Freiheit und Satz von Pascal: Unterschied zwischen den Seiten

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Der '''Satz von Pascal''' (nach [[Blaise Pascal]]) ist eine Aussage über ein 6-Eck auf einem nicht ausgearteten Kegelschnitt in einer [[Projektive Ebene|projektiven Ebene]]. Er lässt sich in der reellen affinen Ebene wie folgt formulieren:


Die '''Freiheit''' des [[Mensch]]en, sein '''freier Wille''', liegt nach [[Rudolf Steiner]] darin begründet, dass er die Gesetze seines eigenen Handelns erkennen kann. Die [[Erkenntnis]] dieser Gesetzmäßigkeiten ist zunächst nur ein Sonderfall des Erkennens überhaupt, doch indem die Erkenntnis sich auf die ''bewußte'' Tätigkeit des [[Ich]]s richtet, liegt diese Gesetzmäßigkeit nicht außerhalb des erkannten Objektes, des Ichs, sondern ist der Inhalt des im lebendigen Tun begriffenen Ich selbst, das diese Gesetze aus sich und der Einsicht in die Gegebenheiten hervorbringt. Erkennender und Erkanntes, [[Subjekt]] und [[Objekt]], 'fallen in eins', werden identisch, und damit beherrschen uns nicht mehr von außen gegebene sittliche Gebote und Gesetze, auch nicht mehr von innen aufgedrungene Handlungsweisen, sondern wir nehmen erstere in unser eigenes [[Wesen]] auf oder wir klären, was uns letztere abverlangen und vollziehen nur das, was wir uns selbst befehlen, d. h. was wir selbst zu bewußten Handlungsmotiven erhoben haben. Dadurch wird im Sinne Steiners die [[sittliche Autonomie]] und der [[Ethischer Individualismus|ethische Individualismus]] und eine durchgreifende [[Toleranz]] im Zusammenspiel von Mensch, Gesellschaft und Welt begründet. Voraussetzung dafür ist, dass man das [[Liebe|liebt]], was man aus Einsicht tut, d.h. sich in freier Hingabe mit dem Auszuführenden identifiziert und dabei die sozialen und natürlichen Bedingungen beachtet.  Daraus folgt die [[Grundmaxime der freien Menschen]], die [[Rudolf Steiner]] in seiner [[Philosophie der Freiheit]] so formuliert hat:
: Für ein 6-Eck <math>P_1,P_2,P_3,P_4,P_5,P_6</math> auf einer Ellipse bei dem zwei Paare gegenüberliegender Seiten  parallel sind (im Bild <math>\overline{P_1P_2} \parallel \overline{P_4P_5},\;\overline{P_6P_1}\parallel \overline{P_3P_4}</math>), ist auch das dritte Paar gegenüberliegender Seiten parallel (im Bild: <math> \overline{P_2P_3} \parallel \overline{P_5P_6}</math>).
<div style="margin-left:20px">
"Leben in der Liebe zum Handeln und Lebenlassen im Verständnisse des fremden Wollens ist die Grundmaxime der freien Menschen." {{Lit|{{G|004|166}}}}
</div>


Seine Gedanken zur Freiheit hat Rudolf Steiner ausführlich in seinen grundlegenden [[Wikipedia:Philosophie|philosophischen]] Schriften dargestellt, vor allem am Anfang seines öffentlichen schriftstellerischen Wirkens in "[[Grundlinien einer Erkenntnistheorie der Goetheschen Weltanschauung mit besonderer Rücksicht auf Schiller]]", "[[Wahrheit und Wissenschaft]]" und in "[[Die Philosophie der Freiheit]]" und später, da die Verwirklichung der Freiheitsidee schon eine lange Entwicklung der Bewußtseinskräfte innerhalb der Weltanschauungssysteme und damit des immer universeller werdenden individuellen Denkens in der Menschheit durchgemacht hat, aus der reifen Erfahrung seines jahrzehntelangen Umgangs mit dem in seinen frühen Werken konzipierten Erkenntnisweg in "[[Die Rätsel der Philosophie]]".
Betrachtet man diesen Satz in dem projektiven Abschluss einer affinen Ebene (man nimmt die "Ferngerade", auf der sich parallele Geraden schneiden, hinzu), so gilt:


