The Coming Race und Satz des Pythagoras: Unterschied zwischen den Seiten

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[[Datei:Bulwer-Lytton Vril Einband 1922 Schaerfe.jpg|mini|[[Edward Bulwer-Lytton]]: ''Vril oder eine Menschheit der Zukunft'', deutsche Übersezung von [[Günther Wachsmuth]] (1922)]]
[[Datei:01-Rechtwinkliges Dreieck-Pythagoras.svg|mini|hochkant=1.2|Satz des Pythagoras]]
[[Datei:Edward George Earle Lytton Bulwer Lytton, 1st Baron Lytton by Henry William Pickersgill.jpg|mini|[[Edward Bulwer-Lytton]], Porträt von Henry William Pickersgill]]
Der '''Satz des Pythagoras''' ist einer der fundamentalen [[Satz (Mathematik)|Sätze]] der [[Euklidische Geometrie|euklidischen Geometrie]]. Er besagt, dass in allen ebenen [[Rechtwinkliges Dreieck|rechtwinkligen Dreiecken]] die Summe der [[Flächeninhalt]]e der Kathetenquadrate gleich dem Flächeninhalt des Hypotenusenquadrates ist. Sind <math>a</math> und <math>b</math> die [[Länge (Mathematik)|Längen]] der am [[Rechter Winkel|rechten Winkel]] anliegenden Seiten, der [[Kathete]]n, und <math>c</math> die Länge der dem rechten Winkel gegenüberliegenden Seite, der [[Hypotenuse]], dann lautet der Satz als [[Gleichung]] ausgedrückt:
[[Datei:Vril Wachsmuth.jpg|mini|Titelbild der aktuellen Ausgabe von G. Wachsmuths Übersetzung (7. Auflage, 2010)]]


'''The Coming Race''' ({{EnS|}} „Das kommende Geschlecht“) ist ein von [[Edward Bulwer-Lytton]] (1803–1873) [[Wikipedia:1871|1871]] zunächst anonym bei Blackwood and Sons (Edinburgh/London) veröffentlichter [[Utopie|utopischer]] [[Roman]], in dem er das seltsame, unterirdisch lebende Volk der ''Vril-ya'' beschreibt, das über eine geheimnisvolle [[psychophysisch]]e [[Vitalkraft]], genannt [[Vril]] (abgeleitet vermutlich von [[lat.]] ''virilis'' „männlich“, „kraftvoll“<ref>Goodrick-Clarke, 2002, S. 113; Goodrick-Clarke bezieht sich auf die Neutrumform ''virile''</ref><ref>Günther Jürgensmeier: ''Anmerkungen''. In: Edward Bulwer-Lytton: ''Das kommende Geschlecht''. dtv, München, 1999, S. 224–250, hier: S. 228</ref>), verfügt. Später wurde das Buch auch unter dem Titel ''„Vril, the Power of the Coming Race“'' publiziert.
: <math>a^2 + b^2 = c^2</math>


== Okkulter Hintergrund ==
Der Satz ist nach [[Pythagoras|Pythagoras von Samos]] benannt, der als Erster dafür einen [[Beweis (Mathematik)|mathematischen Beweis]] gefunden haben soll, was allerdings in der Forschung umstritten ist. Die Aussage des Satzes war schon lange vor der Zeit des Pythagoras in [[Babylon]] und Indien bekannt, es gibt jedoch keinen Nachweis dafür, dass man dort auch einen Beweis hatte.


{{Hauptartikel|Vril}}
== Beweise ==
Für den Satz sind mehrere hundert verschiedene Beweise bekannt. Der Satz des Pythagoras ist damit der meistbewiesene mathematische Satz. Exemplarisch werden nachfolgend vier geometrische Beweise sowie ein Beweis durch Addition abgeleiteter Volumina vorgestellt. Ein fünfter Beweis aus dem Jahr 1875 von [[James A. Garfield]] findet sich unter [[Beweis des Satzes des Pythagoras nach Garfield]], der dem Beweis durch Ergänzung stark ähnelt.


