Formelsammlung Klassische Mechanik

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Tabelle: Mechanische Größen und ihre Einheiten

Größe	Formelzeichen	Name der Einheit	Einheitenzeichen	Beziehung zwischen den Einheiten
Arbeit, Energie	$W, E$	Joule	$J$	$1 J = 1 N \cdot m = 1 \frac{k g \cdot m^{2}}{s^{2}}$
Beschleunigung	$a$	Meter durch Quadratsekunde	$\frac{m}{s^{2}}$
Dichte	$ρ$	Masse (Kilogramm) geteilt durch Volumen (Kubikmeter)	$\frac{k g}{m^{3}}$	$1 \frac{k g}{m^{3}} = 0, 001 \frac{g}{{c m}^{3}}$
Drehimpuls	$L$	Newtonmetersekunde	$N \cdot m \cdot s$	$1 N \cdot m \cdot s = 1 k g \cdot \frac{m^{2}}{s}$
Drehmoment	$M$	Newtonmeter	$N \cdot m$	$1 N \cdot m = 1 \frac{k g \cdot m^{2}}{s^{2}}$
Druck	$p$	Pascal	$P a$	$1 P a = 1 \frac{N}{m^{2}} = 1 \frac{k g}{m \cdot s^{2}}$
Drehzahl	$n$	durch Sekunde	$\frac{1}{s}$	$\frac{1}{s} = 60 \frac{1}{m i n}$
Federkonstante	$D$ , $k$	Newton durch Meter	$\frac{N}{m}$	$1 \frac{N}{m} = 1 \frac{k g}{s^{2}}$
Fläche, Flächeninhalt	$A$	Quadratmeter	$m^{2}$	$1 m^{2} = 1 m \cdot 1 m$
Frequenz	$f$ , $ν$	Hertz	$H z$	$1 H z = \frac{1}{s}$
Geschwindigkeit	$v$	Meter durch Sekunde	$\frac{m}{s}$
Impuls	$p$	Kilogrammmeter durch Sekunde	$\frac{k g \cdot m}{s}$	$1 \frac{k g \cdot m}{s} = 1 N \cdot s$
Kraft	$F$	Newton	$N$	$1 N = 1 \frac{k g \cdot m}{s^{2}}$
Weg	$s$	Meter	$m$	Basiseinheit
Leistung, Energiestrom	$P$	Watt	$W$	$1 W = 1 \frac{J}{s} = 1 \frac{N \cdot m}{s} = 1 \frac{k g \cdot m^{2}}{s^{3}}$
Masse	$m$	Kilogramm	$k g$	Basiseinheit
Schwingungsdauer, Periodendauer	$T$	Sekunde	$s$
Trägheitsmoment	$J$	Kilogramm mal Quadratmeter	$k g \cdot m^{2}$
Volumen	$V$	Kubikmeter	$m^{3}$	$1 m^{3} = 1 m \cdot 1 m \cdot 1 m$
Wellenlänge	$λ$	Meter	$m$
Winkelbeschleunigung	$α$	Radiant durch Quadratsekunde	$\frac{r a d}{s^{2}}$	$1 \frac{r a d}{s^{2}} = \frac{1}{s^{2}}$
Winkelgeschwindigkeit	$ω$	Radiant durch Sekunde	$\frac{r a d}{s}$	$1 \frac{r a d}{s} = \frac{1}{s}$
Zeit	$t$	Sekunde	$s$	Basiseinheit

Mechanische Größen

Geschwindigkeit

Definition. Geschwindigkeit.

Für eine Punktmasse, die zum Zeitpunkt t die Strecke s(t) zurückgelegt hat, ist

v (t) = \frac{d s}{d t} \approx \frac{s (t) - s (t_{0})}{t - t_{0}}

für

t \approx t_{0}

die momentane Geschwindigkeit zum Zeitpunkt t.

Einheiten
m/s = 3,6 km/h = (3600/1852) kn = (3600/1609,344) mph
m: Meter, s: Sekunde, km: Kilometer, h: Stunde, kn: Knoten, mph: Meilen pro Stunde

Definition. Durchschnittsgeschwindigkeit.

\bar{v} : = \frac{Δ s}{Δ t} = \frac{s (t) - s (t_{0})}{t - t_{0}} .

Bei einer gleichförmigen Bewegung stimmt die Durchschnittsgeschwindigkeit mit der momentanen Geschwindigkeit überein.

Definition. Geschwindigkeitsvektor.

Für eine Parameterkurve, die einer Punktmasse zu jedem Zeitpunkt t einen Ort $\vec{r} (t)$ zuordnet, ist

\vec{v} (t) : = \frac{d \vec{r}}{d t}

der momentane Geschwindigkeitsvektor zum Zeitpunkt t.

Der Betrag $v = | \vec{v} |$ wird momentane Geschwindigkeit genannt.

Die Größe

s (t) : = s (t_{0}) + \int_{t_{0}}^{t} | \vec{v} (t) | d t

ist die zurückgelegte Strecke. Es gilt

v (t) = | \frac{d \vec{r}}{d t} | = \frac{d s}{d t} .

Beschleunigung

Definition. Beschleunigung in eine Richtung.

Wird durch x(t) eine Bewegung in eine Richtung beschrieben, dann versteht man unter

a_{x} (t) : = {v_{x}}^{'} (t) \approx \frac{v_{x} (t) - v_{x} (t_{0})}{t - t_{0}}

für

t \approx t_{0}

die momentane Beschleunigung zum Zeitpunkt t, wobei

v_{x} (t) = x^{'} (t)

die Geschwindigkeit ist.

Die Beschleunigung ist die zweite Ableitung des Ortes nach der Zeit:

a_{x} (t) = x^{″} (t) .

Definition. Beschleunigungsvektor.

Der momentane Beschleunigungsvektor zum Zeitpunkt t ist

\vec{a} (t) : = {\vec{v}}^{'} (t) = a_{x} {\vec{e}}_{x} + a_{y} {\vec{e}}_{y} + a_{z} {\vec{e}}_{z} .

