Aristokratie und Formelsammlung Relativitätstheorie: Unterschied zwischen den Seiten

Aus AnthroWiki
(Unterschied zwischen Seiten)
imported>Joachim Stiller
Keine Bearbeitungszusammenfassung
 
imported>Joachim Stiller
 
Zeile 1: Zeile 1:
'''Aristokratie''' bezeichnet in der [[Wikipedia:Politische Theorie|Politikwissenschaft]] die Herrschaft einer kleinen Gruppe besonders befähigter Individuen, wobei die Art der Befähigung nicht näher bestimmt ist. Die ursprüngliche Wortbedeutung ist „Herrschaft der Besten“ (gr. ''ἀριστοκρατία'', von ''ἄριστος: Bester'' und ''κρατεῖν: herrschen'', im gleichen Sinne lat., wie etwa bei [[Wikipedia:Marcus Tullius Cicero|Cicero]], ''civitas optimatum'', [[Wikipedia:Optimaten|Optimaten]]herrschaft). In der Praxis wurde die Eigenschaft, zu „den Besten“ zu gehören, in aller Regel mit der Zugehörigkeit zu einer [[Wikipedia:Adel|adligen]] Oberschicht gleichgesetzt, weshalb man unter Aristokratie meist die Herrschaft des Adels versteht. In den [[Wikipedia:Geschichtswissenschaft|Geschichtswissenschaft]]en wird der Begriff ''Aristokratie'' auch [[Wikipedia:Synonymie|synonym]] zu ''[[Wikipedia:Adel|Adel]]'' als der Gesamtheit aller Adligen in einem bestimmten geografischen Bereich verwendet.
= SRT (Spezielle Relativitätstheorie) =


Es existierten jedoch auch bürgerlich-aristokratische Systeme der [[Patrizier]] in Städten ([[Städtearistokratie]]) oder [[Klerikalismus|klerikalistische]] ''Priesteraristokratien''. [[Metonymie|Im übertragenen Sinne]] werden die Begriffe ''[[Arbeiteraristokratie]]'' und ''[[Geldaristokratie]]'' verwendet.
== Gebräuchliche Abkürzungen ==


== Etymologie und Definition ==
Geschwindigkeit ''v'' relativ zur Lichtgeschwindigkeit ''c'':
Das Wort Aristokratie gelangte über das [[spätlatein]]ische ''aristocratia'' erst im 16. Jahrhundert in die deutsche Sprache, wo es in staatstheoretischen Schriften verwendet wurde. Seit dem 17. Jahrhundert wird damit auch die Gesamtheit des Adels bezeichnet. Seitdem kann das davon abgeleitete Adjektiv ''aristokratisch'' neben „die Aristokratie betreffend“, auch „vornehm“ oder „edel“ in bezug auf Gesinnung und Wesen bedeuten.<ref>[http://www.dwds.de/?qu=Aristokratie&submit_button=Suche&view=1 ''Digitales Wörterbuch der deutschen Sprache des 20. Jahrhunderts'']</ref>


Aristokratie bedeutet demnach:
:<math>\beta := \frac {v} {c} = \tanh \theta.</math>
* in der klassischen [[Verfassungskreislauf|Verfassungstypenlehre]] des [[Aristoteles]] die ''Herrschaft der Besten'' der Tugend oder der Tüchtigkeit. Im Gegensatz dazu steht nach Aristoteles die [[Oligarchie]] (wörtlich: ''Herrschaft Weniger'') die Machtausübung durch eine Minderheit, die die Macht an sich gerissen hat und den eigenen Vorteil sucht. (Die [[Antikes Griechenland|griechischen]] Aristokraten verbanden diese Eigenschaft mit dem Anspruch auf heroische oder göttliche Abstammung, die [[Römisches Reich|römischen]] Aristokraten eher mit politischem Erfolg.)
* eine [[Herrschaftsform]], in der der [[Adel]] (auch im Rahmen eines [[Senat]]s als ''Senatsaristokratie'') oder eine andere Oberschicht wie das [[Bürgertum]] in der ''Städtearistokratie'' oder [[Priester]] in der Priesteraristokratie die Macht ausüben. Hier sind die „Besten“ in der Regel die durch ihre Herkunft oder durch ihre obrigkeitliche Einsetzung in Ämter Berechtigten.
* in der [[Neuzeit]] eine Bezeichnung für die Angehörigen des Adels<ref>Erich Bayer: ''Wörterbuch zur Geschichte. Begriffe und Fachausdrücke''. 4. überarbeitete Auflage, Alfred Kröner, Stuttgart 1980, S. 34.</ref> (im Zusammenhang mit der [[Französische Revolution|Französischen Revolution]] der [[Zweiter Stand|zweite Stand]]), in Abgrenzung zu [[Klerus]] ([[erster Stand]]) und [[Bürgertum]] ([[dritter Stand]]).


== Historische Theoriebildung ==
Lorentzfaktor:
Die Aristokratie bei [[Platon]] (427–347 v. Chr.) ist die am [[Gemeinwohl]] orientierte idealtypische Herrschaft der Besten. Diese Idee wurde zunächst von seinem Schüler [[Aristoteles]] (384–324 v. Chr.) und später vom griechischen Historiker [[Polybios]] (um 200 v. Chr. bis etwa 118 v. Chr.) weiterentwickelt. Sie fällt wie die [[Oligarchie]] unter die Herrschaft der wenigen, wobei die Oligarchie als die am Eigennutz ''weniger'' ausgerichtete Herrschaftsform definiert ist.<ref>Platon, ''Politikos'', 291c–303d.</ref>


