Trinität und Formelsammlung Relativitätstheorie: Unterschied zwischen den Seiten

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= SRT (Spezielle Relativitätstheorie) =
[[Datei:Dreieinigkeit.svg|mini|hochkant|Symbol der verschiedenen Aspekte der Trinität (blau: Dreifaltigkeit, türkis: Dreieinigkeit, grün: Monotheismus)]]
[[Datei:Kempele Church Paintings 2006 07 24 C.JPG|thumb|hochkant|Mikael Toppelius: Trinitarisches Symbol in der Kirche von [[Wikipedia:Kempele|Kempele]], Finnland]]
[[Datei:Irish clover.jpg|miniatur|hochkant|Mit einem dreiblättrigen Kleeblatt soll der [[Wikipedia:Patrick (Heiliger)|Heilige Patrick]] den Iren die Dreifaltigkeit erklärt haben]]
[[Datei:Bild 165xyz.jpg|miniatur|hochkant=1.0|Gott die Tinität in der spirituell korrekten Form]]
[[Datei:Bild 166xyz.jpg|miniatur|hochkant|Gott die Tinität in der spirituell korrekten Form]]


Aus der göttlichen '''Trinität''' (auch '''Dreifaltigkeit''' oder '''Dreieinigkeit'''), die man in der [[theosophisch]]en Literatur auch die [[drei Logoi]] - [[Vater (Trinität)|Vater]], [[Sohn (Trinität)|Sohn]] oder [[Wort]] ([[Christus]]) und [[Heiliger Geist]] - nennt, die eine '''Wesenseinheit''', d.h. zwar drei [[Persona|Personen]] oder [[Hypostase]]n, aber nicht drei zugrundeliegende verschiedene [[Substanz]]en bilden<ref>So wie vergleichsweise die eine Substanz [[Wasser]] in drei Formen, nämlich als Dampf, als Flüssigkeit und als Eis, erscheinen kann.</ref>, entspringen die Pläne zu jedem neuen [[Weltsystem]], die dann den geistigen [[Wesenheit]]en der [[Erste Hierarchie|ersten Hierarchie]] zur weiteren Ausarbeitung übergeben werden. Nach [[Origenes]] wird das Wissen vom Vater nur durch die Offenbarung des Sohnes im Heiligen Geist mitgeteilt:
== Gebräuchliche Abkürzungen ==


{{Zitat|Denn alles Wissen von dem Vater wird nur mitgetheilt durch die Offenbarung des Sohnes im heiligen Geiste, so daß diese beiden, die der Prophet lebende Wesen nennt, der Grund des Wissens von Gott dem Vater sind.|Origenes|''Über die Grundlehren der Glaubenswissenschaft (De principiis)'' I,4 [http://www.unifr.ch/bkv/kapitel5136-3.htm] }}
Geschwindigkeit ''v'' relativ zur Lichtgeschwindigkeit ''c'':


Die christliche Dreifaltigkeit wird oft fälschlich als [[Trias (Religion)|Trias]] oder Götter-Triade bezeichnet. Nach dem Verständnis der [[Wikipedia:orthodox|orthodox]]en, [[Wikipedia:katholisch|katholisch]]en und der [[Wikipedia:evangelisch|evangelisch]]en Kirchen handelt es sich jedoch bei der Trinität um eine höhere Anschauung als bei der Triade, bei der nicht die bereits im [[Bekenntnis von Nicäa]] [[Wikipedia:325|325]] festgeschriebene [[Wesensgleichheit]] bzw. Wesenseinheit der drei göttlichen Personen betont wird.
:<math>\beta := \frac {v} {c} = \tanh \theta.</math>


== Vater, Sohn und Heiliger Geist ==
Lorentzfaktor:


In vorchristlicher Zeit wirkte der [[Vatergott]] [[unbewusst]] in den [[Leibeshüllen]] des [[Mensch]]en. Nur die [[Eingeweihter|Eingeweihten]] vermochten dieses Wirken ins [[Bewusstsein]] zu heben und konnten dann sagen: ''Der Vater lebt in mir''. Und sie empfanden sein Wesen als das göttliche Ich, als «[[Ich bin der Ich-Bin]]» (vgl. {{B|2 Mos|3|1-22|ELB}}):
:<math>\gamma := \frac {1}{\sqrt{1-\beta^2}} = \frac {1}{\sqrt{1- v^2 / c^2 }} = \cosh \theta</math>
mit <math>v:=|\vec v|</math>.


{{GZ|Vor dem Mysterium
Addition von Lorentzfaktoren:
von Golgatha lebte also auf der Erde in den Menschen selbst
noch nicht das volle Ich-Bewußtsein. Aber es gab eben Menschen,
welche schon dazumal dieses volle Ich-Bewußtsein entwickelten, welche
es entwickelten durch die Mysterienhandlung. Das waren eben die Initiierten
oder die Eingeweihten. Wir haben ja schon das Verschiedenste
darüber gesprochen, was innerhalb der alten Mysterienstätten mit denen
geschah, welche die Einweihung durchmachten und zu diesem vollbewußten
Ich hinanstiegen, während es allgemeine Menschennatur war,
noch nicht ein vollbewußtes Ich zu haben. Allein, der alte Initiierte
konnte zu diesem vollbewußten Ich nur hinaufsteigen dadurch, daß
durch die heilige Handlung der Mysterien etwas in ihn einzog, was
innerhalb aller alten Kulturen und Zivilisationen als der ewige Vater
des Kosmos empfunden worden ist. Und der Myste der alten Mysterien,
der Initiierte, hatte dieses Erlebnis, wenn er bei einem bestimmten
Punkte seiner Initiation angelangt war, daß er sich sagte: Der Vater
lebt in mir.


Wenn wir uns etwa vorstellen würden einen solchen Initiierten innerhalb der althebräischen Kultur, so müßten wir sagen: Dieser Initiierte
:<math>\gamma_\Sigma = \cosh ( \operatorname{arcosh} \gamma_1 + \operatorname{arcosh} \gamma_2 ) </math>
charakterisierte das, was mit ihm selber durch die Initiation
geschehen war, in der folgenden Art. Er sagte: Die allgemeine Menschheit
hat das als ihr Eigentümliches, daß der Vater sie zwar erhält und
trägt, daß aber der Vater nicht in das Bewußtsein einzieht und nicht
das Bewußtsein zum Ich entfacht. Der Vater gibt dem gewöhnlichen
Menschen lediglich den Geist des Atems; er haucht ihm den Atem
ein, und der ist die lebendige Seele. Aber es empfand der Initiierte, daß
zu dem, was da als lebendige Seele eingehaucht wurde, ein besonderes
Geistiges, das lebendige Vaterprinzip des Kosmos, in dem Menschen
einzog. Und dann, wenn in diesem alten Initiierten der hebräischen
Welt dieses göttliche Vaterprinzip eingezogen war und der Mensch
dessen bewußt geworden war, dann sprach dieser Mensch mit vollem
Rechte aus, was bei ihm «Ich» bedeutete: Ich bin der Ich bin.|214|61f}}


{{GGZ|Dieses göttliche Vaterprinzip hatte sich in die
Rapidität:
Initiierten hineinergossen. Dadurch war in den Initiierten angefacht
worden zu dem physischen Leib, zu dem Ätherleib, zu dem astralischen
Leib hinzu das Ich. Diejenigen allein, so sagte ich schon, durften das
Ich aussprechen, das eigentlich der unaussprechliche Name des Gottes
selber war, in die der göttliche Vater eingezogen war.