== Freiheit und Karma ==
Für beliebige 6 Punkte <math>P_1,P_2,P_3,P_4,P_5,P_6 </math> eines [[Projektiver Kegelschnitt|nicht ausgearteten Kegelschnitts]] in einer projektiven Ebene liegen die Punkte
: <math> P_7:= \overline{P_1P_2}\cap \overline{P_4P_5},</math>
: <math> P_8:= \overline{P_6P_1}\cap \overline{P_3P_4},</math>
: <math> P_9:= \overline{P_2P_3}\cap \overline{P_5P_6}</math>
auf einer Gerade, der '''Pascal-Gerade''' (s. Bild).


Taten, die aus der [[Vollheit|vollen]] Freiheit des [[Mensch]]en gesetzt werden, sind nicht durch das [[Karma]] bedingt:
Die ''Nummerierung'' gibt an, welche 6 der 15 Verbindungsgeraden der 6 Punkte benutzt werden und welche Kanten benachbart sind. Die Nummerierung ist so gewählt, dass der Kantengraph durch ein reguläres 6-Eck dargestellt werden kann. Geraden zu gegenüberliegenden Kanten des Kantengraphs werden also geschnitten. Sollen andere Kanten in die Pascalfigur eingehen, muss man die Indizes entsprechend permutieren. Für die 2. Pascal-Konfiguration wurden die Indizes 2 und 5 vertauscht (s. Bild, unten).


<div style="margin-left:20px">
''Nichtausgeartet'' heißt hier: keine 3 Punkte liegen auf einer Gerade. Den Kegelschnitt kann man sich also als Ellipse vorstellen. (Ein sich schneidendes Geradenpaar ist ein ''ausgearteter'' Kegelschnitt.)
"Nur solche Handlungen sind frei, bei denen der Mensch gar nicht auf Grund der Vergangenheit
arbeiten würde, sondern bei denen er nur dem gegenübersteht, was durch die
kombinierende und produktive Tätigkeit seiner Vernunft an Handlungen in die Welt hineinkommen
kann. Solche Handlungen nennt man im Okkultismus: Aus dem Nichts heraus
schaffen. Alle anderen Handlungen sind aus dem Karma heraus geschaffen." {{Lit|{{G|093a|123}}}}
</div>


Was der Mensch in [[Vollheit|voller]] Freiheit tut, schafft auch kein neues [[Karma]]. Im [[Okkultismus]] wird das auch als das Handeln aus dem [[Nirvana]] bezeichnet. Solange allerdings der Mensch das Karma aus seinen früheren [[Inkarnation]]en nicht [[Vollständigkeit|vollständig]] ausgeglichen hat, kann er nicht in [[Vollkommenheit|vollkommener]] Freiheit leben - ein Teil seiner Taten wird notwendig durch die Vergangenheit (Bedingungen sowie Nebenwirkungen) - neues Karma begründend - bestimmt sein, d. h. [[allmählich freies Handeln zu realisieren]] ist heutzutage und in der Zukunft ein großes, ideales Ziel der menschlichen Evolution.
''Kegelschnitte'' sind nur in solchen projektiven Ebenen definiert, die sich über (kommutativen) [[Körper (Algebra)|Körpern]] koordinatisieren lassen. Beispiele von Körpern sind: die [[reelle Zahl|reellen Zahlen]] <math>\R</math>, die [[rationale Zahl|rationalen Zahlen]] <math>\Q</math>, die [[Komplexe Zahl|komplexen Zahlen]] <math>\Complex</math>, [[Körper (Algebra)#Endliche Körper|endliche Körper]]. Jeder nicht ausgeartete Kegelschnitt einer projektiven Ebene lässt sich in geeigneten [[Homogene Koordinaten|homogenen Koordinaten]] durch die Gleichung <math> x_1x_2=x_0^2</math> beschreiben (s. [[projektiver Kegelschnitt]]).