Grundsätzlich bestand in der antiken Staatstheorie die Idee, dass jede am Gemeinwohl orientierte Herrschaftsform (''Monarchie'' bzw. ''Basileia'', ''Aristokratie'', ''Politie'' bzw. ''Demokratie'') ein entartetes, nur an den Interessen der Herrschenden orientiertes Gegenstück hat (''Tyrannis'', ''Oligarchie'', ''Demokratie'' bzw. ''Ochlokratie''). Dieser [[Verfassungskreislauf]] ist aus der Beobachtung und Analyse der Politik antiker griechischer [[Polis|Stadtstaaten]] abstrahiert. Empirisch haben die Autoren dagegen vor allem Mischformen gefunden.<ref>[[Wilfried Nippel]]: ''Politische Theorien der griechisch-römischen Antike.'' In: [[Hans-Joachim Lieber]] (Hrsg.): ''Politische Theorien von der Antike bis zur Gegenwart.'' Bundeszentrale für politische Bildung, Bonn 1993, S. 29 ff. und 39 ff.</ref>
:<math>\gamma := \frac {1}{\sqrt{1-\beta^2}} = \frac {1}{\sqrt{1- v^2 / c^2 }} = \cosh \theta</math>
mit <math>v:=|\vec v|</math>.


=== Grundformen der Verfassungen (nach Polybios) ===
Addition von Lorentzfaktoren:
{| class="wikitable float-right"
 
| '''''Anzahl der<br />Herrscher''''' || '''Gemeinwohl''' || '''Eigennutz'''
:<math>\gamma_\Sigma = \cosh ( \operatorname{arcosh} \gamma_1 + \operatorname{arcosh} \gamma_2 ) </math>
 
Rapidität:
 
:<math>\theta := \operatorname{artanh} \beta = \frac{1}{2}\cdot \ln\left( \frac {c+v} {c-v} \right).</math>
 
Beachte auch:
:<math>\gamma \cdot \beta=\sinh\theta.</math>
 
== Galilei-Transformation ==
 
Die Galileitransformation unterstellt eine unbegrenzte Lichtgeschwindigkeit und ist daher nur für Relativgeschwindigkeiten ''|v|'' < 0,1 ''c'' eine gute Näherung. Da ''v''' = -''v'':
 
{| class="wikitable"
! Galilei-Tranformation in <math>x</math>-Richtung
! Inverse Galilei-Transformation
|-
|-
| '''''Einer''''' || [[Monarchie]] || [[Tyrannis]]
|
 
:<math> t' = t </math>
 
:<math> x' = x - v \cdot t </math>
 
:<math> y' = y </math>
 
:<math> z' = z </math>
 
|
 
:<math> t = t' </math>
 
:<math> x = x' + v \cdot t' </math>
 
:<math> y = y' </math>
 
:<math> z = z' </math>
 
|}
 
== Lorentz-Transformation ==
 
{| class="wikitable"
! Lorentz-Transformation in <math>x</math>-Richtung
! Inverse Lorentz-Transformation
|-
|-
| '''''Einige''''' || Aristokratie || [[Oligarchie]]
|
:<math> t' = \left( t - \frac {v} {c^2} \cdot x \right) \cdot \gamma</math>
:<math> x' = \left(x - v \cdot t\right) \cdot\gamma</math>
:<math> y' = y </math>
:<math> z' = z </math>
|
:<math> t = \left( t' + \frac {v} {c^2} \cdot x' \right) \cdot \gamma</math>
:<math> x = \left(x' + v \cdot t'\right) \cdot \gamma</math>
:<math> y = y' </math>
:<math> z = z' </math>
|}
 
== Zeitdilatation ==
 
Für die Zeitdilatation eines bewegten Körpers ergibt sich die Eigenzeit <math>\tau</math> als Ablesung zwischen zwei Ortszeiten <math>\tau_o</math> im gemessenen Zeitabstand <math>t = \Delta t_o</math>:
 
:<math>\tau = \Delta \tau_o = t \cdot \sqrt{1 - v^2 / c^2} </math>
:<math>t = \Delta t_o = \frac {\tau} {\sqrt{1 - v^2 / c^2}} </math>
 
== Längenkontraktion ==
 
Die Längenkontraktion wirkt sich ausschließlich in Richtung der radialen Relativbewegung zum Beobachter aus.
Für die Längenkontraktion (Eigenlänge) eines bewegten Körpers ergibt sich:
 
:<math> L' = L_0 \cdot \sqrt{1 - v^2 / c^2} </math>
 
== Rot-/Blauverschiebung ==
 
Die Frequenzänderung setzt sich aus Zeitdilatation und Dopplerfaktor zusammen. Der Effekt des Dopplerfaktors überwiegt dabei.
 
:<math>k = f / f' = k_\gamma \cdot k_{dop} </math>
:mit ''f'' beobachtete Frequenz und ''f''' Originalfrequenz
 
Die Zeitdilatation bewirkt immer eine leichte Rotverschiebung und ist von der Richtung der Bewegung unabhängig.
 
:<math>k_\gamma := 1 / \gamma = \sqrt{1-\beta^2} </math>
 
Der Dopplereffekt ist allein von der radialen Relativbewegung abhängig und richtungsabhängig (vorzeichenbehaftet):
 
:<math> k_{dop} := 1/(1+\beta_{rad})</math>
 
Bei Annäherung zum Beobachter (''v < 0'') ergibt der Dopplereffekt eine Blauverschiebung:
 
:<math> k_{blue} = 1/(1-|\beta_{rad}|) = 1/(1-|v_{rad}|/c) </math> insgeamt also <math> k = \frac {\sqrt{1-\beta^2}} {1-|\beta_{rad}|} </math>
 
Bei Entfernung vom Beobachter (''v > 0'') ergibt der Dopplereffekt eine Rotverschiebung:
 
:<math> k_{red} = 1/(1+\beta_{rad}) = 1 / (1+v_{rad}/c) </math> insgeamt also <math> k = \frac {\sqrt{1-\beta^2}} {1+\beta_{rad}} </math>
 
