Emisch und etisch und Satz des Pythagoras: Unterschied zwischen den Seiten

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'''Emisch''' und '''Etisch''' ({{EnS|''Emic'' and ''etic''}}) sind in den [[Kultur]]- und [[Sozialwissenschaft]]en gebräuchliche Begriffe, die 1954 von dem von dem amerikanischen Linguisten [[Wikipedia:Kenneth L. Pike|Kenneth Lee Pike]] (1912-2000,) geprägt wurden, um damit zwei gegensätzliche Perspektiven zu charakterisieren, unter denen man kulturelle [[System]]e oder [[Soziale Gemeinschaft|soziale Gemeinschaften]] [[wissenschaft]]lich-[[Methode|methodisch]] betrachten kann.
[[Datei:01-Rechtwinkliges Dreieck-Pythagoras.svg|mini|hochkant=1.2|Satz des Pythagoras]]
Der '''Satz des Pythagoras''' ist einer der fundamentalen [[Satz (Mathematik)|Sätze]] der [[Euklidische Geometrie|euklidischen Geometrie]]. Er besagt, dass in allen ebenen [[Rechtwinkliges Dreieck|rechtwinkligen Dreiecken]] die Summe der [[Flächeninhalt]]e der Kathetenquadrate gleich dem Flächeninhalt des Hypotenusenquadrates ist. Sind <math>a</math> und <math>b</math> die [[Länge (Mathematik)|Längen]] der am [[Rechter Winkel|rechten Winkel]] anliegenden Seiten, der [[Kathete]]n, und <math>c</math> die Länge der dem rechten Winkel gegenüberliegenden Seite, der [[Hypotenuse]], dann lautet der Satz als [[Gleichung]] ausgedrückt:


'''Emisch''' bedeutet, dass man dabei die ''Innenperspektive'', die Perspektive eines Insiders annimmt, d. h. eines Menschen, der der betreffenden Kultur oder Gemeinschaft angehört. Dieser Standpunkt ist weder neutral noch objektiv und allgemeinverbindlich, eröffnet aber meist erst einen wirklichen Einblick in das eigentliche [[Wesen]] der betreffenden Kultur oder Gemeinschaft.
: <math>a^2 + b^2 = c^2</math>


'''Etisch''' ist die ''Außenperspektive'', d. h. heißt, dass man den möglichst neutralen Standpunkt eines Outsiders, also eines außenstehenden Beoabachters einnimmt und dadurch leichter objektive und allgemeinverbindliche Erkenntnisse gewinnen kann. Hier lässt sich vor allem die Beziehung zu anderen kulturellen Systemen leichter mit einem freien Blick ins Auge fassen.
Der Satz ist nach [[Pythagoras|Pythagoras von Samos]] benannt, der als Erster dafür einen [[Beweis (Mathematik)|mathematischen Beweis]] gefunden haben soll, was allerdings in der Forschung umstritten ist. Die Aussage des Satzes war schon lange vor der Zeit des Pythagoras in [[Babylon]] und Indien bekannt, es gibt jedoch keinen Nachweis dafür, dass man dort auch einen Beweis hatte.


Beide Blickpunkte können wichtige Erkenntnisse liefern, haben aber auch ihre spezifischen Einseitigkeiten.
== Beweise ==
Für den Satz sind mehrere hundert verschiedene Beweise bekannt. Der Satz des Pythagoras ist damit der meistbewiesene mathematische Satz. Exemplarisch werden nachfolgend vier geometrische Beweise sowie ein Beweis durch Addition abgeleiteter Volumina vorgestellt. Ein fünfter Beweis aus dem Jahr 1875 von [[James A. Garfield]] findet sich unter [[Beweis des Satzes des Pythagoras nach Garfield]], der dem Beweis durch Ergänzung stark ähnelt.


Besonders schwierig ist die wissenschaftliche Erfassung [[esoterisch]]er Systeme. Ohne tiefgehende Insiderkenntnisse wird man sie kaum in ihrer eigentlichen Bedeutung erfassen können. Anderseits muss auch objektiv betrachtet werden, wie sie sich wirkend in ihre Umgebung hineinstellen. [[Arthur Versluis]] (* 1959) von der [[Wikipedia:Michigan State University|Michigan State University]], der sich intensiv mit Esoterikforschung auf wissenschaftlichem Niveau beschäftigt, hat vorgeschlagen, beide Betrachtungsweisen zu einem „mitfühlenden Empirismus“ ({{EnS|sympathetic empiricism}}) zusammenzuführen.
=== Geometrischer Beweis durch Ergänzung ===
[[Datei:Pythagorasergänzung.svg|mini|Positionierung von vier Dreiecken in einem Quadrat mit der Seitenlänge <math>a+b</math>]]
In ein [[Quadrat]] mit der Seitenlänge <math>a + b</math> werden vier gleiche ([[Kongruenz (Geometrie)|kongruente]]) rechtwinklige Dreiecke mit den Seiten <math>a</math>, <math>b</math> und <math>c</math> (Hypotenuse) eingelegt. Dies kann auf zwei Arten geschehen, wie im Diagramm dargestellt ist.


