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Feinstofflich und Lemniskate: Unterschied zwischen den Seiten

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In nahezu allen Religionen und Richtungen der Esoterik wird die Unterscheidung zwischen dem grobstofflichen das von der Physik untersucht wird und das man wiegen messen und mit unseren materiellen Händen anfassen kann und der feinstofflichen Ebene getroffen, die sich nur durch übersinnliche Wahrnehmung erkennen läßt. Analog wird dem menschlichen Körper ein zusätzlicher feinstofflicher Körper, die Aura zugesprochen, der eigene Sinnesorgane hat, die übersinnliche Wahrnehmungen ermöglichen.
[[Bild:Infinite.svg|thumb|Die Lemniskate als Symbol der [[Unendlichkeit]].]]


Das Feinstoffliche soll aus einem "feineren Stoff" bestehen, der eine wesentlich geringere Dichte hat als das Grobstoffliche.
Die '''Lemniskate''', in Gestalt einer liegenden [[Acht]] {{polytonisch|'''∞'''}}, ist das gebräuchlichste [[Symbol]] für die [[Unendlichkeit]]. Es gibt verschiedene Lemniskatenformen. In der Regel ist die [[#Lemniskate von Bernoulli|Lemniskate von Bernoulli]] gemeint, die mathematisch als Spezialfall der [[Cassinische Kurve|Cassinischen Kurve]] dargestellt werden kann.


=== Synonyme ===
== Lemniskate von Bernoulli ==
[[Datei:Lemniskate bernoulli2.svg|mini|Lemniskate von Bernoulli]]
[[Datei:Lemniskate bernoulli.svg|mini|Quadratur der Lemniskate]]
{{Hauptartikel|Lemniskate von Bernoulli}}
Die ''Lemniskate von Bernoulli'' (nach [[Jakob I Bernoulli]]) ist ein Spezialfall der [[Cassinische Kurve|Cassinischen Kurve]]. Sie ist eine algebraische Kurve vom Grad 4 und wird durch folgende [[Gleichung]] beschrieben:
:<math>(x^2 + y^2)^2 = 2a^2 (x^2 - y^2)</math>
mit einem Parameter <math>a\in\R</math>. In [[Polarkoordinate]]n wird sie durch die Gleichung
:<math>r^2 = 2a^2 \cos 2\phi</math>
dargestellt.


Feinstoffliches und grobstoffliches wird unterschiedlich benannt.
Im Gegensatz zum [[Kreis]] ist es möglich, die ''Quadratur der Lemniskate'' durchzuführen, d.h. den Flächeninhalt eine Lemniskate durch zwei Quadrate darzustellen, deren Seitenlänge dem größten Lemniskatenradius ''a'' entspricht.


Für '''"grobstofflich"''' sind folgende Bezeichnungen üblich:
== Lemniskate von Booth ==
* physisch (Q1, Q3, Q5, Q11, Q17),
[[Datei:Lemniscate of Booth.png|mini|Lemniskate von Booth]]
* materiell (Q2),
Eine ''Lemniskate von Booth'' (nach [[James Booth (Mathematiker)|James Booth]]) ist eine algebraische Kurve vom Grad&nbsp;4, sie hat die Gleichung
* grobmateriell (Q4),  
:<math>(x^2+y^2)^2=cx^2+dy^2</math>
* grobstofflich (Q9),
mit <math>c>0>d</math>.<ref>[http://www.mathcurve.com/courbes2d/booth/booth.shtml Französische Webseite zur Lemniskate von Booth]</ref>
* dicht (in der Zusammensetzung "dichter Körper") (Q9)
* mineralisch (in der Zusammensetzung "mineralische Welt") (Q11)
* chemisch (in der Zusammensetzung "chemische Zone") (Q9)
* sinnlich (in der Zusammensetzung "Sinnenwelt" "Sinnliche Welt") (Q8, Q11),
* sinnenfällig (Q11)


Für '''"feinstofflich"''' sind folgende Bezeichnungen üblich:
Für <math>d=-c</math> erhält man eine Lemniskate von Bernoulli.
* feinstofflich
* nichtmateriell (Q2),
* feinkörperlich (Q8),
* überphysisch (Q9),
* höher (da die Aura eines Menschen oder Gegenstandes über die Grenzen des grobstofflichen Körper hinausreicht) (Q9, Q5, Q11),
* unsichtbar (im Sinne von "nicht mit dem grobstofflichen Auge wahrnehmbar, nur hellsichtig erkennbar") (Q9, Q11),
* nichtsinnlich (Q11),
* übersinnlich (Q11),
* verborgen (eine verborgene Welt) (Q11),
* innere (in der Zusammensetzung "Innere Welten", da man sich nach innen wenden muß, um sie wahrzunehmen),
* Energien (Q5)


Beim Auftauchen dieser Worte in esoterischen Texten, muß immer aufgepaßt werden, ob sie in der gewohnten Alltagsbedeutung oder in der übertragenen Bedeutung als Synonym für "feinstofflich" verwendet werden, da beide Begriffe sich in der Bedeutung oft deutlich unterscheiden.
Sie ist ein Sonderfall der ''Hippopede'' des [[Proklos]] ([[o. B. d. A.]] gilt <math>c > 0</math> und <math>c > d</math>):


Folgende Worte haben eine ähnliche Bedeutung wie Feinstofflich, sind aber nicht vollständig deckungsgleich, da sie sich auf ein anderes Weltbild beziehen. Viele bezeichnen nur einen Teil des Feinstofflichen.
: <math>(x^2+y^2)^2=cx^2+dy^2</math>
* Od ([http://de.wikipedia.org/wiki/Carl_Reichenbach Reichenbach]] Q15, S.81)
* [http://de.wikipedia.org/wiki/Orgon Orgon] ([http://de.wikipedia.org/wiki/Wilhelm_Reich Reich])
* [http://de.wikipedia.org/wiki/Fluidum Fluidium], All-Fluid oder auch Lebensfeuer ([http://de.wikipedia.org/wiki/Franz_Anton_Mesmer Mesmer]] , [http://de.wikipedia.org/Mesmerismus Mesmerismus])
* [[Prana]] (Indien)
* [http://de.wikipedia.org/wiki/Qi Qi] (China)
* [http://de.wikipedia.org/wiki/Qi Ki] (Japan)
* [http://de.wikipedia.org/wiki/Mana_(Ethnologie) Mana] (Polynesier)
* [http://de.wikipedia.org/wiki/Pneuma Pneuma] (griechische Philosophie)  
* [http://de.wikipedia.org/wiki/Materia_prima Materia prima], [http://de.wikipedia.org/wiki/Quintessenz_(Philosophie) Quintessenz] ([[Alchemie]])
* [http://de.wikipedia.org/wiki/Baraka_(Segenskraft) Baraka] (Arabisch)