== Bezug zu anderen Sätzen und Verallgemeinerungen ==
[[Datei:Pascal-3456-s.svg|450px|mini|Satz v.Pascal: Ausartungen]]
* Der Satz von Pascal ist die [[Dualität (Mathematik)#Dualitätsprinzip der projektiven Geometrie und in Inzidenzstrukturen|duale]] Version des [[Satz von Brianchon|Satzes von Brianchon]].
* Zum Satz von Pascal gibt es ''Ausartungen'' mit 5 bzw. 4 bzw. 3 Punkten (auf einem Kegelschnitt). Bei einer Ausartung fallen zwei durch eine Kante verbundene Punkte formal zusammen und die zugehörige Sekante der Pascalfigur wird durch die Tangente in dem verbleibenden Punkt ersetzt. Siehe hierzu die Figur und weblink ''planar circlegeometries'', S. 30–35. Durch eine geeignete Wahl einer Gerade der Pascalfiguren als Ferngerade ergeben sich Schließungssätze für Hyperbeln und Parabeln. Siehe [[Hyperbel (Mathematik)#Hyperbel als affines Bild der Hyperbel y=1/x|Hyperbel]] und [[Parabel (Mathematik)#Eigenschaften|Parabel]].
* Falls der Kegelschnitt ''vollständig'' in einer affinen Ebene enthalten ist, gibt es auch (die am Anfang beschriebene) '''affine Form''' des Satzes, bei der die Pascalgerade die Ferngerade ist. Die affine Form gibt es z.&nbsp;B. in der reellen und der rationalen affinen Ebene, aber nicht in der komplexen affinen Ebene. In der komplexen projektiven Ebene schneidet jeder n.a. Kegelschnitt jede Gerade. Es gibt also keine Passante des Kegelschnitts, die man als Ferngerade wählen könnte.
* Die Figur der sechs Punkte auf dem Kegelschnitt wird auch '''Hexagrammum Mysticum''' genannt.<ref>''Jacob Steiner’s Vorlesungen über synthetische Geometrie'', B. G. Teubner, Leipzig 1867 (bei Google Books: [http://books.google.de/books?id=jCgPAAAAQAAJ]), 2. Teil, S. 128. </ref>
* Der Satz von Pascal ist auch für ein Geradenpaar (ausgearteter Kegelschnitt) gültig und ist dann identisch mit dem [[Satz von Pappos-Pascal]].
* Der Satz von Pascal wurde durch [[August Ferdinand Möbius]] im Jahre [[1847]] verallgemeinert:
: Angenommen, ein [[Polygon]] mit <math>4n + 2</math> Seiten sei in einen Kegelschnitt einbeschrieben. Nun verlängert man die gegenüberliegenden Seiten, bis sie sich in <math>2n + 1</math> Punkten schneiden. Liegen dann <math>2n</math> dieser Punkte auf einer gemeinsamen Linie, so liegt auch der letzte Punkt auf dieser Linie.
* Eine weitere Verallgemeinerung ist der [[Satz von Cayley-Bacharach]].


== Freiheit und Determinismus ==
== Beweis des Satzes von Pascal ==
Während das Verhältnis des Menschen in seiner Freiheit zum Karma überaus unklar ist, sind im Hinblick auf den naturwissenschaftlichen Determinismus wenigstens klare Aussagen von seiten der Wissenschaft gemacht: Diese angebliche Freiheit des Menschen ist nur eine Illusion, es gibt sie nicht wirklich (herrschende Auffassung, es gibt auch Gegenauffassungen).
[[Datei:Proof-6p-pascal.svg|350px|mini|Zum Beweis des Satzes von Pascal]]
Im reellen Fall kann man den Beweis am Einheitskreis führen. Da ein nichtausgearteter Kegelschnitt über einem beliebigen Körper aber nicht immer als Einheitskreis darstellbar ist, wird hier die immer mögliche Darstellung des Kegelschnitts als Hyperbel benutzt<ref>E. Hartmann: ''[http://www.mathematik.tu-darmstadt.de/~ehartmann/circlegeom.pdf Planar Circle Geometries, an Introduction to Moebius-, Laguerre- and Minkowski Planes.]'' Skript, TH Darmstadt (PDF; 891&nbsp;kB), S.&nbsp;29</ref>.


