Logik und Satz von Pascal: Unterschied zwischen den Seiten

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[[Bild:Aristoteles_Bueste.jpg|thumb|200px|right|Aristoteles-Büste]]
[[Datei:Pascal-6points-3-s.svg|250px|mini|Satz von Pascal in der reellen affinen Ebene: Sind zwei Paare gegenüberliegender Seiten parallel, so auch das dritte Paar]]
Die '''Logik''' ({{ELSalt|ἡ λογική (τέχνη)}} ''he logiké téchne'' „die denkende [Kunst, Vorgehensweise]“) oder '''Folgerichtigkeit''' (→ [[Konsistenz]]) ist die Lehre von den Gesetzen des richtigen, schrittweise durch [[Schlussfolgerung|Schlussfolgerung]]en, also [[diskursiv]] voranschreitenden [[verstand]]esmäßigen [[Denken]]s. In der klassischen, von [[Aristoteles]] begründeten Logik hat jede [[logische Aussage]] genau zwei [[Wikipedia:Wahrheitswert|Wahrheitswert]]e, nämlich [[wahr]] oder [[falsch]] ([[Wikipedia:Bivalenzprinzip|Bivalenzprinzip]]). Im [[Wikipedia:20. Jahrhundert|20. Jahrhundert]] wurden [[Wikipedia:Mehrwertige Logik|mehrwertige Logiken]] entwickelt, die über mehr als zwei Wahrheitswerte verfügen. Die erste mehrwertige Logik wurde [[Wikipedia:1920|1920]] von [[Wikipedia:Jan Łukasiewicz|Jan Łukasiewicz]] als dreiwertige Logik mit den Wahrheitswerten ''wahr'', ''falsch'' und ''[[möglich]]'' formalisiert. Mittlerweile gibt es verschiedenste Logiken mit endlich vielen, aber auch mit [[unendlich]] vielen Wahrheitswerten, wie etwa die [[Wikipedia:Fuzzylogik|Fuzzylogik]] ("unscharfe Logik", von [[Englische Sprache|engl.]] ''fuzzy '', "verwischt, verschwommen, unbestimmt"), die in den [[Naturwissenschaft]]en und in der [[Wikipedia:Informatik|Informatik]] große praktische Bedeutung gefunden haben. Mit der [[Wikipedia:Quantenlogik|Quantenlogik]], die aus der Formalisierung der [[Quantentheorie]], die grundsätzlich nur [[Wikipedia:Wahrscheinlichkeit|Wahrscheinlichkeit]]saussagen zulässt, enstanden ist, wurden logischen Aussagen erstmals ''Wahrscheinlichkeitswerte'' zugewiesen.
[[Datei:Pascal-6points-s.svg|250px|mini|Satz von Pascal]]
[[Datei:Pascal-6points-graph-s.svg|150px|mini|Satz von Pascal: Kanten-Graph]]
[[Datei:Pascal-6points-2-s.svg|450px|mini|Satz von Pascal: Indizes 2 und 5 vertauscht]]
Der '''Satz von Pascal''' (nach [[Blaise Pascal]]) ist eine Aussage über ein 6-Eck auf einem nicht ausgearteten Kegelschnitt in einer [[Projektive Ebene|projektiven Ebene]]. Er lässt sich in der reellen affinen Ebene wie folgt formulieren:


== Die menschliche Organisation als Grundlage der Logik ==
: Für ein 6-Eck <math>P_1,P_2,P_3,P_4,P_5,P_6</math> auf einer Ellipse bei dem zwei Paare gegenüberliegender Seiten  parallel sind (im Bild <math>\overline{P_1P_2} \parallel \overline{P_4P_5},\;\overline{P_6P_1}\parallel \overline{P_3P_4}</math>), ist auch das dritte Paar gegenüberliegender Seiten parallel (im Bild: <math> \overline{P_2P_3} \parallel \overline{P_5P_6}</math>).
Ihre Grundlage hat die Logik in der allgemein [[menschheit]]lichen, aber [[individuell]] differenzierten [[Organisation]].


{{GZ|Wenn
Betrachtet man diesen Satz in dem projektiven Abschluss einer affinen Ebene (man nimmt die "Ferngerade", auf der sich parallele Geraden schneiden, hinzu), so gilt:
wir alle gleich denken, so kommt es nur davon, daß wir alle
gleich individuell organisiert sind und daß der Verstand
geknüpft ist an dies in allen Menschen gleich organisierte
Individuelle. Sie denken schon, insoferne Sie differenziert
sind, auch verschieden. Das sind aber Nuancen, die mit der
eigentlichen Logik nichts zu tun haben. Das eigentliche logische
und dialektische Denken ist aber ein Ausfluß der allgemeinen
menschheitlichen, aber individuell differenzierten
Organisation.|74|56}}


== Modallogik ==
Für beliebige 6 Punkte <math>P_1,P_2,P_3,P_4,P_5,P_6 </math> eines [[Projektiver Kegelschnitt|nicht ausgearteten Kegelschnitts]] in einer projektiven Ebene liegen die Punkte
: <math> P_7:= \overline{P_1P_2}\cap \overline{P_4P_5},</math>
: <math> P_8:= \overline{P_6P_1}\cap \overline{P_3P_4},</math>
: <math> P_9:= \overline{P_2P_3}\cap \overline{P_5P_6}</math>
auf einer Gerade, der '''Pascal-Gerade''' (s. Bild).