{{Zitat|Mit "mitfühlendem Empirismus" hingegen beziehe ich mich auf eine Zwischenstellung, die
Die Flächen des linken und des rechten Quadrates sind gleich (Seitenlänge <math>a + b</math>). Das linke besteht aus den vier rechtwinkligen Dreiecken und einem Quadrat mit Seitenlänge <math>c</math>, das rechte aus den gleichen Dreiecken sowie einem Quadrat mit Seitenlänge <math>a</math> und einem mit Seitenlänge <math>b</math>. Die Fläche <math>c^2</math> entspricht also der Summe der Fläche <math>a^2</math> und der Fläche <math>b^2</math>, also
das Beste aus ''emischen'' und ''etischen'' Ansätzen vereint. Im Bereich der westlichen Esoterik, wie
allgemeiner noch in allen Religionsstudien, ist es wichtig, einerseits die Tugenden der
Gelehrsamkeit, die einen Standard der Objektivität anstrebt, und andererseits die Tugenden eines
Ansatzes, der versucht, das Thema einfühlsam zu verstehen, es sozusagen von innen her zu verstehen, in ein ausgewogenes Gleichgewicht bringt. Anthropologen haben seit langem die Bedeutung des Ausgleichs von ''etic'' und ''emic'' verstanden, einerseits in eine Kultur einzutreten, um sie zu verstehen, andererseits aber auch den Status des Beobachters und des Analytikers beizubehalten. Wenn es das Laster einer zu ''emischen'' Position ist, zum Apologeten zu werden, so ist es das Laster einer zu ''etischen'' Position noch etwas größer: man scheitert daran, zu verstehen und zu vermitteln, was man eigentlich studiert. Wenn das Laster des extrem emischen Ansatzes die zu große Sympathie ist, so ist es beim extrem ''etischen'' Ansatzes die Ignoranz und Feindseligkeit gegenüber dem Subjekt, sogar wenn sie unter der Maske einer gelehrsamen Neutralität erscheint.|ref=<ref>Im englischen Original:
:„By “sympathetic empiricism,” on the other hand, I am referring to an intermediate position that incorporates the best of both emic and etic approaches. In the field of Western esotericism, as in that of religious studies more generally, it is important to balance on the one hand the virtues of scholarship that strives to achieve a standard of objectivity, and on the other hand the virtues of an approach that seeks to sympathetically understand one’s subject, to understand it from the inside out, so to speak. Anthopologists have long understood the importance of balancing etic and emic approaches, of on the one hand entering into a culture in order to understand it while on the other hand retaining the status of observer and analyst. If the vice of a too emic position is that of becoming an apologist, the vice of a too etic position is if anything greater: a failure to understand and accurately convey what one is studying. If the vice of the extreme emic approach is too great a sympathy, that of the extreme etic approach is ignorance of and hostility to one’s subject, even if under the guise of a studied neutrality.“ (Arthur Versluis: ''What is Esoteric? Methods in the Study of Western Esotericism'' [http://www.esoteric.msu.edu/VolumeIV/Methods.htm])</ref><ref>vgl. auch: Arthur Versluis: ''Methods in the Study of Esotericism, Part II. Mysticism and the Study of Esotericism'' [http://www.esoteric.msu.edu/VolumeV/Mysticism.htm]</ref>}}


== Literatur ==
: <math>a^2 + b^2 = c^2</math>.


* Headland, Thomas; Pike, Kenneth; Harris, Marvin (eds): ''Emics and Etics: The Insider/Outsider Debate'', Sage (1990)
[[Datei:Pythagoras-2a.gif|mini|Geometrischer Beweis des Satzes des Pythagoras (Animation)]]
* Jardine, Nick: ''Etics and Emics (Not to Mention Anemics and Emetics) in the History of the Sciences'' (2004), ''History of Science'', 42: 261–278 [http://hos.sagepub.com/content/42/3/261.refs?patientinform-links=yes&legid=sphos;42/3/261]
* [[Wikipedia:Gerhard Kubik (Musikethnologe)|Gerhard Kubik]]: ''Emics and Etics Re-Examined, Part 1: Emics and Etics: Theoretical Considerations.'' In: ''African Music,'' Vol. 7, No. 3, 1996, S. 3–10
* {{Literatur | Autor = Theodor Lewandowski | Titel = Linguistisches Wörterbuch | Auflage = 4., neu bearbeitete | Verlag = Quelle & Meyer | Ort = Heidelberg | Jahr = 1985 | ISBN = 3-494-02050-7 | Kapitel = Stichwort: emische Analyse }}
* {{Literatur | Autor = [[Wikipedia:Kenneth Lee Pike|Kenneth Lee Pike]] | Titel = Language in Relation to a Unified Theory of Structure of Human Behavior | Reihe = Janua Linguarum, Series Maior | Band = Band 24 | Verlag = Mouton | Ort = Den Haag | Auflage = 2. | Jahr = 1967 }}
* [[Arthur Versluis]]: ''Magic and Mysticism: An Introduction to Western Esoteric Traditions'', Rowman & Littlefield Publishers 2007, ISBN 978-0742558366