In der Argumentation, das fällt unter die [[Philosophie des Geistes]], spielt eine wichtige Rolle, daß eine Willensregung physiologisch zeitlich schon früher gemessen werden kann, als sie dann im Bewußtsein als ein "Ich will" relevant wird. Diese durchaus plausible Begründung berücksichtigt freilich nicht, daß ja der menschliche Wille etwas anderes sei, als das Bewußtsein von einem menschlichen Willen, insbesondere freien Willen.
Für den Beweis koordinatisiert man die projektive Ebene [[Projektiver Kegelschnitt|inhomogen]] so, dass <math>P_1=(\infty), P_6=(0)</math> ist, d. h. die Ferngerade ist <math>g_\infty=\overline{P_1P_6} </math> (s. Bild). Ferner sei <math>P_5=(x_5,0)</math> ein Punkt der x-Achse, <math>P_2=(0,y_2)</math> ein Punkt der y-Achse. Dann gilt <math>P_9=(x_9,0)</math> und <math>P_7=(0,y_7)</math> (s. Bild). Die Steigung der Gerade <math>\overline{P_iP_k} </math> sei <math>m_{ik}</math>. Der Satz ist bewiesen, wenn <math>m_{79}=m_{43}</math> bewiesen worden ist.


Denn dieser freie Wille, der kann als frei ja eigentlich nur ein bewußter freier Wille sein.
Man rechnet leicht nach, dass <math>\frac{m_{29}}{m_{25}}=\frac{m_{79}}{m_{75}}</math> ist. Mit <math>m_{29}=m_{23},\;m_{75}=m_{45}</math> (siehe Bild) erhält man
: '''(1)'''<math>:\ m_{79}=\frac{m_{23}}{m_{25}}\cdot m_{45}</math>.
Der Kegelschnitt <math>\mathfrak o</math> wird in dem inhomogenen Koordinatensystem als Hyperbel mit einer Gleichung
:: <math> y=\frac{a}{x-b}+c</math> beschrieben (Die Asymptoten sind parallel zu den Koordinatenachsen !).
: Für solch eine Hyperbel gilt der [[Hyperbel (Mathematik)#Peripheriewinkelsatz für Hyperbeln|Peripheriewinkelsatz für Hyperbeln]]. Wendet man den Peripheriewinkelsatz auf die Grundpunkte <math>P_3,P_5</math> und die Hyperbelpunkte <math>P_2,P_4</math> an, so erhält man die Gleichung
: '''(2)'''<math>:\ \frac{m_{23}}{m_{25}}=\frac{m_{43}}{m_{45}}</math>.
Aus '''(1)''' und '''(2)''' ergibt sich schließlich <math>m_{79}=m_{43}</math>, was zu beweisen war.


== Freiheit und Liebe ==
== Bedeutung des Satzes von Pascal und seiner Ausartungen ==
[[Schiller]] sagt zu dem Thema: "Lieben heißt in Freiheit setzen."
Da der Satz von Pascal eine Aussage über Kegelschnitte ist und Kegelschnitte nur in pappusschen Ebenen erklärt sind, führt man den Begriff des ''Ovals'' in einer beliebigen projektiven Ebene ein, um die Pascal-Eigenschaft in einer beliebigen projektiven Ebene formulieren zu können. Dies ist z.&nbsp;B. bei dem [[Satz von Pappus]] nicht nötig, da dieser ein Satz über Geraden und Punkte ist, die es in jeder projektiven Ebene gibt. Ein Oval ist eine Punktmenge (Kurve) einer projektiven Ebene mit den wesentlichen Inzidenzeigenschaften eines nicht ausgearteten Kegelschnitts.


Wahre Liebe ist nur aus Freiheit möglich. Der Auftrag Christi: Liebet einander, ist wohl ein Gebot, aber ein Gebot an die "Freien" (durch IHN freien). Dieses Wechselverhältnis von Freiheit und Liebe ist schon oft thematisiert, im Rahmen der Diskussion über die Wahrheit der [[Prädestination]]slehre etc.
=== Definition eines Ovals ===
{{Hauptartikel|Oval (Projektive Geometrie)}}
* Eine Menge <math>\mathfrak o</math> von Punkten in einer projektiven Ebene heißt ''Oval'', wenn
: (1) Eine beliebige Gerade <math>g</math> trifft <math>\mathfrak o</math> in höchstens 2 Punkten.<br /> Falls <math>|g\cap\mathfrak o|=0</math> ist, heißt <math>g</math> ''Passante'', falls <math>|g\cap\mathfrak o|=1</math> ist, heißt <math>g</math> ''Tangente'' und falls <math>|g\cap\mathfrak o|=2</math> ist, heißt <math>g</math> ''Sekante''.
: (2) Zu jedem Punkt <math>P \in \mathfrak o</math> gibt es genau eine Tangente <math>t</math>, d.&nbsp;h. <math> t\cap\mathfrak o=\{P\}</math>.
 