Aber jetzt waren Menschen da in der Mitte der Erdenentwickelungszeit,
:<math>\theta := \operatorname{artanh} \beta = \frac{1}{2}\cdot \ln\left( \frac {c+v} {c-v} \right).</math>
die anfingen, zu sich Ich zu sagen, die das Ich ins Bewußtsein
herauf erhoben. In einen solchen Menschen, der da war der Jesus
von Nazareth, zog jetzt dasjenige Prinzip ein, welches das Sohnesprinzip
ist, das Christus-Prinzip. Dieses Christus-Prinzip trat also ein
in das Ich. Während wir früher haben den Einzug des Vaterprinzips in
physischen Leib, Ätherleib, astralischen Leib, so haben wir jetzt das
Einziehen des Christus-Prinzips in den Menschen, der sich weiter fortentwickelt
hatte.|214|63}}


{{GGZ|Und es wußten diese Initiierten, daß der Christus in die Menschheit
Beachte auch:
eingetreten ist als der Heiler, als der große Heiler, als derjenige, der
:<math>\gamma \cdot \beta=\sinh\theta.</math>
verhindert, daß der menschliche Leib Schaden erleidet dadurch, daß
er brüchig wird durch das Einziehen des Ich. Denn, was wäre geschehen,
wenn der Christus nicht als der Heiler erschienen wäre? Wäre
der Christus nicht als der Heiler erschienen, so würden, wenn die
Menschen sterben, wenn sie ablegen ihren verfallenden Leib, durch
das Ablegen des verfallenden Leibes die Verfallserscheinungen zurückstrahlen
in ihr Seelisches, das sie nach dem Tode entfalten. Beunruhigt,
gequält würden die Toten durch das, was der verfallende physische
Leib im Erdendasein darstellte. Sie würden schauen müssen, diese Seelen,
die durch den Tod gegangen sind, wie die Erde selber, dadurch,
daß sie einen verfallenden Leib aufnehmen muß, Schaden leidet. Und
es wußten die alten Initiierten, wie diejenigen, die sich im rechten
Sinne des Wortes Christen nennen, die zu der inneren Erfüllung mit
dem Christus-Prinzip durchdringen, wie diese nun so herunterschauen
konnten auf ihren Leib, der ihnen genommen war im Tode, daß sie
sagen konnten: Durch unsere Innewohnung des Christus, während wir
Erdenkinder waren, haben wir diesen physischen Leib soweit geheilt,
daß er in die Erde versenkt werden kann, ohne daß er für die Erde
selber ein Verfallsprinzip darstellt.|214|66}}


Wäre es nur dabei geblieben, hätte sich der [[Mensch]] aber noch nicht die [[Freiheit]] erringen können:
== Galilei-Transformation ==


{{GZ|Aber würde es nur dabei bleiben, so würden diejenigen, die ihren
Die Galileitransformation unterstellt eine unbegrenzte Lichtgeschwindigkeit und ist daher nur für Relativgeschwindigkeiten ''|v|'' < 0,1 ''c'' eine gute Näherung. Da ''v''' = -''v'':
Leib gerettet wissen, sie würden nun den Christus, als die in ihnen wirkende
Wesenheit, die in ihnen auch leiblich wirkende Wesenheit, in
sich tragen müssen. Und damit könnten die Menschen wieder nicht
freie Wesen werden. Die Menschen würden sich ... so entwickelt haben, daß sie den Christus hätten
in sich aufnehmen können zur Beruhigung ihrer Seelen nach dem
Tod, damit diese Seelen so auf die Erde hätten herabschauen können,
wie ich es Ihnen jetzt beschrieben habe; aber die Menschen hätten
nicht frei werden können. Wenn sie hätten gut werden wollen, dann
hätten sie den Christus so in sich wirken lassen müssen, wie im Altertum
der Vater gewirkt hatte in den Menschen, die nicht Initiierte waren.
Damals sind die Menschen, indem das Ich in ihnen entwickelt
wurde, frei geworden. Die Initiierten wurden freie Menschen in alten
Zeiten, die anderen waren unfrei, weil der Vater unbewußt in ihnen
lebte. Wären nun die Christen des Christus in sich bewußte Wesenheiten
gewesen, dann hätten sie jederzeit, wenn sie hätten gut werden
wollen, auslöschen müssen ihr Ich-Bewußtsein, um den Christus mit
Auslöschung dieses Ich-Bewußtseins in sich zu erwecken. Nicht sie
selber hätten gut sein können, sondern lediglich der Christus in ihnen
hätte gut sein können.|214|67f}}


Erst durch den [[Heiliger Geist|Heiligen Geist]] konnten die Menschen frei werden:
{| class="wikitable"
! Galilei-Tranformation in <math>x</math>-Richtung
! Inverse Galilei-Transformation
|-
|


{{GGZ|Dazu war notwendig, daß der Christus als solcher vor der unmittelbaren
:<math> t' = t </math>
Anschauung der Menschen verschwand, daß er zwar
vereinigt blieb mit dem irdischen Dasein, aber vor dem unmittelbaren
Anblick der Menschen verschwand. Auf ihn wurde anwendbar
derjenige Ausdruck, der ja auch in den alten Initiationsstätten für
so etwas üblich war: Wenn ein Wesen, das physisch sichtbar ist, das
von den Menschen, die in der physischen Welt ihre Anschauung haben, seinem Dasein nach verfolgt werden kann, aufhört sichtbar zu
sein, so sagt man, es habe seine Himmelfahrt gehalten. Es ist eben eingetreten
in diejenigen Regionen, in denen die physische Sichtbarkeit
nicht mehr stattfindet. So hat der Christus seine Himmelfahrt gehalten,
so ist er unsichtbar geworden. Denn er hatte in einer gewissen
Weise seine volle Sichtbarkeit behalten, wenn er den Menschen innegewohnt
und das Ich ausgelöscht hätte, so daß diese nur hätten gut
werden können dadurch, daß der Christus eigentlich in ihnen handelnd
gewesen wäre.


Die Art und Weise, wie der Christus noch den Aposteln, den Jüngern
:<math> x' = x - v \cdot t </math>
auch nach seiner Auferstehung sichtbar war, diese Art und Weise
verschwand: Der Christus hielt seine Himmelfahrt. Aber er sandte
den Menschen diejenige göttliche Wesenheit, die nun nicht das Ich-
Bewußtsein auslöscht, zu der man sich erhebt nicht im Anschauen, sondern
gerade im unanschaulichen Geiste. Er sandte den Menschen den
Heiligen Geist.


So ist eigentlich der Heilige Geist dasjenige, was von dem Christus
:<math> y' = y </math>
gesandt werden sollte, damit der Mensch sein Ich-Bewußtsein behalten
könne und der Christus dem Menschen unbewußt innewohnen kann.
So daß der Mensch, wenn er nun im vollen Sinne des Wortes sich vor
die Seele führt, was er eigentlich für ein Wesen ist, sagen muß: Wenn
ich zurückblicke zu dem, was die alten Initiierten wußten, so sehe ich,
daß in mir lebt das Vaterprinzip, welches den Kosmos erfüllt, welches
in diesen alten Initiierten auftrat und bei ihnen das Ich entfaltete. Das
ist dasjenige Prinzip, welches mit uns lebte, bevor wir heruntergestiegen
sind in die physische Welt. - Durch das Innewohnen dieses Vaterprinzips
erinnerten sich die alten Initiierten in vollständiger Klarheit
an die Art und Weise, wie sie lebten, bevor sie heruntergestiegen waren
in die physische Welt. Da suchten sie das Göttliche in dem Vorgeburtlichen,
in dem Präexistenten: Ex deo nascimur.