Der z-Faktor ergibt sich aus
 
:<math>z := k-1</math>
 
== Kinematik ==
=== Geschwindigkeit ===
'''Definition.''' Vierergeschwindigkeit:
:<math>u^\mu := \frac{\mathrm dx^\mu}{\mathrm d\tau} = \gamma \frac{\mathrm dx^\mu}{\mathrm dt}.</math>
Es gilt:
:<math>(u^\mu) = \gamma\cdot\begin{pmatrix} c\\ \vec v\end{pmatrix}.</math>
Die Minkowski-Norm der Vierergeschwindigkeit ist konstant:
:<math>c^2 = \|(u^\mu)\|^2 = \sum_{\mu} u^\mu u_\mu.</math>
 
=== Beschleunigung ===
'''Definition.''' Viererbeschleunigung:
:<math>a^\mu := \frac{\mathrm du^\mu}{\mathrm d\tau} = \gamma \frac{\mathrm du^\mu}{\mathrm dt}.</math>
Ableitung des Lorentzfaktors:
:<math>\frac{\mathrm d\gamma}{\mathrm dt} = \frac{\gamma^3}{c^2}\langle \vec v,\vec a\rangle.</math>
Es gilt:
 
:<math>(a^\mu) = \frac{\gamma^4}{c^2}\langle\vec v,\vec a\rangle\begin{pmatrix}c\\ \vec v\end{pmatrix} + \gamma^2\begin{pmatrix}0\\ \vec a\end{pmatrix}.</math>
 
=== Klassische Addition der Geschwindigkeiten ===
 
Für die klassische Addition zweier Relativgeschwindigkeiten ergibt sich:
 
:<math> v_{ges} = v_1 + v_2 </math>
 
=== Relativistische Addition der Geschwindigkeiten ===
 
Für die relativistische Addition zweier Relativgeschwindigkeiten ergibt sich:
 
:<math> v_{ges} = \dfrac { v_1 + v_2}{1 + \dfrac {v_1 \cdot v_2}{c^2 }} = c \cdot \tanh (\theta_1 + \theta_2 \dots ) = c \cdot \tanh (\operatorname{artanh} (v_1/c) + \operatorname{artanh} (v_2/c) \dots )</math>
 
== Dynamik ==
=== Impuls ===
 
Für den relativistischen Impuls ergibt sich:
 
:<math>\vec p = \gamma m_0 \vec v.</math>
 
'''Definition.''' Viererimpuls:
 
:<math>p^\mu := m_0u^\mu.</math>
 
Es gilt:
 
:<math>(p^\mu) = \begin{pmatrix} E/c\\ \vec p\end{pmatrix} =\begin{pmatrix} \gamma m_0 c\\ \gamma m_0 \vec v\end{pmatrix} </math>
 
und:
 
:<math>\|(p^\mu)\|^2 = m_0^2 c^2.</math>
 
'''Energie-Impuls-Beziehung:'''
 
:<math>(E/c)^2 - |\vec p|^2 = m_0^2 c^2.</math>
 
Formulierung als „relativistischer Pythagoras“:
 
:<math>E^2 = (m_0 c^2)^2 + (c|\vec p|)^2.</math>
 
=== Kraft ===
'''Definition.''' Viererkraft:
 
:<math>K^\mu := \frac{\mathrm dp^\mu}{\mathrm d\tau} = \gamma\frac{\mathrm dp^\mu}{\mathrm dt}.</math>
 
Es gilt:
 
:<math>K^\mu = m_0a^\mu.</math>
 
Mit
 
:<math>\vec F:=\frac{\mathrm d\vec p}{\mathrm dt} = \gamma^3 m_0\frac{\vec v}{c^2}\langle\vec v,\vec a\rangle + \gamma m_0\vec a</math>
 
gilt:
 
:<math>(K^\mu) = \begin{pmatrix} K^0\\ \gamma \vec F \end{pmatrix}.</math>
 
=== Relativistische Masse ===
 
Relativistische Masse (veralteter Begriff und sollte grundsätzlich nicht verwendet werden):
:<math>M(v) = \gamma(v)\cdot m_0.</math>
::<math>\gamma(v)\colon</math> Lorentzfaktor in Abhängigkeit von der Geschwindigkeit,
::<math>m_0\colon</math> Ruhemasse.
 
=== Energie ===
 
Einsteins Energieformel:
 
:<math>E = M(v)\cdot c^2 = \gamma(v)\cdot m_0\cdot c^2.</math>
 
::<math>E\colon</math> Gesamtenergie (Ruheenergie+kinetische Energie),
 
::<math>M(v)\colon</math> relativistische Masse in Abhängigkeit von der Geschwindigkeit,
 
::<math>m_0\colon</math> Ruhemasse.
 
Ruheenergie:
 
:<math>E_0 := m_0c^2.</math>
 
Kinetische Energie:
 
:<math>E_\mathrm{kin} = E-E_0 = \gamma m_0c^2-m_0c^2 = (\gamma-1) m_0c^2.</math>
 
== Vierer-Formalismus ==
 
In der Literatur gibt es zwei unterschiedliche Konventionen bei der Signatur (- + + +) und (+ - - -). Beide Konventionen sind gleichwertig. Hier wird die zweite Variante dargestellt:
 
{| class="wikitable"
! colspan="3" | Vierervektor
|-
|-
| '''''Alle''''' || [[Demokratie]] || [[Ochlokratie]]
| colspan="3" |
 