=== Pascal-Eigenschaft eines Ovals ===
Ein Oval in einer beliebigen projektiven Ebene, das die im Satz von Pascal für Kegelschnitte angegebene Eigenschaft für beliebige 6 Punkte besitzt, nennt mann ''6-Punkte-pascalsch'' oder kurz ''pascalsch''. Entsprechend definiert man ''5-Punkte-pascalsch'', ''4-Punkte-pascalsch'' und ''3-Punkte-pascalsch'', falls die Aussage der 5-, 4- oder 3-Punkte-Ausartung des Satzes von Pascal für das Oval erfüllt ist (s. Bild).
 
=== Bedeutungen ===
Die Gültigkeit der Pascal-Eigenschaft oder der 5-Punkte-Ausartung für ein Oval in einer projektiven Ebene hat dieselbe Bedeutung wie die [[Satz von Pappus|Pappus-Eigenschaft]] (für ein Geradenpaar):
 
; Satz von [[Francis Buekenhout|Buekenhout]]<ref>F. Buekenhout: ''Plans Projectifs à Ovoides Pascaliens'', Arch. d. Math. Vol. XVII, 1966, S. 89–93.</ref>:
Ist <math>\mathcal P</math> eine projektive Ebene und <math>\mathfrak o</math> ein <math>\color{red}6</math>-Punkte-pascalsches Oval darin, so ist <math>\mathcal P</math> eine pappussche Ebene und <math>\mathfrak o</math> ein Kegelschnitt.
 
; Satz von Hofmann<ref> C.E. Hofmann: ''Specelizations of Pascal's Theorem on an Oval'', Journ. o. Geom., Vol. 1/2 (1971), S. 143–153. </ref>,
Ist <math>\mathcal P</math> eine projektive Ebene und <math>\mathfrak o</math> ein <math>\color{red}5</math>-Punkte-pascalsches Oval darin, so ist <math>\mathcal P</math> eine pappussche Ebene und <math>\mathfrak o</math> ein Kegelschnitt.
 
Mit Hilfe der 4-Punkte-Ausartung und der 3-Punkte-Ausartung des Satzes von Pascal lassen sich in ''pappusschen'' Ebenen Kegelschnitte charakterisieren:
 
; Satz<ref>E. Hartmann: ''[http://www.mathematik.tu-darmstadt.de/~ehartmann/circlegeom.pdf Planar Circle Geometries, an Introduction to Moebius-, Laguerre- and Minkowski Planes.]'' Skript, TH Darmstadt (PDF; 891&nbsp;kB), S.&nbsp;32,33</ref>.
: (a): Ist <math>\mathcal P</math> eine ''pappussche'' projektive Ebene und <math>\mathfrak o</math> ein '''<math>\color{magenta}4</math>'''-Punkte-pascalsches Oval darin, so ist <math>\mathfrak o</math> ein Kegelschnitt.
: (b): Ist <math>\mathcal P</math> eine ''pappussche'' projektive Ebene der Charakteristik <math>\ne 2</math> und <math>\mathfrak o</math> ein '''<math>\color{blue}3</math>'''-Punkte-pascalsches Oval darin, so ist <math>\mathfrak o</math> ein Kegelschnitt.
 
''Bemerkung:'' Wie weit man in den beiden letzten Fällen die Voraussetzung ''pappussch'' abschwächen kann, ist noch ungeklärt. Die Voraussetzung in Aussage (a) lässt sich mindestens auf ''[[Moufang-Ebene|moufangsch]]'' abschwächen.