Für die Komponenten gilt dabei

a_{x} = {v_{x}}^{'} (t) \approx \frac{v_{x} (t) - v_{x} (t_{0})}{t - t_{0}},

a_{y} = {v_{y}}^{'} (t) \approx \frac{v_{y} (t) - v_{y} (t_{0})}{t - t_{0}},

a_{z} = {v_{z}}^{'} (t) \approx \frac{v_{z} (t) - v_{z} (t_{0})}{t - t_{0}}

für $t \approx t_{0}$ . Der Betrag

a = | \vec{a} | = \sqrt{a_{x}^{2} + a_{y}^{2} + a_{z}^{2}}

wird Beschleunigung genannt.

Bei einer geradlinigen Bewegung gilt

a (t) = v^{'} (t) .

Bei einer krummlinigen Bewegung zerfällt die Beschleunigung jedoch in zwei Komponenten:

die Tangentialbeschleunigung

a_{t a n g e n t i a l} = v^{'} (t)

und die Normalbeschleunigung

a_{n o r m a l} = \frac{v^{2}}{R} .

Es gilt

\vec{a} = a_{t a n g e n t i a l} \hat{t} + a_{n o r m a l} \hat{n}

und

a = \sqrt{a_{t a n g e n t i a l}^{2} + a_{n o r m a l}^{2}} .

Hierbei ist

$R$ der Radius des Krümmungskreises am Ort $\vec{r} (t)$ ,
$\hat{t}$ der Tangenteneinheitsvektor am Ort $\vec{r} (t)$ ,
$\hat{n}$ der Normaleneinheitsvektor am Ort $\vec{r} (t)$ .

Impuls

Definition. Impuls in eine Richtung.

Wird durch den zeitlich veränderlichen Ort x(t) die Bewegung einer Punktmasse in eine Richtung

beschrieben, dann ist der Impuls das Produkt aus Masse und Geschwindigkeit zum Zeitpunkt t:

p_{x} (t) : = m (t) \cdot v_{x} (t) .

Definition. Impulsvektor.

Unter dem Impulsvektor versteht man das Produkt aus Masse und Geschwindigkeitsvektor:

\vec{p} : = m \vec{v} .

Impulsvektor und Geschwindigkeitsvektor zeigen in die gleiche Richtung.

Für die Komponenten gilt:

p_x = mv_x,

p_y = mv_y,

p_z = mv_z.

Für die Beträge gilt:

p = mv.

Kraft

Definition. Kraft in eine Richtung.

Wird durch den zeitlich veränderlichen Ort x(t) eine Bewegung in eine Richtung beschrieben, dann versteht man unter

F_{x} (t) : = {p_{x}}^{'} (t) \approx \frac{p_{x} (t) - p_{x} (t_{0})}{t - t_{0}}

für

t \approx t_{0}

die Kraft zum Zeitpunkt t.

Für eine zeitlich konstante Masse m gilt:

F_{x} = m a_{x} .

Einheit
$[F] = N : = \frac{k g \cdot m}{s^{2}}$
N: Newton, kg: Kilogramm, m: Meter, s: Sekunde

Definition. Kraftvektor.

Unter dem Kraftvektor zum Zeitpunkt t versteht man die Ableitung des Impulsvektors nach der Zeit:

\vec{F} (t) : = {\vec{p}}^{'} (t) = {p_{x}}^{'} (t) {\vec{e}}_{x} + {p_{y}}^{'} (t) {\vec{e}}_{y} + {p_{z}}^{'} (t) {\vec{e}}_{z} .

Für eine zeitlich konstante Masse m gilt:

\vec{F} = m \vec{a} .

Für die betragsmäßige Kraft gilt dann

F = m a

mit $F : = | \vec{F} |$ und $a : = | \vec{a} |$ .

Für eine zeitlich veränderliche Masse ergibt sich jedoch

\vec{F} = \frac{d m}{d t} \vec{v} + m \vec{a} .

Arbeit

Definition. Arbeit bei einer geradlinigen Bewegung.

Muss während einer geradlinigen Bewegung von einem Ort x₁ zu einem Ort x₂ gegen die Kraft F(x) gearbeitet werden, dann ist

W : = \int_{x_{1}}^{x_{2}} F (x) d x = \int_{t_{1}}^{t_{2}} F (x (t)) v (t) d t

die aufgebrachte Arbeit, wobei $x_{1} = x (t_{1})$ und $x_{2} = x (t_{2})$ ist.

Für eine konstante Kraft F gilt

W = F Δ x = F \cdot (x_{2} - x_{1}) .

Einheit
$[W] = J : = \frac{k g \cdot m^{2}}{s^{2}} = N \cdot m = W \cdot s = V \cdot A \cdot s = V \cdot C$
J: Joule, kg: Kilogramm, m: Meter, s: Sekunde, N: Newton, W: Watt, V: Volt, A: Ampere, C: Coulomb

Definition. Arbeit.

W : = \int_{γ} ⟨ \vec{F} (\vec{r}), d \vec{r} ⟩ : = \int_{t_{1}}^{t_{2}} ⟨ \vec{F} (\vec{r} (t)), \vec{v} (t) ⟩ d t,

wobei $γ (t) = \vec{r} (t)$ ein Weg von $\vec{r} (t_{1})$ nach $\vec{r} (t_{2})$ ist.

Für das Skalarprodukt gilt

⟨ \vec{F}, \vec{v} ⟩ = F_{x} v_{x} + F_{y} v_{y} + F_{z} v_{z},

sofern eine Orthonormalbasis vorliegt.

Für eine konstante Kraft $\vec{F}$ gilt

W = ⟨ \vec{F}, Δ \vec{r} ⟩ = ⟨ \vec{F}, \vec{r} (t_{2}) - \vec{r} (t_{1}) ⟩ .

Die Anheftung der selben konstanten Kraft an jeden Ort ist ein Potentialfeld, da die Arbeit unabhängig vom gewählten Weg von ${\vec{r}}_{1} = \vec{r} (t_{1})$ nach ${\vec{r}}_{2} = \vec{r} (t_{2})$ ist. Geht man vom direkten Weg aus und meint mit

s : = | {\vec{r}}_{2} - {\vec{r}}_{1} |

den Abstand, das ist die kürzeste Streckenlänge, dann ergibt sich die Formel

W = F \cdot s \cdot \cos φ

mit $F : = | \vec{F} |$ und $φ : = ∠ (\vec{F}, Δ \vec{r}) .$

Beschleunigungsarbeit
Wird eine Punktmasse m von einer Geschwindigkeit v₀ auf eine Geschwindigkeit v beschleunigt, dann muss gegen die Trägheit der Masse gearbeitet werden. Die Beschleunigungsarbeit beträgt

W_{B} = \frac{1}{2} m v^{2} - \frac{1}{2} m v_{0}^{2} .