:<math>x=\sum_{\mu=0}^3 x^{\mu}e_\mu = \sum_{\mu=0}^3 x_{\mu}e^{\mu}</math>
 
|-
|
 
<math>\eta_{\mu\nu} = \langle e_{\mu},e_{\nu}\rangle</math>
 
|
 
<math>\eta^{\mu\nu} = \langle e^{\mu},e^{\nu}\rangle</math>
 
|
 
<math>\langle e^{\mu},e_{\nu}\rangle = \delta_{\mu\nu}</math>
 
|-
|
 
<math>x_{\mu} = \sum_{\mu,\nu}\eta_{\mu\nu} x^{\nu}</math>
 
|
 
<math>x^{\mu} = \sum_{\mu,\nu}\eta^{\mu\nu} x_{\nu}</math>
 
|
|}
 
{| class="wikitable"
! Kontravariante Koordinaten
! Kovariante Koordinaten
|-
|
 
:<math>(x^\mu):=\begin{pmatrix}ct\\ x\\ y\\ z\end{pmatrix}</math>
|
 
:<math>(x_\mu):=(ct, -x, -y, -z)</math>
 
|}
|}


Aus der Erkenntnis heraus, dass diese sechs Grundformen der Verfassungen notwendigerweise instabil sind, hat vor allem Polybios die Idee des [[Verfassungskreislauf]]s entwickelt, die diese Herrschaftsformen zueinander in Beziehung setzt.<ref>Polybios 1,1,6,3-10.</ref>
Darstellungsmatrix des (pseudo)-metrischen (Minkowski)-Tensors:
Fast alle heute in Europa anzutreffenden demokratischen Regierungsformen basieren auf landesspezifischen aristokratischen Vorläufermodellen, bei denen Adel, wohlhabendes Bürgertum oder Kirchenvertreter ein Mitbestimmungsrecht bei der Steuererhebung, Fragen der [[Gewaltenteilung]] oder Herrscherwahl hatten. Der Übergang von aristokratischen zu demokratischen Regierungsformen vollzog sich meist in der Form, dass zunächst allen [[Bürger]]n ein [[Wahlrecht]] zugestanden wurde, später dann Unterschiede in der Stimmgewichtung ([[Zensuswahlrecht]]), oder Ausschlüsse von [[Bürgerrecht]]en für einzelne Bevölkerungsgruppen ([[Sklavenbefreiung|Sklaven]], [[Frauenwahlrecht|Frauen]], [[Minderheitenschutz|Angehörige ethnischer, sprachlicher oder religiöser Minoritäten]]) aufgehoben wurden.
 
:<math>\eta = (\eta_{\mu\nu}) =\begin{pmatrix} 1 &  0 &  0 &  0\\ 0 & -1 &  0 &  0\\ 0 &  0 & -1 &  0\\ 0 &  0 &  0 & -1 \end{pmatrix}.</math>
 
Es gilt <math>\eta^{-1}=\eta</math> bzw. <math>\eta^{\mu\nu}=\eta_{\mu\nu}</math>.
 
Minkowski-Skalarprodukt:
 
:<math>\begin{align} &\langle x,y\rangle := \eta(x,y) = x^T\eta\,y = \sum_{\mu,\nu}\eta_{\mu\nu} x^\mu y^\nu\\ &= \sum_{\mu} \eta_{\mu\mu}x^{\mu}y^{\mu} = x^0 y^0 - x^1 y^1 - x^2 y^2 - x^3 y^3\\ &= \sum_{\mu} x^{\mu}y_{\mu} = x^0 y_0 + x^1 y_1 + x^2 y_2 + x^3 y_3\\ &= \sum_{\mu} x_{\mu}y^{\mu} = x_0 y^0 + x_1 y^1 + x_2 y^2 + x_3 y^3. \end{align}</math>
 
In der Einsteinkonvention wird das Summenzeichen nicht geschrieben und immer über gleiche Indexvariablen summiert.
 
Das Minkowski-Skalarprodukt ist nicht positiv definit und daher kein echtes Skalarprodukt.
 
Quadratische Form:
 
:<math>q(x) := \langle x,x\rangle = (ct)^2-x^2-y^2-z^2.</math>
 
Ein Viererort <math>x</math> (auch Ereignis genannt) heißt
 
* zeitartig, wenn <math>q(x)>0</math>
 
* raumartig, wenn <math>q(x)<0</math>
 
* lichtartig, wenn <math>q(x)=0</math>
 
Minkowski-Norm:
 
:<math>\|x\| := \sqrt{|q(x)|} = \sqrt{|(ct)^2-x^2-y^2-z^2|}</math>
 
Die Minkowski-Norm ist keine echte Norm im Sinne eines normierten Raumes.
 
Minkowski-Metrik:
 
:<math>d(x_1,x_2) := \|x_1-x_2\| = \sqrt{|q(x_1-x_2)|}</math>
 
mit <math>q(x_1-x_2)=(ct_1-ct_2)^2-(x_1-x_2)^2-(y_1-y_2)^2-(z_1-z_2)^2</math>.
 
Die Minkowski-Metrik ist keine echte Metrik im Sinne eines metrischen Raumes.
 
Linienelement:
:<math>c^2\mathrm d\tau^2 = \mathrm ds^2 = c^2\mathrm dt^2-\mathrm dx^2-\mathrm dy^2-\mathrm dz^2</math>
Man kann die beiden Signaturen auch gezielt zur unterschiedlichen Darstellung raumartiger und zeitartiger Abstände verwenden:
 
:<math>\mathrm ds^2 = -c^2\mathrm dt^2 +\mathrm dx^2 +\mathrm dy^2 +\mathrm dz^2</math>
:<math>\mathrm d\tau^2 = \mathrm dt^2-\mathrm dx^2/c^2-\mathrm dy^2/c^2-\mathrm dz^2/c^2</math>
 
== Isometriegruppen ==
'''Definition.''' Eine Raumzeit-Isometrie ist eine Funktion <math>f</math>, die einem
Ereignis <math>x=(ct,x,y,z)^T</math> der Raumzeit ein anderes Ereignis <math>f(x)=(ct',x',y',z')^T</math>
zuordnet, so dass gilt:
:<math>\forall x,y\in\R^4\colon\, q(f(x)-f(y)) = q(x-y),</math>
wobei <math>q(x):=(ct)^2-x^2-y^2-z^2</math> die quadratische Form ist.
 