Die '''Modallogik''' beschäftigt sich über die Begriffe von [[wahr]] oder [[falsch]] hinaus auch mit den '''Modalitäten''' (von [[lat.]] ''modalitas'' „Art und Weise, Möglichkeit, Bedingung, Ausführungsart“) der [[Möglichkeit]] (bzw. Unmöglichkeit) und [[Notwendigkeit]], durch die [[Aussage]]n zusätzlich charakterisiert werden können. Erste Ansätze dazu finden sich bereits bei [[Aristoteles]]. Später prägte etwa [[Gottfried Wilhelm Leibniz]] den Begriff der „möglichen Welt“ und löste das [[Theodizeeproblem]], indem er postulierte, dass wir in der „besten aller möglichen Welten“ leben. Im [[Wikipedia:20. Jahrhundert|20. Jahrhundert]] entwickelte [[Wikipedia:Hugh Everett|Hugh Everett]] auf dieser Basis die [[Wikipedia:Viele-Welten-Interpretation|Viele-Welten-Interpretation]], um das [[Wikipedia:Quantenmechanische Messung#Das Messproblem|Messproblem]] der [[Quantenmechanik]] zu lösen.
Die ''Nummerierung'' gibt an, welche 6 der 15 Verbindungsgeraden der 6 Punkte benutzt werden und welche Kanten benachbart sind. Die Nummerierung ist so gewählt, dass der Kantengraph durch ein reguläres 6-Eck dargestellt werden kann. Geraden zu gegenüberliegenden Kanten des Kantengraphs werden also geschnitten. Sollen andere Kanten in die Pascalfigur eingehen, muss man die Indizes entsprechend permutieren. Für die 2. Pascal-Konfiguration wurden die Indizes 2 und 5 vertauscht (s. Bild, unten).


== Formale Logik ==
''Nichtausgeartet'' heißt hier: keine 3 Punkte liegen auf einer Gerade. Den Kegelschnitt kann man sich also als Ellipse vorstellen. (Ein sich schneidendes Geradenpaar ist ein ''ausgearteter'' Kegelschnitt.)


In der '''formalen Logik''' werden die [[Aussage]]n und [[Schlussfolgerung]]en streng formalisiert dargestellt. [[Immanuel Kant]] definierte sie als ein regelgeleitetes Schließen, das „von allem Inhalt der Verstandeserkenntnis und der Verschiedenheit ihrer Gegenstände“ abstrahiert, also „mit nichts anderem als der bloßen Form des Denkens zu tun“ hat<ref>Kant: [[Wikipedia:Kritik der reinen Vernunft|Kritik der reinen Vernunft]], 1781, S. 54</ref> und unterschied davon die „[[transzendentale Logik]]“, die auch den Inhalt von Aussagen behandelt.
''Kegelschnitte'' sind nur in solchen projektiven Ebenen definiert, die sich über (kommutativen) [[Körper (Algebra)|Körpern]] koordinatisieren lassen. Beispiele von Körpern sind: die [[reelle Zahl|reellen Zahlen]] <math>\R</math>, die [[rationale Zahl|rationalen Zahlen]] <math>\Q</math>, die [[Komplexe Zahl|komplexen Zahlen]] <math>\Complex</math>, [[Körper (Algebra)#Endliche Körper|endliche Körper]]. Jeder nicht ausgeartete Kegelschnitt einer projektiven Ebene lässt sich in geeigneten [[Homogene Koordinaten|homogenen Koordinaten]] durch die Gleichung <math> x_1x_2=x_0^2</math> beschreiben (s. [[projektiver Kegelschnitt]]).


== Logische Verknüpfungen ==
== Bezug zu anderen Sätzen und Verallgemeinerungen ==
[[Datei:Pascal-3456-s.svg|450px|mini|Satz v.Pascal: Ausartungen]]
* Der Satz von Pascal ist die [[Dualität (Mathematik)#Dualitätsprinzip der projektiven Geometrie und in Inzidenzstrukturen|duale]] Version des [[Satz von Brianchon|Satzes von Brianchon]].
* Zum Satz von Pascal gibt es ''Ausartungen'' mit 5 bzw. 4 bzw. 3 Punkten (auf einem Kegelschnitt). Bei einer Ausartung fallen zwei durch eine Kante verbundene Punkte formal zusammen und die zugehörige Sekante der Pascalfigur wird durch die Tangente in dem verbleibenden Punkt ersetzt. Siehe hierzu die Figur und weblink ''planar circlegeometries'', S. 30–35. Durch eine geeignete Wahl einer Gerade der Pascalfiguren als Ferngerade ergeben sich Schließungssätze für Hyperbeln und Parabeln. Siehe [[Hyperbel (Mathematik)#Hyperbel als affines Bild der Hyperbel y=1/x|Hyperbel]] und [[Parabel (Mathematik)#Eigenschaften|Parabel]].
* Falls der Kegelschnitt ''vollständig'' in einer affinen Ebene enthalten ist, gibt es auch (die am Anfang beschriebene) '''affine Form''' des Satzes, bei der die Pascalgerade die Ferngerade ist. Die affine Form gibt es z.&nbsp;B. in der reellen und der rationalen affinen Ebene, aber nicht in der komplexen affinen Ebene. In der komplexen projektiven Ebene schneidet jeder n.a. Kegelschnitt jede Gerade. Es gibt also keine Passante des Kegelschnitts, die man als Ferngerade wählen könnte.
* Die Figur der sechs Punkte auf dem Kegelschnitt wird auch '''Hexagrammum Mysticum''' genannt.<ref>''Jacob Steiner’s Vorlesungen über synthetische Geometrie'', B. G. Teubner, Leipzig 1867 (bei Google Books: [http://books.google.de/books?id=jCgPAAAAQAAJ]), 2. Teil, S. 128. </ref>
* Der Satz von Pascal ist auch für ein Geradenpaar (ausgearteter Kegelschnitt) gültig und ist dann identisch mit dem [[Satz von Pappos-Pascal]].
* Der Satz von Pascal wurde durch [[August Ferdinand Möbius]] im Jahre [[1847]] verallgemeinert:
: Angenommen, ein [[Polygon]] mit <math>4n + 2</math> Seiten sei in einen Kegelschnitt einbeschrieben. Nun verlängert man die gegenüberliegenden Seiten, bis sie sich in <math>2n + 1</math> Punkten schneiden. Liegen dann <math>2n</math> dieser Punkte auf einer gemeinsamen Linie, so liegt auch der letzte Punkt auf dieser Linie.
* Eine weitere Verallgemeinerung ist der [[Satz von Cayley-Bacharach]].