Nach dem Mysterium von Golgatha hat für den Menschen nicht
:<math> z' = z </math>
bleiben können: «Den Christus schaue ich», denn dann hätte er eben
nicht gut werden können durch sich selber, dann hätte nur der Christus
in ihm gut sein können. Es konnte nur über den Menschen kommen
das: In Christo morimur. Sterben konnte er in den Christus; mit
demjenigen, was Todesprinzip in ihm ist, konnte er den Christus vereinigen.
Aber sein neues Bewußtsein konnte erweckt werden durch die Wesenheit,
die der Christus ihm sandte, durch die Wesenheit des Heiligen
Geistes: Per spiritum sanctum reviviscimus.|214|68ff}}


{{GGZ|Indem der Christus der Menschheit den Heiligen Geist sandte, hat er sie befähigt dazu, aus dem Intellektuellen heraus selber sich aufzuschwingen zum Begreifen des Geistigen. Auch im Evangelium ist klar angedeutet für denjenigen, der nur sehen will, der nur lesen will, daß es selber eine Offenbarung ist, daß der Mensch durch den ihm innewohnenden Geist, wenn er sich nur hinneigt zu dem Christus, das Übersinnliche begreifen kann. Deshalb wird uns mitgeteilt, daß bei der Taufe Christi der Heilige Geist erschien. Und im Erscheinen des Heiligen Geistes ertönen die Worte durch den Kosmos: «Dieser ist mein vielgeliebter Sohn, heute habe ich ihn gezeuget.» Daher war es ein altes Dogma, daß der Vater der zeugende Ungezeugte ist, daß der Sohn der von dem Vater Gezeugte ist, daß der Heilige Geist der von dem Vater und dem Sohn an die Menschheit Mitgeteilte ist. Das ist nicht etwa bloß ein willkürlich aufgestelltes Dogma, sondern Initiationsweisheit der ersten christlichen Jahrhunderte, und es ist nur später verschüttet worden, wie überhaupt die Trichotomie und die Trinität verschüttet worden sind.|214|70f}}
|


== Göttliche und menschliche Trinität ==
:<math> t = t' </math>
[[Datei:Bild 167xyz.jpg|mini|hochkant|Die Tinität und der Mensch in der spirituell korrekten Form (Zeichnung: [[Joachim Stiller]])]]
[[Datei:Bild 168xyz.jpg|mini|hochkant|Die Tinität und der Mensch in der spirituell korrekten Form (Zeichnung: [[Joachim Stiller]])]]


Es gibt sowohl eine göttliche als auch eine menschliche Trinität. Diese Entsprechung zwischen menschlicher und göttlicher Trinität kann man aus den folgenden Worten Steiners gut heraushören:
:<math> x = x' + v \cdot t' </math>


<div style="margin-left:20px">"Als Dreieinigkeit tritt uns dann die Gottheit in den Religionsbekenntnissen entgegen, wo sie genannt wird: Vater, Wort und Heiliger Geist - Isis, Osiris, Horus - Atma, Buddhi, Manas. Überall finden wir jetzt die Dreiheit in den Religionen. Und den Grund dafür haben wir erkannt. Er tritt uns in Bildern oder Worten in Asien, in Ägypten bei den Priestern entgegen, aber auch in der griechisch-römischen Welt, bei Augustinus, dann im Mittelalter, wo man wie anklingend einen entsprechenden Urton findet, der in der Vergangenheit vollkommen klar hervortrat, als der Urgrund, aus dem der Mensch hervorgegangen ist. Dieser hat sich zu dem entwickelt, was er heute ist, und strebt jetzt aus dem Mittelpunkt seines Selbst der Zukunft entgegen. Es empfanden die alten Geistesforscher dies als die Dreiheit im Menschen. Wenn wir in der Zukunft einer größeren Vollkommenheit entgegengereift sein werden, dann wird jene Kraft, der wir unser Dasein verdanken und die heute als verborgener Urgrund des Seins in uns wirkt, gestaltend herausgetreten sein. Das empfand man als das Göttliche, das Unaussprechliche des Menschen, das dem ersten Wesensbestandteil der dreigliedrigen Welt gleich ist. Und dann empfand man das, was jetzt im Menschen lebt, was nach diesem Höchsten strebt, als das in der Gegenwart wirkende Wort, den Sohn, der entstanden ist aus dem Vater, der unaussprechlich in ihm ruht: Aus dem Vater ist hervorgegangen der Sohnesmensch. So wahr dieser Vater den zukünftigen, vollkommeneren Menschen gestaltet, so wahr hat er den sich entwickelnden Sohnesmenschen geschaffen, die Buddhi, das zweite menschliche Wesensglied, das noch nicht vollkommen ist, aber der Grund ist, dass wir der Vollkommenheit zustreben. Das ist die zweite Wesenheit. Aber auch in der Vergangenheit hat dieser Weltengrund gearbeitet. So wie der sinnliche Mensch von dem Allwelten-Urgrund in der Vergangenheit geschaffen worden ist, so hat auch dasjenige, was heute schon in ihm Form angenommen und ausgestrahlt hat, etwas, das ebenfalls in der Vergangenheit aus dem Urgrund hervorgegangen und jetzt schon ausgestaltet ist. Blicken wir hinaus in das Universum, wie es sich in Farben, Tönen, Gerüchen und Tastempfindungen wahrnehmbar macht: es ist herausgequollen aus dem unaussprechlichen Urgrund. In solcher Beziehung können wir diesen Urgrund, der für uns, die Geschöpfe, in die Erscheinung tritt, Geist nennen, auch im christlichen Sinne. Aber es ist die Welt nicht zu Ende geschaffen. Keim ist die Welt, etwas, was in sich selbst Seele hat, was in sich selbst den Trieb zur Zukunft hin hat. Das ist der Sohn. Daher nannte man dieses Streben: das Wort, Veda, Edda. Das dritte ist das, was heute als Kraft in uns ist, was in der Zukunft in uns wahrnehmbar wird: der tief in unser aller Seelen liegende Vatergrund alles Seins." {{lit|{{G|54|174f}}}}</div>
:<math> y = y' </math>


== Die Unterscheidung von Vater und Sohn ==
:<math> z = z' </math>


[[Rudolf Steiner]] hat immer wieder nachdrücklich betont, dass namentlich die deutliche Unterscheidung von [[Vater (Trinität)|Vater]] und [[Sohn]] essentiell für das Verständnis des [[Christentum]]s ist. Vielfach kritisierte er den [[Wikipedia:Protestantische Theologie|protestantischen]] [[Theologie|Theologen]] [[Wikipedia:Adolf von Harnack|Adolf von Harnack]] (1851–1930), der jegliches Verständnis für diese Unterscheidung vermissen lasse. Auf eine diesbezügliche Frage antwortete er in einem [[Vorträge über christlich-religiöses Wirken|Vortrag über christlich-religiöses Wirken]] für die angehenden [[Priester]] der [[Christengemeinschaft]]:
|}


{{GZ|''Rudolf Steiner'': [...] Ich habe ausdrücklich
== Lorentz-Transformation ==
gesagt: Stellen Sie da, wo Harnack das Wort «Christus» hat, einfach
dafür «Gott» hin, dann bekommen Sie das Richtige. Es ist eben bei
diesem Menschen ein starkes religiöses Leben vorhanden; das werde
ich nie in Abrede stellen, daß solche Menschen ein starkes religiöses
Leben und Empfinden haben können, nur Christen sind sie nicht.
Wenn man Christ sein will, muß man sich zu dem Christus bekennen.
Und nicht wahr, Harnack sagt, der Osterglaube sei vom Garten
von Gethsemane ausgegangen, aber was dort wirklich geschehen
sei, das gehe uns nichts an. - Das geht nicht. Nämlich gerade das,
was bei Harnack vorliegt, ist eine falsche Anwendung des Wortes
«Christus». Das ist es, was ich gesagt habe.


''Ein Teilnehmer'': ''Die Leute haben kein differenziertes Empfinden.''
{| class="wikitable"
! Lorentz-Transformation in <math>x</math>-Richtung
! Inverse Lorentz-Transformation
|-
|
:<math> t' = \left( t - \frac {v} {c^2} \cdot x \right) \cdot \gamma</math>
:<math> x' = \left(x - v \cdot t\right) \cdot\gamma</math>
:<math> y' = y </math>
:<math> z' = z </math>
|
:<math> t = \left( t' + \frac {v} {c^2} \cdot x' \right) \cdot \gamma</math>
:<math> x = \left(x' + v \cdot t'\right) \cdot \gamma</math>
:<math> y = y' </math>
:<math> z = z' </math>
|}


''Rudolf Steiner'': Sie haben kein differenziertes Empfinden. Aber darüber
== Zeitdilatation ==
muß man sich klar sein. Man kann sagen: Das Christentum ist
antiquiert, wir haben nicht nötig, den Christus vom Vater zu unterscheiden,
wir können zurückgehen zu einem bloßen Monotheismus,
der nicht unterscheidet zwischen Vater und Sohn - , dann kann man
die Position halten, aber man darf dann nicht den Anspruch darauf
machen im Intellektualismus, ein Christ zu sein.


