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Frasho Kereti und Lemniskate: Unterschied zwischen den Seiten

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[[Bild:Infinite.svg|thumb|Die Lemniskate als Symbol der [[Unendlichkeit]].]]
 
Die '''Lemniskate''', in Gestalt einer liegenden [[Acht]] {{polytonisch|'''∞'''}}, ist das gebräuchlichste [[Symbol]] für die [[Unendlichkeit]]. Es gibt verschiedene Lemniskatenformen. In der Regel ist die [[#Lemniskate von Bernoulli|Lemniskate von Bernoulli]] gemeint, die mathematisch als Spezialfall der [[Cassinische Kurve|Cassinischen Kurve]] dargestellt werden kann.
 
== Lemniskate von Bernoulli ==
[[Datei:Lemniskate bernoulli2.svg|mini|Lemniskate von Bernoulli]]
[[Datei:Lemniskate bernoulli.svg|mini|Quadratur der Lemniskate]]
{{Hauptartikel|Lemniskate von Bernoulli}}
Die ''Lemniskate von Bernoulli'' (nach [[Jakob I Bernoulli]]) ist ein Spezialfall der [[Cassinische Kurve|Cassinischen Kurve]]. Sie ist eine algebraische Kurve vom Grad 4 und wird durch folgende [[Gleichung]] beschrieben:
:<math>(x^2 + y^2)^2 = 2a^2 (x^2 - y^2)</math>
mit einem Parameter <math>a\in\R</math>. In [[Polarkoordinate]]n wird sie durch die Gleichung
:<math>r^2 = 2a^2 \cos 2\phi</math>
dargestellt.
 
Im Gegensatz zum [[Kreis]] ist es möglich, die ''Quadratur der Lemniskate'' durchzuführen, d.h. den Flächeninhalt eine Lemniskate durch zwei Quadrate darzustellen, deren Seitenlänge dem größten Lemniskatenradius ''a'' entspricht.
 
== Lemniskate von Booth ==
[[Datei:Lemniscate of Booth.png|mini|Lemniskate von Booth]]
Eine ''Lemniskate von Booth'' (nach [[James Booth (Mathematiker)|James Booth]]) ist eine algebraische Kurve vom Grad&nbsp;4, sie hat die Gleichung
:<math>(x^2+y^2)^2=cx^2+dy^2</math>
mit <math>c>0>d</math>.<ref>[http://www.mathcurve.com/courbes2d/booth/booth.shtml Französische Webseite zur Lemniskate von Booth]</ref>
 
Für <math>d=-c</math> erhält man eine Lemniskate von Bernoulli.
 
Sie ist ein Sonderfall der ''Hippopede'' des [[Proklos]] ([[o. B. d. A.]] gilt <math>c > 0</math> und <math>c > d</math>):
 
: <math>(x^2+y^2)^2=cx^2+dy^2</math>
 
für den Fall <math>d < 0</math>. Für <math>d >0</math> hat man ovalförmige geschlossene Kurven, weshalb sie in diesem Fall Ovale von Booth heißen. Der Name Hippopede kommt aus dem Griechischen und hat seinen Ursprung darin, dass sie an eine Fußfessel für Pferde erinnern. Sie sind Sonderfälle der Spiralen des Perseus, die sich als Parallelschnitte durch einen [[Torus]] ergeben, wobei die Ebenen senkrecht auf der Achse in der Ebene des Torus stehen. Die Lemniskate ergibt sich, wenn die Ebene gerade den inneren Ring im Torus berührt.
 
== Lemniskate von Gerono ==
[[Datei:Lemniscate-of-Gerono2.svg|mini|Lemniskate von Gerono: Lösungsmenge von x<sup>4</sup>&minus;x<sup>2</sup>+y<sup>2</sup>=0<ref>''[http://www.mathematische-basteleien.de/acht.htm Achtkurve.]''</ref>]]
Die nach [[Camille-Christophe Gerono]] benannte ''Lemniskate von Gerono'' ist eine algebraische Kurve vom Grad&nbsp;4 und Geschlecht&nbsp;0, sie hat die Gleichung
:<math>x^4-x^2+y^2 = 0.</math>
Als [[Algebraische Kurve|Kurve]] vom [[Geschlecht (Fläche)|Geschlecht&nbsp;0]] kann sie durch [[rationale Funktion]]en parametrisiert werden, beispielsweise durch:
:<math>x = \frac{t^2-1}{t^2+1}</math>
:<math>y = \frac{2t(t^2-1)}{(t^2+1)^2}</math>
Eine einfachere Parametrisierung ist die Parametrisierung als [[Lissajous-Figur]]:
:<math>x = \cos \varphi</math>
:<math>y = \sin\varphi\,\cos\varphi = \sin(2\varphi)/2</math>
 
Lawrence<ref>Lawrence: ''A catalog of special plane curves.'' Dover 1972, S. 124.</ref> gibt die etwas allgemeinere Gleichung an:
 
:<math>z^4=a^2 \cdot (z^2-w^2)</math>
 
Diese hat die Parameterdarstellung:
:<math>z=a \cos (t)</math>
:<math>w=a \sin (t) \cdot \cos (t)</math>
 
mit <math>-\pi \leq t \leq \pi</math>.
 
Sie wird auch als Acht-Knoten ''(Eight knot)'' bezeichnet.
 