In der klassischen '''Aussagenlogik''' sind folgende '''logische Verknüpfungen''' ([[Wikipedia:Junktoren|Junktoren]], von [[lat.]] ''iungere'' „verknüpfen, verbinden“) zweier [[Logische Aussage|logischer Aussagen]] <math>P</math> und <math>Q</math> am gebräuchlichsten:
== Beweis des Satzes von Pascal ==
[[Datei:Proof-6p-pascal.svg|350px|mini|Zum Beweis des Satzes von Pascal]]
Im reellen Fall kann man den Beweis am Einheitskreis führen. Da ein nichtausgearteter Kegelschnitt über einem beliebigen Körper aber nicht immer als Einheitskreis darstellbar ist, wird hier die immer mögliche Darstellung des Kegelschnitts als Hyperbel benutzt<ref>E. Hartmann: ''[http://www.mathematik.tu-darmstadt.de/~ehartmann/circlegeom.pdf Planar Circle Geometries, an Introduction to Moebius-, Laguerre- and Minkowski Planes.]'' Skript, TH Darmstadt (PDF; 891&nbsp;kB), S.&nbsp;29</ref>.


* die [[Wikipedia:Negation|Negation]] <math>\neg P</math> entspricht einer Verneinung
Für den Beweis koordinatisiert man die projektive Ebene [[Projektiver Kegelschnitt|inhomogen]] so, dass <math>P_1=(\infty), P_6=(0)</math> ist, d. h. die Ferngerade ist <math>g_\infty=\overline{P_1P_6} </math> (s. Bild). Ferner sei <math>P_5=(x_5,0)</math> ein Punkt der x-Achse, <math>P_2=(0,y_2)</math> ein Punkt der y-Achse. Dann gilt <math>P_9=(x_9,0)</math> und <math>P_7=(0,y_7)</math> (s. Bild). Die Steigung der Gerade <math>\overline{P_iP_k} </math> sei <math>m_{ik}</math>. Der Satz ist bewiesen, wenn <math>m_{79}=m_{43}</math> bewiesen worden ist.
* die [[Wikipedia:Implikation|materiale Implikation]], auch Subjunktion oder Konditional genannt, <math>P \rightarrow Q</math>, entspricht der [[Hinreichende Bedingung|hinreichenden Bedingung]] „(Schon) wenn P, dann Q“
* das [[Wikipedia:Bikonditional|Bikonditional]], auch Bisubjunktion oder [[Äquivalente Bedingung|Äquivalenz]] genannt, <math>P \leftrightarrow Q</math>, entspricht einer [[Hinreichende Bedingung|hinreichenden]] und [[Notwendige Bedingung|notwendigen Bedingung]], „Q genau dann, wenn P“
* die [[Wikipedia:Konjunktion (Logik)|Konjunktion]] <math>P \land Q</math>, das logische Und: „Sowohl P als auch Q“
* die [[Wikipedia:Disjunktion|Disjunktion]] <math>P \vee Q</math>, das einschließende Oder: „Entweder P oder Q oder beide“


== Logische Schlussfolgerungen ==
Man rechnet leicht nach, dass <math>\frac{m_{29}}{m_{25}}=\frac{m_{79}}{m_{75}}</math> ist. Mit <math>m_{29}=m_{23},\;m_{75}=m_{45}</math> (siehe Bild) erhält man
: '''(1)'''<math>:\ m_{79}=\frac{m_{23}}{m_{25}}\cdot m_{45}</math>.
Der Kegelschnitt <math>\mathfrak o</math> wird in dem inhomogenen Koordinatensystem als Hyperbel mit einer Gleichung
:: <math> y=\frac{a}{x-b}+c</math> beschrieben (Die Asymptoten sind parallel zu den Koordinatenachsen !).
: Für solch eine Hyperbel gilt der [[Hyperbel (Mathematik)#Peripheriewinkelsatz für Hyperbeln|Peripheriewinkelsatz für Hyperbeln]]. Wendet man den Peripheriewinkelsatz auf die Grundpunkte <math>P_3,P_5</math> und die Hyperbelpunkte <math>P_2,P_4</math> an, so erhält man die Gleichung
: '''(2)'''<math>:\ \frac{m_{23}}{m_{25}}=\frac{m_{43}}{m_{45}}</math>.
Aus '''(1)''' und '''(2)''' ergibt sich schließlich <math>m_{79}=m_{43}</math>, was zu beweisen war.


Die '''klassische Logik''' oder '''Begriffslogik''' schreitet durch drei grundlegende Glieder voran, nämlich - entgegen der herkömmlichen Meinung - vom [[Schluss]] über das [[Urteil]] hin zum [[Begriff]]:
== Bedeutung des Satzes von Pascal und seiner Ausartungen ==
Da der Satz von Pascal eine Aussage über Kegelschnitte ist und Kegelschnitte nur in pappusschen Ebenen erklärt sind, führt man den Begriff des ''Ovals'' in einer beliebigen projektiven Ebene ein, um die Pascal-Eigenschaft in einer beliebigen projektiven Ebene formulieren zu können. Dies ist z.&nbsp;B. bei dem [[Satz von Pappus]] nicht nötig, da dieser ein Satz über Geraden und Punkte ist, die es in jeder projektiven Ebene gibt. Ein Oval ist eine Punktmenge (Kurve) einer projektiven Ebene mit den wesentlichen Inzidenzeigenschaften eines nicht ausgearteten Kegelschnitts.