''Ein Teilnehmer'': ''Wir haben eine starke Abneigung gegen die Anschauung, die sagt: Mag ein Mensch sein, wie er will, wenn er nur gläubig ist.''
Für die Zeitdilatation eines bewegten Körpers ergibt sich die Eigenzeit <math>\tau</math> als Ablesung zwischen zwei Ortszeiten <math>\tau_o</math> im gemessenen Zeitabstand <math>t = \Delta t_o</math>:


Rudolf Steiner: Dann können wir ebenso das Christentum gehen
:<math>\tau = \Delta \tau_o = t \cdot \sqrt{1 - v^2 / c^2} </math>
lassen, dann brauchen wir das Christentum nicht, wir führen den
:<math>t = \Delta t_o = \frac {\tau} {\sqrt{1 - v^2 / c^2}} </math>
Brahmanismus ein oder den Buddhismus. Das Christentum macht
notwendig, daß man die Differenzierung zwischen dem Vater und
dem Sohn hat. Gehen Sie nach dem Osten zu den Russen, so haben
Sie das starke Erleben: Vater und Sohn sind differenziert. Dem
Russen wird es nie einfallen, in den Kantschen Irrtum zu fallen, also
über Gott vom Gesichtspunkt der Ontologie zu sprechen. Bis zu
Scotus Eriugena hatte man noch dieses Erlebnis der Differenzierung
zwischen Vater und Sohn, dann fängt die ganze Geschichte der
Gottesbeweise überhaupt erst an. In dem Augenblick, wo man anfängt
Gott zu beweisen, hat man ihn nicht mehr. Bei Scotus Eriugena
finden sich noch [differenzierte] Anschauungen, da ist noch gar
keine Rede davon - also in der Zeit bis zum 10. Jahrhundert etwa -,
daß etwa diese undifferenzierte Empfindung von dem Vater und
dem Sohne da wäre. Aber heute, was denken sich die Menschen
heute überhaupt bei alledem, wenn diskutiert wird, ob der Sohn mit
dem Vater gleicher Wesenheit sein soll oder nicht. Die wirklichen
ursprünglichen Begriffe, die elementaren Begriffe, die scheinen mir
heute in der westlichen oder mitteleuropäischen Zivilisation nicht
mehr da zu sein. Lesen Sie die Philosophie ...<ref>Die Nachschrift des Stenographen hat hier eine Lücke. In der Vervielfältigung der
Christengemeinschaft wurde der Name «Solowjew» eingesetzt.</ref>, da haben Sie eine
Sphäre, da ist man mit seiner Auffassung stehengeblieben bei dem,
was bis zu Scotus Eriugena da war, da ist eine Differenzierung noch
da. Aber wenn man sich auf den Standpunkt stellt, man braucht die
Differenzierung nicht, dann kann man, ich will jetzt sagen, ein guter
Protestant sein, aber kein Christ. Ich möchte darauf noch in einem
anderen Zusammenhang eingehen.


''Ein Teilnehmer'': ''Ich denke, Vater und Sohn sind eins?''
== Längenkontraktion ==


''Rudolf Steiner'': Sie können ja das ganz gut auch von der Beziehung
Die Längenkontraktion wirkt sich ausschließlich in Richtung der radialen Relativbewegung zum Beobachter aus.
von sich und Ihrem Vater sagen mit Beziehung, sagen wir, zu der
Für die Längenkontraktion (Eigenlänge) eines bewegten Körpers ergibt sich:
ganzen Familie. Wenn es sich darum handelt, daß irgend etwas
gemeinsam sein soll in bezug auf den weiteren Umkreis Ihrer Familie,
so können Sie sagen: Ich und mein Vater sind eins, und was ich
tue oder was ich zur Geltung bringe, das tut auch mein Vater. —
Deshalb werden Sie nicht behaupten können, daß Sie die beiden
Individualitäten, Sie und Ihren Vater, zusammenwerfen können.


''Ein Teilnehmer'': ''Das ist nicht substantiell gemeint?''
:<math> L' = L_0 \cdot \sqrt{1 - v^2 / c^2} </math>


''Rudolf Steiner'': Nein, nein.
== Rot-/Blauverschiebung ==


''Ein Teilnehmer'': ''Ich wollte fragen: Worin besteht ein besonderes Christus-Erlebnis neben dem Vater-Erlebnis? Denn wie mir scheint, können wir doch in der Messe Christus nur erfahren; wie aber erleben wir wieder den Vatergott?''
Die Frequenzänderung setzt sich aus Zeitdilatation und Dopplerfaktor zusammen. Der Effekt des Dopplerfaktors überwiegt dabei.


''Rudolf Steiner'': Das ist allerdings etwas, was im Zusammenhang mit
:<math>k = f / f' = k_\gamma \cdot k_{dop} </math>
dem Sakramentalismus noch erwähnt werden soll. Es ist schon in
:mit ''f'' beobachtete Frequenz und ''f''' Originalfrequenz
dem enthalten, was ich gesagt habe, aber ich will darauf im Zusammenhang
eingehen, denn, wie ich gesagt habe, es müssen die beiden,
Vater und Sohn, spezifisch als zwei nicht numerisch identische
Empfindungen da sein. Die Empfindung zum Vater darf mit der
Empfindung zum Sohn nicht numerisch identisch sein.|343a|454ff}}


== Siehe auch ==
Die Zeitdilatation bewirkt immer eine leichte Rotverschiebung und ist von der Richtung der Bewegung unabhängig.


* [[Logos]]
:<math>k_\gamma := 1 / \gamma = \sqrt{1-\beta^2} </math>


== Literatur ==
Der Dopplereffekt ist allein von der radialen Relativbewegung abhängig und richtungsabhängig (vorzeichenbehaftet):


* [[Rudolf Steiner]]: ''Die Welträtsel und die Anthroposophie'', [[GA 54]] (1983) {{Vorträge|054}}
:<math> k_{dop} := 1/(1+\beta_{rad})</math>
* [[Rudolf Steiner]]: ''Das Geheimnis der Trinität'', [[GA 214]] (1999) {{Vorträge|214}}
* [[Rudolf Steiner]]: ''Vorträge und Kurse über christlich-religiöses Wirken, II'', [[GA 343a]] (1993), ISBN 3-7274-3430-9 {{Vorträge|343a}}
* [[Joachim Stiller]]: [http://joachimstiller.de/download/philosophie_trinitaet_dreifaltigkeit_trinitaet.pdf Über die Dreifaltigkeit (Tinität)] PDF
* Zeitschrift "Die Christengemeinschaft": ''Ein Gott und drei Personen'', 6/2016


{{GA}}
Bei Annäherung zum Beobachter (''v < 0'') ergibt der Dopplereffekt eine Blauverschiebung:
 
:<math> k_{blue} = 1/(1-|\beta_{rad}|) = 1/(1-|v_{rad}|/c) </math> insgeamt also <math> k = \frac {\sqrt{1-\beta^2}} {1-|\beta_{rad}|} </math>
 
Bei Entfernung vom Beobachter (''v > 0'') ergibt der Dopplereffekt eine Rotverschiebung:
 
:<math> k_{red} = 1/(1+\beta_{rad}) = 1 / (1+v_{rad}/c) </math> insgeamt also <math> k = \frac {\sqrt{1-\beta^2}} {1+\beta_{rad}} </math>
 