Die [[Theosophie|Theosophin]] [[Helena Petrovna Blavatsky]] hatte darauf hingewiesen, dass die ''Vril-Kraft'' tatsächlich schon von den alten [[Atlantis|Atlantiern]] benutzt wurde und nun in erneuerter Form wiedererweckt werden soll. [[John Worrell Keely]] habe versucht, diese Kraft, die die Atlantier ''[[Mash-mak]]'' genannt hätten und die eine furchtbare „siderische Kraft“ sei, in dem von ihm konstruierten [[Keely-Motor]] nutzbar zu machen, was aber letztlich misslungen sei.
=== Geometrischer Beweis durch Ergänzung ===
[[Datei:Pythagorasergänzung.svg|mini|Positionierung von vier Dreiecken in einem Quadrat mit der Seitenlänge <math>a+b</math>]]
In ein [[Quadrat]] mit der Seitenlänge <math>a + b</math> werden vier gleiche ([[Kongruenz (Geometrie)|kongruente]]) rechtwinklige Dreiecke mit den Seiten <math>a</math>, <math>b</math> und <math>c</math> (Hypotenuse) eingelegt. Dies kann auf zwei Arten geschehen, wie im Diagramm dargestellt ist.


[[William Scott-Elliot]] berichtete 1896 in ''The Story of Atlantis'', dass sich die Atlantier dieser Kraft bedient hätten, um ihre Luftschiffe anzutreiben. 
Die Flächen des linken und des rechten Quadrates sind gleich (Seitenlänge <math>a + b</math>). Das linke besteht aus den vier rechtwinkligen Dreiecken und einem Quadrat mit Seitenlänge <math>c</math>, das rechte aus den gleichen Dreiecken sowie einem Quadrat mit Seitenlänge <math>a</math> und einem mit Seitenlänge <math>b</math>. Die Fläche <math>c^2</math> entspricht also der Summe der Fläche <math>a^2</math> und der Fläche <math>b^2</math>, also


Auch [[Rudolf Steiner]] hat sich in seinen frühen [[Theosophie|theosophisch]]-[[Anthroposophie|anthroposophischen]] Vorträgen über die ''Vril-Kraft'' geäußert, die eigentlich die [[Pflanzen|pflanzliche]] Wachstumskraft sei, und auf ihre künftige Bedeutung für das [[Soziales Leben|soziale Leben]] und auf den Zusammenhang mit dem [[Heiliger Gral|Heiligen Gral]] hingewiesen. Es sei die selbe Kraft, die die Atlantier «[[Tao]]» genannt hätten.
: <math>a^2 + b^2 = c^2</math>.


Diese Kraft, die auch mit der von Steiner später erwähnten sog. „[[Dritte Kraft|Dritten Kraft]]“<ref>Die [[Dritte Kraft]] ist der in das unterphysische obere Devachan herabgestoßene [[Lebensäther]] und steht unter dem Einfluss der [[Asuras]] {{Lit|{{G|130|102ff}}}}.</ref> zusammenhängt, und auf der Beherrschung des [[Lebensäther]]s beruht, könne künftig aber nur durch eine entsprechende [[geist]]ige Entwicklung, die im Sinne des echten [[Rosenkreuzer]]tums die bewusste Verbindung mit der [[Christus|Christus-Kraft]] sucht, wiedererweckt werden. Auf Wunsch Rudolf Steiners übersetzte [[Günther Wachsmuth]] 1922 Bulwers Roman unter dem Titel „''Vril oder eine Menschheit der Zukunft''“ ins Deutsche, da darin «richtig geschaute» Bilder der Menschenvergangenheit und der Entwicklungsmöglichkeiten unserer Gegenwart und Zukunft zu sehen seien.
[[Datei:Pythagoras-2a.gif|mini|Geometrischer Beweis des Satzes des Pythagoras (Animation)]]


== Inhalt ==
Eine algebraische Lösung ergibt sich aus dem linken Bild. Das große Quadrat hat die Seitenlänge <math>a+b</math> und somit die Fläche <math>(a+b)^2</math>. Zieht man von dieser Fläche die vier Dreiecke ab, die jeweils eine Fläche von <math>\tfrac{ab}2</math> (also insgesamt <math>2ab</math>) haben, so bleibt die Fläche <math>c^2</math> übrig. Es ist also