<div style="margin-left:20px">
=== Definition eines Ovals ===
"Indem wir uns logisch, das heißt denkend-erkennend betätigen,
{{Hauptartikel|Oval (Projektive Geometrie)}}
haben wir in dieser Betätigung immer drei Glieder. Erstens haben wir
* Eine Menge <math>\mathfrak o</math> von Punkten in einer projektiven Ebene heißt ''Oval'', wenn
immerfort dasjenige in unserem denkenden Erkennen drinnen, was wir
: (1) Eine beliebige Gerade <math>g</math> trifft <math>\mathfrak o</math> in höchstens 2 Punkten.<br /> Falls <math>|g\cap\mathfrak o|=0</math> ist, heißt <math>g</math> ''Passante'', falls <math>|g\cap\mathfrak o|=1</math> ist, heißt <math>g</math> ''Tangente'' und falls <math>|g\cap\mathfrak o|=2</math> ist, heißt <math>g</math> ''Sekante''.
Schlüsse nennen. Für das gewöhnliche Leben äußert sich ja das Denken
: (2) Zu jedem Punkt <math>P \in \mathfrak o</math> gibt es genau eine Tangente <math>t</math>, d.&nbsp;h. <math> t\cap\mathfrak o=\{P\}</math>.
in der Sprache. Wenn Sie das Gefüge der Sprache überblicken, werden
Sie finden: indem Sie sprechen, bilden Sie fortwährend Schlüsse
aus. Diese Tätigkeit des Schließens ist die allerbewußteste im Menschen.
Der Mensch würde sich durch die Sprache nicht äußern können,
wenn er nicht fortwährend Schlüsse sprechen würde; er würde nicht
das, was der andere zu ihm sagt, verstehen können, wenn er nicht fortwährend
Schlüsse in sich aufnehmen könnte. Die Schullogik zergliedert
gewöhnlich die Schlüsse; dadurch verfälscht sie sie schon, insofern
die Schlüsse im gewöhnlichen Leben vorkommen. Die Schullogik
bedenkt nicht, daß wir schon einen Schluß ziehen, wenn wir ein einzelnes
Ding ins Auge fassen. Denken Sie sich, Sie gehen in eine Menagerie
und sehen dort einen Löwen. Was tun Sie denn zuallererst, indem
Sie den Löwen wahrnehmen? Sie werden zuallererst das, was Sie
am Löwen sehen, sich zum Bewußtsein bringen, und nur durch dieses
Sich-zum-Bewußtsein-Bringen kommen Sie mit Ihren Wahrnehmungen
gegenüber dem Löwen zurecht. Sie haben im Leben gelernt,
ehe Sie in die Menagerie gegangen sind, daß solche Wesen, die sich so
äußern wie der Löwe, den Sie jetzt sehen, «Tiere» sind. Was Sie da
aus dem Leben gelernt haben, bringen Sie schon mit in die Menagerie.
Dann schauen Sie den Löwen an und finden: der Löwe tut eben auch
das, was Sie bei den Tieren kennengelernt haben. Dies verbinden Sie
mit dem, was Sie aus der Lebenserkenntnis mitgebracht haben, und
bilden sich dann das Urteil: Der Löwe ist ein Tier. - Erst wenn Sie
dieses Urteil sich gebildet haben, verstehen Sie den einzelnen Begriff
«Löwe». Das erste, was Sie ausführen, ist ein Schluß; das zweite, was
Sie ausführen, ist ein Urteil; und das letzte, wozu Sie im Leben kommen,
ist ein Begriff. Sie wissen natürlich nicht, daß Sie diese Betätigung
fortwährend vollziehen; aber würden Sie sie nicht vollziehen,
so würden Sie kein bewußtes Leben führen, das Sie geeignet macht,
sich durch die Sprache mit anderen Menschenwesen zu verständigen.
Man glaubt gewöhnlich, der Mensch komme zuerst zu den Begriffen.
Das ist nicht wahr. Das erste im Leben sind die Schlüsse. Und wir
können sagen: Wenn wir nicht unsere Wahrnehmung des Löwen, wenn
wir in die Menagerie gehen, aus der gesamten übrigen Lebenserfahrung
herausschälen, sondern wenn wir sie in unsere ganze übrige Lebenserfahrung
hineinstellen, so ist das erste, was wir in der Menagerie vollbringen,
das Ziehen eines Schlusses. - Wir müssen uns klar sein: daß
wir in die Menagerie gehen und den Löwen sehen, ist nur eine Einzelhandlung
und gehört zum ganzen Leben hinzu. Wir haben nicht angefangen
zu leben, als wir die Menagerie betreten und den Blick auf den
Löwen gerichtet haben. Das schließt sich an das vorherige Leben an,
und das vorherige Leben spielt da hinein, und wiederum wird das, was
wir aus der Menagerie mitnehmen, hinausgetragen in das übrige Leben.
- Wenn wir aber nun den ganzen Vorgang betrachten, was ist
dann der Löwe zuerst? Er ist zuerst ein Schluß. Wir können durchaus
sagen: Der Löwe ist ein Schluß. Ein bißchen später: Der Löwe ist ein
Urteil. Und wieder ein bißchen später: Der Löwe ist ein Begriff." {{Lit|{{G|293|134f}}}}
</div>


Das logische Denken ist an das Werkzeug des [[Gehirn]]s gebunden und ''unmittelbar'' nur auf die [[physische Welt]] anwendbar. Es ist aber bis hinauf zum [[Devachan]] brauchbar; erst auf dem [[Buddhiplan]] verliert es ganz seine Gültigkeit. Der [[Geistesschüler]] muss daher auf eine gute Ausbildung des logischen Denkens achten.
=== Pascal-Eigenschaft eines Ovals ===
Ein Oval in einer beliebigen projektiven Ebene, das die im Satz von Pascal für Kegelschnitte angegebene Eigenschaft für beliebige 6 Punkte besitzt, nennt mann ''6-Punkte-pascalsch'' oder kurz ''pascalsch''. Entsprechend definiert man ''5-Punkte-pascalsch'', ''4-Punkte-pascalsch'' und ''3-Punkte-pascalsch'', falls die Aussage der 5-, 4- oder 3-Punkte-Ausartung des Satzes von Pascal für das Oval erfüllt ist (s. Bild).