=== Begriffsgeschichte ===
für den Fall <math>d < 0</math>. Für <math>d >0</math> hat man ovalförmige geschlossene Kurven, weshalb sie in diesem Fall Ovale von Booth heißen. Der Name Hippopede kommt aus dem Griechischen und hat seinen Ursprung darin, dass sie an eine Fußfessel für Pferde erinnern. Sie sind Sonderfälle der Spiralen des Perseus, die sich als Parallelschnitte durch einen [[Torus]] ergeben, wobei die Ebenen senkrecht auf der Achse in der Ebene des Torus stehen. Die Lemniskate ergibt sich, wenn die Ebene gerade den inneren Ring im Torus berührt.


Feinstofflich ist ein ziemlich neues Wort, das erst in der ersten Hälfte des 20. Jahrhunderts durch die Anthroposophie geprägt wurde. Ältere Autoren wie Dion Fortune, Szepes, haben kein Wort das sie einem feststehenden Begriff zuordnen, der dem heutigen "feinstofflich" entspricht, sondern benutzen mehrere Wörter die jeweils nur einen Teil dieses Begriffes abdecken. Steiner und Besant benutzen zwar Formulierungen wie: "Der Ätherkörper ist aus feinerem Stoff aufgebaut, als ihn unsere fünf Sinne wahrnehmen können" (Q3, S. 15) oder "in feinen Materien" (Q11a, S.55) als Beschreibungen für das Feinstoffliche, sie benutzen es aber noch nicht als festgefügten Begriff, wie es heute üblich ist, wenn man beispielsweise sagt: "Die Aura ist feinstofflich". Inzwischen ist der Begriff feinstofflich fest in den Esoterischen Sprachgebrauch übergegangen.
== Lemniskate von Gerono ==
[[Datei:Lemniscate-of-Gerono2.svg|mini|Lemniskate von Gerono: Lösungsmenge von x<sup>4</sup>&minus;x<sup>2</sup>+y<sup>2</sup>=0<ref>''[http://www.mathematische-basteleien.de/acht.htm Achtkurve.]''</ref>]]
Die nach [[Camille-Christophe Gerono]] benannte ''Lemniskate von Gerono'' ist eine algebraische Kurve vom Grad&nbsp;4 und Geschlecht&nbsp;0, sie hat die Gleichung
:<math>x^4-x^2+y^2 = 0.</math>
Als [[Algebraische Kurve|Kurve]] vom [[Geschlecht (Fläche)|Geschlecht&nbsp;0]] kann sie durch [[rationale Funktion]]en parametrisiert werden, beispielsweise durch:
:<math>x = \frac{t^2-1}{t^2+1}</math>
:<math>y = \frac{2t(t^2-1)}{(t^2+1)^2}</math>
Eine einfachere Parametrisierung ist die Parametrisierung als [[Lissajous-Figur]]:
:<math>x = \cos \varphi</math>
:<math>y = \sin\varphi\,\cos\varphi = \sin(2\varphi)/2</math>


== Aufteilung des Feinstofflichen in mehrere Ebenen oder Welten==
Lawrence<ref>Lawrence: ''A catalog of special plane curves.'' Dover 1972, S. 124.</ref> gibt die etwas allgemeinere Gleichung an:


Das Feinstoffliche wird in der esoterischen Literatur in unterschiedlich viele Ebenen aufgeteilt, die in unterschiedlichem Ausmaß feinstofflich sind. Die feinstoflicheren Ebenen werden auch als "höher" oder "subtiler" bezeichnet. Die weniger feinstofflichen Ebenen werden als "materieller" oder "dichter" bezeichnet.
:<math>z^4=a^2 \cdot (z^2-w^2)</math>


Steiner verwendet eine Aufteilung in zwei bis sieben Welten, die jeweils in mehrere Ebenen aufgeteilt sind. Zur materiellen Welt gehören in diesen Aufteilungen zwei bis höchstens vier feinstoffliche Ebenen.
Diese hat die Parameterdarstellung:
:<math>z=a \cos (t)</math>
:<math>w=a \sin (t) \cdot \cos (t)</math>


Die Bezeichnung "Welten" ist irreführend, da es sich hierbei nicht um von hier getrennte Welten handelt, sondern um feinstoffliche Seinszustände dieser Welt. Ein Wesen aus der "Welt der Gefühle" kann man also mit den höheren Sinnen in diesem Zimmer stehen sehen.
mit <math>-\pi \leq t \leq \pi</math>.


Für diese Unterschiede in der Zahl der Ebenen werden zwei Gründe angegeben:
Sie wird auch als Acht-Knoten ''(Eight knot)'' bezeichnet.
* Die Autoren geben an, zuerst die niedrigeren Ebenen wahrnehmen gelernt zu haben und später erst die höheren - Leute die weniger Ebenen wahrnehmen, sind nach dieser Ansicht weniger geübt oder begabt als die, die mehr Ebenen wahrnehmen. (Q4, Q5)
* Einige Autoren teilen einzelne feinstoffliche Ebenen in mehrere Unterebenen auf (Q3, Q4, Q5, Q9, Q11), während andere diese Aufteilungen für übertrieben und zum Verständnis nicht hilfreich halten (ausdrücklich gesagt bei:  Q1).  


Da den esoterischen Autoren die Ansichten der anderen Esoteriker bekannt sind, und sich auseinander entwickelt haben, ist es möglich, die Ebenenbezeichnungen anhand ihrer Beschreibungen einander zuzuordnen (so geschehen z.B. in Q10):
Die Kurve war schon [[Grégoire de Saint-Vincent]] (Opus geometricum quadraturae circuli et sectionum coni, 1647, als ''parabolis virtualis''), [[Christiaan Huygens]]  (Brief an [[Gottfried Wilhelm Leibniz]] 16. März 1691, mit der Bezeichnung Lemniskate) und [[Gabriel Cramer]] (1750, der sie Doppelsack nannte) bekannt.<ref>[https://mathoverflow.net/questions/303023/priority-for-lemniscate-of-gerono Diskussion in mathoverflow]</ref> [[Jules Antoine Lissajous]] behandelt sie, parametrisiert durch trigonometrische Funktionen, 1857. Nach Gerono benannt wurde die Kurve Ende des 19. Jahrhunderts (zum Beispiel [[Gabriel-Marie]], Exercices de géométrie descriptive, 1900).