Der Roman handelt von einem jungen, unabhängigen, namenlosen, wohlhabenden Amerikaner, dem Erzähler, der einen Freund, einen Bergbauingenieur, besucht. Gemeinsam erforschen sie eine natürliche Kluft in einer Mine, die durch einen Erkundungsschacht freigelegt wurde. Der Erzähler erreicht den Grund der Kluft sicher, aber dann reißt das Seil und sein Freund wird getötet. Der Erzähler findet seinen Weg in eine unterirdische Welt, die von Wesen besetzt ist, die Engeln ähneln. Er freundet sich mit dem ersten Wesen an, das er trifft, und wird durch eine Stadt geführt, die an die altägyptische Architektur erinnert. Der Entdecker trifft die Frau seines Gastgebers, zwei Söhne und eine Tochter, die Englisch durch ein improvisiertes Wörterbuch lernen, indem der Erzähler ihnen unbewusst die Sprache beibringt. Sein Führer und dessen Tochter Zee klären ihn über die Lebensweise ihres Volkes auf.
: <math>(a+b)^2 = 2ab+c^2</math>.


Der Held entdeckt, dass diese Wesen, die sich ''Vril-ya'' nennen, große telepathische und andere parapsychologische Fähigkeiten haben, durch die sie zum Beispiel in der Lage sind, Informationen zu übermitteln, Schmerz loszuwerden und andere einzuschläfern. Das Streben nach Besitz, Macht und Ruhm ist den Vril-ya wesensfremd und gilt ihnen als Zeichen einer barbarischen, unterentwickelten Lebensform. Der Erzähler, der anfangs noch von der Fortschrittlichkeit der amerikanischen spricht, ist gekränkt, als er merkt, dass ihn seine Gastgeber auch auf diesem untergeordneten Niveau einreihen. Dennoch verhalten sich der Führer, der sich als Richter herausstellt, und sein Sohn Taee freundlich zu ihm.
Auflösung der Klammer liefert


Der Erzähler entdeckt bald, dass die Vril-ya Abkömmlinge einer antediluvianischen Zivilisation sind, die ''Ana'' genannt wird und in verschlungenen Netzwerken unterirdischer Höhlen lebt, die durch Tunnel miteinander verbunden sind. Ursprünglich Oberflächenbewohner, waren sie vor Tausenden von Jahren unter die Erde geflohen, um einer gewaltigen Flut zu entkommen, und gewannen größere Macht, indem sie den harten Bedingungen unter der Erde gegenüberstanden und sie beherrschten lernen mussten. Der Ort, wo der Erzähler hinabstieg, beherbergte 12.000 Familien, eine der größten Gruppen. Ihre Gesellschaft beruht auf einer utopischen Technologie, zu deren Werkzeugen eine "alles durchdringende Flüssigkeit" gehört, die "Vril" genannt wird, eine latente Energiequelle, die die spirituell hochstehenden Gastgeber durch die Ausbildung ihres Willens in einem Grad zu beherrschen, der von ihren durch [[Vererbung]] weitergegebenen Kräften abhängt. Diese Meisterschaft eröffnete ihnen den Zugang zu dieser außergewöhnlichen Kraft, die sie nach Belieben kontrollieren können. Diese Kraft bennützen die Vril-ya auch, um mit dem Erzähler zu kommunizieren. Die Kräfte der Vril beinhalteten die Fähigkeit, Wesen und Dinge zu heilen, zu verändern und zu zerstören. Vor allem die zerstörerischen Kräfte waren so stark, dass einige junge Vril-ya-Kinder bei Bedarf ganze Städte zerstören konnten.
: <math>a^2+2ab+b^2 = 2ab+c^2</math>.


Männer (genannt An, ausgesprochen "Arn") und Frauen (genannt Gy, ausgesprochen "Gee") sind gleichberechtigt. Die Frauen sind stärker und größer als die Männer. Die Frauen sind es, die die romantischen Beziehungen zwischen den Geschlechtern anbahnen. Sie verehelichen sich nur für drei Jahre, danach entscheiden sich die Männer, ob sie verheiratet bleiben oder ledig sein wollen. Die Frau kann dann einen neuen Ehemann heiraten. Sie treffen jedoch selten die Entscheidung, wieder zu heiraten.
Zieht man nun auf beiden Seiten <math>2ab</math> ab, bleibt der Satz des Pythagoras übrig.