{{GZ|Nur eines
=== Bedeutungen ===
bleibt gleich durch alle Welten, und das ist das logische Denken.
Die Gültigkeit der Pascal-Eigenschaft oder der 5-Punkte-Ausartung für ein Oval in einer projektiven Ebene hat dieselbe Bedeutung wie die [[Satz von Pappus|Pappus-Eigenschaft]] (für ein Geradenpaar):
Die Wahrnehmungen sind ganz verschieden in der astralischen,
in der devachanischen Welt, aber die Denkgesetze sind in allen
drei Welten die gleichen. Daher muß der Rosenkreuzerschüler erst
dieses Denken lernen, damit er nicht abirre von dem sicheren
Pfade.|97|237}}


<div style="margin-left:20px">
; Satz von [[Francis Buekenhout|Buekenhout]]<ref>F. Buekenhout: ''Plans Projectifs à Ovoides Pascaliens'', Arch. d. Math. Vol. XVII, 1966, S. 89–93.</ref>:
"Aber eines gibt es, das
Ist <math>\mathcal P</math> eine projektive Ebene und <math>\mathfrak o</math> ein <math>\color{red}6</math>-Punkte-pascalsches Oval darin, so ist <math>\mathcal P</math> eine pappussche Ebene und <math>\mathfrak o</math> ein Kegelschnitt.
durch alle Welten hindurch bis hinauf zum Devachan dasselbe bleibt,
das sich nicht ändert: Das ist das logisch geschulte Denken. Erst
auf dem Buddhiplan hat das Denken nicht mehr die gleiche Geltung
wie auf dem physischen Plan. Da muß ein anderes Denken eintreten.  
Aber für die drei Welten unterhalb des Buddhiplanes, für den physischen,
astralen und devachanischen Plan, gilt überall das gleiche
Denken. Wer sich also durch das Studium in der physischen Welt
ordentlich im Denken schult, wird in den höheren Welten in diesem
Denken einen guten Führer haben und nicht so leicht straucheln wie
der, welcher mit verworrenem Denken in die Geistgebiete aufsteigen
will. Daher lehrt die Rosenkreuzerschulung die Menschen, sich in
den höheren Welten frei zu bewegen, indem sie dieselben dazu anhält,
ihr Denken zu disziplinieren. Wer in diese Welten hinaufgelangt,
lernt zwar Wahrnehmungsweisen kennen, die es auf dem physischen
Plan nicht gibt, aber er wird sie mit seinem Denken beherrschen
können." {{Lit|{{G|96|143f}}}}
</div>


Das logische Denken wurde schrittweise in der [[Nachatlantische Zeit|nachatlantischen Zeit]] herausgebildet, mit einem ersten Höhepunkt bei [[Aristoteles]], und schließlich durch den [[Arabismus]] zur Reife gebracht.
; Satz von Hofmann<ref> C.E. Hofmann: ''Specelizations of Pascal's Theorem on an Oval'', Journ. o. Geom., Vol. 1/2 (1971), S. 143–153. </ref>,
Ist <math>\mathcal P</math> eine projektive Ebene und <math>\mathfrak o</math> ein <math>\color{red}5</math>-Punkte-pascalsches Oval darin, so ist <math>\mathcal P</math> eine pappussche Ebene und <math>\mathfrak o</math> ein Kegelschnitt.


<div style="margin-left:20px">
Mit Hilfe der 4-Punkte-Ausartung und der 3-Punkte-Ausartung des Satzes von Pascal lassen sich in ''pappusschen'' Ebenen Kegelschnitte charakterisieren:
"Wir haben gesehen, daß ein kleines Häuflein von Menschen in der Gegend des heutigen Irland am meisten vorgeschritten war, wie sie diejenigen Fähigkeiten gehabt haben, die nach und nach in aufeinan derfolgenden Kulturepochen heraustraten. Die Ich-Anlage hat sich ja, wie wir wissen, seit der lemurischen Zeit her entwickelt, aber jene Stufe der Ichheit, die in diesem kleinen Häuflein Menschen lebte, das sozu sagen die Kulturströmung von Westen nach Osten geschickt hat, bestand in der Anlage zum logischen Erwägen, zur Urteilskraft. Vorher gab es so etwas nicht; wenn ein Gedanke da war, war er auch schon bewiesen. Ein urteilendes Denken war bei diesem Völkchen veranlagt, und sie brachten diese Keimanlage hinüber vom Westen nach dem Osten, und bei jenen Kolonisationszügen, von denen einer nach Süden hinunterging, nach Indien, da wurde die erste Anlage zur Gedanken bildung gemacht. Dann wurde der persischen Kultur der kombinie­rende Gedanke eingeflößt, und in der dritten, in der chaldäischen, wurde dieser kombinierende Gedanke noch intensiver; die Griechen aber brachten es so weit, daß sie das herrliche Denkmal der aristotelischen Philosophie hinterließen. So geht es immer weiter, das kombinierende Denken entwickelt sich immer mehr und mehr, es geht aber immer auf einen Mittelpunkt zurück, und es finden Nachschübe statt. Wir müssen uns das so vorstellen: Als die Kultur von jenem Punkte hinübergezogen ist nach einem Punkte in Asien, da wandte sich ein Zug nach Indien, der noch am schwächsten durchtränkt war vom reinen logischen Denken. Der zweite Zug, der nach Persien ging, war schon mehr durchdrungen davon, der ägyptische noch mehr, und innerhalb dieses Zuges hat sich das Volk des Alten Testaments abgesondert, welches gerade diejenige Anlage zur Kombination hatte, die entwickelt werden mußte, um wiederum einen Schritt vorwärts zu machen in dieser reinen logischen Erkenntnisform des Menschen. Nun ist aber auch das andere damit verknüpft, was wir betrachtet haben: das Heruntersteigen auf den physischen Plan. Je mehr wir heruntersteigen, desto mehr wird der Gedanke bloß logisch und auf die äußere Urteilskraft angewiesen. Denn logisches Denken, reine bloße mensch liche Logik, die von Begriff zu Begriff geht, die braucht zu ihrem Instrument das Gehirn; das ausgebildete Gehirn vermittelt bloß das lo­gische Denken. Daher kann dies äußerliche Denken, selbst da, wo es eine erstaunliche Höhe erreicht, niemals zum Beispiel die Reinkarnation durch sich selbst erfassen, weil dieses logische Denken zunächst nur anwendbar ist auf das Äußerliche, Sinnliche um uns herum.