== Siehe auch ==
== Siehe auch ==
[[wikipedia:Freiheit|Freiheit]]
* {{WikipediaDE|Satz von Pascal}}


== Literatur ==
== Literatur ==
#Rudolf Steiner: ''Die Philosophie der Freiheit'', [[GA 4]] (1978)
* Coxeter, H. S. M., und S. L. Greitzer: ''Zeitlose Geometrie'', Klett Stuttgart, 1983
#Rudolf Steiner: ''Grundelemente der Esoterik'', [[GA 93a]] (1987)
* Gerd Fischer: ''Analytische Geometrie''. 4-te Auflage, Vieweg 1985, ISBN 3-528-37235-4, S. 199
#Rudolf Steiner: ''Die Rätsel der Philosophie'', [[GA 18]] (1985)
* Hanfried Lenz: ''Vorlesungen über projektive Geometrie'', Akad. Verl. Leipzig, 1965, S. 60
{{GA}}
* Roland Stärk: ''Darstellende Geometrie'', Schöningh-Verlag, Paderborn, 1978, ISBN 3-506-37443-5, S. 114
 
== Weblinks ==
* [http://www.mathematik.tu-darmstadt.de/~ehartmann/circlegeom.pdf ''Planar Circle Geometries, an Introduction to Moebius-, Laguerre- and Minkowski Planes''] (PDF; 891&nbsp;kB), Uni Darmstadt, S. 29–35.
* [http://www.mathematik.tu-darmstadt.de/~ehartmann/progeo.pdf ''Projektive Geometrie'', Kurzskript, Uni Darmstadt] (PDF; 180&nbsp;kB), S. 13–16
* [http://mathgardenblog.blogspot.de/2013/06/hexagrammum-mysticum1.html hexagrammum-mysticum]
* [http://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Geometry/Pascal.shtml#words Pascal's theorem auf cut-the-knot] (englisch)
 
== Einzelnachweise ==
<references />
 
[[Kategorie:Ebene Geometrie]]
[[Kategorie:Affine Geometrie]]
[[Kategorie:Projektive Geometrie]]
[[Kategorie:Synthetische Geometrie]]
[[Kategorie:Satz (Mathematik)|NxPascal, Satz von]]
[[Kategorie:Pascal]]


[[Kategorie:Philosophie]] [[Kategorie:Ethik]][[Kategorie:Soziales Leben]][[Kategorie:Geistesleben]]
{{Wikipedia}}

Aktuelle Version vom 23. August 2019, 08:19 Uhr

Satz von Pascal in der reellen affinen Ebene: Sind zwei Paare gegenüberliegender Seiten parallel, so auch das dritte Paar
Satz von Pascal
Satz von Pascal: Kanten-Graph
Satz von Pascal: Indizes 2 und 5 vertauscht

Der Satz von Pascal (nach Blaise Pascal) ist eine Aussage über ein 6-Eck auf einem nicht ausgearteten Kegelschnitt in einer projektiven Ebene. Er lässt sich in der reellen affinen Ebene wie folgt formulieren:

Für ein 6-Eck auf einer Ellipse bei dem zwei Paare gegenüberliegender Seiten parallel sind (im Bild ), ist auch das dritte Paar gegenüberliegender Seiten parallel (im Bild: ).

Betrachtet man diesen Satz in dem projektiven Abschluss einer affinen Ebene (man nimmt die "Ferngerade", auf der sich parallele Geraden schneiden, hinzu), so gilt:

Für beliebige 6 Punkte eines nicht ausgearteten Kegelschnitts in einer projektiven Ebene liegen die Punkte

auf einer Gerade, der Pascal-Gerade (s. Bild).

Die Nummerierung gibt an, welche 6 der 15 Verbindungsgeraden der 6 Punkte benutzt werden und welche Kanten benachbart sind. Die Nummerierung ist so gewählt, dass der Kantengraph durch ein reguläres 6-Eck dargestellt werden kann. Geraden zu gegenüberliegenden Kanten des Kantengraphs werden also geschnitten. Sollen andere Kanten in die Pascalfigur eingehen, muss man die Indizes entsprechend permutieren. Für die 2. Pascal-Konfiguration wurden die Indizes 2 und 5 vertauscht (s. Bild, unten).

Nichtausgeartet heißt hier: keine 3 Punkte liegen auf einer Gerade. Den Kegelschnitt kann man sich also als Ellipse vorstellen. (Ein sich schneidendes Geradenpaar ist ein ausgearteter Kegelschnitt.)