Der z-Faktor ergibt sich aus
 
:<math>z := k-1</math>
 
== Kinematik ==
=== Geschwindigkeit ===
'''Definition.''' Vierergeschwindigkeit:
:<math>u^\mu := \frac{\mathrm dx^\mu}{\mathrm d\tau} = \gamma \frac{\mathrm dx^\mu}{\mathrm dt}.</math>
Es gilt:
:<math>(u^\mu) = \gamma\cdot\begin{pmatrix} c\\ \vec v\end{pmatrix}.</math>
Die Minkowski-Norm der Vierergeschwindigkeit ist konstant:
:<math>c^2 = \|(u^\mu)\|^2 = \sum_{\mu} u^\mu u_\mu.</math>
 
=== Beschleunigung ===
'''Definition.''' Viererbeschleunigung:
:<math>a^\mu := \frac{\mathrm du^\mu}{\mathrm d\tau} = \gamma \frac{\mathrm du^\mu}{\mathrm dt}.</math>
Ableitung des Lorentzfaktors:
:<math>\frac{\mathrm d\gamma}{\mathrm dt} = \frac{\gamma^3}{c^2}\langle \vec v,\vec a\rangle.</math>
Es gilt:
 
:<math>(a^\mu) = \frac{\gamma^4}{c^2}\langle\vec v,\vec a\rangle\begin{pmatrix}c\\ \vec v\end{pmatrix} + \gamma^2\begin{pmatrix}0\\ \vec a\end{pmatrix}.</math>
 
=== Klassische Addition der Geschwindigkeiten ===
 
Für die klassische Addition zweier Relativgeschwindigkeiten ergibt sich:
 
:<math> v_{ges} = v_1 + v_2 </math>
 
=== Relativistische Addition der Geschwindigkeiten ===
 
Für die relativistische Addition zweier Relativgeschwindigkeiten ergibt sich:
 
:<math> v_{ges} = \dfrac { v_1 + v_2}{1 + \dfrac {v_1 \cdot v_2}{c^2 }} = c \cdot \tanh (\theta_1 + \theta_2 \dots ) = c \cdot \tanh (\operatorname{artanh} (v_1/c) + \operatorname{artanh} (v_2/c) \dots )</math>
 
== Dynamik ==
=== Impuls ===
 
Für den relativistischen Impuls ergibt sich:
 
:<math>\vec p = \gamma m_0 \vec v.</math>
 
'''Definition.''' Viererimpuls:
 
:<math>p^\mu := m_0u^\mu.</math>
 
Es gilt:
 
:<math>(p^\mu) = \begin{pmatrix} E/c\\ \vec p\end{pmatrix} =\begin{pmatrix} \gamma m_0 c\\ \gamma m_0 \vec v\end{pmatrix} </math>
 
und:
 
:<math>\|(p^\mu)\|^2 = m_0^2 c^2.</math>
 
'''Energie-Impuls-Beziehung:'''
 
:<math>(E/c)^2 - |\vec p|^2 = m_0^2 c^2.</math>
 
Formulierung als „relativistischer Pythagoras“:
 
:<math>E^2 = (m_0 c^2)^2 + (c|\vec p|)^2.</math>
 
=== Kraft ===
'''Definition.''' Viererkraft:
 
:<math>K^\mu := \frac{\mathrm dp^\mu}{\mathrm d\tau} = \gamma\frac{\mathrm dp^\mu}{\mathrm dt}.</math>
 
Es gilt:
 
:<math>K^\mu = m_0a^\mu.</math>
 
Mit
 
:<math>\vec F:=\frac{\mathrm d\vec p}{\mathrm dt} = \gamma^3 m_0\frac{\vec v}{c^2}\langle\vec v,\vec a\rangle + \gamma m_0\vec a</math>
 
gilt:
 
:<math>(K^\mu) = \begin{pmatrix} K^0\\ \gamma \vec F \end{pmatrix}.</math>
 
=== Relativistische Masse ===
 
Relativistische Masse (veralteter Begriff und sollte grundsätzlich nicht verwendet werden):
:<math>M(v) = \gamma(v)\cdot m_0.</math>
::<math>\gamma(v)\colon</math> Lorentzfaktor in Abhängigkeit von der Geschwindigkeit,
::<math>m_0\colon</math> Ruhemasse.
 
=== Energie ===
 
Einsteins Energieformel:
 
:<math>E = M(v)\cdot c^2 = \gamma(v)\cdot m_0\cdot c^2.</math>
 
::<math>E\colon</math> Gesamtenergie (Ruheenergie+kinetische Energie),
 
::<math>M(v)\colon</math> relativistische Masse in Abhängigkeit von der Geschwindigkeit,
 
::<math>m_0\colon</math> Ruhemasse.
 
Ruheenergie:
 
:<math>E_0 := m_0c^2.</math>
 
Kinetische Energie:
 
:<math>E_\mathrm{kin} = E-E_0 = \gamma m_0c^2-m_0c^2 = (\gamma-1) m_0c^2.</math>
 
== Vierer-Formalismus ==
 
In der Literatur gibt es zwei unterschiedliche Konventionen bei der Signatur (- + + +) und (+ - - -). Beide Konventionen sind gleichwertig. Hier wird die zweite Variante dargestellt:
 
{| class="wikitable"
! colspan="3" | Vierervektor
|-
| colspan="3" |
 
:<math>x=\sum_{\mu=0}^3 x^{\mu}e_\mu = \sum_{\mu=0}^3 x_{\mu}e^{\mu}</math>
 
|-
|
 
<math>\eta_{\mu\nu} = \langle e_{\mu},e_{\nu}\rangle</math>
 
|
 
<math>\eta^{\mu\nu} = \langle e^{\mu},e^{\nu}\rangle</math>
 
|
 
<math>\langle e^{\mu},e_{\nu}\rangle = \delta_{\mu\nu}</math>
 
|-
|
 
<math>x_{\mu} = \sum_{\mu,\nu}\eta_{\mu\nu} x^{\nu}</math>
 
|
 
<math>x^{\mu} = \sum_{\mu,\nu}\eta^{\mu\nu} x_{\nu}</math>
 
|
|}
 
{| class="wikitable"
! Kontravariante Koordinaten
! Kovariante Koordinaten
|-
|
 
:<math>(x^\mu):=\begin{pmatrix}ct\\ x\\ y\\ z\end{pmatrix}</math>
|
 
:<math>(x_\mu):=(ct, -x, -y, -z)</math>
 
|}
 
Darstellungsmatrix des (pseudo)-metrischen (Minkowski)-Tensors:
 
:<math>\eta = (\eta_{\mu\nu}) =\begin{pmatrix} 1 &  0 &  0 &  0\\ 0 & -1 &  0 &  0\\ 0 &  0 & -1 &  0\\ 0 &  0 &  0 & -1 \end{pmatrix}.</math>
 
Es gilt <math>\eta^{-1}=\eta</math> bzw. <math>\eta^{\mu\nu}=\eta_{\mu\nu}</math>.
 
Minkowski-Skalarprodukt:
 
:<math>\begin{align} &\langle x,y\rangle := \eta(x,y) = x^T\eta\,y = \sum_{\mu,\nu}\eta_{\mu\nu} x^\mu y^\nu\\ &= \sum_{\mu} \eta_{\mu\mu}x^{\mu}y^{\mu} = x^0 y^0 - x^1 y^1 - x^2 y^2 - x^3 y^3\\ &= \sum_{\mu} x^{\mu}y_{\mu} = x^0 y_0 + x^1 y_1 + x^2 y_2 + x^3 y_3\\ &= \sum_{\mu} x_{\mu}y^{\mu} = x_0 y^0 + x_1 y^1 + x_2 y^2 + x_3 y^3. \end{align}</math>
 
In der Einsteinkonvention wird das Summenzeichen nicht geschrieben und immer über gleiche Indexvariablen summiert.
 
Das Minkowski-Skalarprodukt ist nicht positiv definit und daher kein echtes Skalarprodukt.
 