=== Gruppe der Translationen ===
Gruppe der Translationen:
:<math>T:=\{T\mid T(x)=x+a,\, T\colon\mathbb R^4\to\mathbb R^4,\, a\in\mathbb R^4\}.</math>
 
=== Gruppe der Rotationen ===
Rotationsmatrizen:
 
:<math>R = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & r_{11} & r_{12} & r_{13}\\ 0 & r_{21} & r_{22} & r_{23}\\ 0 & r_{31} & r_{32} & r_{33} \end{pmatrix},\quad (r_{ij})\in\mathrm{SO}(3).</math>
 
Die Gruppe aller Rotationsmatrizen <math>R</math> ist trivial isomorph zur <math>\mathrm{SO}(3)</math> und wird zur Unterscheidung als <math>\mathrm{SO}(3)(4\times 4)</math> notiert.
 
Die <math>\mathrm{SO}(3)(4\times 4)</math> ist eine Untergruppe der Lorentz-Gruppe.
 
=== Lorentz-Gruppe ===
 
Lorentz-Gruppe:
:<math>O(1,3) := \{\Lambda\in\mathbb R^{4\times 4}\mid \forall x,y\in\mathbb R^4\colon \langle\Lambda x,\Lambda y\rangle = \langle x,y\rangle\}.</math>
Die Lorentz-Gruppe ist die Gruppe aller Lorentz-Transformationen.
 
Die Lorentz-Transformationen sind Isometrien:
:<math>\forall \Lambda\in O(1,3)\colon\;q(\Lambda x-\Lambda y)=q(x-y)</math>.
 
Aus der Definition folgt <math>q(x')=q(x)</math> mit <math>x':=\Lambda x</math>. Ausgeschrieben:
:<math>c^2 \cdot t'^2 - x'^2 - y'^2 - z'^2 =  c^2 \cdot t^2 - x^2 - y^2 - z^2</math>
bzw.
:<math>x'^2 + y'^2 + z'^2 - c^2 \cdot t'^2 = x^2 + y^2 + z^2 - c^2 \cdot t^2</math>
bzw. (unter Verwendung der imaginären Einheit)
:<math>x'^2 + y'^2 + z'^2 + \mathrm i^2 \cdot c^2 \cdot t'^2 = x^2 + y^2 + z^2 + \mathrm i^2 \cdot c^2 \cdot t^2.</math>
 
=== Poincaré-Gruppe ===
Affine Abbildungen:
 
:<math> T(x)=\Lambda x+a,\; T\colon \mathbb R^4\to\mathbb R^4,\;a\in\mathbb R^4,\; \Lambda\in\mathbb R^{4\times 4}.</math>
 
Poincaré-Gruppe:
 
:<math>E(1,3):=\{T\mid T\;\text{ist affin und}\; \forall x,y\in\mathbb R^4\colon\; q(T(x)-T(y))=q(x-y)\}.</math>
 
Die Lorentz-Gruppe ist eine Untergruppe der Poincaré-Gruppe, genauer: der Stabilisator bei <math>x=0</math>.
Das sind alle Poincaré-Transformationen mit <math>a=0</math>. Die Gruppe der Translationen ist eine Untergruppe der Poincaré-Gruppe und besteht aus allen Poincaré-Transformationen mit <math>\Lambda=0</math>.
 
= ART (Allgemeine Relativitätstheorie) =
 
Die folgenden Formeln gelten gegenüber dem Beobachter im Unendlichen, ohne eigene gravitative Raumkrümmung. Während die relativistischen Wirkungen bei der SRT relativ sind, also für jeden Beobachter aus seiner Sicht zu berechnen sind, sind sich die Beobachter über die relativen Wirkungen der ART einig.
 
Dem Lorentzfaktor der SRT vergleichbar erscheint in der ART der Faktor:
 
:<math>\gamma_G = \frac {1} {\sqrt {1 - \dfrac {2 \cdot G \cdot M} {r \cdot c^2} }} = \frac {1} {\sqrt {1 - \dfrac {r_S} {r} } }  = \frac {1} {\sqrt {1 + \dfrac {2 \cdot \Phi} {c^2} } }  = \frac {1} {\sqrt {1 - \dfrac {v_f^2} {c^2} } }  = \frac {1} {\sqrt {1 - \dfrac {2 \cdot v_o^2} {c^2} } }  = \frac {1} {\sqrt {1 + \dfrac {2 \cdot g \cdot r} {c^2} } } </math>
:*<math>M = \text{Zentralmasse} </math> mit SI-Einheit '''kg'''
:*<math> c = \text {Lichtgeschwindigkeit im flachen Vakuum}</math> mit SI-Einheit <math>2,99792458 \cdot 10^{8}</math> '''m/s'''
:*<math>G = \text{Gravitationskonstante} </math> mit SI-Einheit <math>6,67408 \cdot 10^{-11}</math> '''m³/s²kg'''
:*<math>r = \text{Abstand vom Gravizentrum} </math> mit SI-Einheit '''m'''
:*<math>r_S = 2 \cdot G \cdot M/c^2 = \text{Schwarzschildradius} </math> mit SI-Einheit '''m'''
:*<math>\Phi = -G \cdot M/r = \text{Gravitationspotential} \, < 0 </math> mit SI-Einheit '''m²/s²'''
:*<math>g = -G \cdot M/r^2 = \text{Gravitationsbeschleunigung} \, < 0 </math> mit SI-Einheit '''m/s²'''
:*<math>v_f = c\sqrt{r_S/r} = \text{Fluchtgeschwindigkeit (klassisch)} </math> mit SI-Einheit '''m/s'''
:*<math>v_o = c\sqrt{r_S/2r} = \text{Orbitalgeschwindigkeit (klassisch)} </math> mit SI-Einheit '''m/s'''
 