===Andere Definitionen von "Welten": Parallelwelten und Fantasiewelten===
== Siehe auch ==
* {{WikipediaDE|Lemniskate}}


Die Esoterik kennt aber auch Welten, die nicht Bestandteile dieser Welt sind und nicht mit den unten besprochenen Welten verwechselt werden sollten.
== Literatur ==
* J. D. Lawrence: ''A Catalog of Special Plane Curves.'' Dover 1972. ISBN 0-486-60288-5.


Einmal gibt es das Konzept der Parallelwelten, die dadurch entstehen, daß durch unsere Entscheidungen die bestehende Welt sich in immer mehr unterschiedliche Welten aufspaltet.
== Weblinks ==
{{commonscat|Lemniscate|Lemniskate}}
{{Wiktionary}}


Ähnliche Konzepte werden auch von Wissenschaftlern vertreten (W2), beispielsweise die Viele-Welten-Interpretation der Quantentheorie.
== Einzelnachweise ==
<references />


Außerdem werden auch Fantasiewelten oft als echte Welten betrachtet, die aber in etwa so feinstofflich sind wie unsere Gefühle. Wenn nur ein Schöpfer an einer solchen Welt beteiligt ist, zählt es als private Welt. Hat eine solche Welt viele Schöpfer, zählt sie als echtes Universum. Esoteriker aber auch Fantasyautoren berichten oft, daß sie das Gefühl haben, in diesen Welten zu handeln und daß die Personen ein Eigenleben entwickeln, daß man sie also nicht so einfach tun lassen kann was man will. Von vielen Menschen wird das als ein innerpsychisches Phänomen betrachtet. Dagegen sehen Esoteriker diese Welten als objektive Welten an und erzählen, daß dasselbe Ereignis in einer solchen Welt oft von mehreren Personen unabhängig beobachtet werden kann und die Berichte sich dann voneinander in etwa so sehr unterscheiden wie wenn drei Personen von demselben Abendessen berichten. Solche Fantasiewelten können oft über Generationen auf der feinstofflichen Ebene bestehen bleiben. (Q16; Q7; Q11.2 S.114)
[[Kategorie:Kurve (Mathematik)]]
 
[[Kategorie:Grundbegriffe]]
== Materielle Welt / Physische Welt ==
[[Kategorie:Mathematik]]
===Aggregatszustände der Materiellen Ebene oder Chemischen Region===
[[Kategorie:Symbol]]
Diese Aggregatszustände zählen strenggenommen nicht zu den feinstofflichen Welten, da sie ja grobstofflich und nicht feinstofflich sind. Gemeint sind hier die Aggregatszustände, die auch in Physik und Chemie so genannt werden. Sie wurde aber in diese Übersicht aufgenommen, da ohne sie der Gesamtüberblick unvollständig wäre.
 
====Erde, Feststoffe====
Verschiedene Bezeichnungen:
*'''Alchemie, Vier Elemente Lehre:''' Element Erde
*'''Veden (laut Risi):''' Bhumi (Erde)
 
====Wasser, Flüssigkeiten====
Verschiedene Bezeichnungen:
*'''Alchemie, Vier Elemente Lehre:''' Element Wasser
*'''Veden (laut Risi):''' Apah (Wasser)
 
====Luft, Gase====
Verschiedene Bezeichnungen:
*'''Alchemie, Vier Elemente Lehre:''' Element Luft
*'''Veden (laut Risi):''' Vayu (Luft)
 
=== Der esoterische Ätherbegriff ===
 
Im Folgenden verwende ich physikalisches Standartwissen und berechne damit Beispiele, die anschaulich nachvollziehbar machen, in welchem Bezug die esoterischen Vorstellungen zu heutigen und älteren physikalischen Begriffen stehen.
 
====Äther ist feinstofflich====
:Gerthsen, S. 896: ''"Bis 1900 zweifelte kaum jemand, daß sich Licht ähnlich dem Schall in einem materiellen Träger ausbreitet, dem Äther. - ´Wenn Licht eine Schwingung darstellt, muß doch etwas da sein, das schwingt´. Dieser Äther muß eine unvorstellbar geringe Dichte haben, dabei aber hochelastisch sein, vor allem aber die ganze Welt mit Ausnahme vielleicht der völlig undurchsichtigen Körper erfüllen."''
 
Laut dieser Definition ist der Äther feinstofflich ("unvorstellbar geringe Dichte") und es wird ein auf das Feinstoffliche ausgedehnter Materiebegriff verwendet. Steiner verwendet ebenfalls die Bezeichnung Äther für diese Ebenen, erklärt aber ausdrücklich, daß er damit nicht den historischen Ätherbegriff der Physik meint. (Q11.2 S.54)
 
====Ist Feinstoffliches materiell?====
Wenn man die Begriffe Materie und Stoff in einem Lexikon nachschaut erhält man folgende Definitionen:
*Materie, die: Stoff, Masse; das Gegenständliche, der Inhalt im Gegensatz zur Form, das Sachliche. (z.B. der Stoff einer Geschichte) (Q2)
*Stoff, der: (ungeformter) Grundbestandteil einer Sache; allgemein: die körperliche Welt (Materie). Für die klassische Physik ist die m. der raumerfüllende Stoff. (Q2)
 
Aufbauend auf diesen Definitionen gibt es zwei mögliche Antworten auf die Frage, ob feinstoffliches zur Materie zu zählen hätte:
*JA: auch feinstoffliche Körper sind Körper, Feinstoffe werden zu den Stoffen gezählt, auch Feinstoffe sind der Inhalt im Gegensatz zur Form
*NEIN: die Physik untersucht im allgemeinen nur das Grobstoffliche, deshalb ist das Feinstoffliche nicht im physikalischen Stoffbegriff (z.B. die Begriffe Reinstoff und Stoff umfassen nur Stoffe die aus Atomen aufgebaut sind) integriert und damit zählt es nicht zur Materie.
 
Merke: Unterschiedlich definiert ist hier nicht der Begriff des Feinstofflichen sondern der der Materie.
 
Bei den älteren Autoren, die noch aus der Zeit stammen, in der der Äther in der Physik noch diskutiert und als materiell betrachtet wurde, wird das Feinstoffliche deshalb meist als materiell verstanden.
 