Die Logik ist zwar für alle Welten anwendbar, aber unmittelbar angewendet kann sie nur in bezug auf die physische Weit werden. Also an ihr Instrument, an das physische Gehirn ist die Logik unbedingt gebunden, wenn sie als menschliche Logik auftritt; nie hätte das rein begriffsmäßige Denken in die Welt kommen können ohne das Weiterheruntersteigen in die sinnliche Welt. Sie sehen, die Ausbildung des logischen Denkens ist verknüpft mit dem Verlust der alten hellseherischen Anschauung; wirklich hat der Mensch das logische Denken erkaufen müssen mit diesem Verlust. Er muß sich die hellseherische Anschauung wiederum hinzuerwerben zu dem logischen Denken. In späteren Zeiten wird der Mensch die Imagination dazu erhalten, aber das logische Denken wird ihm bleiben. Erst mußte das menschliche Gehirn erschaffen werden, heraustreten mußte der Mensch in die physische Welt. Der Kopf mußte erst ganz ausgestaltet werden, dem Ätherkopfe gleich, damit dieses Gehirn im Menschen sei. Da erst war es möglich, daß der Mensch in die physische Welt herabsteigen konnte. Zur Rettung des Spirituellen aber mußte der Zeitpunkt gewählt werden, wo noch nicht der letzte Impuls zum rein mechanischen, zum rein äußerlichen Denken gegeben war. Wenn der Christus einige Jahrhunderte später erschienen wäre, dann wäre er sozusagen zu spät gekommen, dann wäre die Menschheit zu weit heruntergestiegen gewesen, sie hätte sich mit dem Denken zu weit verstrickt gehabt, sie hätte den Christus nicht mehr verstehen können. Vor dem letzten Impulse mußte der Christus erscheinen da noch konnte die religiös spirituelle Strömung als eine Glaubensströmung gerettet werden. Und dann konnte der letzte Impuls gegeben werden der das Denken des Menschen herunterstieß in den tiefsten Punkt, so daß die Gedanken ganz gefesselt, gebannt wurden an das physische Leben. Das wurde durch die Araber und Mohammedaner gegeben. Der Mohammedanismus ist nichts an deres als eine besondere Episode in diesem Arabertum, denn in seinem Herüberziehen nach Europa gibt er den letzten Einfluß in das rein logische Denken, das sich nicht erheben kann zu Höherem, Geistigem.
; Satz<ref>E. Hartmann: ''[http://www.mathematik.tu-darmstadt.de/~ehartmann/circlegeom.pdf Planar Circle Geometries, an Introduction to Moebius-, Laguerre- and Minkowski Planes.]'' Skript, TH Darmstadt (PDF; 891&nbsp;kB), S.&nbsp;32,33</ref>.
: (a): Ist <math>\mathcal P</math> eine ''pappussche'' projektive Ebene und <math>\mathfrak o</math> ein '''<math>\color{magenta}4</math>'''-Punkte-pascalsches Oval darin, so ist <math>\mathfrak o</math> ein Kegelschnitt.
: (b): Ist <math>\mathcal P</math> eine ''pappussche'' projektive Ebene der Charakteristik <math>\ne 2</math> und <math>\mathfrak o</math> ein '''<math>\color{blue}3</math>'''-Punkte-pascalsches Oval darin, so ist <math>\mathfrak o</math> ein Kegelschnitt.


Der Mensch wird durch das, was man eine geistige Weltenführung, eine Vorsehung nennen kann so geführt: Erst wird das spirituelle Leben gerettet im Christentum, dann zieht um den Süden herum der Arabismus nach Europa, das der Schauplatz für die äußere Kultur werden soll. Der Arabismus ist nur imstande, das Äußere zu erfassen. Sehen wir nicht, wie die Arabeske selbst sich nicht zum Lebendigen erheben kann, wie sie bei der Form stehenbleibt? Wir können es an der Moschee sehen, wie der Geist sozusagen herausgesogen ist. Die Menschheit mußte erst herabgeführt werden in die Materie. Und auf dem Umwege durch die Araber, durch die Invasion der Araber, durch das, was man nennen kann den Zusammenstoß des Arabismus mit dem Europäertum, das aber schon in sich das Christentum aufgenommen hat, sehen wir, wie die moderne Wissenschaft erst veranlagt wird." {{Lit|{{G|105|191ff}}}}
''Bemerkung:'' Wie weit man in den beiden letzten Fällen die Voraussetzung ''pappussch'' abschwächen kann, ist noch ungeklärt. Die Voraussetzung in Aussage (a) lässt sich mindestens auf ''[[Moufang-Ebene|moufangsch]]'' abschwächen.
</div>
 
== Siehe auch ==
* {{WikipediaDE|Satz von Pascal}}


== Literatur ==
== Literatur ==
* Coxeter, H. S. M., und S. L. Greitzer: ''Zeitlose Geometrie'', Klett Stuttgart, 1983
* Gerd Fischer: ''Analytische Geometrie''. 4-te Auflage, Vieweg 1985, ISBN 3-528-37235-4, S. 199
* Hanfried Lenz: ''Vorlesungen über projektive Geometrie'', Akad. Verl. Leipzig, 1965, S. 60
* Roland Stärk: ''Darstellende Geometrie'', Schöningh-Verlag, Paderborn, 1978, ISBN 3-506-37443-5, S. 114


