umgewandelt werden, die zusammen genau in das große Quadrat passen.
** Moby Dick oder Vom Ungeheuren, ein Mensch zu sein, Patmos, ISBN 3-530-17010-0
 
** Wenn die Sterne Götter wären. Moderne Kosmologie und Glaube. Im Gespräch mit Jürgen Hoeren. Herder, ISBN 3-451-28348-4
Beim exakten Beweis muss dann noch über die [[Kongruenz (Geometrie)|Kongruenzsätze]] im Dreieck nachgewiesen werden, dass die kleinere Seite der sich ergebenden Rechtecke jeweils dem betreffenden Hypotenusenabschnitt entspricht. Wie üblich wurden in der Animation die Höhe mit <math>h</math>, die Hypotenusenabschnitte mit <math>p</math> und <math>q</math> bezeichnet.
* 2006
 
** Atem des Lebens – Band 1: Das Gehirn. Die moderne Neurologie und die Frage nach Gott. Patmos, ISBN 3-491-21000-3
=== Beweis mit Ähnlichkeiten ===
* 2007:
[[Datei:Pythagoras through similarity2.svg|mini|Ähnlichkeit der Dreiecke <math>ABC</math>, <math>BCD</math> und <math>ADC</math>]]
** Atem des Lebens – Band 2: Die Seele. Patmos Verlag, Düsseldorf ISBN 3-491-21001-1
<!--- Bitte Bild zu Ähnlichkeiten hier belassen! --->
** Von der Macht des Geldes oder Märchen der Ökonomie, Patmos Verlag, Düsseldorf ISBN 3-491-21002-X
Es ist nicht unbedingt notwendig, zum Beweis des Satzes von Pythagoras (explizit) Flächen heranzuziehen. Geometrisch eleganter ist es, Ähnlichkeiten zu verwenden. Sobald man sich durch Berechnung der Winkelsummen im Dreieck überzeugt hat, dass die beiden Winkel <math>\delta</math> im unteren Bild gleich groß sein müssen, sieht man, dass die Dreiecke <math>ABC</math>, <math>BCD</math> und <math>ADC</math> ähnlich sind. Der Beweis des Satzes von Pythagoras ergibt sich dann wie im Bild gezeigt, dabei beweist man auch den [[Kathetensatz des Euklid|Kathetensatz]] und die Addition beider Varianten des Kathetensatzes ergibt den Satz des Pythagoras selbst. Diese Herleitung lässt sich anschaulich mit der Ähnlichkeit der Quadrate und der Ähnlichkeit deren angrenzenden Dreiecke erklären. Da deren Fläche proportional zur Fläche der jeweils anliegenden Quadrate ist, repräsentiert die Gleichung
** Die Rechtlosigkeit der Kreatur im christlichen Abendland oder: von einer wichtigen Ausnahme. Beitrag Drewermanns in: Interdisziplinäre Arbeitsgemeinschaft Tierethik (Hrsg.). ''Tierrechte – Eine interdisziplinäre Herausforderung.'' Erlangen 2007. ISBN 978-3-89131-417-3
 
* 2008:
: <math>ADC + BCD = ABC</math>
** Jesus von Nazareth – Bild eines Menschen, Patmos Verlag, Düsseldorf ISBN 3-491-21003-8
 
* 2009:
den Satz.
** Das Lukas-Evangelium: Band 1: Lukas 1,1 - 12,1 / Bilder erinnerter Zukunft, Patmos Verlag, Düsseldorf 2009, ISBN 3-491-21006-2
 
** Das Lukas-Evangelium: Band 2: Lukas 12 - 24 / Bilder erinnerter Zukunft, Patmos Verlag, Düsseldorf 2009, ISBN 978-3-491-21007-3
[[Kategorie:Geometrie]]
* 2010:
** Woran ich glaube: Wir glauben, weil wir lieben, Patmos Verlag, 2010, ISBN 978-3-491-72549-2
** Heimkehrer aus der Hölle, Patmos-Verlag der Schwabenverlag AG, 2010, ISBN 978-3-491-72568-3
* 2011:
** Nur die Liebe lehrt uns Glauben, Publik-Forum Streitschrift , 2011, 978-3880952188
** Das Lukas-Evangelium: Band 3: Die Apostelgeschichte / Bilder erinnerter Zukunft, Patmos Verlag, Düsseldorf 2011, ISBN 978-3-491-21009-7
* 2012:
** Die großen Fragen - oder: Menschlich von Gott reden, mit Michael Albus, PatmosVerlag, Düsseldorf 2012, ISBN 978-3-843-60143-6
** Die sieben Tugenden, Patmos Verlag, Düsseldorf 2012, ISBN 978-3-843-60173-3
** Wege zur Menschlichkeit. Von der absoluten Notwendigkeit der Gnade. (Basierend auf dem am 18. Mai 2012 während des Alternativprogrammes zum Katholikentag in Mannheim gehaltenen Vortrag (der auch als DVD oder Hör-CD erhältlich ist).  
[[Kategorie:Theologe]][[Kategorie:Psychoanalytiker]] [[Kategorie:Psychologe]] [[Kategorie:Schriftsteller]] [[Kategorie:Geboren 1940]] [[Kategorie:Mann]]