Die Beschleunigungsarbeit ist neben der Masse und der Anfangsgeschwindigkeit nur von der erreichten Endgeschwindigkeit abhängig. Ob die Punktmasse gleichförmig beschleunigt wurde oder nicht, ist dabei unwesentlich.

Hubarbeit
Für einen kleinen Höhenunterschied darf die Fallbeschleunigung g als näherungsweise konstant angenommen werden. Demnach ist auch die Kraft

F_{g} = m g

näherungsweise konstant. Um eine Punktmasse m um eine Höhe h zu heben, muss nun die Hubarbeit

W_{H} = F_{g} h = m g h .

aufgebracht werden.

Spannarbeit
Bei einer idealen Feder wirkt der Auslenkung x die Kraft

F = k x

entgegen, wobei k die Federkonstante ist. Bei der Auslenkung der Feder von x₀ bis x muss die Spannarbeit

W_{Spann} = \frac{1}{2} k x^{2} - \frac{1}{2} k x_{0}^{2}

aufgebracht werden.

Energie

Kinetische Energie

Kinetische Energie einer Masse $m$ mit der Geschwindigkeit $v$ :

E_{k i n} = \frac{1}{2} m \cdot v^{2} b e i v ≪ c

mit c = Lichtgeschwindigkeit.

Einheiten
Energie	Masse	Geschwindigkeit
[E] = J	[m] = kg	[v] = m/s = Ns/kg
J: Joule, kg: Kilogramm, m: Meter, s: Sekunde, N: Newton

Kartesische Koordinaten	$E_{k i n} = \frac{1}{2} m ({\dot{x}}^{2} + {\dot{y}}^{2} + {\dot{z}}^{2})$
Polarkoordinaten	$E_{k i n} = \frac{1}{2} m ({\dot{r}}^{2} + r^{2} {\dot{φ}}^{2})$
Zylinderkoordinaten	$E_{k i n} = \frac{1}{2} m ({\dot{r}}^{2} + r^{2} {\dot{φ}}^{2} + {\dot{z}}^{2})$
Kugelkoordinaten	$E_{k i n} = \frac{1}{2} m ({\dot{r}}^{2} + r^{2} {\dot{θ}}^{2} + r^{2} {\dot{φ}}^{2} \sin θ)$
Allgemein	$E_{k i n} = \frac{1}{2} m \| \vec{v} \|^{2}$

Potentielle Energie

Potentielle Energie an der Erdoberfläche:

E_{p o t} = m \cdot g \cdot h

mit:

$g :$ Gravitationsbeschleunigung
$h :$ Hubhöhe.

Achtung: Dies ist keine allgemeine Formel für die potentielle Energie, sondern nur ein Spezialfall in der Nähe der Erdoberfläche. Bei anderen Problemen sieht die potentielle Energie anders aus – zum Beispiel bei Molekülen, einer Feder, im Potential einer Ladung oder im Gravitationspotential.

Einheiten
Energie	Masse	Schwerebeschleunigung	Höhe
[E] = J	[m] = kg	[g] = N/kg = m/s²	[h] = m
J: Joule, kg: Kilogramm, N: Newton, m: Meter, s: Sekunde

Spannenergie

Spannenergie einer Feder:

E_{S p a n n} = E_{p o t} = \frac{1}{2} D \cdot s^{2}

mit:

$D$ : Federkonstante,
$s :$ : Auslenkung der Feder aus der Ruhelage.

Spannenergie einer Drehfeder:

E_{S p a n n} = E_{p o t} = \frac{1}{2} D \cdot φ^{2}

mit:

$D :$ : Direktionsmoment,
$φ :$ : Auslenkungswinkel der Feder aus der Ruhelage.

Einheiten
Energie	Federkonstante	Auslenkung	Direktionsmoment	Auslenkungswinkel
[E] = J	[k] = N/m	[s] = m	[D] = Nm	[φ] = rad
J: Joule, N: Newton, m: Meter, rad: Radiant

Leistung

Die Leistung $P$ ist der Quotient aus verrichteter Arbeit $Δ W$ oder dafür aufgewendeter Energie $Δ E$ und der dazu benötigten Zeit $Δ t$ :

P = \frac{Δ E}{Δ t} = \frac{Δ W}{Δ t}

oder:

P = \dot{W} = \vec{F} \cdot \frac{d \vec{s}}{d t} = \vec{F} \cdot \vec{v} .

In einem Zeitintervall der Länge $T = [t_{1}, t_{2}]$ verrichtete mittlere Leistung $\overline{P} :$

\overline{P} = \frac{1}{T} \int_{t_{1}}^{t_{2}} P (t) d t .

Diese Angabe hat insbesondere Bedeutung, wenn $P (t)$ sich periodisch ändert und $T$ die Periodendauer ist.

Wirkungsgrad

η = \frac{W_{a b g e g e b e n}}{W_{z u g e f \ddot{u} h r t}} \cdot 100 % = \frac{E_{a b g e g e b e n}}{E_{z u g e f \ddot{u} h r t}} \cdot 100 % = \frac{P_{a b g e g e b e n}}{P_{z u g e f \ddot{u} h r t}} \cdot 100 % < 1 .

Gesamtwirkungsgrad

Bei der Verkettung von Energie-umformenden Einrichtungen ist der Gesamtwirkungsgrad das Produkt der einzelnen Wirkungsgrade:

η_{g e s} = η_{1} \cdot η_{2} \cdot \dots \cdot η_{n} .