Die Kurve war schon [[Grégoire de Saint-Vincent]] (Opus geometricum quadraturae circuli et sectionum coni, 1647, als ''parabolis virtualis''), [[Christiaan Huygens]]  (Brief an [[Gottfried Wilhelm Leibniz]] 16. März 1691, mit der Bezeichnung Lemniskate) und [[Gabriel Cramer]] (1750, der sie Doppelsack nannte) bekannt.<ref>[https://mathoverflow.net/questions/303023/priority-for-lemniscate-of-gerono Diskussion in mathoverflow]</ref> [[Jules Antoine Lissajous]] behandelt sie, parametrisiert durch trigonometrische Funktionen, 1857. Nach Gerono benannt wurde die Kurve Ende des 19. Jahrhunderts (zum Beispiel [[Gabriel-Marie]], Exercices de géométrie descriptive, 1900).
 
== Siehe auch ==
* {{WikipediaDE|Lemniskate}}
 
== Literatur ==
* J. D. Lawrence: ''A Catalog of Special Plane Curves.'' Dover 1972. ISBN 0-486-60288-5.
 
== Weblinks ==
{{commonscat|Lemniscate|Lemniskate}}
{{Wiktionary}}
 
== Einzelnachweise ==
<references />
 
[[Kategorie:Kurve (Mathematik)]]
[[Kategorie:Grundbegriffe]]
[[Kategorie:Mathematik]]
[[Kategorie:Symbol]]

Version vom 2. April 2019, 12:01 Uhr

Die Lemniskate als Symbol der Unendlichkeit.

Die Lemniskate, in Gestalt einer liegenden Acht , ist das gebräuchlichste Symbol für die Unendlichkeit. Es gibt verschiedene Lemniskatenformen. In der Regel ist die Lemniskate von Bernoulli gemeint, die mathematisch als Spezialfall der Cassinischen Kurve dargestellt werden kann.

Lemniskate von Bernoulli

Lemniskate von Bernoulli
Quadratur der Lemniskate
Hauptartikel: Lemniskate von Bernoulli

Die Lemniskate von Bernoulli (nach Jakob I Bernoulli) ist ein Spezialfall der Cassinischen Kurve. Sie ist eine algebraische Kurve vom Grad 4 und wird durch folgende Gleichung beschrieben:

mit einem Parameter . In Polarkoordinaten wird sie durch die Gleichung

dargestellt.

Im Gegensatz zum Kreis ist es möglich, die Quadratur der Lemniskate durchzuführen, d.h. den Flächeninhalt eine Lemniskate durch zwei Quadrate darzustellen, deren Seitenlänge dem größten Lemniskatenradius a entspricht.

Lemniskate von Booth

Lemniskate von Booth

Eine Lemniskate von Booth (nach James Booth) ist eine algebraische Kurve vom Grad 4, sie hat die Gleichung

mit .[1]

Für erhält man eine Lemniskate von Bernoulli.

Sie ist ein Sonderfall der Hippopede des Proklos (o. B. d. A. gilt und ):

für den Fall . Für hat man ovalförmige geschlossene Kurven, weshalb sie in diesem Fall Ovale von Booth heißen. Der Name Hippopede kommt aus dem Griechischen und hat seinen Ursprung darin, dass sie an eine Fußfessel für Pferde erinnern. Sie sind Sonderfälle der Spiralen des Perseus, die sich als Parallelschnitte durch einen Torus ergeben, wobei die Ebenen senkrecht auf der Achse in der Ebene des Torus stehen. Die Lemniskate ergibt sich, wenn die Ebene gerade den inneren Ring im Torus berührt.

Lemniskate von Gerono

Lemniskate von Gerono: Lösungsmenge von x4−x2+y2=0[2]

Die nach Camille-Christophe Gerono benannte Lemniskate von Gerono ist eine algebraische Kurve vom Grad 4 und Geschlecht 0, sie hat die Gleichung

Als Kurve vom Geschlecht 0 kann sie durch rationale Funktionen parametrisiert werden, beispielsweise durch:

Eine einfachere Parametrisierung ist die Parametrisierung als Lissajous-Figur:

Lawrence[3] gibt die etwas allgemeinere Gleichung an:

Diese hat die Parameterdarstellung:

mit .

Sie wird auch als Acht-Knoten (Eight knot) bezeichnet.

Die Kurve war schon Grégoire de Saint-Vincent (Opus geometricum quadraturae circuli et sectionum coni, 1647, als parabolis virtualis), Christiaan Huygens (Brief an Gottfried Wilhelm Leibniz 16. März 1691, mit der Bezeichnung Lemniskate) und Gabriel Cramer (1750, der sie Doppelsack nannte) bekannt.[4] Jules Antoine Lissajous behandelt sie, parametrisiert durch trigonometrische Funktionen, 1857. Nach Gerono benannt wurde die Kurve Ende des 19. Jahrhunderts (zum Beispiel Gabriel-Marie, Exercices de géométrie descriptive, 1900).

Siehe auch

Literatur

  • J. D. Lawrence: A Catalog of Special Plane Curves. Dover 1972. ISBN 0-486-60288-5.

Weblinks

Commons-logo.png Commons: Lemniskate - Weitere Bilder oder Audiodateien zum Thema
 Wiktionary: Lemniskate – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen

Einzelnachweise

  1. Französische Webseite zur Lemniskate von Booth
  2. Achtkurve.
  3. Lawrence: A catalog of special plane curves. Dover 1972, S. 124.
  4. Diskussion in mathoverflow