== Gravitations-Zeitdilatation (Näherung) ==
 
Für die Gravitations-Zeitdilatation ergibt sich folgende Näherung:
 
:<math> \Delta \tau_o =  {\Delta t_\infty} \cdot {\sqrt {1 - \dfrac {2 \cdot G \cdot M} {r \cdot c^2} }} = {\Delta t_\infty} \cdot {\sqrt {1 - \dfrac {r_S} {r} }}</math>
 
:<math> \Delta t_\infty = \frac {\Delta \tau_0} {\sqrt {1 - \dfrac {2 \cdot G \cdot M} {r_1 \cdot c^2} }} = \frac {\Delta \tau_0} {\sqrt {1 - \dfrac {r_S} {r_2} }}</math>
:*<math> t_\infty = \text{Koordinatenzeit} </math>
:*<math> \tau_o = \text{Ortszeit beim Radius} \, r</math>
 
== Gravitations-Längenkontraktion (Näherung)==
 
Die Längenkontraktion wirkt sich ausschließlich in radialer Richtung zum Gravitationsfeld aus.
Für die Gravitations-Längenkontaktion ergibt sich folgende Näherung:
 
:<math> L_0 =  {L_\infty} \cdot {\sqrt {1 - \dfrac {2 \cdot G \cdot M} {r \cdot c^2} }} =  {L_\infty} \cdot {\sqrt {1 - \dfrac {r_S} {r} }}</math>
 
:<math> L_\infty = \frac {L_0} {\sqrt {1 - \dfrac {2 \cdot G \cdot M} {r \cdot c^2} }} = \frac {L_0} {\sqrt {1 - \dfrac {r_S} {r} }}</math>
 
:*<math> t_\infty = \text{Koordinatenzeit} </math>
:*<math> \tau_o = \text{Ortszeit beim Radius} \, r</math>
 
== Gravitations-Blauverschiebung (Näherung)==
 
Für die Gravitations-Blauverschiebung (einfallende Wellen) ergibt sich folgende Näherung für die Verkleinerung der Wellenlänge:
 
:<math> \lambda' = \lambda_\infty \cdot \sqrt {1 - \dfrac {2 \cdot G \cdot M} {r \cdot c^2} } = \lambda_\infty \cdot \sqrt {1 - \dfrac {r_S} {r} }</math>
 
und Frequenz:
 
:<math> f' = f_\infty \cdot \frac {1} {\sqrt {1 - \dfrac {2 \cdot G \cdot M} {r \cdot c^2} } } = f_\infty \cdot \frac {1} {\sqrt {1 - \dfrac {r_S} {r} } }</math>
 
== Gravitations-Rotverschiebung (Näherung)==
 
Für die Gravitations-Rotverschiebung (abgestrahlte Wellen) ergibt sich folgende Näherung für die Vergrößerung der Wellenlänge:
 
:<math>\lambda_\infty = \lambda_0 \cdot \dfrac {1}{\sqrt {1 - \dfrac {2 \cdot G \cdot M} {r_1 \cdot c^2} } } = \lambda_0 \cdot \dfrac {1}{\sqrt {1 - \dfrac {r_S} {r_2} } }</math>
 
und für die Frequenz:
 
:<math>f_\infty = f_0 \cdot {\sqrt {1 - \dfrac {2 \cdot G \cdot M} {r_1 \cdot c^2} } } = f_0 \cdot {\sqrt {1 - \dfrac {r_S} {r_2} } }</math>
 
== Gravitationslinsen und Lichtablenkung im Schwerefeld ==
 
Der Ablenkwinkel (Einsteinwinkel) des Lichtes im Schwerefeld berechnet sich:
 
:<math> \alpha \approx \frac {4 \cdot G \cdot M}{r \cdot c^2} = 2 \cdot \frac {r_S}{r} </math>
 
== Schwarzschildradius ==
 
Für den Schwarzschildradius (Ereignishorizont von nicht rotierenden ungeladenen Schwarzen Löchern nach Schwarzschild) ergibt sich:
 
:<math> r_S = \frac { 2 \cdot G \cdot M}{c^2} </math>


== Siehe auch ==
== Gravitationsradius ==


* {{WikipediaDE|Aristokratie}}
Für den Gravitationsradius (Ereignishorizont von maximal rotierenden ungeladenen Schwarzen Löchern nach Kerr) ergibt sich:


== Literatur ==
:<math> r_G = \frac {r_S}{2} = \frac {G \cdot M}{c^2} </math>
* Helene Walterskirchen: ''Aristokraten. Leben zwischen Tradition und Moderne''. Ueberreuter, Wien 2000, ISBN 3-8000-3778-5.
 
== Gravitationsgesetz der Allgemeinen Relativitätstheorie ==
 
Das Gravitationsgesetz der Allgemeinen Relativitätstheorie lautet:
 
:<math> G_{\mu \nu} = \kappa \cdot T_{\mu \nu} = R_{\mu \nu} - g_{\mu \nu} \cdot \frac {R}{2} </math>
 
mit:
 