== Einzelnachweise ==
Eine algebraische Lösung ergibt sich aus dem linken Bild. Das große Quadrat hat die Seitenlänge <math>a+b</math> und somit die Fläche <math>(a+b)^2</math>. Zieht man von dieser Fläche die vier Dreiecke ab, die jeweils eine Fläche von <math>\tfrac{ab}2</math> (also insgesamt <math>2ab</math>) haben, so bleibt die Fläche <math>c^2</math> übrig. Es ist also


<references />
: <math>(a+b)^2 = 2ab+c^2</math>.


[[Kategorie:Kultur]] [[Kategorie:Sozialwissenschaften]] [[Kategorie:Esoterik]]
Auflösung der Klammer liefert
 
: <math>a^2+2ab+b^2 = 2ab+c^2</math>.
 
Zieht man nun auf beiden Seiten <math>2ab</math> ab, bleibt der Satz des Pythagoras übrig.
 
=== Scherungsbeweis ===
[[Datei:Pythagorasanimation.gif|mini|Zweifache Scherung der Kathetenquadrate und Drehung in das Hypotenusenquadrat]]
Eine Möglichkeit ist die [[Scherung (Geometrie)|Scherung]] der Kathetenquadrate in das Hypotenusenquadrat. Unter Scherung eines Rechtecks versteht man in der Geometrie die Überführung des Rechtecks in ein Parallelogramm unter Beibehaltung der Höhe. Bei der Scherung ist das sich ergebende Parallelogramm zu dem Ausgangsrechteck flächengleich. Über zwei Scherungen können die beiden kleineren Quadrate dann in zwei Rechtecke umgewandelt werden, die zusammen genau in das große Quadrat passen.
 
Beim exakten Beweis muss dann noch über die [[Kongruenz (Geometrie)|Kongruenzsätze]] im Dreieck nachgewiesen werden, dass die kleinere Seite der sich ergebenden Rechtecke jeweils dem betreffenden Hypotenusenabschnitt entspricht. Wie üblich wurden in der Animation die Höhe mit <math>h</math>, die Hypotenusenabschnitte mit <math>p</math> und <math>q</math> bezeichnet.
 
=== Beweis mit Ähnlichkeiten ===
[[Datei:Pythagoras through similarity2.svg|mini|Ähnlichkeit der Dreiecke <math>ABC</math>, <math>BCD</math> und <math>ADC</math>]]
<!--- Bitte Bild zu Ähnlichkeiten hier belassen! --->
Es ist nicht unbedingt notwendig, zum Beweis des Satzes von Pythagoras (explizit) Flächen heranzuziehen. Geometrisch eleganter ist es, Ähnlichkeiten zu verwenden. Sobald man sich durch Berechnung der Winkelsummen im Dreieck überzeugt hat, dass die beiden Winkel <math>\delta</math> im unteren Bild gleich groß sein müssen, sieht man, dass die Dreiecke <math>ABC</math>, <math>BCD</math> und <math>ADC</math> ähnlich sind. Der Beweis des Satzes von Pythagoras ergibt sich dann wie im Bild gezeigt, dabei beweist man auch den [[Kathetensatz des Euklid|Kathetensatz]] und die Addition beider Varianten des Kathetensatzes ergibt den Satz des Pythagoras selbst. Diese Herleitung lässt sich anschaulich mit der Ähnlichkeit der Quadrate und der Ähnlichkeit deren angrenzenden Dreiecke erklären. Da deren Fläche proportional zur Fläche der jeweils anliegenden Quadrate ist, repräsentiert die Gleichung
 
: <math>ADC + BCD = ABC</math>
 
den Satz.
 