Quadratische Form:
 
:<math>q(x) := \langle x,x\rangle = (ct)^2-x^2-y^2-z^2.</math>
 
Ein Viererort <math>x</math> (auch Ereignis genannt) heißt
 
* zeitartig, wenn <math>q(x)>0</math>
 
* raumartig, wenn <math>q(x)<0</math>
 
* lichtartig, wenn <math>q(x)=0</math>
 
Minkowski-Norm:
 
:<math>\|x\| := \sqrt{|q(x)|} = \sqrt{|(ct)^2-x^2-y^2-z^2|}</math>
 
Die Minkowski-Norm ist keine echte Norm im Sinne eines normierten Raumes.
 
Minkowski-Metrik:
 
:<math>d(x_1,x_2) := \|x_1-x_2\| = \sqrt{|q(x_1-x_2)|}</math>
 
mit <math>q(x_1-x_2)=(ct_1-ct_2)^2-(x_1-x_2)^2-(y_1-y_2)^2-(z_1-z_2)^2</math>.
 
Die Minkowski-Metrik ist keine echte Metrik im Sinne eines metrischen Raumes.
 
Linienelement:
:<math>c^2\mathrm d\tau^2 = \mathrm ds^2 = c^2\mathrm dt^2-\mathrm dx^2-\mathrm dy^2-\mathrm dz^2</math>
Man kann die beiden Signaturen auch gezielt zur unterschiedlichen Darstellung raumartiger und zeitartiger Abstände verwenden:
 
:<math>\mathrm ds^2 = -c^2\mathrm dt^2 +\mathrm dx^2 +\mathrm dy^2 +\mathrm dz^2</math>
:<math>\mathrm d\tau^2 = \mathrm dt^2-\mathrm dx^2/c^2-\mathrm dy^2/c^2-\mathrm dz^2/c^2</math>
 
== Isometriegruppen ==
'''Definition.''' Eine Raumzeit-Isometrie ist eine Funktion <math>f</math>, die einem
Ereignis <math>x=(ct,x,y,z)^T</math> der Raumzeit ein anderes Ereignis <math>f(x)=(ct',x',y',z')^T</math>
zuordnet, so dass gilt:
:<math>\forall x,y\in\R^4\colon\, q(f(x)-f(y)) = q(x-y),</math>
wobei <math>q(x):=(ct)^2-x^2-y^2-z^2</math> die quadratische Form ist.
 
=== Gruppe der Translationen ===
Gruppe der Translationen:
:<math>T:=\{T\mid T(x)=x+a,\, T\colon\mathbb R^4\to\mathbb R^4,\, a\in\mathbb R^4\}.</math>
 
=== Gruppe der Rotationen ===
Rotationsmatrizen:
 
:<math>R = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & r_{11} & r_{12} & r_{13}\\ 0 & r_{21} & r_{22} & r_{23}\\ 0 & r_{31} & r_{32} & r_{33} \end{pmatrix},\quad (r_{ij})\in\mathrm{SO}(3).</math>
 
Die Gruppe aller Rotationsmatrizen <math>R</math> ist trivial isomorph zur <math>\mathrm{SO}(3)</math> und wird zur Unterscheidung als <math>\mathrm{SO}(3)(4\times 4)</math> notiert.
 
Die <math>\mathrm{SO}(3)(4\times 4)</math> ist eine Untergruppe der Lorentz-Gruppe.
 
=== Lorentz-Gruppe ===
 
Lorentz-Gruppe:
:<math>O(1,3) := \{\Lambda\in\mathbb R^{4\times 4}\mid \forall x,y\in\mathbb R^4\colon \langle\Lambda x,\Lambda y\rangle = \langle x,y\rangle\}.</math>
Die Lorentz-Gruppe ist die Gruppe aller Lorentz-Transformationen.
 
Die Lorentz-Transformationen sind Isometrien:
:<math>\forall \Lambda\in O(1,3)\colon\;q(\Lambda x-\Lambda y)=q(x-y)</math>.
 
Aus der Definition folgt <math>q(x')=q(x)</math> mit <math>x':=\Lambda x</math>. Ausgeschrieben:
:<math>c^2 \cdot t'^2 - x'^2 - y'^2 - z'^2 =  c^2 \cdot t^2 - x^2 - y^2 - z^2</math>
bzw.
:<math>x'^2 + y'^2 + z'^2 - c^2 \cdot t'^2 = x^2 + y^2 + z^2 - c^2 \cdot t^2</math>
bzw. (unter Verwendung der imaginären Einheit)
:<math>x'^2 + y'^2 + z'^2 + \mathrm i^2 \cdot c^2 \cdot t'^2 = x^2 + y^2 + z^2 + \mathrm i^2 \cdot c^2 \cdot t^2.</math>
 
=== Poincaré-Gruppe ===
Affine Abbildungen:
 
:<math> T(x)=\Lambda x+a,\; T\colon \mathbb R^4\to\mathbb R^4,\;a\in\mathbb R^4,\; \Lambda\in\mathbb R^{4\times 4}.</math>
 
Poincaré-Gruppe:
 
:<math>E(1,3):=\{T\mid T\;\text{ist affin und}\; \forall x,y\in\mathbb R^4\colon\; q(T(x)-T(y))=q(x-y)\}.</math>
 
Die Lorentz-Gruppe ist eine Untergruppe der Poincaré-Gruppe, genauer: der Stabilisator bei <math>x=0</math>.
Das sind alle Poincaré-Transformationen mit <math>a=0</math>. Die Gruppe der Translationen ist eine Untergruppe der Poincaré-Gruppe und besteht aus allen Poincaré-Transformationen mit <math>\Lambda=0</math>.
 
= ART (Allgemeine Relativitätstheorie) =
 
Die folgenden Formeln gelten gegenüber dem Beobachter im Unendlichen, ohne eigene gravitative Raumkrümmung. Während die relativistischen Wirkungen bei der SRT relativ sind, also für jeden Beobachter aus seiner Sicht zu berechnen sind, sind sich die Beobachter über die relativen Wirkungen der ART einig.
 
Dem Lorentzfaktor der SRT vergleichbar erscheint in der ART der Faktor:
 
:<math>\gamma_G = \frac {1} {\sqrt {1 - \dfrac {2 \cdot G \cdot M} {r \cdot c^2} }} = \frac {1} {\sqrt {1 - \dfrac {r_S} {r} } }  = \frac {1} {\sqrt {1 + \dfrac {2 \cdot \Phi} {c^2} } }  = \frac {1} {\sqrt {1 - \dfrac {v_f^2} {c^2} } }  = \frac {1} {\sqrt {1 - \dfrac {2 \cdot v_o^2} {c^2} } }  = \frac {1} {\sqrt {1 + \dfrac {2 \cdot g \cdot r} {c^2} } } </math>
:*<math>M = \text{Zentralmasse} </math> mit SI-Einheit '''kg'''
:*<math> c = \text {Lichtgeschwindigkeit im flachen Vakuum}</math> mit SI-Einheit <math>2,99792458 \cdot 10^{8}</math> '''m/s'''
:*<math>G = \text{Gravitationskonstante} </math> mit SI-Einheit <math>6,67408 \cdot 10^{-11}</math> '''m³/s²kg'''
:*<math>r = \text{Abstand vom Gravizentrum} </math> mit SI-Einheit '''m'''
:*<math>r_S = 2 \cdot G \cdot M/c^2 = \text{Schwarzschildradius} </math> mit SI-Einheit '''m'''
:*<math>\Phi = -G \cdot M/r = \text{Gravitationspotential} \, < 0 </math> mit SI-Einheit '''m²/s²'''
:*<math>g = -G \cdot M/r^2 = \text{Gravitationsbeschleunigung} \, < 0 </math> mit SI-Einheit '''m/s²'''
:*<math>v_f = c\sqrt{r_S/r} = \text{Fluchtgeschwindigkeit (klassisch)} </math> mit SI-Einheit '''m/s'''
:*<math>v_o = c\sqrt{r_S/2r} = \text{Orbitalgeschwindigkeit (klassisch)} </math> mit SI-Einheit '''m/s'''
 
== Gravitations-Zeitdilatation (Näherung) ==
 
Für die Gravitations-Zeitdilatation ergibt sich folgende Näherung:
 