Neuere Autoren bezeichnen es als nichtmateriell, da sie sich auf den heute üblicheren Stoffbegriff der Chemie beziehen. Korrekt in Bezug auf die heutige Physik und Chemie ist die Aussage, daß das feinstoffliche nichtmateriell ist.
 
Daß man hier den Begriff des Äthers diskutieren muß, und später auch noch der Begriff der "Vier Elemente" erwähnt werden wird, illustriert ein generelles Problem von Außenseitermeinungen: Es gibt weitaus weniger Autoren, die sich mit den jeweiligen Themen auf hohem Niveau auseinandersetzen, als bei Themen, die wissenschaftlich etabliert sind. Deshalb werden oft noch Bücher gelesen und wiederaufgelegt, die fünfzig bis hundert, ja teilweise sogar mehrere hundert Jahre alt sind und sich auf einen entsprechend alten Stand der Naturwissenschaften beziehen. Viele der neueren Autoren versäumen es dann, diese alten Erkenntnisse mit dem jeweils aktuellem Stand der Naturwissenschaften in Beziehung zu setzen und Veraltetes auszusortieren.
 
====Wünschelrutengehen, Aurensehen und Licht====
Das Feinstoffliche wird in der Esoterik oft als "Energie" oder "feinstoffliche Energie" bezeichnet.
 
Wenn man vergleicht, welcher physikalische Begriff mit der esoterischen "feinstofflichen Energie" im Zusammenhang steht, landet man nicht bei der Energie sondern beim Licht.
 
Beim Wünschelrutengehen gibt es eine physikalisch ausgerichtete Richtung, die allgemein als "Grifflängensystem" bezeichnet wird. Ihre Vertreter sind der Ansicht, daß mit der Wünschelrute elektromagnetische Strahlung mit Wellenlängen zwischen 1,6cm bis 1,80m gemessen werden. Es handelt sich dabei also um Zentimeterwellen, Mikrowellen und UKW, wie sie das Radio verwendet. Das eigentliche Meßinstrument ist der menschliche Körper. Die Wünschelrute wird als eine Antenne betrachtet, die die zu untersuchende Strahlung verstärkt und gleichzeitig als Zeiger, der die gerinfügigen Reaktionen des Körpers auf die Strahlung so verstärkt daß sie sichtbar werden.
 
Um die gesuchte Strahlung so genau wie möglich zu identifizieren baute Schneider an eine Lecherantenne, deren Antennenlänge sich durch eine verschiebbare Brücke abstimmen kann zwei Griffe an und erhielt damit eine Wünschelrute, mit dem sich die Wellenlänge der gesuchten Strahlung genau einstellen läßt. Ungenauer sind Plastikruten, bei denen die Stelle, an der die Grifflänge, mit der die zu suchende Strahlung optimal verstärkt wird, durch farbige Klebstreifen markiert ist. (Q12; Q13; Q14)
 
Auch Autoren die nicht mit dem Grifflängensystem arbeiten, sind der Ansicht, daß es sich bei den sogenannten Erdstrahlen um elektromagnetische Strahlung handelt. (Q15)
 
In ihrem Buch Licht-Arbeit zählt Brennan über zehn wissenschaftliche Untersuchungen auf, die die Aura mit elektromagnetischen Wellen in Verbundung bringen. (Q5.1 S.69-80)
 
Dr. Valorie Hund et Al. stellen beim Vergleich von Aurawahrnehmungen mit am Körper gemessenen Elektrischen Frequenzen von 200-2000Hz fest, die abgesehen von Zusatzfrequenzen für blau und violett in der umgekehrten Reihenfolge wie im Regenbogen auftraten. Elektromagnetische Strahlung diesere Frequenz hätte Wellenlängen ca. 100-1000 Kilometer. (Q5.1 S.77, W1 S.9f)
 
====Die Bedeutung des "Fein" in Feinstofflich====
 
In der deutschen Umgangssprache gibt es zwei grundsätzliche Bedeutungen des Wortes "fein":
* "fein" im Sinne von "etwas Besseres" oder zu einer gehobenen Gesellschaft passend wie in "Feine Dame", "Feine Umgangsformen"
* "fein" im Gegensatz zu grobkörnig, wie in "feiner Sand"
 
Mancher vermutet, daß das feinstoffliche im Sinne von Materie die "etwas Besseres" sei benutzt wird. Die maßgeblichen esoterischen Autoren machen in ihren Ausführen aber durchweg deutlich, daß sie damit die physikalischen Eigenschaften der Feinstoffe beschreiben wollen.
 
Nach dem Plankschen Strahlungsgesetz kann ein strahlendes System nicht beliebige Energieportionen austauschen sondern nur ganzzahlige Vielfache des Energiequantums h*ν , wobei ν die Frequenz der Strahlung und h=6,626*10-34Js das Planksche Wirkungsquantum ist. (Q1 S.580)
 
Sichtbares Licht:<br>
Blauviolett ca. 400nm, 5*10-15J<br>
Rot ca. 700nm Ein Lichtquant entspricht 3*10-15J <br>
Mit Hilfe der Avogadrokonstante und der obigen Formel von Einstein kann man ausrechnen, daß das leichteste Atom, ein Wasserstoffatom (1/6)*10-23g*(3*108m/s)<sup>2</sup>=1,5*10-10J entspricht. Es hat also die 5000-fache bis 3000-fache Energie. Deshalb könnte man behaupten, daß ein Lichtquant viel kleiner ist, als ein Atom und daß Licht deshalb ein viel feinerer (im dem Sinne wie in "feiner" Sand) Stoff ist als Wasserstoff. Rotes Licht ist dabei feinstofflicher als violettes Licht.
 
Physikalisch betrachtet läßt sich einem Atomkern noch ein Durchmesser zuordnen, bei einem Lichtquant ist das jedoch aus mehreren Gründen ein Ding der Unmöglichkeit. Zu den Gründen zählt, daß ein Lichtquant nicht wirklich ein Teilchen ist, sondern eine seltsame Kreuzung zwischen Welle und Teilchen. Ein zweiter Grund ist die durch die Unschärferelation bedingte Unmöglichkeit Ort und Geschwindigkeit eines Teilchens gleichzeitig genau zu messen.
 
Der Begriff "fein" wurde also hier wie weiter oben schon für den Begriff der "Dichte" festgestellt, auf einen Bereich ausgedehnt, wo man ihn nach dem normalen Sprachgebrauch nicht anwenden kann.
 