Geradlinige Bewegung

Größe	Einheit
t: Zeit	s oder h
s: Weg	m oder km
v: Geschwindigkeit	m/s oder km/h
a: Beschleunigung	m/s²
Einheiten
s: Sekunde, h: Stunde, m: Meter, km: Kilometer

Gleichförmige geradlinige Bewegung

Weg	Geschwindigkeit	Beschleunigung
$s = v \cdot (t - t_{0}) + s_{0}$	$v = v_{0} = \frac{s - s_{0}}{t - t_{0}}$	$a = 0$

Gleichmäßig beschleunigte geradlinige Bewegung

Weg	Geschwindigkeit	Beschleunigung
$s = \frac{a}{2} \cdot (t - t_{0})^{2} + v_{0} \cdot (t - t_{0}) + s_{0}$	$v = a \cdot (t - t_{0}) + v_{0}$	$a = a_{0} = \frac{v - v_{0}}{t - t_{0}}$
$s = \frac{v^{2} - v_{0}^{2}}{2 a} + s_{0}$	$v = \sqrt{v_{0}^{2} + 2 a \cdot (s - s_{0})}$	$a = \frac{v^{2} - v_{0}^{2}}{2 (s - s_{0})}$

Durchschnittsgeschwindigkeit

\frac{s - s_{0}}{t - t_{0}} = \frac{1}{2} (v + v_{0}) .

Allgemeine geradlinige Bewegung

Weg	Geschwindigkeit	Beschleunigung
$s = \int_{t_{0}}^{t} v d t + s_{0}$	$v = \frac{d s}{d t} = \int_{t_{0}}^{t} a d t + v_{0}$	$a = \frac{d v}{d t}$

Kreisbewegung

Gleichförmige Kreisbewegung

Definition. Gleichförmige Kreisbewegung.

Eine gleichförmige Kreisbewegung (gegen den Uhrzeigersinn) wird beschrieben durch:

\vec{r} (t) : = [\begin{matrix} r \cos (φ (t)) \\ r \sin (φ (t)) \end{matrix}],

φ (t) : = ω t + φ_{0} .

Die Parameter r, ω und φ₀ sind konstant.

$\vec{r} (t)$	Ortsvektor zum Zeitpunkt `t`
$r$	Radius
$ω$	Winkelgeschwindigkeit
$φ (t)$	Winkel zum Zeitpunkt `t`
$φ_{0}$	Anfangswinkel
$T$	Umlaufzeit
$n$	Drehzahl

Für die Winkelgeschwindigkeit gilt:

ω = \frac{Δ φ}{Δ t} = \frac{v}{r} = \frac{2 π}{T} = 2 π n .

Für die Beschleunigung gilt:

\vec{a} = - ω^{2} \vec{r} .

Die Beschleunigung stimmt mit der Zentripetalbeschleunigung überein:

\vec{a} = {\vec{a}}_{z p} = - {\vec{a}}_{z f} .

Betragsmäßige Gleichungen:

v = ω r,

a_{z p} = ω^{2} r .

Der Geschwindigkeitsvektor steht senkrecht zum Ortsvektor:

⟨ \vec{v}, \vec{r} ⟩ = 0 .

Der Beschleunigungsvektor steht senkrecht zum Geschwindigkeitsvektor:

⟨ \vec{a}, \vec{v} ⟩ = 0 .

Es gibt keine messbare Winkelbeschleunigung:

α = 0 .

Gleichmäßig beschleunigte Kreisbewegung

Definition. Gleichmäßig beschleunigte Kreisbewegung.

Eine gleichmäßig beschleunigte Kreisbewegung (gegen den Uhrzeigersinn) wird beschrieben durch:

\vec{r} (t) : = [\begin{matrix} r \cos (φ (t)) \\ r \sin (φ (t)) \end{matrix}],

φ (t) : = \frac{α}{2} t^{2} + ω_{0} t + φ_{0} .

Die Parameter r, α, ω₀ und φ₀ sind konstant.

Es gilt

ω = α t + ω_{0},

α = \frac{Δ ω}{Δ t}

= konstant,

v = ω r

,

a = r \sqrt{α^{2} + ω^{4}}

.

Für die Tangential- und die Zentripetalbeschleunigung gilt:

a_{t a n} = α r

,

a_{z p} = ω^{2} r

.

Allgemeine Kreisbewegung

Definition. Allgemeine Kreisbewegung.

Eine allgemeine Kreisbewegung (gegen den Uhrzeigersinn) wird beschrieben durch:

\vec{r} (t) : = [\begin{matrix} r \cos (φ (t)) \\ r \sin (φ (t)) \end{matrix}],

wobei φ(t) ein zeitlich veränderlicher Winkel ist.

Definition. Winkelgeschwindigkeit.

Die Winkelgeschwindigkeit ist die Ableitung des Winkels nach der Zeit:

ω = \frac{d φ}{d t} = φ^{'} (t) .

Definition. Winkelbeschleunigung

Die Winkelbeschleunigung ist die Ableitung der Winkelgeschwindigkeit nach der Zeit:

α = \frac{d ω}{d t} = φ^{″} (t) .

Es gilt:

v = ω r

,

a = r \sqrt{α^{2} + ω^{4}}

.

Für die Tangential- und die Zentripetalbeschleunigung gilt:

a_{t a n} = α r

,

a_{z p} = ω^{2} r

,

a^{2} = a_{t a n}^{2} + a_{z p}^{2} .

Die folgenden vektoriellen Beziehungen sind gültig:

\vec{v} = ω R (\frac{π}{2}) \vec{r}

,

{\vec{a}}_{t a n} = α R (\frac{π}{2}) \vec{r}

,

{\vec{a}}_{z p} = - ω^{2} \vec{r}

,

\vec{a} = {\vec{a}}_{t a n} + {\vec{a}}_{z p}

.

Mit

R (\frac{π}{2}) = [\begin{matrix} 0 & - 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}]

ist die Rotationsmatrix gemeint, die einen Vektor um 90° gegen den Uhrzeigersinn dreht.

Zentripetalkraft

Jeder Massepunkt der um eine feste Achse rotiert bewegt sich stets tangential. Um das Entfernen in diese Richtung zu verhindern bedarf es der Zentripetalkraft, welche Radial wirkt, also senkrecht zur Bewegungsrichtung, und so den Massepunkt auf eine Kreisbahn um die Achse zwingt. Die Zentripetalkraft ist inertial und unterscheidet sich somit von der "Schein" -Zentrifugalkraft.

Für die Zentripetalkraft gilt:

{\vec{F}}_{z p} : = m \cdot {\vec{a}}_{z p} = - m \cdot ω^{2} \cdot \vec{r},

F_{z p} : = | {\vec{F}}_{z p} | = m \cdot ω^{2} \cdot r .