:<math> \Delta \tau_o =  {\Delta t_\infty} \cdot {\sqrt {1 - \dfrac {2 \cdot G \cdot M} {r \cdot c^2} }} = {\Delta t_\infty} \cdot {\sqrt {1 - \dfrac {r_S} {r} }}</math>
 
:<math> \Delta t_\infty = \frac {\Delta \tau_0} {\sqrt {1 - \dfrac {2 \cdot G \cdot M} {r_1 \cdot c^2} }} = \frac {\Delta \tau_0} {\sqrt {1 - \dfrac {r_S} {r_2} }}</math>
:*<math> t_\infty = \text{Koordinatenzeit} </math>
:*<math> \tau_o = \text{Ortszeit beim Radius} \, r</math>
 
== Gravitations-Längenkontraktion (Näherung)==
 
Die Längenkontraktion wirkt sich ausschließlich in radialer Richtung zum Gravitationsfeld aus.
Für die Gravitations-Längenkontaktion ergibt sich folgende Näherung:
 
:<math> L_0 =  {L_\infty} \cdot {\sqrt {1 - \dfrac {2 \cdot G \cdot M} {r \cdot c^2} }} =  {L_\infty} \cdot {\sqrt {1 - \dfrac {r_S} {r} }}</math>
 
:<math> L_\infty = \frac {L_0} {\sqrt {1 - \dfrac {2 \cdot G \cdot M} {r \cdot c^2} }} = \frac {L_0} {\sqrt {1 - \dfrac {r_S} {r} }}</math>
 
:*<math> t_\infty = \text{Koordinatenzeit} </math>
:*<math> \tau_o = \text{Ortszeit beim Radius} \, r</math>
 
== Gravitations-Blauverschiebung (Näherung)==
 
Für die Gravitations-Blauverschiebung (einfallende Wellen) ergibt sich folgende Näherung für die Verkleinerung der Wellenlänge:
 
:<math> \lambda' = \lambda_\infty \cdot \sqrt {1 - \dfrac {2 \cdot G \cdot M} {r \cdot c^2} } = \lambda_\infty \cdot \sqrt {1 - \dfrac {r_S} {r} }</math>
 
und Frequenz:
 
:<math> f' = f_\infty \cdot \frac {1} {\sqrt {1 - \dfrac {2 \cdot G \cdot M} {r \cdot c^2} } } = f_\infty \cdot \frac {1} {\sqrt {1 - \dfrac {r_S} {r} } }</math>
 
== Gravitations-Rotverschiebung (Näherung)==
 
Für die Gravitations-Rotverschiebung (abgestrahlte Wellen) ergibt sich folgende Näherung für die Vergrößerung der Wellenlänge:
 
:<math>\lambda_\infty = \lambda_0 \cdot \dfrac {1}{\sqrt {1 - \dfrac {2 \cdot G \cdot M} {r_1 \cdot c^2} } } = \lambda_0 \cdot \dfrac {1}{\sqrt {1 - \dfrac {r_S} {r_2} } }</math>
 
und für die Frequenz:
 
:<math>f_\infty = f_0 \cdot {\sqrt {1 - \dfrac {2 \cdot G \cdot M} {r_1 \cdot c^2} } } = f_0 \cdot {\sqrt {1 - \dfrac {r_S} {r_2} } }</math>
 
== Gravitationslinsen und Lichtablenkung im Schwerefeld ==
 
Der Ablenkwinkel (Einsteinwinkel) des Lichtes im Schwerefeld berechnet sich:
 
:<math> \alpha \approx \frac {4 \cdot G \cdot M}{r \cdot c^2} = 2 \cdot \frac {r_S}{r} </math>
 
== Schwarzschildradius ==
 
Für den Schwarzschildradius (Ereignishorizont von nicht rotierenden ungeladenen Schwarzen Löchern nach Schwarzschild) ergibt sich:
 
:<math> r_S = \frac { 2 \cdot G \cdot M}{c^2} </math>
 
== Gravitationsradius ==
 
Für den Gravitationsradius (Ereignishorizont von maximal rotierenden ungeladenen Schwarzen Löchern nach Kerr) ergibt sich:
 
:<math> r_G = \frac {r_S}{2} = \frac {G \cdot M}{c^2} </math>
 
== Gravitationsgesetz der Allgemeinen Relativitätstheorie ==
 
Das Gravitationsgesetz der Allgemeinen Relativitätstheorie lautet:
 
:<math> G_{\mu \nu} = \kappa \cdot T_{\mu \nu} = R_{\mu \nu} - g_{\mu \nu} \cdot \frac {R}{2} </math>
 
mit:
 
:*<math> G_{\mu \nu} = \text {Einsteinscher Tensor} </math> mit SI-Einheit '''1/m²'''
:*<math> T_{\mu \nu} = \text {Energie-Impuls-Tensor} </math> mit SI-Einheit '''J/m³'''
:*<math> R_{\mu \nu} = \text {Ricci-Tensor} </math> mit SI-Einheit '''1/m²'''
:*<math> g_{\mu \nu} = \text {(allgemeiner) metrischer Tensor} </math> mit SI-Einheit '''1'''
:*<math> R = g^{\mu \nu} R_{\mu \nu} = \text {Ricci-Skalar} </math> mit SI-Einheit '''1/m²'''
:*<math> \mu , \nu = \text {Indizes (0, 1, 2, 3)}</math>
:*<math>\kappa := \frac{8 \pi G}{c^4} = \text {Einsteinkonstante} </math> mit SI-Einheit <math>2,07650 \cdot 10^{-43}</math> '''1/N'''
:*<math> G = \text {Gravitationskonstante} </math> mit SI-Einheit <math>6,67408 \cdot 10^{-11}</math> '''m³/s²kg'''
:*<math> c = \text {Lichtgeschwindigkeit im flachen Vakuum}</math> mit SI-Einheit <math>2,99792458 \cdot 10^{8}</math> '''m/s'''
:*<math> \pi = \text {Kreiszahl}</math>
 
= Anhang =


== Weblinks ==
== Weblinks ==
* [http://de.wikipedia.org/wiki/Dreifaltigkeit Dreifaltigkeit] - Artikel in der deutschen Wikipedia.
* [http://anthroposophie.byu.edu/vortraege/054_07.pdf GA 54: 6. Vortrag: Der Weisheitskern in den Religionen]
* [http://www.odysseetheater.org/jump.php?url=http://www.odysseetheater.org/ftp/anthroposophie/Jaensch/Christus%20und%20die%20Trinit%E4t%20-%20Richard%20Jaensch.pdf Richard Jaensch: ''Christus und die Trinität'']
* [[Joachim Stiller]]: [http://joachimstiller.de/philosophie5c.html Projekt Gotteslehre und Dreifaltigkeit]] Website


== Einzelnachweise ==
* [http://www.formel-sammlung.de/formel-Grundlagen-3-34-196.html Formelsammlung Relativitätstheorie auf Formel-Sammlung.de]
<references />
 
== Quelle ==
* Diese Formelsammlung ist entnommen dem Wikibook [https://de.wikibooks.org/wiki/Formelsammlung_Physik:_Relativit%C3%A4tstheorie Formelsammlung Relativitätstheorie] und unterliegt eine strengen Lizenz. Die Liste der Autoren ist in der [https://de.wikibooks.org/w/index.php?title=Formelsammlung_Physik:_Relativit%C3%A4tstheorie&action=history Versionsgeschichte] einsehbar.


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Version vom 27. Dezember 2020, 17:12 Uhr

SRT (Spezielle Relativitätstheorie)

Gebräuchliche Abkürzungen

Geschwindigkeit v relativ zur Lichtgeschwindigkeit c:

Lorentzfaktor:

mit .