Für die mit Wünschelrute und durch Aurensehen beobachteten Wellenlängen haben die Quanten folgende Energie:<br>
Wünschelrute: 1,6cm bis 1,80m - 1*10-25J bis 7*10-23J <br>
Aura: 250Hz-2000Hz - 2*10-31J bis 1,4*10-30J (Emotionaler Körper nach Brennan)<br>
Durch Aurensehen untersucht man also vielfach feinstofflichere Energien als durch Wünschelrutengehen.
 
====Feinstoffliches und sein Verhältnis zu den Begriffen Energie und Dichte====
 
In der Esoterik werden Feststoffe als grobstofflicher betrachtet als Flüssigkeiten, da sie durchschnittlich eine höhere Dichte haben. Ebenso werden Gase als feinstofflicher betrachtet als Flüssigkeiten, da sie durchschnittlich eine geringere physikalische Dichte haben.
 
Je grobstofflicher ein Material ist, desto weniger Raum nimmt eine bestimmte Masse ein. Bei den meisten Feststoffen nimmt ein Kilogramm weniger als einen halben Liter Platz ein, bei den meisten Flüssigkeiten ist es mehr als ein Liter und bei Gasen ist es etwa ein Kubikmeter, also der 1000-fache Platz.
 
Nach Einstein läßt sich nach folgender Formel wenig Masse in große Mengen an Energie umrechnen: e=m*c<sup>2</sup> <small>(e=Energie, m=Masse c=Lichtgeschwindigkeit)</small>. Nach dieser Formel entspricht 1kg Masse etwa 9*10<sup>16</sup> Joule.<br>
:Rechnung: <small>1kg*(3*10<sup>8</sup>m/s)<sup>2</sup>=9*10<sup>16</sup>(kg m<sup>2</sup>)/(s<sup>2</sup>)=9*10<sup>16</sup>Ws</small>.
 
Benutzt man nun die Solarkonstante, um zu berechnen, wieviel Raum dieses Kilo brauchen würde, wenn es so konzentriert wäre, wie Sonnenlicht im Vakuum in der Erdumlaufbahn ist, bräuchte dieses Kilo Licht mehr Platz als die Erde.
 
:<small>Rechnung:<br>Solarkonstante: 1,39kW/(m<sup>2</sup>) (Konzentration des Sonnenlichts im Vakuum im selben Abstand wie die Erde zur Sonne)<br>(9*10<sup>16</sup>Ws*3*10<sup>8</sup>m/s) / (1,39*10<sup>3</sup>W/(m<sup>2</sup>)) = 2*10<sup>22</sup>m<sup>3</sup></small>
 
Das macht nachvollziehbar, warum die Esoterik Licht als weniger dicht und deshalb feinstofflicher als ein Gas betrachtet.
 
Merken muß man sich hier, daß die Esoterik den Begriff der Dichte auf Photonen ausdehnt, die kein Gewicht und deshalb keine Dichte im herkömmlichen Sinne haben.
 
===Feinstoffliche Ebenen der Physikalischen Welt: die dichteren drei Äther===
Nach Fortune, ist der typische Spuk den Ätherebenen zuzuordnen.
 
Viele Autoren fassen die dichteren drei Äther unter einem gemeinsamen Namen zusammen:
*'''Steiner:''' [[Äther]], Ätherwelt, Lebenswelt
*'''Alchemie, Vier Elemente Lehre:''' Element Feuer
*'''Dion Fortune:''' Äther, Ektoplasma
*'''Physik:''' Elektromagnetische Strahlung
 
Bezeichnungen für den Körper der Ätherebenen:
*'''Steiner:''' [[Ätherleib]], Lebensleib
*'''Brennan:''' Physische Auraebenen
*'''Dion Fortune:''' Ätherleib, Ätherisches Doppel<br>Wenn Teile der Energie des Ätherleibs Formen in Menschen- oder Tiergestalt annehmen, die unabhängig agieren: Ektoplasma
 
====Lebensäther====
Vermittler der Assimilation und Ausscheidung
 
Bezeichnungen:
*'''Steiner:''' [[Lebensäther]]. atomistischer Äther
*'''Physik:''' Elektromagnetische Strahlung: Ultraviolett, Sichtbares Licht, Nahes Infrarot, Radiowellen, Wünschelrutengehen
 
Bezeichnungen für den Körper des Chemischen Äthers:
*'''Brennan:''' Ätherischer Körper
*'''Traditionelle Chinesische Medizin, Elektroakupunktur:''' [[Meridian (TCM)|Akupunkturmeridiane]]
 
====Klangäther====
 
Bezeichnungen für den Lebensäther:
*'''Steiner:''' [[Klangäther]]
*'''Physik:''' Elektromagnetische Strahlung: Fernes Infrarot
 
Bezeichnungen für den Körper des Lebensäthers:
*'''Brennan:''' Emotionaler Körper
*Auf dieser Ebene kann man die Chakren als farbige Energiewirbel sehen
 
====Lichtäther====
Vermittler der Sinneswahrnehmung
 
Bezeichnungen für den Lichtäther:
*'''Steiner:''' [[Lichtäther]]
 
Bezeichnungen für den Körper des Lichtäthers:
*'''Brennan:''' Mentaler Körper
 
===Wärmeäther===
Gedächtnis der Natur, Verbindung zur Astralwelt oder Geistigen Welt
 
Bezeichnungen für den Wärmeäther:
* '''Steiner:''' [[Wärmeäther]]
* '''Alchemie, Vier Elemente Lehre:''' Quintessenz, Pneuma
 
Bezeichnungen für den Körper des Lichtäthers:
* '''Brennan:'''  Astraler Körper
* '''Steiner:''' Astralleib, Seelenleib
* '''Dion Fortune:''' Astralkörper
 
Viele Autoren hören an diesem Punkt mit der Beschreibung auf und haben keine Vorstellung von den höheren Welten.
 
==  Geistige Welt, Astralwelt, Seelenwelt ==
Das bis jetzt Beschriebene bezieht sich nur auf die untersten feinstofflichen Ebenen, die zur physischen Welt gehören und deshalb physikalisch untersuchbar sind. Die höheren Ebenen beinhalten kein Licht, sondern einen Stoff der sich von Licht so sehr unterscheidet wie Licht von Materie.
 