#Rudolf Steiner: ''Die Philosophie des Thomas von Aquino'', [[GA 74]] (1993), ISBN 3-7274-0741-7 {{Vorträge|074}}
== Weblinks ==
#Rudolf Steiner: ''Ursprungsimpulse der Geisteswissenschaft'', [[GA 96]] (1989) {{Vorträge|096}}
* [http://www.mathematik.tu-darmstadt.de/~ehartmann/circlegeom.pdf ''Planar Circle Geometries, an Introduction to Moebius-, Laguerre- and Minkowski Planes''] (PDF; 891&nbsp;kB), Uni Darmstadt, S. 29–35.
#Rudolf Steiner: ''Das christliche Mysterium'', [[GA 97]] (1998), ISBN 3-7274-0970-3 {{Vorträge|097}}
* [http://www.mathematik.tu-darmstadt.de/~ehartmann/progeo.pdf ''Projektive Geometrie'', Kurzskript, Uni Darmstadt] (PDF; 180&nbsp;kB), S. 13–16
#Rudolf Steiner: ''Welt, Erde und Mensch '', [[GA 105]] (1983) {{Vorträge|105}}
* [http://mathgardenblog.blogspot.de/2013/06/hexagrammum-mysticum1.html hexagrammum-mysticum]
#Rudolf Steiner: ''Allgemeine Menschenkunde als Grundlage der Pädagogik'', [[GA 293]] (1992), ISBN 3-7274-2930-5 {{Vorträge|293}}
* [http://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Geometry/Pascal.shtml#words Pascal's theorem auf cut-the-knot] (englisch)
# [[Joachim Stiller]]: [http://joachimstiller.de/download/philosophie_einfuehrung_in_die_logik.pdf Einführung in die Logik - Ein Lehrbuch] PDF
# [[Joachim Stiller]]: [http://joachimstiller.de/download/philosophie_grundriss5_logik.pdf Logik] PDF


== Einzelnachweise ==
<references />


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== Weblinks ==
[[Kategorie:Projektive Geometrie]]
 
[[Kategorie:Synthetische Geometrie]]
* [[Joachim Stiller]]: [http://joachimstiller.de/philosophie2a5.html Projekt Logik] Website
[[Kategorie:Satz (Mathematik)|NxPascal, Satz von]]
[[Kategorie:Pascal]]


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Aktuelle Version vom 23. August 2019, 08:19 Uhr

Satz von Pascal in der reellen affinen Ebene: Sind zwei Paare gegenüberliegender Seiten parallel, so auch das dritte Paar
Satz von Pascal
Satz von Pascal: Kanten-Graph
Satz von Pascal: Indizes 2 und 5 vertauscht

Der Satz von Pascal (nach Blaise Pascal) ist eine Aussage über ein 6-Eck auf einem nicht ausgearteten Kegelschnitt in einer projektiven Ebene. Er lässt sich in der reellen affinen Ebene wie folgt formulieren:

Für ein 6-Eck auf einer Ellipse bei dem zwei Paare gegenüberliegender Seiten parallel sind (im Bild ), ist auch das dritte Paar gegenüberliegender Seiten parallel (im Bild: ).

Betrachtet man diesen Satz in dem projektiven Abschluss einer affinen Ebene (man nimmt die "Ferngerade", auf der sich parallele Geraden schneiden, hinzu), so gilt:

Für beliebige 6 Punkte eines nicht ausgearteten Kegelschnitts in einer projektiven Ebene liegen die Punkte

auf einer Gerade, der Pascal-Gerade (s. Bild).

Die Nummerierung gibt an, welche 6 der 15 Verbindungsgeraden der 6 Punkte benutzt werden und welche Kanten benachbart sind. Die Nummerierung ist so gewählt, dass der Kantengraph durch ein reguläres 6-Eck dargestellt werden kann. Geraden zu gegenüberliegenden Kanten des Kantengraphs werden also geschnitten. Sollen andere Kanten in die Pascalfigur eingehen, muss man die Indizes entsprechend permutieren. Für die 2. Pascal-Konfiguration wurden die Indizes 2 und 5 vertauscht (s. Bild, unten).

Nichtausgeartet heißt hier: keine 3 Punkte liegen auf einer Gerade. Den Kegelschnitt kann man sich also als Ellipse vorstellen. (Ein sich schneidendes Geradenpaar ist ein ausgearteter Kegelschnitt.)

Kegelschnitte sind nur in solchen projektiven Ebenen definiert, die sich über (kommutativen) Körpern koordinatisieren lassen. Beispiele von Körpern sind: die reellen Zahlen , die rationalen Zahlen , die komplexen Zahlen , endliche Körper. Jeder nicht ausgeartete Kegelschnitt einer projektiven Ebene lässt sich in geeigneten homogenen Koordinaten durch die Gleichung beschreiben (s. projektiver Kegelschnitt).

Bezug zu anderen Sätzen und Verallgemeinerungen

Satz v.Pascal: Ausartungen
  • Der Satz von Pascal ist die duale Version des Satzes von Brianchon.
  • Zum Satz von Pascal gibt es Ausartungen mit 5 bzw. 4 bzw. 3 Punkten (auf einem Kegelschnitt). Bei einer Ausartung fallen zwei durch eine Kante verbundene Punkte formal zusammen und die zugehörige Sekante der Pascalfigur wird durch die Tangente in dem verbleibenden Punkt ersetzt. Siehe hierzu die Figur und weblink planar circlegeometries, S. 30–35. Durch eine geeignete Wahl einer Gerade der Pascalfiguren als Ferngerade ergeben sich Schließungssätze für Hyperbeln und Parabeln. Siehe Hyperbel und Parabel.
  • Falls der Kegelschnitt vollständig in einer affinen Ebene enthalten ist, gibt es auch (die am Anfang beschriebene) affine Form des Satzes, bei der die Pascalgerade die Ferngerade ist. Die affine Form gibt es z. B. in der reellen und der rationalen affinen Ebene, aber nicht in der komplexen affinen Ebene. In der komplexen projektiven Ebene schneidet jeder n.a. Kegelschnitt jede Gerade. Es gibt also keine Passante des Kegelschnitts, die man als Ferngerade wählen könnte.
  • Die Figur der sechs Punkte auf dem Kegelschnitt wird auch Hexagrammum Mysticum genannt.[1]
  • Der Satz von Pascal ist auch für ein Geradenpaar (ausgearteter Kegelschnitt) gültig und ist dann identisch mit dem Satz von Pappos-Pascal.
  • Der Satz von Pascal wurde durch August Ferdinand Möbius im Jahre 1847 verallgemeinert:
Angenommen, ein Polygon mit Seiten sei in einen Kegelschnitt einbeschrieben. Nun verlängert man die gegenüberliegenden Seiten, bis sie sich in Punkten schneiden. Liegen dann dieser Punkte auf einer gemeinsamen Linie, so liegt auch der letzte Punkt auf dieser Linie.