[[Kategorie:Geometrie]]
 
{{Wikipedia}}

Version vom 14. Dezember 2018, 15:52 Uhr

Satz des Pythagoras

Der Satz des Pythagoras ist einer der fundamentalen Sätze der euklidischen Geometrie. Er besagt, dass in allen ebenen rechtwinkligen Dreiecken die Summe der Flächeninhalte der Kathetenquadrate gleich dem Flächeninhalt des Hypotenusenquadrates ist. Sind und die Längen der am rechten Winkel anliegenden Seiten, der Katheten, und die Länge der dem rechten Winkel gegenüberliegenden Seite, der Hypotenuse, dann lautet der Satz als Gleichung ausgedrückt:

Der Satz ist nach Pythagoras von Samos benannt, der als Erster dafür einen mathematischen Beweis gefunden haben soll, was allerdings in der Forschung umstritten ist. Die Aussage des Satzes war schon lange vor der Zeit des Pythagoras in Babylon und Indien bekannt, es gibt jedoch keinen Nachweis dafür, dass man dort auch einen Beweis hatte.

Beweise

Für den Satz sind mehrere hundert verschiedene Beweise bekannt. Der Satz des Pythagoras ist damit der meistbewiesene mathematische Satz. Exemplarisch werden nachfolgend vier geometrische Beweise sowie ein Beweis durch Addition abgeleiteter Volumina vorgestellt. Ein fünfter Beweis aus dem Jahr 1875 von James A. Garfield findet sich unter Beweis des Satzes des Pythagoras nach Garfield, der dem Beweis durch Ergänzung stark ähnelt.

Geometrischer Beweis durch Ergänzung

Positionierung von vier Dreiecken in einem Quadrat mit der Seitenlänge

In ein Quadrat mit der Seitenlänge werden vier gleiche (kongruente) rechtwinklige Dreiecke mit den Seiten , und (Hypotenuse) eingelegt. Dies kann auf zwei Arten geschehen, wie im Diagramm dargestellt ist.

Die Flächen des linken und des rechten Quadrates sind gleich (Seitenlänge ). Das linke besteht aus den vier rechtwinkligen Dreiecken und einem Quadrat mit Seitenlänge , das rechte aus den gleichen Dreiecken sowie einem Quadrat mit Seitenlänge und einem mit Seitenlänge . Die Fläche entspricht also der Summe der Fläche und der Fläche , also

.
Geometrischer Beweis des Satzes des Pythagoras (Animation)

Eine algebraische Lösung ergibt sich aus dem linken Bild. Das große Quadrat hat die Seitenlänge und somit die Fläche . Zieht man von dieser Fläche die vier Dreiecke ab, die jeweils eine Fläche von (also insgesamt ) haben, so bleibt die Fläche übrig. Es ist also

.

Auflösung der Klammer liefert

.

Zieht man nun auf beiden Seiten ab, bleibt der Satz des Pythagoras übrig.

Scherungsbeweis

Zweifache Scherung der Kathetenquadrate und Drehung in das Hypotenusenquadrat

Eine Möglichkeit ist die Scherung der Kathetenquadrate in das Hypotenusenquadrat. Unter Scherung eines Rechtecks versteht man in der Geometrie die Überführung des Rechtecks in ein Parallelogramm unter Beibehaltung der Höhe. Bei der Scherung ist das sich ergebende Parallelogramm zu dem Ausgangsrechteck flächengleich. Über zwei Scherungen können die beiden kleineren Quadrate dann in zwei Rechtecke umgewandelt werden, die zusammen genau in das große Quadrat passen.

Beim exakten Beweis muss dann noch über die Kongruenzsätze im Dreieck nachgewiesen werden, dass die kleinere Seite der sich ergebenden Rechtecke jeweils dem betreffenden Hypotenusenabschnitt entspricht. Wie üblich wurden in der Animation die Höhe mit , die Hypotenusenabschnitte mit und bezeichnet.

Beweis mit Ähnlichkeiten

Ähnlichkeit der Dreiecke , und

Es ist nicht unbedingt notwendig, zum Beweis des Satzes von Pythagoras (explizit) Flächen heranzuziehen. Geometrisch eleganter ist es, Ähnlichkeiten zu verwenden. Sobald man sich durch Berechnung der Winkelsummen im Dreieck überzeugt hat, dass die beiden Winkel im unteren Bild gleich groß sein müssen, sieht man, dass die Dreiecke , und ähnlich sind. Der Beweis des Satzes von Pythagoras ergibt sich dann wie im Bild gezeigt, dabei beweist man auch den Kathetensatz und die Addition beider Varianten des Kathetensatzes ergibt den Satz des Pythagoras selbst. Diese Herleitung lässt sich anschaulich mit der Ähnlichkeit der Quadrate und der Ähnlichkeit deren angrenzenden Dreiecke erklären. Da deren Fläche proportional zur Fläche der jeweils anliegenden Quadrate ist, repräsentiert die Gleichung

den Satz.


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