Laut Steiner und Brennan steht diese Welt zur materiellen Welt etwa in einem ähnlichen Verhältnis wie ein Photonegativ zum eigentlichen Photo. Wo in der physischen Welt ein Stein ist ist in der Empfindungswelt ein Loch und wo in der Empfindungswelt alles ausgefüllt ist, ist in der pysischen Welt leerer Raum. (Q11.2 S.112; Q5.1 S.108ff)
 
Yogananda gibt die Aussagen seines Meisters Sri Yukteswar mit folgenden Worten wieder:
:''"Das astrale Universum (gemeint ist die Empfindungswelt) (...) ist vielhundertmal größer als der physische Kosmos. Die ganze grobstoffliche Schöpfung hängt wie eine kleine massive Gondel unter dem riesigen leuchtendem Ballon der Astralsphäre. Ebenso, wie es viele physische Sonnen und Sterne gibt, die im Weltraum schweben, so gibt es auch zahllose astrale Sonnen- und Sternensysteme."'' (Q17. S.525)
 
Die esoterischen Autoren sind sich einig, daß jeder Gegenstand und jede Person, die auf der Erde lebt, auch einen Körper in der Empfindungswelt hat, umgekehrt hat aber nicht jedes Wesen, das in der Empfindungswelt verkörpert ist, auch einen materiellen Körper. Neben den astralen Gegenstücken der uns bekannten Menschen, Tiere und Pflanzen gibt es in der Empfindungswelt [[Schutzengel]], Geistführer, [[Fee]]n, [[Wassernixen]], [[Kobold]]e, [[Gnom]]en, [[Halbgott|Halbgötter]], [[Geister]], [[Erzengel]], [[Gefallener Engel|Gefallene Engel]] und überhaupt alle bekannten [[Fabelwesen]] (Q17. S.526, Q11.2 S.109f; Q5.1 S.106f+S.302)
 
Gefühle kann man in der Empfindungswelt ähnlich wahrnehmen wie man hier das Wetter sieht: als farbige Nebel, Blitze und dergleichen. Unsere Fantasiewelten sind reale Orte der Empfindungswelt (Q16; Q7; Q11.2 S.114).
 
Wenn ein Mensch die Empfindungswelt, die zu dieser Erde gehört, wahrnimmt, erkennt man das laut den esoterischen Autoren daran, daß er mit seinen höheren Sinnen sieht, daß seine Mitmenschen von Schutzengeln und Geistführern umgeben sind. Er sieht Pflanzenelfen in jeder Pflanze, Gnomen und andere Naturwesen.
 
Wenn ein Mensch von fantastischen Erlebnissen und Orten erzählt, in denen es magische Wesen wie Drachen und Werwölfe gibt und in denen jeder Bewohner durch Gedankenkraft Wesen und Gegenstände erschaffen und auflösen kann, betrachten Esoteriker das als Erlebnisse auf der Ebene der Empfindungswelt, die oft auch Geistige Welt genannt wird.
 
Andere Bezeichnungen für die Empfindungswelt
*'''Steiner:''' Geisterwelt, Geistige Welt, Geisterland, [[Astralwelt]], Astralplan, Seelenwelt oder Astrallicht
*'''Brennan:''' Geistige Welt
*'''Yogananda:''' Astralhimmel, Astralkosmos, Astrale Welt, Astrales Universum (Q17. S.525ff)
*'''Keltische Mytologie:''' [[Keltische Anderswelt|Anderswelt, Anderwelt]]
 
Bezeichnung für das Material der Astralwelt
*'''Steiner:'''  [[Astralmaterie]], Seelenstofflichkeit oder Wunsch- und Begierdenmaterie
 
Bezeichnungen für den Körper der Empfindungswelt:
*'''Steiner:''' [[Seele]], seelische Körper
*'''Brennan:''' Auraebenen der Geistigen Welt
*'''Yogananda:''' astraler Körper (Q17. S.529ff)
 
 
===Elementarische Welt===
*'''Steiner''': Elementarische Welt, Bezeichnung für den Körper: Empfindungsseele
 
====Region der Begierdenglut====
*'''Steiner:''' [[Region der Begierdenglut]] 
*'''Brennan''', Bezeichnung für den Körper: Ätherischer Negativkörper
====Region der fließenden Reizbarkeit====
*'''Steiner:''' [[Region der fließenden Reizbarkeit]]
*'''Brennan''', Bezeichnung für den Körper: Himmlischer Körper
====Region der Wünsche====
*'''Steiner:''' [[Region der Wünsche]]
*'''Brennan''', Bezeichnung für den Körper: Ketherischer Körper
 
====Region von Lust und Unlust====
Bezeichnungen:
*'''Steiner:''' [[Region von Lust und Unlust]]
Bezeichnungen für den Körper
* '''Brennan:''' Kosmischer Körper
* '''Steiner:''' [[Verstandes- oder Gemütsseele|Verstandesseele, Gemütsseele]]
 
===Obere drei Ebenen der Empfingungswelt===
Bezeichnungen für den Körper
*'''Steiner:''' [[Bewußtseinsseele]]
*Fünfte Ebene:
**'''Steiner:''' [[Region des Seelenlichtes]]
**'''Brennan:''' Kristalliner Körper
*Sechste Ebene:
**'''Steiner:''' [[Region der tätigen Seelenkraft]]
*Siebte Ebene:
**'''Steiner:''' [[Region des Seelenlebens]]
 
==Devachan, Mentalplan, Welt des Geistes==
Hier materialisiert sich jeder Gedanken und jede Idee augenblicklich, im Gegensatz zur Empfindungswelt in denen ein solches Erschaffen gewöhnlich einige Zeit erfordert. (Q17.)
 
Bezeichnungen für die Welt der Gedanken
*'''Steiner:''' [[Devachan]], Mentalplan, Welt des Geistes
*'''Yogananda:''' kausaler Kosmos, Kausalsphäre, Kausalwelt (Q17. S.538ff)
Bezeichnungen für den Körper der Welt der Gedanken
*'''Steiner:''' [[Geist]], [[Wesenskern]], Ich
*'''Yogananda:''' Kausalkörper (Q17. S.538)
 
 
===Abgrenzung von anderen Begriffen===
====Die Welt der Gedanken besteht nicht aus Informationen====
 
Informationen können auf jeder feinstofflichen oder grobstofflichen Ebene gespeichert und weitergegeben werden. Auf jeder Ebene gibt es einen Träger, auf dem die Informationen gespeichert sind und die Information selbst.
 
Auf der materiellen Ebene ist der Träger beispielsweise ein Buch oder eine CD und die Information ist die Bedeutung der dort gespeicherten Worte.
 
Ebenso gibt es auf der Ebene der Welt der Gefühle Speichermedien, in denen Informationen gespeichert sind und wieder die Information selbst.
 
Auch auf in der Welt der Gedanken gibt es noch diese Dualität zwischen der Information und ihrem feinstofflichen Träger.
 