Zentrifugalkraft

Die Zentrifugalkraft ist im Gegensatz zur Zentripedalkraft eine Scheinkraft, da sie nicht im inertialen äußeren Bezugssystem existiert sondern nur im relativen rotierenden System anscheinend in Erscheinung tritt. Wird ein um eine Achse rotierender Körper losgelassen, bewegt er sich Tangential, nicht Radial, fort.

Für die Zentrifugalkraft gilt:

{\vec{F}}_{z f} = - {\vec{F}}_{z p} .

Wurfbewegungen und Freier Fall

Freier Fall ohne und mit Luftwiderstand

Die folgenden Formeln beschreiben die Bewegung bei konstanter Beschleunigung. Dies trifft zum Beispiel näherungsweise zu, wenn man Objekte in der Nähe der Erdoberfläche fallenläßt, entsprechend mit anderer Beschleunigung natürlich auch in der Nähe anderer großer Objekte wie Planeten, Monde, Sonnen etc.

g

: Erdbeschleunigung [m/s²] (~9.8 m/s² in der Nähe der Erdoberfläche)

h

: Fallhöhe [m]

ohne Reibung

Das ist der eigentliche freie Fall im Vakuum.

v = g \cdot t = \sqrt{2 \cdot g \cdot h}

t = \sqrt{\frac{2 \cdot h}{g}}

s = \frac{1}{2} \cdot g \cdot t^{2}

mit Reibung

Reibung an sich ist ein recht komplexer Vorgang, bei dem Bewegungsenergie verloren geht, bezogen auf den freien Fall wird dies primär dadurch bewirkt, dass etwas durch die Luft fällt oder durch Wasser als Flüssigkeit. Je nach Geschwindigkeit und Medium, durch welches die Bewegung führt, ist hat die Reibung andere Effekte.

Fall 1: Newton-Reibung

Dabei wird die Reibungskraft proportional zum Quadrat des Betrages der Geschwindigkeit relativ zum Medium angenommen. Das tritt besonders bei hohen Geschwindigkeiten oder dichten Medien auf. Im Falle von Gasen erzeugt das bewegte Objekt im Medium dabei meist Turbulenzen, die einen hohen Energieverlust bedeuten. Bei Medien geringer Dichte oder kleinen Geschwindigkeiten wird dabei die Reibung eher zu klein abgeschätzt.

Momentanhöhe:

h (t) = H - \frac{m}{α} \ln [\cosh (\sqrt{\frac{α g}{m}} \cdot t)]

v (t) = - \sqrt{\frac{m g}{α}} \tanh (\sqrt{\frac{α g}{m}} \cdot t)

a (t) = - \frac{g}{\cosh^{2} (\sqrt{\frac{α g}{m}} \cdot t)}

Grenzgeschwindigkeit:

v_{g} = - \sqrt{\frac{m g}{α}}

Im Newton-Fall ist $α = \frac{1}{2} \cdot c_{w} ρ A$ , mit

H

: Anfangshöhe

c_{w}

: Strömungswiderstandskoeffizient

ρ

: Luftdichte

A

: Stirnfläche des fallenden Körpers

Fall 2: Stokes-Reibung

Bei Medien geringer Dichte oder kleinen Geschwindigkeiten wird dabei die Reibungskraft proportional zum Betrag der Geschwindigkeit abgeschätzt. Bei hoher Dichte oder hoher Geschwindigkeit wird damit die Reibung als zu klein abgeschätzt.

h (t) = H + \frac{m}{α} g [\frac{m}{α} (1 - e^{- (α / m) t}) - t]

v (t) = \frac{m}{α} g (e^{- (α / m) t} - 1)

a (t) = - g e^{- \frac{α}{m} t}

v_{g} = - \frac{m}{α} g

Senkrechter Wurf ohne Luftwiderstand

Ort-Zeit-Gesetz	$y = v_{0} t - \frac{g}{2} t^{2} + y_{0}$
Geschwindigkeit-Zeit-Gesetz	$v = v_{0} - g t$
Ort-Geschwindigkeit-Gesetz	$y = \frac{v_{0}^{2} - v^{2}}{2 g} + y_{0}$
Steigzeit	$t_{u} = \frac{v_{0}}{g}$
Gipfelpunkt	$y_{u} = \frac{v_{0}^{2}}{2 g} + y_{0}$

$v_{0} > 0$	Wurf nach oben
$v_{0} < 0$	Wurf nach unten

Waagerechter Wurf ohne Luftwiderstand

	x	y
Ort-Zeit-Gesetz	$x = x_{0} + v_{0} t$	$y = y_{0} - \frac{g}{2} t^{2}$
Geschwindigkeit-Zeit-Gesetz	$v_{x} = v_{0}$	$v_{y} = - g t$
Geschwindigkeit-Zeit-Gesetz	$\| \vec{v} \| = \sqrt{v_{0}^{2} + (g t)^{2}}$
Wurfparabel	$y = y_{0} - \frac{g}{2 v_{0}^{2}} (x - x_{0})^{2}$

Schräger Wurf ohne Luftwiderstand

	x	y
Ort-Zeit-Gesetz	$x = v_{x} (0) t$	$y = v_{y} (0) t - \frac{g}{2} t^{2}$
Geschwindigkeit-Zeit-Gesetz	$v_{x} = v_{x} (0)$	$v_{y} = v_{y} (0) - g t$
Startgeschwindigkeit	$v_{x} (0) = v_{0} \cos α$	$v_{y} (0) = v_{0} \sin α$
Startgeschwindigkeit	$v_{0} : = \| {\vec{v}}_{0} \| = \sqrt{v_{x} (0)^{2} + v_{y} (0)^{2}}$

Axiome der Mechanik

1. Newtonsches Axiom

Ein kräftefreier Körper bleibt in Ruhe oder bewegt sich geradlinig mit konstanter Geschwindigkeit.

2. Newtonsches Axiom

Eine auf einen Körper wirkende Kraft $\vec{F}$ ändert dessen Impuls: Die Impulsänderung pro Zeit ist gleich der auf den Körper wirkenden Kraft.

\vec{F} = \frac{d}{d t} \vec{p}

Ist die Masse $m$ während der Impulsänderung konstant, ergibt sich die bekanntere Formel:

\vec{F} = m \frac{d}{d t} \vec{v} = m \cdot \vec{a}

3. Newtonsches Axiom

Kraft gleich Gegenkraft: Eine Kraft von Körper A auf Körper B geht immer mit einer gleich großen, aber entgegen gerichteten Kraft von Körper B auf Körper A einher.