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Version vom 14. Dezember 2018, 15:52 Uhr

Satz des Pythagoras

Der Satz des Pythagoras ist einer der fundamentalen Sätze der euklidischen Geometrie. Er besagt, dass in allen ebenen rechtwinkligen Dreiecken die Summe der Flächeninhalte der Kathetenquadrate gleich dem Flächeninhalt des Hypotenusenquadrates ist. Sind und die Längen der am rechten Winkel anliegenden Seiten, der Katheten, und die Länge der dem rechten Winkel gegenüberliegenden Seite, der Hypotenuse, dann lautet der Satz als Gleichung ausgedrückt:

Der Satz ist nach Pythagoras von Samos benannt, der als Erster dafür einen mathematischen Beweis gefunden haben soll, was allerdings in der Forschung umstritten ist. Die Aussage des Satzes war schon lange vor der Zeit des Pythagoras in Babylon und Indien bekannt, es gibt jedoch keinen Nachweis dafür, dass man dort auch einen Beweis hatte.

Beweise

Für den Satz sind mehrere hundert verschiedene Beweise bekannt. Der Satz des Pythagoras ist damit der meistbewiesene mathematische Satz. Exemplarisch werden nachfolgend vier geometrische Beweise sowie ein Beweis durch Addition abgeleiteter Volumina vorgestellt. Ein fünfter Beweis aus dem Jahr 1875 von James A. Garfield findet sich unter Beweis des Satzes des Pythagoras nach Garfield, der dem Beweis durch Ergänzung stark ähnelt.

Geometrischer Beweis durch Ergänzung

Positionierung von vier Dreiecken in einem Quadrat mit der Seitenlänge

In ein Quadrat mit der Seitenlänge werden vier gleiche (kongruente) rechtwinklige Dreiecke mit den Seiten , und (Hypotenuse) eingelegt. Dies kann auf zwei Arten geschehen, wie im Diagramm dargestellt ist.

Die Flächen des linken und des rechten Quadrates sind gleich (Seitenlänge ). Das linke besteht aus den vier rechtwinkligen Dreiecken und einem Quadrat mit Seitenlänge , das rechte aus den gleichen Dreiecken sowie einem Quadrat mit Seitenlänge und einem mit Seitenlänge . Die Fläche entspricht also der Summe der Fläche und der Fläche , also

.
Geometrischer Beweis des Satzes des Pythagoras (Animation)

Eine algebraische Lösung ergibt sich aus dem linken Bild. Das große Quadrat hat die Seitenlänge und somit die Fläche . Zieht man von dieser Fläche die vier Dreiecke ab, die jeweils eine Fläche von (also insgesamt ) haben, so bleibt die Fläche übrig. Es ist also

.

Auflösung der Klammer liefert

.

Zieht man nun auf beiden Seiten ab, bleibt der Satz des Pythagoras übrig.

Scherungsbeweis

Zweifache Scherung der Kathetenquadrate und Drehung in das Hypotenusenquadrat

Eine Möglichkeit ist die Scherung der Kathetenquadrate in das Hypotenusenquadrat. Unter Scherung eines Rechtecks versteht man in der Geometrie die Überführung des Rechtecks in ein Parallelogramm unter Beibehaltung der Höhe. Bei der Scherung ist das sich ergebende Parallelogramm zu dem Ausgangsrechteck flächengleich. Über zwei Scherungen können die beiden kleineren Quadrate dann in zwei Rechtecke umgewandelt werden, die zusammen genau in das große Quadrat passen.

Beim exakten Beweis muss dann noch über die Kongruenzsätze im Dreieck nachgewiesen werden, dass die kleinere Seite der sich ergebenden Rechtecke jeweils dem betreffenden Hypotenusenabschnitt entspricht. Wie üblich wurden in der Animation die Höhe mit , die Hypotenusenabschnitte mit und bezeichnet.

Beweis mit Ähnlichkeiten

Ähnlichkeit der Dreiecke , und

Es ist nicht unbedingt notwendig, zum Beweis des Satzes von Pythagoras (explizit) Flächen heranzuziehen. Geometrisch eleganter ist es, Ähnlichkeiten zu verwenden. Sobald man sich durch Berechnung der Winkelsummen im Dreieck überzeugt hat, dass die beiden Winkel im unteren Bild gleich groß sein müssen, sieht man, dass die Dreiecke , und ähnlich sind. Der Beweis des Satzes von Pythagoras ergibt sich dann wie im Bild gezeigt, dabei beweist man auch den Kathetensatz und die Addition beider Varianten des Kathetensatzes ergibt den Satz des Pythagoras selbst. Diese Herleitung lässt sich anschaulich mit der Ähnlichkeit der Quadrate und der Ähnlichkeit deren angrenzenden Dreiecke erklären. Da deren Fläche proportional zur Fläche der jeweils anliegenden Quadrate ist, repräsentiert die Gleichung

den Satz.


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