Beweis des Satzes von Pascal

Zum Beweis des Satzes von Pascal

Im reellen Fall kann man den Beweis am Einheitskreis führen. Da ein nichtausgearteter Kegelschnitt über einem beliebigen Körper aber nicht immer als Einheitskreis darstellbar ist, wird hier die immer mögliche Darstellung des Kegelschnitts als Hyperbel benutzt[2].

Für den Beweis koordinatisiert man die projektive Ebene inhomogen so, dass ist, d. h. die Ferngerade ist (s. Bild). Ferner sei ein Punkt der x-Achse, ein Punkt der y-Achse. Dann gilt und (s. Bild). Die Steigung der Gerade sei . Der Satz ist bewiesen, wenn bewiesen worden ist.

Man rechnet leicht nach, dass ist. Mit (siehe Bild) erhält man

(1).

Der Kegelschnitt wird in dem inhomogenen Koordinatensystem als Hyperbel mit einer Gleichung

beschrieben (Die Asymptoten sind parallel zu den Koordinatenachsen !).
Für solch eine Hyperbel gilt der Peripheriewinkelsatz für Hyperbeln. Wendet man den Peripheriewinkelsatz auf die Grundpunkte und die Hyperbelpunkte an, so erhält man die Gleichung
(2).

Aus (1) und (2) ergibt sich schließlich , was zu beweisen war.

Bedeutung des Satzes von Pascal und seiner Ausartungen

Da der Satz von Pascal eine Aussage über Kegelschnitte ist und Kegelschnitte nur in pappusschen Ebenen erklärt sind, führt man den Begriff des Ovals in einer beliebigen projektiven Ebene ein, um die Pascal-Eigenschaft in einer beliebigen projektiven Ebene formulieren zu können. Dies ist z. B. bei dem Satz von Pappus nicht nötig, da dieser ein Satz über Geraden und Punkte ist, die es in jeder projektiven Ebene gibt. Ein Oval ist eine Punktmenge (Kurve) einer projektiven Ebene mit den wesentlichen Inzidenzeigenschaften eines nicht ausgearteten Kegelschnitts.

Definition eines Ovals

  • Eine Menge von Punkten in einer projektiven Ebene heißt Oval, wenn
(1) Eine beliebige Gerade trifft in höchstens 2 Punkten.
Falls ist, heißt Passante, falls ist, heißt Tangente und falls ist, heißt Sekante.
(2) Zu jedem Punkt gibt es genau eine Tangente , d. h. .

Pascal-Eigenschaft eines Ovals

Ein Oval in einer beliebigen projektiven Ebene, das die im Satz von Pascal für Kegelschnitte angegebene Eigenschaft für beliebige 6 Punkte besitzt, nennt mann 6-Punkte-pascalsch oder kurz pascalsch. Entsprechend definiert man 5-Punkte-pascalsch, 4-Punkte-pascalsch und 3-Punkte-pascalsch, falls die Aussage der 5-, 4- oder 3-Punkte-Ausartung des Satzes von Pascal für das Oval erfüllt ist (s. Bild).

Bedeutungen

Die Gültigkeit der Pascal-Eigenschaft oder der 5-Punkte-Ausartung für ein Oval in einer projektiven Ebene hat dieselbe Bedeutung wie die Pappus-Eigenschaft (für ein Geradenpaar):

Satz von Buekenhout[3]

Ist eine projektive Ebene und ein -Punkte-pascalsches Oval darin, so ist eine pappussche Ebene und ein Kegelschnitt.

Satz von Hofmann[4],

Ist eine projektive Ebene und ein -Punkte-pascalsches Oval darin, so ist eine pappussche Ebene und ein Kegelschnitt.

Mit Hilfe der 4-Punkte-Ausartung und der 3-Punkte-Ausartung des Satzes von Pascal lassen sich in pappusschen Ebenen Kegelschnitte charakterisieren:

Satz[5].
(a): Ist eine pappussche projektive Ebene und ein -Punkte-pascalsches Oval darin, so ist ein Kegelschnitt.
(b): Ist eine pappussche projektive Ebene der Charakteristik und ein -Punkte-pascalsches Oval darin, so ist ein Kegelschnitt.

Bemerkung: Wie weit man in den beiden letzten Fällen die Voraussetzung pappussch abschwächen kann, ist noch ungeklärt. Die Voraussetzung in Aussage (a) lässt sich mindestens auf moufangsch abschwächen.

Siehe auch

Literatur

  • Coxeter, H. S. M., und S. L. Greitzer: Zeitlose Geometrie, Klett Stuttgart, 1983
  • Gerd Fischer: Analytische Geometrie. 4-te Auflage, Vieweg 1985, ISBN 3-528-37235-4, S. 199
  • Hanfried Lenz: Vorlesungen über projektive Geometrie, Akad. Verl. Leipzig, 1965, S. 60
  • Roland Stärk: Darstellende Geometrie, Schöningh-Verlag, Paderborn, 1978, ISBN 3-506-37443-5, S. 114

Weblinks

Einzelnachweise

  1. Jacob Steiner’s Vorlesungen über synthetische Geometrie, B. G. Teubner, Leipzig 1867 (bei Google Books: [1]), 2. Teil, S. 128.
  2. E. Hartmann: Planar Circle Geometries, an Introduction to Moebius-, Laguerre- and Minkowski Planes. Skript, TH Darmstadt (PDF; 891 kB), S. 29
  3. F. Buekenhout: Plans Projectifs à Ovoides Pascaliens, Arch. d. Math. Vol. XVII, 1966, S. 89–93.
  4. C.E. Hofmann: Specelizations of Pascal's Theorem on an Oval, Journ. o. Geom., Vol. 1/2 (1971), S. 143–153.
  5. E. Hartmann: Planar Circle Geometries, an Introduction to Moebius-, Laguerre- and Minkowski Planes. Skript, TH Darmstadt (PDF; 891 kB), S. 32,33


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