{\vec{F}}_{A \to B} = - {\vec{F}}_{B \to A}

Kraftumformende Einrichtungen

Hebelgesetz

Drehmoment = Kraft · Länge des Hebelarmes:

M = F \cdot s .

Einheit: $N \cdot m$ = Newton · Meter

Im Gleichgewicht gilt:

M_{1} = M_{2} .

Rechts drehendes Moment = Links drehendes Moment:

F_{1} \cdot s_{1} = F_{2} \cdot s_{2} .

Flaschenzug

Besteht der Flaschenzug aus n Rollen, so verteilt sich die Last ebenfalls auf n Seile. Im Falle des Gleichgewichts gilt:

Kraft = Last / Anzahl der Seile:

F_{1} = \frac{F_{2}}{n}

,

wobei $F_{1}$ die aufzuwendende Kraft und $F_{2}$ die Last bedeutet.

Schiefe Ebene

Nomenklatur
${\vec{F}}_{G}$	Gewichtskraft
${\vec{F}}_{G N}$	Normalkomponente der Gewichtskraft
${\vec{F}}_{G H}$	Hangabtriebskomponente der Gewichtskraft
${\vec{F}}_{N}$	Normalkraft
${\vec{F}}_{R}$	Haftreibungskraft
$μ_{H}$	Haftreibungskoeffizient
$α$	Neigungswinkel
$l$	Länge
$h$	Höhe
$b$	Basis

$b = l \cos α$	$F_{G N} = F_{G} \cos α$	$F_{N} = F_{G N}$
$h = l \sin α$	$F_{G H} = F_{G} \sin α$	$F_{R} = F_{G H}$

Bedingung für die Ruhe eines haftenden Körpers:

F_{R} \leq μ_{H} \cdot F_{N} bzw. \tan α \leq μ_{H} .

Reibung

Reibungskraft = Reibungszahl · Normalkraft:

F_{R} = μ \cdot F_{N} .

Trockene Reibung (Gleitreibung):

{\vec{F}}_{R T} = - α_{T} .

Impuls

Für den Impuls gilt:

\vec{p} = m \cdot \vec{v}

E_{kinetisch} = \frac{{\vec{p}}^{2}}{2 m}

Δ \vec{p} = m \cdot Δ \vec{v} = \int_{t_{1}}^{t_{2}} \vec{F} (t) d t

\frac{d \vec{p}}{d t} = \vec{F} .

Impulse bleiben (in einem kräftemäßig abgeschlossenen System) in der Summe erhalten.

Kraftstoß

Für den Kraftstoß gilt:

\vec{I} = \vec{F} \cdot Δ t bei \vec{F} = konstant

\vec{I} = Δ \vec{p} = \int \vec{F} (t) \cdot d t .

Drehimpuls

Für den Drehimpuls gilt:

\vec{L} = J \cdot \vec{ω}

und außerdem:

\frac{d \vec{L}}{d t} = \vec{M}

mit:

L

: Drehimpuls

J

: Trägheitsmoment

ω

: Winkelgeschwindigkeit

M

: Drehmoment.

Der Gesamtdrehimpuls eines isolierten physikalischen Systems bleibt unverändert.

Stoß

Geschwindigkeiten vor dem Stoß:

v_{1}, v_{2} .

Geschwindigkeiten nach dem Stoß:

u, u_{1}, u_{2} .

Elastischer gerader zentraler (idealer) Stoß

Impulserhaltung:

m_{1} \cdot v_{1} + m_{2} \cdot v_{2} = m_{1} \cdot u_{1} + m_{2} \cdot u_{2} .

Energieerhaltung:

\frac{1}{2} m_{1} \cdot v_{1}^{2} + \frac{1}{2} m_{2} \cdot v_{2}^{2} = \frac{1}{2} m_{1} \cdot u_{1}^{2} + \frac{1}{2} m_{2} \cdot u_{2}^{2} .

Geschwindigkeiten nach dem Stoß:

u_{1} = \frac{m_{1} \cdot v_{1} + m_{2} \cdot (2 v_{2} - v_{1})}{m_{1} + m_{2}} .

u_{2} = \frac{m_{2} \cdot v_{2} + m_{1} \cdot (2 v_{1} - v_{2})}{m_{1} + m_{2}} .

Spezialfall: bei gleichen Massen:

u_{1} = v_{2} u_{2} = v_{1} .

Unelastischer (gerader zentraler) Stoß

Impulserhaltung:

m_{1} \cdot v_{1} + m_{2} \cdot v_{2} = (m_{1} + m_{2}) \cdot u .

Verringerung der kinetischen Energie (Verformungsenergie):

\frac{1}{2} (m_{1} \cdot v_{1}^{2} + m_{2} \cdot v_{2}^{2}) - \frac{1}{2} (m_{1} + m_{2}) \cdot u^{2} .

Geschwindigkeit $u$ nach dem Stoß:

u = \frac{m_{1} \cdot v_{1} + m_{2} \cdot v_{2}}{m_{1} + m_{2}} .

Teilelastischer Stoß

Änderung der Bewegungsenergie ("Verlust"):

Δ E = (E_{k i n . v o r} - E_{k i n . n a c h}) \cdot (1 - k^{2}) = \frac{1}{2} (1 - k^{2}) \cdot \frac{m_{1} \cdot m_{2}}{m_{1} + m_{2}} \cdot (v_{1} - v_{2})^{2} .

Stoßzahl:

k = \frac{u_{2} - u_{1}}{v_{1} - v_{2}} .

Außerdem gilt:

u_{1} = \frac{v_{1} \cdot (m_{1} - k \cdot m_{2}) + v_{2} \cdot (1 + k) \cdot m_{2}}{m_{1} + m_{2}} .

u_{2} = \frac{v_{2} \cdot (m_{2} - k \cdot m_{1}) + v_{1} \cdot (1 + k) \cdot m_{1}}{m_{1} + m_{2}} .

Dichte und Druck

Dichte

Dichte = Masse / Volumen:

ρ = \frac{m}{V} .

Druck

Druck = senkrecht wirkende Kraft / Fläche:

p = \frac{| {\vec{F}}_{⊥} |}{| \vec{A} |} .