Kegelschnitte sind nur in solchen projektiven Ebenen definiert, die sich über (kommutativen) Körpern koordinatisieren lassen. Beispiele von Körpern sind: die reellen Zahlen , die rationalen Zahlen , die komplexen Zahlen , endliche Körper. Jeder nicht ausgeartete Kegelschnitt einer projektiven Ebene lässt sich in geeigneten homogenen Koordinaten durch die Gleichung beschreiben (s. projektiver Kegelschnitt).

Bezug zu anderen Sätzen und Verallgemeinerungen

Satz v.Pascal: Ausartungen
  • Der Satz von Pascal ist die duale Version des Satzes von Brianchon.
  • Zum Satz von Pascal gibt es Ausartungen mit 5 bzw. 4 bzw. 3 Punkten (auf einem Kegelschnitt). Bei einer Ausartung fallen zwei durch eine Kante verbundene Punkte formal zusammen und die zugehörige Sekante der Pascalfigur wird durch die Tangente in dem verbleibenden Punkt ersetzt. Siehe hierzu die Figur und weblink planar circlegeometries, S. 30–35. Durch eine geeignete Wahl einer Gerade der Pascalfiguren als Ferngerade ergeben sich Schließungssätze für Hyperbeln und Parabeln. Siehe Hyperbel und Parabel.
  • Falls der Kegelschnitt vollständig in einer affinen Ebene enthalten ist, gibt es auch (die am Anfang beschriebene) affine Form des Satzes, bei der die Pascalgerade die Ferngerade ist. Die affine Form gibt es z. B. in der reellen und der rationalen affinen Ebene, aber nicht in der komplexen affinen Ebene. In der komplexen projektiven Ebene schneidet jeder n.a. Kegelschnitt jede Gerade. Es gibt also keine Passante des Kegelschnitts, die man als Ferngerade wählen könnte.
  • Die Figur der sechs Punkte auf dem Kegelschnitt wird auch Hexagrammum Mysticum genannt.[1]
  • Der Satz von Pascal ist auch für ein Geradenpaar (ausgearteter Kegelschnitt) gültig und ist dann identisch mit dem Satz von Pappos-Pascal.
  • Der Satz von Pascal wurde durch August Ferdinand Möbius im Jahre 1847 verallgemeinert:
Angenommen, ein Polygon mit Seiten sei in einen Kegelschnitt einbeschrieben. Nun verlängert man die gegenüberliegenden Seiten, bis sie sich in Punkten schneiden. Liegen dann dieser Punkte auf einer gemeinsamen Linie, so liegt auch der letzte Punkt auf dieser Linie.

Beweis des Satzes von Pascal

Zum Beweis des Satzes von Pascal

Im reellen Fall kann man den Beweis am Einheitskreis führen. Da ein nichtausgearteter Kegelschnitt über einem beliebigen Körper aber nicht immer als Einheitskreis darstellbar ist, wird hier die immer mögliche Darstellung des Kegelschnitts als Hyperbel benutzt[2].

Für den Beweis koordinatisiert man die projektive Ebene inhomogen so, dass ist, d. h. die Ferngerade ist (s. Bild). Ferner sei ein Punkt der x-Achse, ein Punkt der y-Achse. Dann gilt und (s. Bild). Die Steigung der Gerade sei . Der Satz ist bewiesen, wenn bewiesen worden ist.

Man rechnet leicht nach, dass ist. Mit (siehe Bild) erhält man

(1).

Der Kegelschnitt wird in dem inhomogenen Koordinatensystem als Hyperbel mit einer Gleichung

beschrieben (Die Asymptoten sind parallel zu den Koordinatenachsen !).
Für solch eine Hyperbel gilt der Peripheriewinkelsatz für Hyperbeln. Wendet man den Peripheriewinkelsatz auf die Grundpunkte und die Hyperbelpunkte an, so erhält man die Gleichung
(2).

Aus (1) und (2) ergibt sich schließlich , was zu beweisen war.