Ihre Religion setzt die Existenz eines überragenden Wesens voraus, aber sie lebt nicht von seiner Natur. Die Vril-ya glauben an die Beständigkeit des Lebens, das nach ihnen nicht zerstört wird, sondern nur die Form ändert.
=== Scherungsbeweis ===
[[Datei:Pythagorasanimation.gif|mini|Zweifache Scherung der Kathetenquadrate und Drehung in das Hypotenusenquadrat]]
Eine Möglichkeit ist die [[Scherung (Geometrie)|Scherung]] der Kathetenquadrate in das Hypotenusenquadrat. Unter Scherung eines Rechtecks versteht man in der Geometrie die Überführung des Rechtecks in ein Parallelogramm unter Beibehaltung der Höhe. Bei der Scherung ist das sich ergebende Parallelogramm zu dem Ausgangsrechteck flächengleich. Über zwei Scherungen können die beiden kleineren Quadrate dann in zwei Rechtecke umgewandelt werden, die zusammen genau in das große Quadrat passen.


Der Erzähler nimmt die Kleidung seiner Gastgeber und auch ihre Bräuche an. Als sich Zee in ihn verliebt und es ihrem Vater erzählt, befielt er Taee, ihn mit seinem Stab zu töten. Sowohl Taee als auch Zee folgen diesem Befehl aber nicht und Zee führt den Erzähler zu der Felsenkluft, durch die er einst hinabgestiegen war. Als er an die Oberfläche zurückkehrt, warnt er, dass die Vril-ya mit der Zeit aus ihrer unterirdischen Welt an die Oberfläche der Erde heraufsteigen, sie für sich beanspruchen und dabei die Menschheit zerstören würden.
Beim exakten Beweis muss dann noch über die [[Kongruenz (Geometrie)|Kongruenzsätze]] im Dreieck nachgewiesen werden, dass die kleinere Seite der sich ergebenden Rechtecke jeweils dem betreffenden Hypotenusenabschnitt entspricht. Wie üblich wurden in der Animation die Höhe mit <math>h</math>, die Hypotenusenabschnitte mit <math>p</math> und <math>q</math> bezeichnet.


== Literatur ==
=== Beweis mit Ähnlichkeiten ===
[[Datei:Pythagoras through similarity2.svg|mini|Ähnlichkeit der Dreiecke <math>ABC</math>, <math>BCD</math> und <math>ADC</math>]]
<!--- Bitte Bild zu Ähnlichkeiten hier belassen! --->
Es ist nicht unbedingt notwendig, zum Beweis des Satzes von Pythagoras (explizit) Flächen heranzuziehen. Geometrisch eleganter ist es, Ähnlichkeiten zu verwenden. Sobald man sich durch Berechnung der Winkelsummen im Dreieck überzeugt hat, dass die beiden Winkel <math>\delta</math> im unteren Bild gleich groß sein müssen, sieht man, dass die Dreiecke <math>ABC</math>, <math>BCD</math> und <math>ADC</math> ähnlich sind. Der Beweis des Satzes von Pythagoras ergibt sich dann wie im Bild gezeigt, dabei beweist man auch den [[Kathetensatz des Euklid|Kathetensatz]] und die Addition beider Varianten des Kathetensatzes ergibt den Satz des Pythagoras selbst. Diese Herleitung lässt sich anschaulich mit der Ähnlichkeit der Quadrate und der Ähnlichkeit deren angrenzenden Dreiecke erklären. Da deren Fläche proportional zur Fläche der jeweils anliegenden Quadrate ist, repräsentiert die Gleichung