Addition von Lorentzfaktoren:

Rapidität:

Beachte auch:

Galilei-Transformation

Die Galileitransformation unterstellt eine unbegrenzte Lichtgeschwindigkeit und ist daher nur für Relativgeschwindigkeiten |v| < 0,1 c eine gute Näherung. Da v' = -v:

Galilei-Tranformation in -Richtung Inverse Galilei-Transformation

Lorentz-Transformation

Lorentz-Transformation in -Richtung Inverse Lorentz-Transformation

Zeitdilatation

Für die Zeitdilatation eines bewegten Körpers ergibt sich die Eigenzeit als Ablesung zwischen zwei Ortszeiten im gemessenen Zeitabstand :

Längenkontraktion

Die Längenkontraktion wirkt sich ausschließlich in Richtung der radialen Relativbewegung zum Beobachter aus. Für die Längenkontraktion (Eigenlänge) eines bewegten Körpers ergibt sich:

Rot-/Blauverschiebung

Die Frequenzänderung setzt sich aus Zeitdilatation und Dopplerfaktor zusammen. Der Effekt des Dopplerfaktors überwiegt dabei.

mit f beobachtete Frequenz und f' Originalfrequenz

Die Zeitdilatation bewirkt immer eine leichte Rotverschiebung und ist von der Richtung der Bewegung unabhängig.

Der Dopplereffekt ist allein von der radialen Relativbewegung abhängig und richtungsabhängig (vorzeichenbehaftet):

Bei Annäherung zum Beobachter (v < 0) ergibt der Dopplereffekt eine Blauverschiebung:

insgeamt also

Bei Entfernung vom Beobachter (v > 0) ergibt der Dopplereffekt eine Rotverschiebung:

insgeamt also

Der z-Faktor ergibt sich aus

Kinematik

Geschwindigkeit

Definition. Vierergeschwindigkeit:

Es gilt:

Die Minkowski-Norm der Vierergeschwindigkeit ist konstant:

Beschleunigung

Definition. Viererbeschleunigung:

Ableitung des Lorentzfaktors:

Es gilt:

Klassische Addition der Geschwindigkeiten

Für die klassische Addition zweier Relativgeschwindigkeiten ergibt sich:

Relativistische Addition der Geschwindigkeiten

Für die relativistische Addition zweier Relativgeschwindigkeiten ergibt sich:

Dynamik

Impuls

Für den relativistischen Impuls ergibt sich:

Definition. Viererimpuls:

Es gilt:

und:

Energie-Impuls-Beziehung:

Formulierung als „relativistischer Pythagoras“:

Kraft

Definition. Viererkraft:

Es gilt:

Mit

gilt:

Relativistische Masse

Relativistische Masse (veralteter Begriff und sollte grundsätzlich nicht verwendet werden):

Lorentzfaktor in Abhängigkeit von der Geschwindigkeit,
Ruhemasse.

Energie

Einsteins Energieformel:

Gesamtenergie (Ruheenergie+kinetische Energie),
relativistische Masse in Abhängigkeit von der Geschwindigkeit,
Ruhemasse.

Ruheenergie:

Kinetische Energie:

Vierer-Formalismus

In der Literatur gibt es zwei unterschiedliche Konventionen bei der Signatur (- + + +) und (+ - - -). Beide Konventionen sind gleichwertig. Hier wird die zweite Variante dargestellt:

Vierervektor

Kontravariante Koordinaten Kovariante Koordinaten

Darstellungsmatrix des (pseudo)-metrischen (Minkowski)-Tensors:

Es gilt bzw. .

Minkowski-Skalarprodukt:

In der Einsteinkonvention wird das Summenzeichen nicht geschrieben und immer über gleiche Indexvariablen summiert.

Das Minkowski-Skalarprodukt ist nicht positiv definit und daher kein echtes Skalarprodukt.

Quadratische Form:

Ein Viererort (auch Ereignis genannt) heißt

  • zeitartig, wenn
  • raumartig, wenn
  • lichtartig, wenn

Minkowski-Norm:

Die Minkowski-Norm ist keine echte Norm im Sinne eines normierten Raumes.

Minkowski-Metrik:

mit .

Die Minkowski-Metrik ist keine echte Metrik im Sinne eines metrischen Raumes.

Linienelement:

Man kann die beiden Signaturen auch gezielt zur unterschiedlichen Darstellung raumartiger und zeitartiger Abstände verwenden:

Isometriegruppen

Definition. Eine Raumzeit-Isometrie ist eine Funktion , die einem Ereignis der Raumzeit ein anderes Ereignis zuordnet, so dass gilt:

wobei die quadratische Form ist.

Gruppe der Translationen

Gruppe der Translationen:

Gruppe der Rotationen

Rotationsmatrizen:

Die Gruppe aller Rotationsmatrizen ist trivial isomorph zur und wird zur Unterscheidung als notiert.

Die ist eine Untergruppe der Lorentz-Gruppe.

Lorentz-Gruppe

Lorentz-Gruppe:

Die Lorentz-Gruppe ist die Gruppe aller Lorentz-Transformationen.

Die Lorentz-Transformationen sind Isometrien:

.

Aus der Definition folgt mit . Ausgeschrieben:

bzw.

bzw. (unter Verwendung der imaginären Einheit)

Poincaré-Gruppe

Affine Abbildungen:

Poincaré-Gruppe:

Die Lorentz-Gruppe ist eine Untergruppe der Poincaré-Gruppe, genauer: der Stabilisator bei . Das sind alle Poincaré-Transformationen mit . Die Gruppe der Translationen ist eine Untergruppe der Poincaré-Gruppe und besteht aus allen Poincaré-Transformationen mit .

ART (Allgemeine Relativitätstheorie)

Die folgenden Formeln gelten gegenüber dem Beobachter im Unendlichen, ohne eigene gravitative Raumkrümmung. Während die relativistischen Wirkungen bei der SRT relativ sind, also für jeden Beobachter aus seiner Sicht zu berechnen sind, sind sich die Beobachter über die relativen Wirkungen der ART einig.

Dem Lorentzfaktor der SRT vergleichbar erscheint in der ART der Faktor:

  • mit SI-Einheit kg
  • mit SI-Einheit m/s
  • mit SI-Einheit m³/s²kg
  • mit SI-Einheit m
  • mit SI-Einheit m
  • mit SI-Einheit m²/s²
  • mit SI-Einheit m/s²
  • mit SI-Einheit m/s
  • mit SI-Einheit m/s

Gravitations-Zeitdilatation (Näherung)

Für die Gravitations-Zeitdilatation ergibt sich folgende Näherung:

Gravitations-Längenkontraktion (Näherung)

Die Längenkontraktion wirkt sich ausschließlich in radialer Richtung zum Gravitationsfeld aus. Für die Gravitations-Längenkontaktion ergibt sich folgende Näherung:

Gravitations-Blauverschiebung (Näherung)

Für die Gravitations-Blauverschiebung (einfallende Wellen) ergibt sich folgende Näherung für die Verkleinerung der Wellenlänge:

und Frequenz:

Gravitations-Rotverschiebung (Näherung)

Für die Gravitations-Rotverschiebung (abgestrahlte Wellen) ergibt sich folgende Näherung für die Vergrößerung der Wellenlänge:

und für die Frequenz:

Gravitationslinsen und Lichtablenkung im Schwerefeld

Der Ablenkwinkel (Einsteinwinkel) des Lichtes im Schwerefeld berechnet sich:

Schwarzschildradius

Für den Schwarzschildradius (Ereignishorizont von nicht rotierenden ungeladenen Schwarzen Löchern nach Schwarzschild) ergibt sich:

Gravitationsradius

Für den Gravitationsradius (Ereignishorizont von maximal rotierenden ungeladenen Schwarzen Löchern nach Kerr) ergibt sich:

Gravitationsgesetz der Allgemeinen Relativitätstheorie

Das Gravitationsgesetz der Allgemeinen Relativitätstheorie lautet:

mit:

  • mit SI-Einheit 1/m²
  • mit SI-Einheit J/m³
  • mit SI-Einheit 1/m²
  • mit SI-Einheit 1
  • mit SI-Einheit 1/m²
  • mit SI-Einheit 1/N
  • mit SI-Einheit m³/s²kg
  • mit SI-Einheit m/s

Anhang

Weblinks

Quelle