Bedeutung des Satzes von Pascal und seiner Ausartungen

Da der Satz von Pascal eine Aussage über Kegelschnitte ist und Kegelschnitte nur in pappusschen Ebenen erklärt sind, führt man den Begriff des Ovals in einer beliebigen projektiven Ebene ein, um die Pascal-Eigenschaft in einer beliebigen projektiven Ebene formulieren zu können. Dies ist z. B. bei dem Satz von Pappus nicht nötig, da dieser ein Satz über Geraden und Punkte ist, die es in jeder projektiven Ebene gibt. Ein Oval ist eine Punktmenge (Kurve) einer projektiven Ebene mit den wesentlichen Inzidenzeigenschaften eines nicht ausgearteten Kegelschnitts.

Definition eines Ovals

  • Eine Menge von Punkten in einer projektiven Ebene heißt Oval, wenn
(1) Eine beliebige Gerade trifft in höchstens 2 Punkten.
Falls ist, heißt Passante, falls ist, heißt Tangente und falls ist, heißt Sekante.
(2) Zu jedem Punkt gibt es genau eine Tangente , d. h. .

Pascal-Eigenschaft eines Ovals

Ein Oval in einer beliebigen projektiven Ebene, das die im Satz von Pascal für Kegelschnitte angegebene Eigenschaft für beliebige 6 Punkte besitzt, nennt mann 6-Punkte-pascalsch oder kurz pascalsch. Entsprechend definiert man 5-Punkte-pascalsch, 4-Punkte-pascalsch und 3-Punkte-pascalsch, falls die Aussage der 5-, 4- oder 3-Punkte-Ausartung des Satzes von Pascal für das Oval erfüllt ist (s. Bild).

Bedeutungen

Die Gültigkeit der Pascal-Eigenschaft oder der 5-Punkte-Ausartung für ein Oval in einer projektiven Ebene hat dieselbe Bedeutung wie die Pappus-Eigenschaft (für ein Geradenpaar):

Satz von Buekenhout[3]

Ist eine projektive Ebene und ein -Punkte-pascalsches Oval darin, so ist eine pappussche Ebene und ein Kegelschnitt.

Satz von Hofmann[4],

Ist eine projektive Ebene und ein -Punkte-pascalsches Oval darin, so ist eine pappussche Ebene und ein Kegelschnitt.

Mit Hilfe der 4-Punkte-Ausartung und der 3-Punkte-Ausartung des Satzes von Pascal lassen sich in pappusschen Ebenen Kegelschnitte charakterisieren:

Satz[5].
(a): Ist eine pappussche projektive Ebene und ein -Punkte-pascalsches Oval darin, so ist ein Kegelschnitt.
(b): Ist eine pappussche projektive Ebene der Charakteristik und ein -Punkte-pascalsches Oval darin, so ist ein Kegelschnitt.

Bemerkung: Wie weit man in den beiden letzten Fällen die Voraussetzung pappussch abschwächen kann, ist noch ungeklärt. Die Voraussetzung in Aussage (a) lässt sich mindestens auf moufangsch abschwächen.

Siehe auch

Literatur

  • Coxeter, H. S. M., und S. L. Greitzer: Zeitlose Geometrie, Klett Stuttgart, 1983
  • Gerd Fischer: Analytische Geometrie. 4-te Auflage, Vieweg 1985, ISBN 3-528-37235-4, S. 199
  • Hanfried Lenz: Vorlesungen über projektive Geometrie, Akad. Verl. Leipzig, 1965, S. 60
  • Roland Stärk: Darstellende Geometrie, Schöningh-Verlag, Paderborn, 1978, ISBN 3-506-37443-5, S. 114

Weblinks

Einzelnachweise

  1. Jacob Steiner’s Vorlesungen über synthetische Geometrie, B. G. Teubner, Leipzig 1867 (bei Google Books: [1]), 2. Teil, S. 128.
  2. E. Hartmann: Planar Circle Geometries, an Introduction to Moebius-, Laguerre- and Minkowski Planes. Skript, TH Darmstadt (PDF; 891 kB), S. 29
  3. F. Buekenhout: Plans Projectifs à Ovoides Pascaliens, Arch. d. Math. Vol. XVII, 1966, S. 89–93.
  4. C.E. Hofmann: Specelizations of Pascal's Theorem on an Oval, Journ. o. Geom., Vol. 1/2 (1971), S. 143–153.
  5. E. Hartmann: Planar Circle Geometries, an Introduction to Moebius-, Laguerre- and Minkowski Planes. Skript, TH Darmstadt (PDF; 891 kB), S. 32,33


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