Einheit: Pa (Pascal)}

Schweredruck:

p = f r a c F_{G} A = f r a c m \cdot g A = ρ \cdot h \cdot g .

Auftriebskraft:

F_{A} = ρ \cdot V \cdot g .

Barometrische Höhenformel

(siehe Link)

Potentialfelder

Definition. Gibt es ein (auf einer offenen Teilmenge des euklidischen Raumes definiertes, stetig differenzierbares) Skalarfeld $U (\vec{r})$ , so dass

\vec{F} (\vec{r}) = - \nabla U (\vec{r}),

so nennt man $\vec{F}$ ein Potentialfeld und $U$ dessen Potential. Das Potentialfeld ist nur dann ein Kraftfeld, wenn das Potential die potentielle Energie ist. Andernfalls muss eine entsprechende Proportionalitätskonstante $k$ eingefügt werden, so dass gilt:

E_{p o t} (\vec{r}) = k \cdot U (\vec{r}) .

Triviale Eichfreiheit: Das Potential ist nur bis auf eine additive Konstante bestimmt.

Potentialfelder sind Rotationsfrei:

\nabla \times \vec{F} = 0 .

Arbeit im Potentialfeld

Die Arbeit im Potentialfeld ist wegunabhängig:

W = - \int_{γ} ⟨ \nabla U (\vec{r}), d \vec{r} ⟩ = U ({\vec{r}}_{1}) - U ({\vec{r}}_{2}),

wobei $U = E_{p o t}$ und $γ (t) = \vec{r} (t)$ ein Weg von $γ (0) = {\vec{r}}_{1}$

nach $γ (1) = {\vec{r}}_{2}$ ist.

$W < 0$	Arbeit muss aufgebracht werden
$W > 0$	Arbeit wird freigegeben

Energieerhaltungssatz

Einer Punktmasse, die sich auf der Parameterkurve $\vec{r} (t)$ bewegt , wird zum Zeitpunkt t die kinetische Energie

E_{k i n} (t) = \frac{1}{2} m | \vec{v} (t) |^{2} = \frac{1}{2} m | {\vec{r}}^{'} (t) |^{2}

zugeordnet. Befindet sich die Punktmasse in einem Potentialfeld, so besitzt sie am Ort $\vec{r}$ das Potential

E_{p o t} (\vec{r}) .

Bei der Bewegung der Punktmasse im Potentialfeld gilt:

\frac{d}{d t} E_{k i n} (t) + \frac{d}{d t} E_{p o t} (\vec{r} (t)) = 0 .

Nach Integration bekommt die Gleichung die Gestalt:

E_{k i n} (t_{1}) + E_{p o t} (\vec{r} (t_{1})) = E_{k i n} (t_{2}) + E_{p o t} (\vec{r} (t_{2})) .

In Kurzschreibweise:

T₁+V_{1 = T₂+V₂}

mit T=E_kin und V=E_pot.

In Worten:

Die Summe aus kinetischer und potentieller Energie ist die Gesamtenergie einer Punktmasse in einem Potentialfeld. Die Gesamtenergie ist konstant, sie hat zu jedem Zeitpunkt den selben Wert.

Potentiale

	Potential	Potentielle Energie	Potentialfeld
Höhenpotential	$U (h) = m g h$	$E_{p o t} = U (h)$	$F (h) = - \nabla U (h) = - m g$
Potential einer Feder	$U (s) = \frac{1}{2} D s^{2}$	$E_{p o t} = U (s)$	$F (s) = - \nabla U (s) = - D s$
Gravitationspotential einer kugelförmigen Masse $M$	$U (\vec{r}) = - \frac{G M}{\| \vec{r} \|}$	$E_{p o t} = m U (\vec{r})$	$\vec{g} (\vec{r}) = - \nabla U (\vec{r}) = - G M \frac{\vec{r}}{\| \vec{r} \|^{3}}$
Elektrisches Potential einer Ladung $Q$ im Vakuum	$U (\vec{r}) = \frac{Q}{4 π ε_{0} \| \vec{r} \|}$	$E_{p o t} = q U (\vec{r})$	$\vec{E} (\vec{r}) = - \nabla U (\vec{r}) = \frac{Q \vec{r}}{4 π ϵ_{0} \| \vec{r} \|^{3}}$

Gravitation

Gravitationsgesetz

Das Gravitationsgesetz lautet:

\vec{F} = G \cdot \frac{m_{1} \cdot m_{2}}{r^{2}}

Hubarbeit

Für die Hubarbeit im Gravitationsfeld ergibt sich:

W_{H} = F_{G} \cdot h .

Daraus folgt:

W_{H} = G \cdot \frac{M \cdot m}{r^{2}} \cdot h

oder:

W_{H} = m \cdot \frac{G \cdot M}{r^{2}} \cdot h

oder:

W_{H} = m \cdot g \cdot h .

Potentielle Energie

Für die potentielle Energie in einem Gravitationsfeld gilt:

E_{p o t} = - G \cdot \frac{m_{1} \cdot m_{2}}{r}

mit:

Gravitationskraft $F$
Massen der sich anziehenden Körper: $m_{1}$ und $m_{2}$
Abstand der sich anziehenden Körper: $r$
Richtung zwischen den sich anziehenden Körpern: ${\vec{e}}_{r}$
Gravitationskonstante: $G = (6, 6742 \pm 0, 0010) \cdot 1 0^{- 11} \frac{m^{3}}{k g s^{2}}$

Auf der Erde gilt:

Kraft = Masse · Erdbeschleunigung

F = m \cdot g

Die Erdbeschleunigung g hängt von der geografischen Breite und der Höhe über Meeresniveau ab und ist am Äquator ca. g = 9,780 m/s² und an den Polen ca. g = 9,832 m/s².

Erdbeschleunigung:

g = \frac{G \cdot M}{r^{2}}

mit

Erdmasse: $M = 5, 972 \cdot 1 0^{24} k g$
Erdradius: $r = 6371 k m$
Gravitationskonstante: $G = 6, 674 \cdot 1 0^{- 11} \frac{m^{3}}{k g s^{2}}$

Diese Formel liefert etwa 9,82 m/s².