:*<math> G_{\mu \nu} = \text {Einsteinscher Tensor} </math> mit SI-Einheit '''1/m²'''
:*<math> T_{\mu \nu} = \text {Energie-Impuls-Tensor} </math> mit SI-Einheit '''J/m³'''
:*<math> R_{\mu \nu} = \text {Ricci-Tensor} </math> mit SI-Einheit '''1/m²'''
:*<math> g_{\mu \nu} = \text {(allgemeiner) metrischer Tensor} </math> mit SI-Einheit '''1'''
:*<math> R = g^{\mu \nu} R_{\mu \nu} = \text {Ricci-Skalar} </math> mit SI-Einheit '''1/m²'''
:*<math> \mu , \nu = \text {Indizes (0, 1, 2, 3)}</math>
:*<math>\kappa := \frac{8 \pi G}{c^4} = \text {Einsteinkonstante} </math> mit SI-Einheit <math>2,07650 \cdot 10^{-43}</math> '''1/N'''
:*<math> G = \text {Gravitationskonstante} </math> mit SI-Einheit <math>6,67408 \cdot 10^{-11}</math> '''m³/s²kg'''
:*<math> c = \text {Lichtgeschwindigkeit im flachen Vakuum}</math> mit SI-Einheit <math>2,99792458 \cdot 10^{8}</math> '''m/s'''
:*<math> \pi = \text {Kreiszahl}</math>
 
= Anhang =


== Weblinks ==
== Weblinks ==
{{Wikiquote}}
{{Wiktionary}}
* [https://www.youtube.com/watch?v=YbPsNE_Zm-Q&list=PLLDsGZDNnTvBr60lqaUe7pCVy8grm7rvR Dietmar Hübner:Einführung in die Politische Philosophie] Gesamtvorlesung an der Leibniz-Universität Hannover
== Einzelnachweise ==
<references />


{{Normdaten|TYP=s|GND=4130286-2}}
* [http://www.formel-sammlung.de/formel-Grundlagen-3-34-196.html Formelsammlung Relativitätstheorie auf Formel-Sammlung.de]


[[Kategorie:Staatsform]]
== Quelle ==
[[Kategorie:Herrschaftsform]]
* Diese Formelsammlung ist entnommen dem Wikibook [https://de.wikibooks.org/wiki/Formelsammlung_Physik:_Relativit%C3%A4tstheorie Formelsammlung Relativitätstheorie] und unterliegt eine strengen Lizenz. Die Liste der Autoren ist in der [https://de.wikibooks.org/w/index.php?title=Formelsammlung_Physik:_Relativit%C3%A4tstheorie&action=history Versionsgeschichte] einsehbar.


{{Wikipedia}}
[[Kategorie:Neue Relativitätstheorie]]
[[Kategorie:Formelsammlung Physik]]
[[Kategorie:Relativitätstheorie]]

Version vom 27. Dezember 2020, 17:12 Uhr

SRT (Spezielle Relativitätstheorie)

Gebräuchliche Abkürzungen

Geschwindigkeit v relativ zur Lichtgeschwindigkeit c:

Lorentzfaktor:

mit .

Addition von Lorentzfaktoren:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \gamma_\Sigma = \cosh ( \operatorname{arcosh} \gamma_1 + \operatorname{arcosh} \gamma_2 ) }

Rapidität:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \theta := \operatorname{artanh} \beta = \frac{1}{2}\cdot \ln\left( \frac {c+v} {c-v} \right).}

Beachte auch:

Galilei-Transformation

Die Galileitransformation unterstellt eine unbegrenzte Lichtgeschwindigkeit und ist daher nur für Relativgeschwindigkeiten |v| < 0,1 c eine gute Näherung. Da v' = -v:

Galilei-Tranformation in -Richtung Inverse Galilei-Transformation
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x = x' + v \cdot t' }

Lorentz-Transformation

Lorentz-Transformation in -Richtung Inverse Lorentz-Transformation
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle z' = z }
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle t = \left( t' + \frac {v} {c^2} \cdot x' \right) \cdot \gamma}

Zeitdilatation

Für die Zeitdilatation eines bewegten Körpers ergibt sich die Eigenzeit als Ablesung zwischen zwei Ortszeiten im gemessenen Zeitabstand :

Längenkontraktion

Die Längenkontraktion wirkt sich ausschließlich in Richtung der radialen Relativbewegung zum Beobachter aus. Für die Längenkontraktion (Eigenlänge) eines bewegten Körpers ergibt sich:

Rot-/Blauverschiebung

Die Frequenzänderung setzt sich aus Zeitdilatation und Dopplerfaktor zusammen. Der Effekt des Dopplerfaktors überwiegt dabei.

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle k = f / f' = k_\gamma \cdot k_{dop} }
mit f beobachtete Frequenz und f' Originalfrequenz

Die Zeitdilatation bewirkt immer eine leichte Rotverschiebung und ist von der Richtung der Bewegung unabhängig.

Der Dopplereffekt ist allein von der radialen Relativbewegung abhängig und richtungsabhängig (vorzeichenbehaftet):

Bei Annäherung zum Beobachter (v < 0) ergibt der Dopplereffekt eine Blauverschiebung:

insgeamt also

Bei Entfernung vom Beobachter (v > 0) ergibt der Dopplereffekt eine Rotverschiebung:

insgeamt also Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle k = \frac {\sqrt{1-\beta^2}} {1+\beta_{rad}} }

Der z-Faktor ergibt sich aus

Kinematik

Geschwindigkeit

Definition. Vierergeschwindigkeit:

Es gilt:

Die Minkowski-Norm der Vierergeschwindigkeit ist konstant:

Beschleunigung

Definition. Viererbeschleunigung:

Ableitung des Lorentzfaktors:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \frac{\mathrm d\gamma}{\mathrm dt} = \frac{\gamma^3}{c^2}\langle \vec v,\vec a\rangle.}

Es gilt:

Klassische Addition der Geschwindigkeiten

Für die klassische Addition zweier Relativgeschwindigkeiten ergibt sich:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle v_{ges} = v_1 + v_2 }

Relativistische Addition der Geschwindigkeiten

Für die relativistische Addition zweier Relativgeschwindigkeiten ergibt sich:

Dynamik

Impuls

Für den relativistischen Impuls ergibt sich:

Definition. Viererimpuls:

Es gilt:

und:

Energie-Impuls-Beziehung:

Formulierung als „relativistischer Pythagoras“:

Kraft

Definition. Viererkraft:

Es gilt:

Mit

gilt:

Relativistische Masse

Relativistische Masse (veralteter Begriff und sollte grundsätzlich nicht verwendet werden):

Lorentzfaktor in Abhängigkeit von der Geschwindigkeit,
Ruhemasse.