Es gibt mehrere Bedeutungen des Wortes [[Geist]].
* [[Gespenst|Geistererscheinungen, Erdgebundene Geister]] - beziehen sich auf die Aurabenenen der physischen Welt
* [[Naturgeist]]er, Schutzgeister, Schutzengel - beziehen sich auf die Welt der Gefühle
*  Geist als Gott "[[Heiliger Geist]]"
* Geist als die [[Idee]] / [[Information]] / [[Bedeutung (Philosophie)|Bedeutung]]
* Geiststoff als feinstofflicher Träger der Information, Material der Welt des Geistes
* Geist als feinstofflicher Körper einer Person, der aus Geiststoff besteht und in der "Welt des Geistes" existiert.
Das Wort Gedanke hat zwei dieser Bedeutungen:
* die Idee das geistige Konzept
* Ein Gegenstand aus Geiststoff, der der Träger einer Idee oder eines geistigen Konzeptes ist.
 
Die Welt der Gedanken besteht nicht aus Informationen sondern aus Geiststoff, der ebenso wie ein Buch oder eine CD ein feinstofflicher Träger der Informationen ist.
 
 
 
=== niederes Devachan ===
*'''Steiner:''' [[Niederes Devachan|niederes Devachan]], Rupa-Devachan, Welt der [[Sphärenharmonie]]
==== Die unteren drei Ebenen der Welt der Gedanken====
Bezeichnungen für den Körper
*'''Steiner:''' Geistselbst, Manas
Die Ebenen einzeln:
=====Erste Ebene: Kontinent =====
*'''Steiner:''' Kontinent, die Urbilder aller physischen Form 
=====Zweite Ebene: Meer =====
*'''Steiner:''' Meer, alles Leben
=====Dritte Ebene: Luftgebiet =====
*'''Steiner:''' Luftgebiet, alles Seelenleben, Gefühle und so weiter
====Vierte Ebene  der Welt der Gedanken====
* '''Steiner:''' Körper: [[Lebensgeist]] (Buddhi)
===Obere drei Ebenen der Welt der Gedanken===
*'''Steiner:''' [[Höheres Devachan]] oder Arupa-Devachan
Bezeichnungen für den Körper
*'''Steiner:''' [[Geistesmensch]], [[Atma]]
 
==Weitere Welten==
 
Auch Risi erwähnt insgesamt 14 feinstoffliche Welten, er liefert aber keine Beschreibung dieser Welten, so daß es nicht möglich ist, diese Welten den hier bisher behandelten Welten zuzuordnen oder festzustellen, ob sie vielleicht eher den Ebenen entsprechen, in die die feinstofflichen Welten auf dieser Seite aufgeteilt sind.
 
==Quellen==
===Esoterische und religiöse Quellen===
* Q1: [http://de.wikipedia.org/wiki/Maria_Szepes Maria Szepes]: ''Academia Occulta. Die Geheimen Lehren des Abendlandes.'' Wilhelm Heyne Verlag, München
**Band 1: ''Die Grundlagen.'' 1994, ISBN 3-453-06575-1
**Band 2: ''Die Praxis.'' 1995, ISBN 3-453-06947-1
* Q2: Viviane Crowley: ''Wicca. Die alte Religion im Neuen Zeitalter''. Wiener Verlag, Himberg 1993, ISBN 3-91134-04-2
* Q3: [http://de.wikipedia.org/wiki/Annie_Besant Annie Besant]]: ''Die siebenfältige Natur des Menschen.'' Adyar Verlag, Graz 1985
* Q5: [http://de.wikipedia.org/wiki/Barbara_Brennan Barbara Ann Brennan]], Goldmann, München
**Q5.1: ''Licht-Arbeit.'' 1990, ISBN 3-442-12054-3
**Q5.2: ''Licht-Heilung.'' 1994, ISBN 3-442-12222-8
* Q6: [http://de.wikipedia.org/wiki/Dion_Fortune Dion Fortune]: ''Selbstverteidigung mit PSI.'' Ansata Verlag, Interlaken, Schweiz 1995, ISBN 3-7157-0024-6
* Q8: [http://de.wikipedia.org/wiki/Tenzin_Gyatso Dalai Lama]]: ''Der Schlüssel zum mittleren Weg.'' Dharma Edition, Hamburg 1991
* Q10: Dieter Rüggeberg: ''Theosophie und Anthroposophie im Licht der Hermetik.'' Verlag Dieter Rüggeberg, Wuppertal 1988, ISBN 3-921338-10-7
* Q11: [[Rudolf Steiner]]:
** Q11.1:  ''Aus der Akascha-Chronik''
*** Q11.1a: Internetversion: http://geisteswissenschaft.home.att.net/PDF11.pdf
*** Q11.1b: Dornach, Schweiz: Rudolf Steiner-Nachlaßverwaltung ISBN 3-7274-6161-6
** Q11.2: ''Die Geheimwissenschaft im Umriß.'' Rudolf Steiner-Nachlaßverwaltung, Dornach, Schweiz 2000, ISBN 3-7274-6011-3
** Q11.3: ''Wie erlangt man Erkenntnisse höherer Welten.'' Rudolf Steiner-Nachlaßverwaltung, Dornach, Schweiz 1961, ISBN 3-7274-6001-6
** Q11.4: ''Ein Weg zur Selbsterkenntnis des Menschen.'' Rudolf Steiner-Nachlaßverwaltung, Dornach, Schweiz 1972, ISBN 3-7274-6021-0
* Q12: Reinhard Schneider: ''Einführung in die Radiästhesie''; Oktogon-Verlag, Werthheim
**Q12.1 Teil 1; 1993
**Q12.2 Teil 2; 1984
* Q13: Hartmut Lüdeling: ''Handbuch der Radiästhesie''; Erfahrungswissenschaftlicher Verlag Eike Hensch, Nienburg 1998, ISBN 3-927407-09-7
* Q14: Ewald Kalteiß: ''Beiträge zur Radiästhesie. Physikalische Aspekte zum Verständnis radiaesthetischer Erscheinungen.'' Erfahrungswissenschaftlicher Verlag Eike Hensch, Nienburg 1997, ISBN 3-927407-05-4
* Q15: Gertrud I. Hürlimann: ''Pendeln ist erlernbar.'' M & T Verlag, St. Gallen 1997, ISBN 3-7267-3037-X
* Q16: Edmund von Hollander, Michaela von Hollander; 2001; ''VATAN. Der Pfad des Nordens''; Saarbrücken; Neue Erde, http://www.neueerde.de/
* Q17: [http://de.wikipedia.org/wiki/Yogananda Paramahansa Yogananda]]; ''Autobiographie eines Yogi.'' Self-Realization Fellowship Publishers, Tschechische Republik 2005, ISBN 0-87612-087-7
* Q18: [http://de.wikipedia.org/wiki/Armin_Risi Armin Risi]; ''Der Multidimensionale Kosmos''; Govinda Verlag, Neuhausen
** Band 1: ''Gott und die Götter.'' 1995, ISBN 3-906347-30-3
** Band 3: ''Machtwechsel auf der Erde.'' 1999, ISBN 3-906347-44-3
 