Kosmische Geschwindigkeiten

1. kosmische Geschwindigkeit (Kreisbahngeschwindigkeit)

Die 1. kosmologische Geschwindigkeit berechnet sich wie folgt:

v_{K} = \sqrt{\frac{G \cdot M}{r}}

$M$ = Masse des Zentralkörpers (Erde)
$r$ = Bahnradius des Zentralkörpers (Erde)

v_{K, E r d e} = 7, 9 \frac{k m}{s}

Herleitung:

Bei einer Kreisbewegung eines Probekörpers $m$ um eine Zentralmasse $M$ ist die Zentrifugalkraft $F_{Z f}$ gerade gleich der Gravitationskraft $F_{G}$ .

Zentrifugalkraft $F_{Z f}$ = Gravitationskraft $F_{G}$ .

Daraus folgt:

\frac{v^{2} \cdot m}{r} = \frac{G \cdot M \cdot m}{r^{2}}

.

Umstellen nach $v$ ergibt:

v = \sqrt{\frac{G \cdot M}{r}}

.

2. kosmische Geschwindigkeit (Fluchtgeschwindigkeit)

Die 2. kosmologische Geschwindigkeit berechnet sich wie folgt:

v_{F} = \sqrt{\frac{2 \cdot G \cdot M}{r}}

v_{F, E r d e} = 11, 2 \frac{k m}{s}

Herleitung:

Bei der minimalen Fluchtgeschwindigkeit ist die kinetische Energie eines Probekörpers gerade gleich der Gravitationsenergie.

Kinetische Energie $E_{k i n}$ = Gravitationsenergie $E_{G}$ .

Daraus folgt:

\frac{1}{2} \cdot m \cdot v^{2} = G \cdot \frac{M \cdot m}{r}

.

Umstellen nach $v$ ergibt:

v = \sqrt{\frac{2 \cdot G \cdot M}{r}} .

Federgesetze

Hookesches Gesetz für Federn

Definition. Federkraft = Federkonstante · Federverlängerung:

F = D \cdot Δ l

oder:

F = D \cdot s .

Rückstellkraft für Federn

Es ist zu beachten, dass die Rückstellkraft die entgegengesetzte Richtung wie die Verlängerung hat (Feder wird wieder kürzer).

Für eine Verlängerung müsste ein Minus [-] eingefügt werden, um die Richtung miteinzubeziehen:

F = - D \cdot s .

Spannarbeit

Für die Spannarbeit an einer Feder ergibt sich:

W_{Spann} = \frac{1}{2} D \cdot s^{2} .

Spannenergie

Spannenergie einer Feder:

E_{S p a n n} = E_{p o t} = \frac{1}{2} D \cdot s^{2}

mit:

$D$ : Federkonstante
$s :$ : Auslenkung der Feder aus der Ruhelage.

Spannenergie einer Drehfeder:

E_{S p a n n} = E p o t = \frac{1}{2} D \cdot φ^{2}

mit:

$D :$ : Direktionsmoment,
$φ :$ : Auslenkungswinkel der Feder aus der Ruhelage.

Hookesches Gesetz

Hookesches Gesetz für den einachsigen Spannungszustand:

σ = E \cdot ε .

Daraus folgt das E-Modul:

E = \frac{σ}{ε}

oder für die Verzerrung:

ε = \frac{σ}{E}

wobei:

$σ$ Spannung (Kraft pro Fläche)
$ε$ Verzerrung (Längenänderung durch ursprüngliche Länge)
$E$ Elastizitätsmodul (auch Zugmodul, Elastizitätskoeffizient, Dehnungsmodul, E.Modul usw.).

Verzerrungstensor

Der Verzerrungstensor lautet:

ε_{i j} : = \frac{1}{2} (\frac{\partial u_{i}}{\partial x_{j}} + \frac{\partial u_{j}}{\partial x_{i}}),

wobei:

$\vec{u} = {(u_{i})}_{i \in {1, 2, 3}}$ Ortsverschiebung

Der Verzerrungstensor ist symmetrisch:

ε_{i j} = ε_{j i} .

Spannungstensor

(siehe Link)

Tensorielle Form des Hookschen Gesetzes

Die tensorielle Form des Hookeschen Gesetzes lautet:

σ_{i j} = \sum_{k l} c_{i j k l} \cdot ε_{k l} .

Hookesches Gesetz für den eindimensionalen Fall

Für die Spannung bei einem Stab der Länge $l_{0}$ in x-Richtung gilt:

σ_{x} = \frac{F_{x}}{A}

mit:

F_{x} :

Zugkraft

A :

Querschnittsfläche des Stabes.

Für die Dehung eines Stabes in x-Richtung ergibt sich:

ε = \frac{Δ l}{l_{0}} .

Das Hookesche Gesetz lautete:

σ = E \cdot ε .

Durch Einsetzen und Umstellen erhält mann:

F_{x} = E c d o t A \cdot \frac{Δ l}{l_{0}} .

Dieses erweitere Hookesche Gesetz lässt sich dort anwenden, wo die wirkende Kraft nahezu linear von der Ausdehnung bzw. Auslenkung abhängt, und ist eine Verallgemeinerung des Hookeschen Gesetzes für Federn.

Schaltung von Federn

Parallelschaltung

Für die Parallelschaltung von Feldern ergibt sich:

D = D_{1} + D_{2} + D_{3} + d o t s + D_{n} = s u m_{i = 1}^{n} D_{i} .

Reihenschaltung

Für die Reihenschaltung von Federn ergibt sich:

\frac{1}{D} = \frac{1}{D_{1}} + \frac{1}{D_{2}} + \frac{1}{D_{3}} + \dots + \frac{1}{D_{n}} = \sum_{i = 1}^{n} \frac{1}{D_{i}} .

Federschaltungen verhalten sich in diesem Sinne wie Kondensatorschaltungen. Jede Feder kann sich jedoch nur bis zu einem bestimmten Punkt ausdehnen.

s (t) = \hat{s} \cdot c o s ω t

Geschwindigkeits-Zeit-Gesetz des Federpendels:

v (t) = - ω \hat{s} \cdot s i n ω t

Beschleunigungs-Zeit-Gesetz des Federpendels:

a (t) = - ω^{2} \hat{s} \cdot c o s ω t

Frequenz des Federpendels:

f = \frac{1}{2 π} \sqrt{\frac{D}{m}}

Schwinungsdauer des Federpendels:

T = 2 π \sqrt{\frac{m}{D}}

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Formelsammlung Klassische Mechanik - Wikibooks Weblink

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