* Edward Bulwer-Lytton: ''The Coming Race'', 1871;
: <math>ADC + BCD = ABC</math>
** Edward Bulwer-Lytton, [[Guenther Wachsmuth]] (Übers.): ''Vril oder eine Menschheit der Zukunft'', Verlag am Goetheanum, Dornach 2010, ISBN 9783723500231
** Edward Bulwer-Lytton: Das kommende Geschlecht. Deutscher Taschenbuch-Verlag, München 1999, ISBN 3-423-12720-1.
* Helene Petrovna Blavatsky, Robert Froebe (Übers.): ''Die Geheimlehre''. Theosophisches Verlagshaus, Leipzig 1899 (vollständige 4-bändige Ausgabe als Reprint bei: Edition 3 Masques, Burgh-Haamstede 1998. ISBN 3-927837-59-8)
* Helene Petrovna Blavatsky: ''Die Geheimlehre'', [http://www.anthrowiki.info/jump.php?url=http://www.anthrowiki.info/ftp/theosophie/Blavatsky_Geheimlehre_I.pdf Band I (PDF, 3,6 Mb)],  [http://www.anthrowiki.info/jump.php?url=http://www.anthrowiki.info/ftp/theosophie/Blavatsky_Geheimlehre_II.pdf Band II (PDF, 4,8 Mb)] und [http://www.anthrowiki.info/jump.php?url=http://www.anthrowiki.info/ftp/theosophie/Blavatsky_Geheimlehre_III.pdf Band III (PDF, 2,6 Mb)]
* William Scott-Elliot: ''The Story of Atlantis'', 1896 [http://www.odysseetheater.com/jump.php?url=http://www.odysseetheater.com/ftp/theosophie/Scott-Elliot_The_Story_of_Atlantis.pdf]
* [[Wikipedia:Nicholas Goodrick-Clarke|Nicholas Goodrick-Clarke]]: ''Die okkulten Wurzeln des Nationalsozialismus''. Wiesbaden: Marix-Verlag, Wiesbaden 2004, ISBN 3-937715-48-7
* Julian Strube: ''Vril: Eine okkulte Urkraft in Theosophie und esoterischem Neonazismus'', Wilhelm Fink, Paderborn/München 2013 ISBN 978-3770555154
* Rudolf Steiner: ''Die okkulten Wahrheiten alter Mythen und Sagen'', [[GA 92]] (1999), ISBN 3-7274-0920-7 {{Vorträge|092}}
* Rudolf Steiner: ''Die Tempellegende und die Goldene Legende '', [[GA 93]] (1991), ISBN 3-7274-0930-4 {{Vorträge|093}}
* Rudolf Steiner: ''Das christliche Mysterium'', [[GA 97]] (1998), ISBN 3-7274-0970-3 {{Vorträge|097}}
* Rudolf Steiner: ''Das esoterische Christentum und die geistige Führung der Menschheit'', [[GA 130]] (1995), ISBN 3-7274-1300-X {{Vorträge|130}}


{{GA}}
den Satz.


== Weblinks ==
[[Kategorie:Geometrie]]


* [https://www.gutenberg.org/ebooks/1951 The Coming Race] auf [https://www.gutenberg.org gutenberg.org] (Englisch)
{{Wikipedia}}
* [http://www.gedankenzirkus.de/buchkritik-das-kommende-geschlecht/ Buchkritik „Das kommende Geschlecht“ von Edward Bulwer-Lytton]
 
== Einzelnachweise ==
<references/>
 
[[Kategorie:Atlantis]] [[Kategorie:Roman]]

Version vom 14. Dezember 2018, 15:52 Uhr

Satz des Pythagoras

Der Satz des Pythagoras ist einer der fundamentalen Sätze der euklidischen Geometrie. Er besagt, dass in allen ebenen rechtwinkligen Dreiecken die Summe der Flächeninhalte der Kathetenquadrate gleich dem Flächeninhalt des Hypotenusenquadrates ist. Sind und die Längen der am rechten Winkel anliegenden Seiten, der Katheten, und die Länge der dem rechten Winkel gegenüberliegenden Seite, der Hypotenuse, dann lautet der Satz als Gleichung ausgedrückt:

Der Satz ist nach Pythagoras von Samos benannt, der als Erster dafür einen mathematischen Beweis gefunden haben soll, was allerdings in der Forschung umstritten ist. Die Aussage des Satzes war schon lange vor der Zeit des Pythagoras in Babylon und Indien bekannt, es gibt jedoch keinen Nachweis dafür, dass man dort auch einen Beweis hatte.