Energie

Einsteins Energieformel:

Gesamtenergie (Ruheenergie+kinetische Energie),
relativistische Masse in Abhängigkeit von der Geschwindigkeit,
Ruhemasse.

Ruheenergie:

Kinetische Energie:

Vierer-Formalismus

In der Literatur gibt es zwei unterschiedliche Konventionen bei der Signatur (- + + +) und (+ - - -). Beide Konventionen sind gleichwertig. Hier wird die zweite Variante dargestellt:

Vierervektor

Kontravariante Koordinaten Kovariante Koordinaten

Darstellungsmatrix des (pseudo)-metrischen (Minkowski)-Tensors:

Es gilt bzw. .

Minkowski-Skalarprodukt:

In der Einsteinkonvention wird das Summenzeichen nicht geschrieben und immer über gleiche Indexvariablen summiert.

Das Minkowski-Skalarprodukt ist nicht positiv definit und daher kein echtes Skalarprodukt.

Quadratische Form:

Ein Viererort (auch Ereignis genannt) heißt

  • zeitartig, wenn
  • raumartig, wenn
  • lichtartig, wenn

Minkowski-Norm:

Die Minkowski-Norm ist keine echte Norm im Sinne eines normierten Raumes.

Minkowski-Metrik:

mit .

Die Minkowski-Metrik ist keine echte Metrik im Sinne eines metrischen Raumes.

Linienelement:

Man kann die beiden Signaturen auch gezielt zur unterschiedlichen Darstellung raumartiger und zeitartiger Abstände verwenden:

Isometriegruppen

Definition. Eine Raumzeit-Isometrie ist eine Funktion , die einem Ereignis der Raumzeit ein anderes Ereignis zuordnet, so dass gilt:

wobei die quadratische Form ist.

Gruppe der Translationen

Gruppe der Translationen:

Gruppe der Rotationen

Rotationsmatrizen:

Die Gruppe aller Rotationsmatrizen ist trivial isomorph zur und wird zur Unterscheidung als notiert.

Die ist eine Untergruppe der Lorentz-Gruppe.

Lorentz-Gruppe

Lorentz-Gruppe:

Die Lorentz-Gruppe ist die Gruppe aller Lorentz-Transformationen.

Die Lorentz-Transformationen sind Isometrien:

.

Aus der Definition folgt mit . Ausgeschrieben:

bzw.

bzw. (unter Verwendung der imaginären Einheit)

Poincaré-Gruppe

Affine Abbildungen:

Poincaré-Gruppe:

Die Lorentz-Gruppe ist eine Untergruppe der Poincaré-Gruppe, genauer: der Stabilisator bei . Das sind alle Poincaré-Transformationen mit . Die Gruppe der Translationen ist eine Untergruppe der Poincaré-Gruppe und besteht aus allen Poincaré-Transformationen mit .

ART (Allgemeine Relativitätstheorie)

Die folgenden Formeln gelten gegenüber dem Beobachter im Unendlichen, ohne eigene gravitative Raumkrümmung. Während die relativistischen Wirkungen bei der SRT relativ sind, also für jeden Beobachter aus seiner Sicht zu berechnen sind, sind sich die Beobachter über die relativen Wirkungen der ART einig.

Dem Lorentzfaktor der SRT vergleichbar erscheint in der ART der Faktor:

  • mit SI-Einheit kg
  • mit SI-Einheit m/s
  • mit SI-Einheit m³/s²kg
  • mit SI-Einheit m
  • mit SI-Einheit m
  • mit SI-Einheit m²/s²
  • mit SI-Einheit m/s²
  • mit SI-Einheit m/s
  • mit SI-Einheit m/s

Gravitations-Zeitdilatation (Näherung)

Für die Gravitations-Zeitdilatation ergibt sich folgende Näherung:

Gravitations-Längenkontraktion (Näherung)

Die Längenkontraktion wirkt sich ausschließlich in radialer Richtung zum Gravitationsfeld aus. Für die Gravitations-Längenkontaktion ergibt sich folgende Näherung:

Gravitations-Blauverschiebung (Näherung)

Für die Gravitations-Blauverschiebung (einfallende Wellen) ergibt sich folgende Näherung für die Verkleinerung der Wellenlänge:

und Frequenz:

Gravitations-Rotverschiebung (Näherung)

Für die Gravitations-Rotverschiebung (abgestrahlte Wellen) ergibt sich folgende Näherung für die Vergrößerung der Wellenlänge:

und für die Frequenz:

Gravitationslinsen und Lichtablenkung im Schwerefeld

Der Ablenkwinkel (Einsteinwinkel) des Lichtes im Schwerefeld berechnet sich:

Schwarzschildradius

Für den Schwarzschildradius (Ereignishorizont von nicht rotierenden ungeladenen Schwarzen Löchern nach Schwarzschild) ergibt sich:

Gravitationsradius

Für den Gravitationsradius (Ereignishorizont von maximal rotierenden ungeladenen Schwarzen Löchern nach Kerr) ergibt sich:

Gravitationsgesetz der Allgemeinen Relativitätstheorie

Das Gravitationsgesetz der Allgemeinen Relativitätstheorie lautet:

mit:

  • mit SI-Einheit 1/m²
  • mit SI-Einheit J/m³
  • mit SI-Einheit 1/m²
  • mit SI-Einheit 1
  • mit SI-Einheit 1/m²
  • mit SI-Einheit 1/N
  • mit SI-Einheit m³/s²kg
  • mit SI-Einheit m/s

Anhang

Weblinks

Quelle