Kritische Literatur
* Q7: L.Kin (Pseudonym), VAP-Buchversand, Preußisch Oldendorf:
** Band 1: ''Scientology. Mehr als ein Modetrend? Die Entwicklung zur monetären Heilslehre.'' 1991, ISBN 3-922367-21-6
** Band 2: ''Scientology. Mehr als ein Modetrend? Die Verfahren.'' 1992, ISBN 3-922367-22-4
** Band 3: ''Gott&Co. Nach wessen Pfeife tanzen wir?'' 1996, ISBN 3-922367-20-8
** Band 2: ''Unsichtbare Welten.'' 2001, ISBN 3-906347-31-1
 
===Sonstige Quellen===
*W1:   Valerie V. Hunt, Wayne W. Massey, Robert Weinberg, [[Wikipedia:Rosalyn Bruyere|Rosalyn Bruyere]], Pierre M. Hahn: ''A Study of structural integration from neuromuscular, energy field, and emotional approaches.''  Sponsored by the ROLF INSTITUTE of Structural Integration; http://www.rolf.com.au/downloads/ucla.pdf
*W2: Friedrich Cramer: ''Der Zeitbaum.'' Insel Verlag, Frankfurt am Main, Leipzig 1996
Lehrbücher, Nachschlagewerke
*L1: Dieter Meschede: ''[[Wikipedia:Christian Gerthsen|Gerthsen Physik]].'' Springer, Berlin, Heidelberg 2002, ISBN 3-540-42024-X
*L2: Lingen Lexikon in 20 Bänden, 1974, München: Lingen Verlag, erarbeitet nach den Unterlagen der Lexikon-Redaktion des Verlages F.A. Brockhaus
*L3: Tilo Fischer und Hans Jerg Dorn: ''Physikalische Formeln und Daten.'' Ernst Klett Verlage, Stuttgart 1982, ISBN 3-12-770800-9
 
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Version vom 2. April 2019, 14:01 Uhr

Die Lemniskate als Symbol der Unendlichkeit.

Die Lemniskate, in Gestalt einer liegenden Acht , ist das gebräuchlichste Symbol für die Unendlichkeit. Es gibt verschiedene Lemniskatenformen. In der Regel ist die Lemniskate von Bernoulli gemeint, die mathematisch als Spezialfall der Cassinischen Kurve dargestellt werden kann.

Lemniskate von Bernoulli

Lemniskate von Bernoulli
Quadratur der Lemniskate
Hauptartikel: Lemniskate von Bernoulli

Die Lemniskate von Bernoulli (nach Jakob I Bernoulli) ist ein Spezialfall der Cassinischen Kurve. Sie ist eine algebraische Kurve vom Grad 4 und wird durch folgende Gleichung beschrieben:

mit einem Parameter . In Polarkoordinaten wird sie durch die Gleichung

dargestellt.

Im Gegensatz zum Kreis ist es möglich, die Quadratur der Lemniskate durchzuführen, d.h. den Flächeninhalt eine Lemniskate durch zwei Quadrate darzustellen, deren Seitenlänge dem größten Lemniskatenradius a entspricht.

Lemniskate von Booth

Lemniskate von Booth

Eine Lemniskate von Booth (nach James Booth) ist eine algebraische Kurve vom Grad 4, sie hat die Gleichung

mit .[1]

Für erhält man eine Lemniskate von Bernoulli.

Sie ist ein Sonderfall der Hippopede des Proklos (o. B. d. A. gilt und ):

für den Fall . Für hat man ovalförmige geschlossene Kurven, weshalb sie in diesem Fall Ovale von Booth heißen. Der Name Hippopede kommt aus dem Griechischen und hat seinen Ursprung darin, dass sie an eine Fußfessel für Pferde erinnern. Sie sind Sonderfälle der Spiralen des Perseus, die sich als Parallelschnitte durch einen Torus ergeben, wobei die Ebenen senkrecht auf der Achse in der Ebene des Torus stehen. Die Lemniskate ergibt sich, wenn die Ebene gerade den inneren Ring im Torus berührt.

Lemniskate von Gerono

Lemniskate von Gerono: Lösungsmenge von x4−x2+y2=0[2]

Die nach Camille-Christophe Gerono benannte Lemniskate von Gerono ist eine algebraische Kurve vom Grad 4 und Geschlecht 0, sie hat die Gleichung

Als Kurve vom Geschlecht 0 kann sie durch rationale Funktionen parametrisiert werden, beispielsweise durch:

Eine einfachere Parametrisierung ist die Parametrisierung als Lissajous-Figur:

Lawrence[3] gibt die etwas allgemeinere Gleichung an:

Diese hat die Parameterdarstellung:

mit .

Sie wird auch als Acht-Knoten (Eight knot) bezeichnet.

Die Kurve war schon Grégoire de Saint-Vincent (Opus geometricum quadraturae circuli et sectionum coni, 1647, als parabolis virtualis), Christiaan Huygens (Brief an Gottfried Wilhelm Leibniz 16. März 1691, mit der Bezeichnung Lemniskate) und Gabriel Cramer (1750, der sie Doppelsack nannte) bekannt.[4] Jules Antoine Lissajous behandelt sie, parametrisiert durch trigonometrische Funktionen, 1857. Nach Gerono benannt wurde die Kurve Ende des 19. Jahrhunderts (zum Beispiel Gabriel-Marie, Exercices de géométrie descriptive, 1900).

Siehe auch

Literatur

Weblinks

Commons-logo.png Commons: Lemniskate - Weitere Bilder oder Audiodateien zum Thema
 Wiktionary: Lemniskate – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen

Einzelnachweise

  1. Französische Webseite zur Lemniskate von Booth
  2. Achtkurve.
  3. Lawrence: A catalog of special plane curves. Dover 1972, S. 124.
  4. Diskussion in mathoverflow