Beweise

Für den Satz sind mehrere hundert verschiedene Beweise bekannt. Der Satz des Pythagoras ist damit der meistbewiesene mathematische Satz. Exemplarisch werden nachfolgend vier geometrische Beweise sowie ein Beweis durch Addition abgeleiteter Volumina vorgestellt. Ein fünfter Beweis aus dem Jahr 1875 von James A. Garfield findet sich unter Beweis des Satzes des Pythagoras nach Garfield, der dem Beweis durch Ergänzung stark ähnelt.

Geometrischer Beweis durch Ergänzung

Positionierung von vier Dreiecken in einem Quadrat mit der Seitenlänge

In ein Quadrat mit der Seitenlänge werden vier gleiche (kongruente) rechtwinklige Dreiecke mit den Seiten , und (Hypotenuse) eingelegt. Dies kann auf zwei Arten geschehen, wie im Diagramm dargestellt ist.

Die Flächen des linken und des rechten Quadrates sind gleich (Seitenlänge ). Das linke besteht aus den vier rechtwinkligen Dreiecken und einem Quadrat mit Seitenlänge , das rechte aus den gleichen Dreiecken sowie einem Quadrat mit Seitenlänge und einem mit Seitenlänge . Die Fläche entspricht also der Summe der Fläche und der Fläche , also

.
Geometrischer Beweis des Satzes des Pythagoras (Animation)

Eine algebraische Lösung ergibt sich aus dem linken Bild. Das große Quadrat hat die Seitenlänge und somit die Fläche . Zieht man von dieser Fläche die vier Dreiecke ab, die jeweils eine Fläche von (also insgesamt ) haben, so bleibt die Fläche übrig. Es ist also

.

Auflösung der Klammer liefert

.

Zieht man nun auf beiden Seiten ab, bleibt der Satz des Pythagoras übrig.

Scherungsbeweis

Zweifache Scherung der Kathetenquadrate und Drehung in das Hypotenusenquadrat

Eine Möglichkeit ist die Scherung der Kathetenquadrate in das Hypotenusenquadrat. Unter Scherung eines Rechtecks versteht man in der Geometrie die Überführung des Rechtecks in ein Parallelogramm unter Beibehaltung der Höhe. Bei der Scherung ist das sich ergebende Parallelogramm zu dem Ausgangsrechteck flächengleich. Über zwei Scherungen können die beiden kleineren Quadrate dann in zwei Rechtecke umgewandelt werden, die zusammen genau in das große Quadrat passen.

Beim exakten Beweis muss dann noch über die Kongruenzsätze im Dreieck nachgewiesen werden, dass die kleinere Seite der sich ergebenden Rechtecke jeweils dem betreffenden Hypotenusenabschnitt entspricht. Wie üblich wurden in der Animation die Höhe mit , die Hypotenusenabschnitte mit und bezeichnet.

Beweis mit Ähnlichkeiten

Ähnlichkeit der Dreiecke , und

Es ist nicht unbedingt notwendig, zum Beweis des Satzes von Pythagoras (explizit) Flächen heranzuziehen. Geometrisch eleganter ist es, Ähnlichkeiten zu verwenden. Sobald man sich durch Berechnung der Winkelsummen im Dreieck überzeugt hat, dass die beiden Winkel im unteren Bild gleich groß sein müssen, sieht man, dass die Dreiecke , und ähnlich sind. Der Beweis des Satzes von Pythagoras ergibt sich dann wie im Bild gezeigt, dabei beweist man auch den Kathetensatz und die Addition beider Varianten des Kathetensatzes ergibt den Satz des Pythagoras selbst. Diese Herleitung lässt sich anschaulich mit der Ähnlichkeit der Quadrate und der Ähnlichkeit deren angrenzenden Dreiecke erklären. Da deren Fläche proportional zur Fläche der jeweils anliegenden Quadrate ist, repräsentiert die Gleichung

den Satz.


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